CC BY
33
Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2521-2522
2521
УДК 678.5-419.8
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ФИЗИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ ТРЕХСЛОЙНЫХ КОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК
© 2011 г. С.Н. Сухинин
Центральный НИИ машиностроения, г. Королев
Поступила в редакцию 24.08.2011
Приводятся математическое моделирование и построение физических моделей для исследования устойчивости трехслойных композитных оболочек с многослойными несущими слоями и заполнителем. Проведен статистический анализ результатов испытаний и даны рекомендации по определению поправочных эмпирических коэффициентов.
Ключевые слова: трехслойная конструкция, композиты, анизотропия, критические усилия, поправочные эмпирические коэффициенты, статистический анализ.
Исследуется устойчивость трехслойных композитных оболочек с легким заполнителем. Для конкретности рассматривается самый характерный случай: цилиндрическая оболочка при осевом сжатии. Многочисленность (несколько десятков) жесткостных параметров трехслойной оболочки с многослойными анизотропными композитными несущими слоями затрудняет анализ и получение обозримых расчетных зависимостей для определения критических нагрузок.
Математическое моделирование
Для анализа устойчивости трехслойных композитных моделей применяются, в основном, следующие математические модели:
— модель ломаной линии, согласно которой многослойные анизотропные несущие слои рассматриваются как оболочки с неизменной нормалью, а поперечные сдвиги в заполнителе постоянны по толщине; этой модели соответствует дифференциальное уравнение в частных производных 12-го порядка;
— модель прямолинейного элемента, согласно которой сдвиги постоянны по толщине трехслойной оболочки; этой модели соответствует уравнение 10-го порядка;
— классическая модель неизменной нормали, согласно которой первоначальная нормаль к оболочке остается нормалью и к деформированной поверхности; этой модели соответствует дифференциальное уравнение 8-го порядка.
Во всех указанных моделях заполнитель считается недеформированным по нормали. Учет деформированности заполнителя может быть про-
изведен решением задачи об устойчивости несущего слоя на упругом основании [1].
Проводя анализ уравнений 12-го порядка, для модели ломаной линии удалось выделить три главные обобщенные жесткости трехслойной оболочки [1]: Тн = 2/В2/.)|"с — обобщенная жесткость несущих слоев; = 2/В2 /1 — обоб-
щенная жесткость трехслойной оболочки; Кх = = GзH2/5 — обобщенная жесткость трехслойного пакета на поперечный сдвиг.
Здесь В2 — суммарная жесткость несущих слоев на сжатие, -О/10, /1 — изгибная жесткость несущих слоев и трехслойной оболочки в осевом направлении; Gз, 5 — модуль сдвига заполнителя и его толщина; Н — расстояние между нейтральными поверхностями несущих слоев.
Этими обобщенными жесткостями определяются критические усилия, критерии применимости различных математических моделей и погрешности их применения, а также критерий эф -фективности трехслойной конструкции.
В зависимости от сдвиговой жесткости трехслойного пакета получены следующие формулы для расчета критических осевых усилий в трехслойной цилиндрической оболочке:
1,
2"
К <-тж,
Ткр = Т1н0с (1 — а н).
1 —
2
2К1
Т1
ГТ1 кр ГТ1 Т1 =
10
10
1 — кг
+К,
ж
Т10
4К
здесь а < 1, k0 < 1 — известные коэффициенты анизотропии оболочки.
Соотношения между обобщенными жестко-10 , ±10 , К определяют критерии применяемости различных математических моделей. Так, если К1 >> Т1н0с, приходим к модели прямолинейного элемента. Погрешность применения этой модели А пр = Т10 / К1. Условие К1 >> является также условием эффективности применения трехслойного пакета: критическая нагрузка для трехслойной оболочки должна существенно превосходить критическую нагрузку несущих слоев. Отсюда следует; что для реальных (эффективных) трехслойных конструкций вполне оправдано применение модели прямолинейного элемента.
Из второй формулы (1) следует критерий применимости к трехслойным оболочкам классической модели: Т^ж /(4К1) << 1. При этом погрешность применения классической модели А = =тж/(4К1).
Физическое моделирование
Как известно, при анализе устойчивости оболочек данные теории и эксперимента могут существенно различаться. Для назначения и обоснования поправочных эмпирических коэффициентов необходимо провести комплекс экспериментальных исследований на физических моделях. Обычно в качестве эмпирического коэффициента принимается так называемый коэффициент устойчивости — отношение экспериментального значения критического усилия Тк к его теоретическому значению Тткр:
k =
уст
Тткр
(2)
По причине большого многообразия жестко-стных параметров трехслойных композитных оболочек проектирование и изготовление физических моделей требует решения специальной зада-
чи, позволяющей создать физические модели, адекватно отражающие законы сопротивления натурных изделий.
Главные принципы проектирования и изготовления трехслойных композитных моделей определяются необходимостью соблюдать соответствие между обобщенными жесткостями физической модели и натурной конструкции. Эти принципы состоят в следующем:
— физическая модель и натура должны сопротивляться в соответствии с одинаковыми математическими моделями (К1 < 1/27^ или К1 >
> 1/2710);
— физическая модель и соответствующая натурная конструкция должны терять устойчивость по одной и той же форме (общая — местная; неосесимметричная — осесимметричная);
— в области «слабых» заполнителей (К1 < < 1/ 2710) для физической модели и натуры должно быть близко отношение К1 /71н0с ;
— в области «жестких» заполнителей (К1 >
> 1/ 2710) для физической модели и натуры должно быть близко отношение К / ТЮ ;
— параметры анизотропии физической модели должны соответствовать параметрам анизотропии натуры;
— физическая модель должна изготавливаться в тех же технологических условиях, что и натура; проведение дефектоскопии обязательно.
Анализ экспериментальных данных показывает [1], что многие испытанные физические модели не отражают свойства реальных трехслойных композитных конструкций.
Работа поддержана грантом РФФИ №10-08-00258а.
Список литературы
1. Сухинин С.Н. Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек. М.: Физмат-лит, 2010. 248 с.
MATHEMATICAL AND PHYSICAL MODELING IN PROBLEMS OF BUCKLING OF THREE-LAYER COMPOSITE SHELLS
S.N. Sukhinin
Issues of mathematical modeling and construction of physical models in buckling analysis of three-layer composite shells with multilayered load-bearing layers and a core are considered. Statistical analysis of results of experiments was done and recommendations for determining compensating empirical factors are given.
Keywords: three-layer (sandwich), composites, anisotropy, critical strain, compensation empirical factors, the statistical analysis.
