CC BY
21
УДК 517.947.551.551
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОИСКА В АТМОСФЕРЕ НЕИЗВЕСТНОГО ЛИНЕЙНОГО ИСТОЧНИКА ГАЗОВ И АЭРОЗОЛЕЙ
Борис Михайлович Десятков
Федеральное бюджетное учреждение науки «Государственный научный центр вирусологии и биотехнологии "Вектор"», 630559, Россия, Новосибирская область, Новосибирский район, р. п. Кольцово, АБК, кандидат физико-математических наук, зав. лабораторией, тел. (383)363-47-00, e-mail: dbm@vector.nsc.ru
Наталья Александровна Лаптева
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, младший научный сотрудник, тел. (383)330-64-50; Федеральное бюджетное учреждение науки «Государственный научный центр вирусологии и биотехнологии "Вектор"», 630559, Россия, Новосибирская область, Новосибирский район, р. п. Кольцово, АБК, старший научный сотрудник, тел. (383)363-47-00, e-mail: lapteva@vector.nsc.ru
Предложен метод поиска нескольких скрытых точечных источников примесей в атмосфере, имеющих различные мощности и расположенных в различных точках пространства. Метод основан на использовании сопряженного уравнения турбулентной диффузии. Выполнен анализ влияния количества используемых контрольных точек измерения концентрации примесей и неизбежных ошибок измерения концентрации на точность искомых параметров источников. Приводятся результаты тестовых расчетов.
Ключевые слова: пограничный слой атмосферы, неизвестные точечные источники примесей, сопряженное уравнение.
A MATHEMATICAL METHOD OF SEARCHING IN AN ATMOSPHERE OF UNKNOWN POINT SOURCES OF GASES AND AEROSOLS
Boris M. Desyatkov
Federal Budgetary Research Institution «State Research Center of Virology and Biotechnology "Vector"», 630559, Russia, Novosibirsk region, Koltsovo, Head of laboratory of department of Biophysics and Ecological, tel. (383)363-47-00, e-mail: dbm@vector.nsc.ru
Natalya A. Lapteva
Institute of Computational Mathematical and Mathematical Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, prospect Лс. Lavrentjeva, 6, junior Researcher, tel. (383)363-47-00; Federal Budgetary Research Institution «State Research Center of Virology and Biotechnology "Vector"», 630559, Russia, Novosibirsk region, Koltsovo, Senior staff scientist of department of Biophysics and Ecological, tel. (383)330-64-50, e-mail: lapteva@vector.nsc.ru
A method of searching for a hidden point sources of impurities in the atmosphere having a different power and located at different points in space is proposed. The method is based on the using of the conjugate equation of turbulent diffusion. The effect of the number of control points used in measuring the concentration of admixture and the inevitable errors in the accuracy of measuring the concentration to the accuracy of parameters of the sources are done. The results of test calculations are provided.
Key words: boundary layer of the atmosphere, unknown point sources of admixture, conjugate equation.
Введение
Актуальность решения обратных задач обусловлена необходимостью поиска источника, например, промышленного предприятия, совершившего несанкционированный, скрытый выброс в атмосферу вредных для здоровья человека веществ. Не менее важной является задача определения местоположения источника и массы выброшенного вещества при возможном применением газов и биологически активных аэрозолей при террористических актах. В работах [1-5] подробно изучается эта проблема и предлагаются алгоритмы поиска точечных источников. В реальной ситуации неизвестным может быть и линейный источник. Примером такого источника может быть движущийся в городе автомобиль, движущийся поезд, беспилотный летательный аппарат и др. В этом случае возникает необходимость обобщить разработанные в [1-5] алгоритмы на случай линейного источника.
В данной работе предлагается алгоритм поиска местоположения неизвестного линейного источника и определения его характеристик.
Описание метода.
Метод основан на совместном использовании полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии примесей в атмосфере и соответствующего сопряженного уравнения. Идея использования сопряженного уравнения турбулентной диффузии в экологических задачах впервые предложена в [6].
Подробное описание этого метода применительно к алгоритму поиска точечных источников дано в работе [5]. Здесь отметим лишь особенности алгоритма, обусловленные поиском линейного источника. Необходимые для расчетов метеорологические поля вычисляется с использованием модели [7].
Выполнив интегрирование исходных уравнений по времени и по пространственным переменным с учетом краевых условий с последующими математическими преобразованиями, подробно описанными в [5], получаем следующий функционал
Он связывает между собой измеренное значение интегральной концентрации D г|, h в точке с пространственными координатами т|, h , значения функции Грина в точках расположения искомого источника ^^y^z, и Q -массу выброшенного вещества. Функция Грина является решением сопряженного уравнения при задании для него в качестве входной информации измеренного значения интегральной концентрации D r\, h .В формуле (1) суммирование проводится по координатам всех точек линейного источника. Он образован набором рядом расположенных точечных источников, каждый из которых мгновенно выбрасывает количество вещества, равное Q, далее называемым линейным (удельным) расходом.
Очевидно, что функционал (1) будет равняться нулю при точном задании всех входящих в него величин. Это условие позволяет получить следующую систему алгебраических уравнений:
(2)
где Х1 - обобщенная координата {-и точки источника, т.е. Х1 = ^у^г^, -обобщенная координата к-й контрольной точки измерения концентрации, т.е. Як = ^к,г|к,11к . Суммирование в (2) проводится по всем значениям индекса {.
Для решения системы уравнений (2) и нахождения линейного источника (определение координат составляющих его точек и его линейный расход) был разработан следующий алгоритм. Пусть линейный источник состоит из I рядом расположенных точечных источников; К - число контрольных точек, в которых измеряется концентрация примесей. Предполагаем, что линейный источник расположен только в горизонтальной плоскости. Рассматриваем все варианты расположения источника в горизонтальной плоскости и все возможные размеры линейного источника: по 2 точки { - 2 , по три точки, по четыре точки и т.д. Пусть N - общее число таких теоретически возможных вариантов, а п -номер такого варианта. При известных значениях функции Грина в предполагаемых точках источника и измеренных значениях интегральной концентрации вещества в к -й контрольной точке из системы уравнений (2) вычисляем значение - возможное значение линейного расхода для п -го варианта источника и для к -ой контрольной точки. Такие вычисления выполняем для всех вариантов источника и для всех контрольных точек. Для каждого п -го варианта источника будем иметь К значений . Очевидно, что только в одном из N вариантов, в котором находится искомый источник, вычисленные таким образом значения будут одинаковые. Во всех остальных вариантах значения будут различными. Для каждого варианта источника вычисляем относительную погрешность 8П
5П = ХаЬБ ^пср - С)^
Опер = СОпкЗк.
В этих формулах суммирование производится по всем значениям индекса к. Очевидно, что для того значения п, где находится источник, величина 5П будет
минимальна. Соответствующее значение величины Рпср будет искомым значением линейного расхода источника, а соответствующий вариант источника (количество точек и их координаты) будет искомым источником.
Результаты и обсуждение.
Для проверки предложенного метода, алгоритмов и программ было проведено большое количество расчетов с различной длиной линейного источника, с различным расположением его в пространстве и с различным количеством контрольных точек. Расчеты проводились следующим образом. По заданным
значениям параметров линейного источника моделировалось распространение примеси в атмосфере и вычислялись концентрации в заданных контрольных точках, которые интерпретировались как "измеренные". По этим значениям решалась обратная задача - из сопряженного уравнения вычислялась функция Грина и, по описанному выше алгоритму, находилось местоположение линейного источника (координаты составляющих его точек) и линейный расход вещества
В различных вариантах расчетов мгновенный линейный источник был расположен на высотах от 5 м до 100 м, расстояние между соседними точками источника задавалось равным 1 км и 100 м в зависимости от размеров рассмотренной области распространения примесей и от шагов разностной сетки. Длина источника изменялась от двух до семи шагов разностной сетки. Выброс веще-
-5
ства в каждой точке источника ("удельный расход") был задан равным 10 г. Контрольные точки, в которых проводилось "измерение" концентрации, располагались с подветренной стороны от источника на высоте 5 м. Расстояние между контрольными точками варьировалось от 1 шага разностной сетки до нескольких шагов. Было рассмотрено два варианта области распространения примесей в атмосфере. В первом варианте размеры области были 24 км х 24 км по горизонтали и 200 м по вертикали. Она покрывалась сеткой с шагами 1 км по горизонтали и 5 м по вертикали. Во втором варианте горизонтальные размеры были 2400 м х 2400 м и 200 м по вертикали с шагами сетки 100 м по горизонтали и 5 м по вертикали.
Было проведено три серии расчетов. В первой серии вычисленные значения концентрации задавались точно, без погрешностей. Во второй и третьей сериях вычисленные значения концентрации задавались с некоторыми погрешностями - исследовалось влияние неизбежных погрешностей в измеренных значениях концентрации на точность восстановления параметров источника.
В первой серии расчетов (96 вариантов) вычисленное местоположение источника и его удельный расход точно совпадали с исходными значениями. Эти результаты показывают, что ни в методе, ни в программе ошибок нет.
Во второй серии расчетов (576 вариантов) во всех контрольных точках задавались одинаковые относительные погрешности в значениях концентрации: 5%, 10% и 20%. В этом случае во всех вариантах относительная ошибка в линейном расходе соизмерима с задаваемой относительной погрешностью в концентрации. Координаты источника совпадали с исходными значениями.
В третьей серии расчетов (1700 вариантов) относительные погрешности в значениях концентрации задавались различными (5%, 10%, 20%) для разных контрольных точек и в различных комбинациях. Были рассмотрены варианты линейного источника с тремя, четырьмя и пятью точками и с различным расположением источника по отношению к направлению ветра. Количество контрольных точек равнялось 3 и 5. В таблице приведены результаты на примере 3 контрольных точек: относительные ошибки в определения линейного расхода вещества, суммарного выброса вещества, длины источника (количество со-
ставляющих его точек) и местоположения его (сдвиг центра источника по горизонтали).
Таблица
Результаты вычисленных значений параметров линейного источника
для трех контрольных точек
N Длина 20% > 5 > 0% 40% > 5 > 20% А > 40%
источника 100 м 1000 м 100 м 1000 м 100 м 1000 м
Относительная ошибка определения
линейного расхода, %
1 3 точки 39 63 11 15 50 22
2 4 точки 67 65 22 19 11 16
3 5 точек 35 64 30 15 35 21
Относительная ошибка определения
суммарного количества выброшенного вещества, %
4 3 точки 28 72 33 11 39 17
5 4 точки 33 69 28 14 39 17
6 5 точек 6 75 29 18 65 7
Относительная ошибка определения
длины источника, %
7 3 точки 22 91 0 6 78 3
8 4 точки 39 92 11 7 50 1
9 5 точек 23 79 12 6 65 15
Величина сдвига найденного источника
Нет сдвига Сдвиг на 1 шаг сетки Сдвиг на 2 и более шага
сетки
10 3 точки 12 83 44 17 44 0
11 4 точки 6 84 22 16 72 0
12 5 точек 6 90 12 10 82 0
Примечание. В таблице приведено количество вариантов (в %), ошибки которых, попадают в диапазоны 20%>5>0%, 40%>5>20% и 5>40% при использовании разностной сетки с шагом 100 м и 1000 м. Для расчетов 10 - 12 приведено количество вариантов (в %), в которых наблюдается сдвиг источника на заданную величину.
Относительные ошибки линейного расхода примеси, суммарного количества выброшенного вещества и точность определения длины источника практически не зависят от количества точек, составляющих линейный источник.
При относительной ошибке в значениях концентрации, находящейся в пределах 0%-20%, точность определения первых трех характеристик источника для шага 100 м выше, чем для шага сетки 1000 м. А для относительной ошибки больше 20%, точность для шага 100 м меньше, чем для шага сетки 1000 м.
Точность определения местоположения источника (величина его пространственного сдвига) для ошибки в пределах 0%-20% существенно меньше для шага сетки 100 м, чем для шага сетки 1000 м. А для значений ошибки
больше 20% точность определения местоположения источника существенно меньше для шага сетки 1000 м, чем для шага сетки 100 м.
Для пяти контрольных точек точность вычисления всех параметров источника существенно выше, чем для трех контрольных точек и примерно одинаковая как для шага разностной сетки 1000 м, так и для шага 100 м.
Выводы
Предложен математический метод поиска неизвестного линейного источника примесей в пограничном слое атмосферы. Он является устойчивым по отношению к неизбежным погрешностям в измеренных значениях концентрации. Относительные ошибки в определении линейного расхода вещества и его суммарного количества по порядку величины совпадают с относительными погрешностями концентраций, а ошибки определения местоположения и длины источника в большинстве случаев не превосходят одного - двух пространственных шагов разностной сетки. Очевидно, такую точность результатов можно считать вполне удовлетворительной.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Han Young-Ji, Holsen T.M., Hopke P.K., Cheong Jang-Pyo, Kim Ho, Seung-Muk Yi. Identification of source locations for atmospheric dry deposition of heavy metals during yellow-sand events in Seoul, Korea in 1998 using hybrid receptor models // Atmospheric Environment. -2004. - № 38. - P. 5353-5361.
2. Wimolwattanapunn W., Hopke P. K., Pongkiatkul P. Source apportionment and potential source locations of PM25and PM25-10 at residential sites in metropolitan Bangkok // Atmospheric Pollution Research. - 2011. - V 2. - № 2. - P.172-181.
3. Панасенко Е.А., Старченко А.В. Определение городских районов-загрязнителей атмосферного воздуха по данным наблюдений // Оптика атмосферы и океана. - 2009. - Т. 22. -№ 03. -С. 279-283.
4. Пененко В.В., Цветова Е.А. Моделирование процессов переноса примесей в прямых и обратных задачах климатоэкологического мониторинга и прогнозирования // Оптика атмосферы и океана. - 1999. - Т. 12. - № 06. - С. 482-487.
5. Десятков Б.М., Лаптева Н.А., Шабанов А.Н. Математический метод поиска в атмосфере неизвестных точечных источников газов и аэрозолей // Оптика атмосферы и океана. -2015. - Т. 28. - № 02. - С. 159-162.
6. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М: Наука, 1982. - 320 с.
7. Десятков Б.М., Сарманаев С.Р., Бородулин А.И. Численно-аналитическая модель переноса аэрозолей в термически стратифицированном пограничном слое атмосферы // Оптика атмосферы и океана. - 1996. - Т. 9. - № 6. - С. 815-820.
© Б. М. Десятков, Н. А. Лаптева, 2016
