Математические модели задач упорядочения работ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Интенсификация кавитационного воздействия в результате схлопывания скопления пузырьков под действием акустического поля рассматривается в работе [6]; технологическая реализация данного явления опробована авторами [7]; достижения гидродинамической кавитационной технологии подробно излагаются в книге [8]. В общем случае кавитационные пузырьки растут из газообразных или твердых ядер радиусом от нескольких микрометров до максимального радиуса, достигающего 1 мм. При атмосферном давлении время схлопывания таких каверн в воде составляет от 10-8 до 10-4 с [6], что согласуется с полученными результатами.

Литература

1. Кнэпп, Р. Кавитация: пер. с англ. / Р. Кнэпп, Дж. Дейли, Ф. Хэммит; под ред. В.И. Полежаева. - М.: Мир, 1974. - 678 с.

2. Звездин, А.К. Возбуждение импульсной акустической кавитации / А.К. Звездин, А.И. Зимин // Гидродинамика и акустика одно- и двухфазных потоков. - Новосибирск, 1983. - С. 92-97.

3. Миниович, И.Я. Гидродинамические источники звука / И.Я. Миниович, А.Д. Перник, В.С. Петровский. -Л.: Судостроение, 1972. - 480 с.

4. Балабышко, А.М. Гидромеханическое диспергирование / А.М. Балабышко, А.И. Зимин, В.П. Ружицкий. -М.: Наука, 1998. - 331 с.

5. Кедринский, В.К. Гидродинамика взрыва: эксперимент и модели / В.К. Кедринский. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. - 435 с.

6. Пирс, К. Эрозия: пер. с англ. / под ред. К. Приса, Ю.В. Полежаева. - М.: Мир, 1982. - 464 с.

7. Мальцев, Л.И. Пузырьковая кавитация и ее использование в технологиях / Л.И. Мальцев, Н.В. Малых, В.М. Петров [и др.] // High speed hydrodynamics and Numeriacal Simulation: Proceedings of the Third International Summer Scientific Workshop. - Kemerovo: ИНТ, 2006. - С. 155-160.

8. Ивченко, В.М. Кавитационная технология / В.М. Ивченко, В.А. Кулагин, А.Ф. Немчин. - Красноярск: Изд-во КГУ, 1990. - 200 с.

----------♦'------------

УДК 51 Н.П. Воробович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ УПОРЯДОЧЕНИЯ РАБОТ

В работе представлен комплекс математических моделей задач упорядочения работ. Эти модели используются для разработки оптимальных календарных планов в строительных организациях. Представленный комплекс математических моделей может быть использован для создания различных автоматизированных систем поддержки принятия решений (СППР) для организаций строительной отрасли.

Введение

Согласованная работа всех участников реализации строительного проекта невозможна без построения единого календарного плана. Рационально составленный календарный план является необходимым условием успешного хода работ на стройках и рентабельного функционирования всех организаций - участников реализации проекта.

Задачи календарного планирования являются фундаментом для моделирования производственной деятельности всех организаций данного проекта. Поэтому календарное планирование - один из основных, наиболее сложных, трудоемких и ответственных комплексов задач по управлению проектом. От того, по какому календарному плану работает организация, зависят ритмичность выпуска продукции, длительность производственного цикла, объем незавершенного производства, себестоимость продукции и, наконец, вся экономика производственно-хозяйственной деятельности организации.

Среди комплекса задач календарного планирования важное место занимают различные задачи упорядочения работ. В данной работе представлены математические модели некоторых задач упорядочения работ.

1. Многоресурсная задача упорядочения работ

Строительная организация; строительство объекта, состоящего из множества работ J, выполнение которых требует наличия нескладируемых ресурсов множества Н Работа ] характеризуется продолжительностью а■, количеством привлекаемого Н-го ресурса Ь.к вида к и директивным сроком

окончания . Работы частично упорядочены исходной технологией реализации Я. .

Организация характеризуется наличным уровнем Н-ресурса ск вида к. Необходимо определить

такую последовательность выполнения работ ху , чтобы общее количество привлекаемого работами Н-

ресурса каждого вида в любой момент времени не превышало имеющегося, чтобы выполнялись директивные сроки и исходная технология, а продолжительность реализации проекта была минимальной.

Вспомогательными переменными являются: г .- момент окончания работы ], и. - фронт работы i

(факт начала выполнения работы ] в момент окончания выполнения работы /).

Математическая модель представляет собой сложную зависимость

и может быть представлена в виде:

(х )= f (а ,Ь , с, ё , я ) 3 , N (1.1)

Е = | тах г. - тт (г. - а { )| ^ тт ; 1 ¡е 3 1 . е 3 1 г (1.2)

Т Ь и.. < с , 1 е 3, к е К ' . цк Ч к 1 е 3 (1.3)

г < е (1.4)

ш . Ъ Л1 к (1.5)

г. = тах {г¡хц 1 + а ., у е 3; 1 ¡е 3 ^ 1 1 1 (1.6)

иу = в [г1-г.) 3 (г. -г1 + а1) 1 е 3 (1.7).

Нужно минимизировать (1.2) при ограничениях (1.3)-(1.7).

Решение многоресурсной задачи упорядочения работ можно получить с помощью модификации алгоритма, подробно описанного для одноресурсной задачи, или эвристическими процедурами, использующими вспомогательные критерии (например, критерий критического пути). По сути дела указанный критерий представляет собой самостоятельную задачу математического программирования, формулировка которой приведена ниже.

2. Задача определения критического пути

Задача определения критического пути заключается в следующем.

Пусть технология строительства объекта задается множеством работ J, частично упорядоченных исходной технологией Я.. Работа / характеризуется продолжительностью а.. Требуется выбрать такое

х

подмножество работ (Ъ. определяет факт принадлежности работы / подмножеству), чтобы путь ,

заданный графом исходной технологии на этом подмножестве, имел наибольшую длину.

Математическая модель представляет собой зависимость

(х, Ъ)= f (а,Я) (2.1)

и может быть сформулирована следующим образом:

Т а;Ь; ^ тах ; (2.2)

1е1

'Ч

Тх = ъ, . е/; (2.3)

ху < . (2.4)

3. Задачи определения подкритического пути

Часто необходимо знать не только критические, но и подкритические пути (не более к работ, выполняемых одновременно). Математическая модель задачи определения подкритического пути имеет вид:

тах гг + ау г > ^ тах; (3.1)

геI

У иг] < к, г е I; (3.2)

&

хи < ’ г’ ] е 1; (3.3)

^ = тп ^ ^, ] е 1; (3.4)

^ ге1 ■' ■'

и] = в (г1 - гг) (гг - г1) + а1)’ г’>1 е 1; (3.5)

г = ^(х (х, 1 + х,<) > г е 1; (3.6)

X] е {0, 1}, г, 1 е I; (3.7)

г} е {0, 1}, ] е I. (3.8)

Основная трудность решения задач календарного планирования состоит в быстром (экспоненциальном) росте времени счета при увеличении размерности задачи. Одним из способов, позволяющих снизить размерность, является укрупнение (композиция) работ.

Композиция приводит к тому, что начало и окончание использования укрупненной работой М-ресурсов может отличаться от моментов начала и окончания работы. Это позволяет повысить эффективность решения благодаря совмещению работ.

4. Задача упорядочения укрупненных работ

Суть задачи упорядочения укрупненных работ заключается в следующем. Строительство объекта, состоящего из множества J укрупненных работ, осуществляет строительная организация, обладающая множеством N видов нескладируемых ресурсов. Укрупненная работа] характеризуется продолжительностью

а]0, количеством Ь^к и длительностью а^ привлекаемого М-го ресурса вида к и директивным сроком окончания dj. Момент окончания потребления работой \ ресурса к может быть меньше момента окончания

работы на величину . Работы частично упорядочены исходной технологией строительства

Я, і

строительная организация характеризуется количеством Ск ресурсов вида к.

Необходимо определить такую последовательность выполнения работ хук и такие моменты

окончания каждой работы г^ , чтобы общее количество привлекаемых ресурсов каждого вида в любой

момент времени не превышало мощности строительной организации, моменты окончания работ не превышали директивных сроков, искомая последовательность выполнения работ не нарушала исходной технологии, а продолжительность строительства объекта была минимальной. Математическую модель можно представить в виде:

(х, г ) = f (а, Ь, с, й, г, я), 3, N (4.1)

тах тах ги ^ тт; (4.2)

ге 3 кеМ

Е Ьіки ік ^ Ск , ІЄ 3, к Є М, (43)

Іе3

тах г* ^ йі ’ і е 3; (4.4)

ке^ і

Z xjk - 1 ^ j e J’ (45)

keN

xijk ^ sj, ^j e J, k e N; (4.6)

tj,k = max (tikxi/k)+ ajk > j e J, k e N; (4.7)

tjk = maNx (tik - zi/'k) 8 fcjAk) + zjk, j e J, k e N; (4.8)

uij = в (tk - tik) 8 (tlk - tjk + aJo), i, j e J, k e N; (4.9)

hj = Z (Zik + aj - Zjk - ajk )xijk > l,j e J■ (4.10)

keN

5. Задача упорядочения с переменной продолжительностью работ

Строительство объекта, состоящего из множества работ J, осуществляет строительная организация. Работа j характеризуется продолжительностью vj, количеством привлекаемого N-ресурса y j и директивным сроком окончания d ■. Продолжительность работы и количество привлекаемого ресурса связаны функциональной зависимостью vj = p(yj). Работы частично упорядочены исходной технологией

строительства sij. Строительная организация характеризуется количеством нескладируемого ресурса с.

Необходимо определить последовательность выполнения работ xij, продолжительность vj и

момент окончания tj каждой работы, чтобы общее количество привлекаемого нескладируемого ресурса в

любой момент времени не превышало имеющегося у строительной организации; моменты окончания работ не превышали директивных сроков и выполнялась исходная технология строительства, а продолжительность строительства объекта была минимальной.

Функциональные зависимости Vj = p(yj) могут быть точечными, линейными

(Vj = dj -ßjyj, je J), обратно пропорциональными (vj =Yу , je J) и т.д. Каждой точке

/ y i

(варианту) при этом соответствуют свои длительность и объем привлекаемого ресурса, а из всех вариантов выполнения работы выбирается только один:

v/ = Z aizi, j e J, (5.1)

jeJ

' (5.2)

Zj = 1 j e J. (5.3)

jeJi

Математическая модель задачи имеет вид:

(x, y, z, t) = f [a, b, c, d ,^(y)j; (5.4)

P = Imax t. - min(t. - v/ )l ^ min; (5.5)

L ieJ j ieJ j j J t

Z y3u4 -c, i’j e J; (5.6)

jeJ

v/ =ф(У/j e J; (5.7)

tj - dj, j e J; (5.8)

x// ^ s// , i.j e J; (5.9)

Z aizi• j e J,

jeJ

zZ bjzj, j e J,

jeJ

j = 1 j e J.

)+ х- ’ -е 7; (5.10)

ич = в^ - *1 Ъг - + у-1 г’-е 7 • (5.11)

6. Задача упорядочения работ, допускающих прерывания

Строительство объекта, состоящего из множества работ Л, осуществляет строительная организация. Работа ] характеризуется продолжительностью а-, количеством потребляемого М-го ресурса Ь- и

директивным сроком окончания d -. Работы частично упорядочены исходной технологией строительства

. Выполнение работы может прерываться. При этом работа ] распадается на множество подработ I-,

количество привлекаемого подработой нескладируемого ресурса равно соответствующему количеству

порождающей ее работы, а длительность подработ уг в сумме составляет продолжительность

порождающей их работы. Строительная организация характеризуется количеством нескладируемого

ресурса с.

Необходимо определить количество разрывов каждой работы, последовательность выполнения хг-, возникающих при этом подработ, моменты окончания гг и длительность уг каждой подработы, чтобы

общее количество привлекаемого подработами М-го ресурса в любой момент времени не превышало имеющегося у строительной организации, чтобы не нарушалась исходная технология и директивные сроки, а продолжительность строительства и число прерываний работ были минимальными.

Математическая модель задачи имеет вид:

(х, у, г, *) = / [а, Ь, с, d, я]; (6.1)

Р = тахг - + аУ zi ^ тт; уе 7 ■> i -е 7 (6.2)

ш ‘"у О VI -о'' (6.3)

ху - г г- ’ ^ ' е 7; (6.4)

= т (6.5)

У у- =аг, i','е 7; 'е 1- (6.6)

* = тах(г,ху)+ у-, 'е 7; г е 7 (6.7)

и * 1 г* 1 * + у т 5^ (6.8)

7. Задача упорядочения строительства объектов с учетом времени перемещения бригад

Строительство множества объектов осуществляет множество L строительных организаций (комплексных бригад). В строительстве объекта ] может участвовать не более qJ организаций. Объект ]

характеризуется продолжительностью строительства а-, объемом работ qJ и директивным сроком

окончания dJ. Строительная организация i характеризуется производительностью труда zi ресурсов и

фондом рабочего времени аг в плановом периоде. Известны время перемещения Т ]к организации с

объекта] на объект к и исходная технология строительства объектов я-к.

Необходимо определить продолжительность у у работы организации i на объекте ] и маршрут г-к

перемещения организации i с объекта ] на объект к с тем, чтобы соблюдались исходная технология, директивные сроки ввода объектов, не перерасходовался бы фонд рабочего времени организаций, был выполнен

весь объем работ на объектах, а время окончания работ всех организаций на объектах было минимальным Вспомогательной переменной является у¿у - время окончания работ организаций і на объекте к. Математическая модель задачи имеет вид:

(У, г) = / (а, й, г, g, д, s,т\ I, Ь;

max max tij ^ min;

іє L j є I J

max tij < dj,

lJ J

іє L

max tij < ai,

j є I j i

Z ziyij = 4j ’

іє L

= Z (tij + Tjk )zijk + yik ,

j є I

Z Zijk = sign Уік ,

j є I

Z Zijk = sign yj,

;є I; i є L;

j^ i ;

i є L, k є I /{j }; i є L, к є I; i є L, j є I;

кє I

ZZ4j- tik M'

)< gj, j^ 1;

іє L kє I

i є L, j, k є I.

(7.1)

(7.2)

(7.3)

(7.4)

(7.5)

(7.6)

(7.7)

(7.8)

(7.9) (7.10)

t

Выводы

В работе представлены математические модели:

- многоресурсной задачи упорядочения работ;

- задачи определения критического пути;

- задачи определения подкритического пути;

- задачи упорядочения укрупненных работ;

- задачи упорядочения с переменной продолжительностью работ;

- задачи упорядочения работ, допускающих прерывания;

- задачи упорядочения строительства объектов с учетом времени перемещения бригад.

Эти модели могут быть использованы при проектировании автоматизированных систем поддержки принятия решений (СППР) для различных организаций строительной отрасли.

Литература

1. Воробович, Н.П. Модели, методы и информационно-вычислительные технологии многопроектного управления в иерархических средах САПР и АСУ / Н.П. Воробович; СибГТУ. - М., 1998. - 273 с.

2. Воропаев, В.И. Модели и методы календарного планирования в автоматизированных системах управления строительством / В.И. Воропаев. - М.: Стройиздат, 1975.

3. Гусаков, А.А. Методы совершенствования организационно-технологической подготовки производства / А.А. Гусаков, Н.И. Ильин. - М.: Стройиздат, 1985.

♦