CC BY
52
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2008. — № 2(17). — С. 210—214
УДК 517.956.47:519.642.5
ЭКСПРЕСС-КОНТРОЛЬ ЗА ИСТОЧНИКОМ ЗАГРЯЗНЕНИЯ АТМОСФЕРЫ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
А. А. Чубатов, В. Н. Кармазин
Кубанский государственный университет, 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149.
E-mails: chaa@inbox.ru, karmazin@kubsu.ru
Предлагается подход, позволяющий последовательно оценивать интенсивность действия источника загрязнения атмосферы на основе данных измерений концентрации примеси в нескольких стационарных пунктах контроля. Обратная задача решалась методом последовательной функциональной аппроксимации. Решение представлено в виде цифрового фильтра.
Ключевые слова: обратная задача, некорректная задача, устойчивость, регуляризация, последовательная функциональная аппроксимация, загрязнение атмосферы, уравнение турбулентной диффузии.
Введение. Для описания процессов распространения примеси в атмосфере используем двумерное линейное уравнение турбулентной диффузии [1] с однородными начальным и граничными условиями:
I + IX („,) + dy (.,q) = dx (k,dq) +1 (K,I) + f(x. y) • get), (D
где q = q(x,y,t) —интегральная по высоте концентрация примеси, (v,; vy) — вектор скорости ветра, (K,; K,) —вектор коэффициентов турбулентной диффузии, f (x,y) —функция, характеризующая пространственное расположение источника загрязнения, g(t) —интенсивность действия источника.
Обратная задача идентификации интенсивности выбросов источника состоит в последовательном определении функции g(t) по данным измерений концентрации в стационарных пунктах контроля, расположенных в точках (xj,yj), j = 1, 2,.... J. Измерения проводятся через промежутки времени At. Будем считать, что ошибка замеров концентрации аддитивна:
Cji = q(xj, yj,ti) + S • Y,
где Cji — концентрация, измеренная j-тым датчиком в момент времени ti = = i-At, S — среднеквадратичная ошибка измерений датчиков, y — нормальная случайная величина (M(y) = 0, D(y) = 1).
Обратная задача для источника характеризуется неустойчивостью решения к погрешностям замеров концентрации и требует специальных методов решения [2-4]. Для решения задачи использовались методы шаговой регуляризации и последовательной функциональной аппроксимации [3, 4].
1. Метод последовательной функциональной аппроксимации. Линейность задачи (1) позволяет воспользоваться численным аналогом теоремы Дюаме-
Чубатов Андрей Алексеевич — аспирант кафедры прикладной математики Кубанского государственного университета.
Кармазин Владимир Николаевич — профессор кафедры прикладной математики Кубанского государственного университета; к.ф.-м.н., доцент.
ля:
Я(хИ ,УЦ Л) = д{Ьп) ' (^хЦ ,У] Л-п+1) - ,уу Л-га)) ,
(2)
п=1
где Q(x,y,t) —решение прямой задачи (1) при д(Ь) = 1 и однородных начальном и граничных условиях.
Введём обозначения:
9(хи,УЦЛг) = Ц Q(xj,Уц,и) = Фц, фц(¿+1) - Фи = Афцг-
Величина фцг называется ступенчатым коэффициентом чувствительности, а величина Афцг — импульсным коэффициентом чувствительности.
Пусть д^) принимает на каждом промежутке [(Ж — 1) ■ Аt^, N ■ А^ постоянное значение дм. Считая д1,д2,---,дм-1 известными величинами, вычисленными на предыдущих шагах, оценим дм. Для придания устойчивости решению обратной задачи рассмотрим g(t) на нескольких (г) временных промежутках сразу. Будем считать, что дм , дм+1, - - - , дм+г—1 связаны некоторой функциональной зависимостью. При г = 1 получается метод шаговой регуляризации.
Используя (2) для моментов времени tN , tN+1, - - - ,tN+г—1, запишем матричное уравнение
Р = Q|g=o + ф ■ б, (3)
где Р, Q|g=0 € М^, Ф € М(г^)хг, б € Мг,
( \ ( Я1г\
Q
Q(N + 1)
V + г — 1) )
Я2г
б
I дм дм+1
Р1
g=o
( Qlg=o(0) \ Qlg=o(l)
Qlg=o(k)
) \ дм+г—1 )
I N—1 \
дп ■ Аф1(м+к—п)
п=1
V Qlg=o(г — 1) )
N — 1
дп ■ АфJ(м+к—п)
ф
/ Ф(0)
ф(1)
Ф(о)
V ф(г — 1) ф(г — 2)
п=1
Ф(к) =
ф(0)
АФ1к АФ2к
V АфJk )
Минимизируем сумму квадратов разностей между измеренными С и расчётными Q значениями концентрации:
5 = (С — Q)T ■ (С — Q) ^ ш1п,
С
(4)
где С € М'
r•J
( С(Ж) С(Ж + 1)
/ С1г \
С2г
С = ^^ , С(г) =
\ С(Ж + г — 1) / V )
Временно предположим, что дм+1,дм+2,---,дм+г—1 выражаются через некоторую функциональную зависимость от дм и дм—1,дм—2, - - - , дм—р, оце-
ним единственную неизвестную дм и перейдем к следующему шагу, предполагая зависимость д{м+1)+1 ,д{м+1)+2,... ,д(М+1)+г-1 от д(м+1) и д(м+1)-1 ,д(м+1)-2, • • • ,д(м+1)-р•
Пусть эта функциональная зависимость имеет вид
( дм-1 \ С = А ■ дм + В ■ Со, Со = дм-2
V дм -р )
(5)
где А € Мг, В € Мгхр, для обеспечения условия = дм при любом виде функциональной зависимости А = 1, В1П = 0.
Нами рассмотрен простейший случай — в предположении постоянства д(Ь) в течение г последовательных промежутков времени
дм = дм+1 = ••• = дм+т-ъ (6)
а также случай линейной зависимости между дм-1 ,дм ,дм+1, • • • ,дм+г-1:
дм+г-1 = дм + (г - 1) ■ (дм - дм-1) = г ■ дм + (1 - г) ■ дм-1. (7)
С учётом (5) и (3) решение задачи (4) имеет вид
дм = ((Ф ■ А)т ■ (Ф ■ А))-1 ■ (Ф ■ А)т ■ (С - д|ё=о - Ф ■ В ■ Со). (8)
Решение (8) является линейной функцией измеренных концентраций с^, г = 1, 2,... , N+г-1, и его можно представить в виде цифрового фильтра [4, 5]
м+г-1 з дм = £ £ ¡3(м-г) ■ 3
г=1 3=1
где (¿-г) — коэффициенты фильтра, ¡3(¿-г) = ^д, г = 1, 2,... , N + г - 1, 3 — решение (8) обратной задачи при с3> = 1; 3 = 0, г = г.
Решение в форме цифрового фильтра в вычислительном отношении эффективнее других форм, т. к. коэффициенты 3 вычисляются один раз.
2. Результаты вычислительных экспериментов. На ряде методических задач проведено множество численных экспериментов. Построены устойчивые численные приближения к искомым интенсивностям для источников различных типов (точечных, линейных, площадных), в том числе и при наличии ошибок измерений (5 = 0 ^ 0,03 ■ ^тах). Для учета качества восстановления интенсивности д(Ь) использовалась среднеквадратическая погрешность
\
мтах
1 £ (д((" -1) ■ Д*) - дпУ
П=1
Для каждого датчика существует критический шаг Д^[1] такой, что при шаге решения обратной задачи Дt > Д^[1] решение устойчиво, т.е. имеет место эффект шаговой регуляризации. Но возможности ее ограничены, т.к. для некоторых датчиков Д£^[1] может быть довольно большим, в результате
чего восстановленное решение загрубляется. При г = 1 с возрастанием наблюдается ослабление зависимости величины ас от параметра 5 (см. рис. 1). При использовании нескольких датчиков (7 > 1) датчик с меньшим Д^[1] имеет преобладающее влияние. Использование двух датчиков с одинаковыми Д^[1] улучшает результат по сравнению с использованием одного датчика.
Желание повысить точность восстановления интенсивности, уменьшая шаг по времени, приводит к неустойчивости решения обратной задачи. Использование функциональной аппроксимации с несколькими последовательными шагами по времени (г > 1) позволяет получать устойчивые оценки интенсивности при Д£ < Д£^[1]. Например, при г = 3 приемлемые результаты получаются при шаге по времени Д^[э] = Д^[1]/4 (см. табл.).
Примерные значения Aist[r] для некоторых r
r 1 2 3 4 6
Atst[r] Atst[1] Atst[1]/3 Atst[i]/4 Atst[1]/6 Atst[i]/10
В рамках проведённых экспериментов не обнаружено существенных различий при использовании функциональных зависимостей (6) и (7).
При At = const с возрастанием r влияние параметра 5 на величину ас ослабевает и при определённом r = rc величина ас практически не зависит от 5 € [0;0,03 ■ qmax] (см. рис. 2).
Ai8t[1] = 0,010 г = 1
At = 0,025 Aist[1] = 0,050
At = 0,010 At = 0,012 At = 0,016
0,01 0,02 0,03
<5/® max
Рис. 1. Зависимость ас от At и 5 при r =1
0,01 0,02 S/q max
Рис. 2. Зависимость ас от r и 5 при At = const = Atst[i]/2
Анализ результатов численных экспериментов позволяет сделать вывод, что для пары чисел (At/Atst[i, 5), At/Atst[i € [0,1; 1], 5 € [0; 0,03 ■ qmax] можно подобрать r, при котором погрешность восстановления интенсивности минимальна. В этой связи актуальна разработка алгоритмических методов выбора параметра r, обеспечивающего получение устойчивых оценок интенсивности.
В рассмотренном методе информация о замерах концентрации с датчиков усваивается последовательно, что позволяет организовать on-line контроль за выбросами загрязнений из источника в атмосферу.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и администрации Краснодарского края (проект № 06-01-96643).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Марчук, Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды [Текст] / Г. И. Марчук. —М.: Наука, 1982.—320 с.
2. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач [Текст] / А. Н. Тихонов, В. Я. Ар-сенин. — М.: Наука, 1986.—286 с.
3. Алифанов, О. М. Обратные задачи теплообмена [Текст] / О. М. Алифанов.—М.: Машиностроение, 1988. — 280 с. — ISBN 5-217-00134-8.
4. Бек, Дж. Некорректные обратные задачи теплопроводности: Пер. с англ. [Текст] / Дж. Бек, Б. Блакуэлл, С. Чент-Клэр, мл. — М.: Мир, 1989.— 312 с.—ISBN 5-030009140.
5. Хемминг, Р. В. Цифровые фильтры: Пер. с англ. [Текст] / Р. В. Хемминг. — М.: Советское радио, 1980. — 224 с.
Поступила в редакцию 15/VII/2008; в окончательном варианте — 27/X/2008.
MSC: 90C39, 90C15
EXPRESS-CONTROL OF ATMOSPHERIC POLLUTION SOURCE ON THE BASIS OF SERIAL FUNCTIONAL SPECIFICATION
A. A. Chubatov, V. N. Karmazin
Kuban State University, //350040, Krasnodar, Stavropolskaya st., 149. E-mails: chaa@inbox.ru, karmazin@kubsu.ru
The approach described allows to estimate the intensity of atmospheric pollution source step-by step on the basis of impurities concentration measurements in several stationary control points. The inverse problem was solved with the help of sequential functional specification method. The solution is presented in the form of a digital filter.
Key words: inverse problem, ill-posed problem, stability, regularization, function specification method, sequential functional approximation, atmospheric pollution, turbulent diffusion equation.
Original article submitted 15/VII/2008; revision submitted 27/X/2008.
Chubatov Andrey Alexeevich, Post graduate student, Dept. of applied mathematics of Kuban State University.
Karmazin Vladimir Nikolaevich, Ph. D. (Phis. & Math.) Prof., Dept. of applied mathematics of Kuban State University.
