Математические модели задач календарного планирования в строительных организациях Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 69:51

Н.П. Воробович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ В СТРОИТЕЛЬНЫХ ОРГАНИЗАЦИЯХ

В работе представлен комплекс математических моделей задач календарного планирования в строительных организациях. Представленный комплекс математических моделей может быть использован для создания различных автоматизированных систем поддержки принятия решений (СППР) для организаций строительной отрасли.

Согласованная работа всех участников реализации строительного проекта не возможна без построения единого календарного плана. Рационально составленный календарный план является необходимым условием успешного хода работ на стройках. Задачи календарного планирования являются фундаментом для моделирования производственной деятельности всех строительных организаций. Поэтому календарное планирование - один из основных, наиболее сложных, трудоемких и ответственных комплексов задач по управлению строительными проектами.

Ниже представлен комплекс математических моделей задач календарного планирования, в создании которых принимал участие автор данной статьи.

1. Задача календарного планирования с переменной интенсивностью потребления складируемых и нескладируемых ресурсов

Заданы множество работ I, множество складируемых ресурсов ^ множество нескладируемых ресурсов Ы, плановый период Т. Работы выполняются одной организацией. Работа i характеризуется продолжительностью а, директивным сроком начала и окончания Дч, интенсивностью потребления складируемого сЧк (г) и нескладируемого ЪЧк (г) ресурса вида к. Если сЧк (г) < 0, то работа / потребляет ресурс к,

если (г)> 0 , то работа i поставляет ресурс к. Интенсивности потребления и поставки являются функциями времени.

На начало планового периода организация располагает ресурсом вида к в количестве qk . Предельные значения размеров складов Р, в том числе по ресурсам каждого вида дк заданы. Для нескладируемых

ресурсов параметры Р и qk представляют собой мощность организации. Нескладируемые ресурсы (люди,

механизмы) могут рассматриваться в качестве складируемых (переселение рабочих, расширение парка машин). При этом жилой фонд, гаражи рассматриваются в качестве складов. Множество работ частично

упорядочено исходной технологией sij. Если sij = 1, то работа ] начинается не раньше, чем оканчивается работа /; если sij > 1, то работа ] начинается позже, чем оканчивается работа /. Величина смещения начала работы ] относительно начала работы / равна aisij. Если о смещении работ ничего определенного сказать нельзя, то sij = 0.

Необходимо определить моменты начала работ, удовлетворяющие ресурсным ограничениям, ограничениям на объем складов, директивным срокам, исходной технологии и минимизирующие продолжительность выполнения работ. В качестве переменных принимаются: - момент начала работы /; - совме-

щение работ (аналогично ^); ук (г) - количество ресурса вида к, имеющееся в момент времени I Математическая модель задачи имеет вид

Введение

(1.1)

Р = шах(^. + аі) ^ тіп;

(1.2)

X ьк ^- гз +аз)- ьк(* )> к е ^ ’ 1 е Т;

,/е/

Е|Есзк(?г- - 1з + аз)й = ^к)-цк, ке 8?е Т;

зе о

тах (г1 + а1х1] )щп ху = I/,

1е1 ■'

й/ -1/ -1з, з е I,

3 е 1;

0 - П М-Чк, к е 8, *е Т>

(*)- ^ г е Т,

ке8

X/ > , I, 3 е 1,

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

(1.9)

2. Задача распределения планового задания по исполнителям и периодам планирования Имеется множество кварталов года I и строительных управлений (СУ) J, входящих в трест. Объединение устанавливает тресту план на год в объемном выражении б с разбивкой по кварталам Ь . Исходя из

мощности СУ и других факторов, трест рассчитывает годовые планы строительных управлений а■ и собирает выполненные СУ поквартальные разбивки их годовых планов.

Тресту необходимо уточнить объемы работ х3-, выполняемые строительным управлением ] в квартале /, не нарушая сделанной ранее разбивки годового плана по строительным управлениям и полученной от объединения разбивки годового плана по кварталам, чтобы величина уточнений была минимальной. Математическая модель задачи имеет вид

тах тах

ге1 /еЗ

х3 - с3

1е1

X хз = Ь ’ 1е 1;

/ее

хи > 0, I е 1, 3 е ];

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

3. Задача формирования плана проектно-изыскательских работ для строительства будущих лет Имеется множество объектов I, множество видов продукции Р. Объект / характеризуется мощностью

ак по выпуску продукции вида к, сметной стоимостью Ь, в том числе стоимостью проектноизыскательских работ , стоимостью строительно-монтажных работ 11 и стоимостью работ на этапе ввода объектов в эксплуатацию с/ .

Известны: потребность в мощностях gk, выпускающих продукцию вида к, мощности строительных z и проектных ц организаций, а также объемы капитальных вложений р в целом.

Необходимо определить долю работ Хг , выполняемых по объекту i в плановом периоде с тем, чтобы

задания по вводу мощностей были выполнены при ограничениях на объемы капитальных вложений и мощности проектных и строительно-монтажных организаций, а общий приоритет объектов, планируемых к освоению, был максимизирован. Вспомогательными переменными являются у- - ввод в действие объекта i в

плановом периоде, - доля проектных и I- - доля строительно-монтажных работ, выполняемых в плановом периоде для объекта i.

Математическая модель задачи имеет вид

(х) = / (а, Ь, й, g, Р, д), I, Р; (3.1)

Е С1х ^ т1п; -е1 (3.2)

Е ^ gk, к е р; -е I (3.3)

ЕЬ-х - р ; -е1 (3.4)

Е— д ; 1е1 (3.5)

Е ^-1; -е.1 (3.6)

н 1 II г е I; (3.7)

+ - х\- к - si - х- - е I; (3.8)

У = X + ^ - К - Х\ г е I; (3.9) (3.10)

2^ ’ 0 - х1 — 1.

4. Задача формирования производственной программы организации с учетом динамики мощности по временным периодам

Имеется множество упорядоченных периодов J (лет, кварталов) и множество объектов I. Каждый объект i характеризуется приоритетом рг, продолжительностью строительства аг, интенсивностью потребления ресурса Ьг и директивным сроком окончания . Каждый временной период]характеризуется объемом ресурса С ■ и продолжительностью ^. Объем работ, выполненный в текущем периоде (задельное

строительство) ы1п, известен.

Необходимо определить, в каком периоде начинать строительство каждого объекта и в каком объеме, с тем, чтобы интенсивность потребления ресурса на всех объектах не превышала заданной в данном периоде, штрафы за срыв директивных сроков были минимальными, а количество возведенных объектов - максимально.

В качестве переменной выбирается хц - продолжительность строительства объекта i в периоде/

Математическая модель имеет вид

(х) = f (a, b, c, d, e, q), I, J; (4.1)

I

is I

m.ax ]в(хц - di)] + a хы

jsJ\{n} '

I Xij < ai, i € 1; (4.3)

j€J

I bixij < cj, j € J; (4.4)

is I

в(хи -e j)=^U, xi, j+i i i€ 1.j € J \{n}; (4.5)

j#(хг,j-1 - cj) < q, i€ 1,j € J; (4.6)

ai

n = max J. (4.7)

5. Задача формирования планов подрядных работ строительно-монтажных организаций методами теории игр

Имеется множество объектов строительства I множество строительных организаций L, подчиненных тресту, и множество видов строительства N. Объект j характеризуется сметной стоимостью С j, приорите-

том

l ■, продолжительностью строительства a j, директивным сроком ввода d ■ и потребностью у. в ре-

сурсах вида к. Последовательность строительства объекта частично упорядочена графом ЬИ. Строительная организация I характеризуется количеством ресурса м?ы вида к. Трест имеет резерв ресурса вида к.

Работы на объекте могут вестись только одной организацией, одна организация может одновременно строить несколько объектов. Целевая функция организации включает в себя три критерия. Первый отражает стремление организации увеличить объем ресурсов за счет резерва треста, второй - заинтересованность организации наиболее выгодные объекты с точки зрения разницы между сметной стоимостью объекта и стоимостью затраченных ресурсов, третий - минимизирует штраф за срыв директивных сроков ввода объектов. Целевая функция треста максимизирует общий приоритет строящихся объектов. Параметры а Д 7 представляют собой коэффициенты линейных сверток критериев целевой функции, ресурсов, нормативов затрат и сметной стоимости объектов.

Процесс планирования представляет собой игру с непротивоположными интересами между трестом и строительными организациями. Q - множество ходов игры (в данном случае | Q | =3). Первым ходом организация I сообщает тресту оценки ^ имеющихся у нее ресурсов вида к. Вторым ходом трест включает

т-2 2

хц в план организации I объект ] и выдает ей дополнительные ресурсы вида к в количестве Zkl. Производственная функция предполагается линейной с коэффициентом Я. Третьим ходом организация I выбирает

3 3

реализацию плана уц, последовательность строительства объектов иц и сроки начала строительства

^ ч, обеспечивающие выполнение принятой реализации при заданных ресурсах.

3

Необходимо выбрать рациональные решения с позиций одной из организаций, треста или постороннего наблюдателя, анализирующего эффективность функционирования хозяйственного механизма системы.

л т

Параметр Цп представляет собой факт изменения переменной п на ходе т.

Математическая модель задачи имеет вид

fo=Z1Z у? ^ min’ т=max Q;

js/ leL

___/

m

'k^kl' LA'2 keW je/

fi = «i ZAz? + «2Z cj -Yj -Zfr r

k kj

V keW У

у?

■ «3, Z jjj - ^ j) ^ max, l e L, m = max Q;

(5.1)

(5.2)

3.

jeI

Z j? A- tm + ^ ) l e К, m e Q; (5.3)

je / ke W

Z Z?i < Vk ’ k e W m e Q; (5.4)

leL

Z x? - 1, j e I, m e Q; (5.5)

leL

i'm = max (tm^ + at), i, j e /, m e Q ; (5.6)

ZymV(tm - tmШ -';m + a1)< wt, + z?, k e W, l e L,me Q; (5.7)

je/

s(ym -x?)<s(tm -rfj) t e L, j e /,me Q; (5.8)

Z у” < 1 1е 7, т е Q; (5.9)

1еЬ

и” > , г, 1 е 7, т е б ; (5.10)

Р = {р”|те б,пе *}={*”,х”,г”,у”,и”}; (5.11)

(sign (р” - р”-1 ))2 < д”, п е К, т е б. (5.12)

Для постановки в таком виде можно исследовать три стандартные задачи. Первая - задача анализа -состоит в том, чтобы на основании дополнительных критериев определить, хорошие или плохие значения параметров выбраны в модели. Вторая - задача синтеза - состоит в том, чтобы определить наилучшие значения параметров для данной двухуровневой системы. Третью задачу - решение игры - можно разбить на две подзадачи. Первая подзадача заключается в том, чтобы рассмотреть игру с позиций центра, а именно, какие планы надо дать организациям и как распределить между ними дополнительные ресурсы, чтобы максимизировать целевую функцию треста. Вторая подзадача рассматривает игру с позиции одной организации, а именно, какие оценки своих ресурсов нужно сообщить тресту, какие реализации планов и последовательности строительства объектов выбрать, чтобы максимизировать целевую функцию этой организации. Каждая из перечисленных задач требует разработки своих методов решения, соответствующих уточнений постановки и алгоритмического аппарата.

6. Задача объемно-календарного планирования

Сетевая модель проекта включает в себя некоторое множество технологически упорядоченных работ. По проекту заданы: директивный срок завершения; ранний срок начала; технология реализации проекта в

виде классической сетевой модели . Организация, реализующая проект, ограничена в ресурсах. Требуется сформировать объемно-календарный план работ на какой-то интервал времени (год, квартал и т.д.). В качестве критерия оптимальности выбрана аритмия производственного процесса (Я).

Для каждой работы ^ и каждого момента времени ? (т < t < Т+) введем переменную х ц .

[ 1, если т = г %и [0, если т{ Ф г.

Т г+

ЕХ < 1

Л гг — • (6.1)

г=т г

Начало работы ] происходит не ранее чем через и не позднее чем через Ту моментов времени после начала работы i (уе Ок).

т+ Т +1г

, х«- Ех-

г=т~ г=-т-

Zх*- Ех, >0 (6.2)

г=т- г=-т-

Т Т+ТТ/

Е xit- Ех.» <0-

, хн- е х -

г—Т- г=Т1

т

(6.3)

ОФаниченхяна ресурсы рр (г)< Е ЕхЛ <Гкр!д(г)■ <а4>

Вводим переменные Укг, zkt. Ограничения на эти переменные:

Укг > Ре ( г) > ^ (6.5)

г

Уш > ЕЕ > 2кг (6.6)

геО„Т—t-1г

Переменные хи - булевые целочисленные хц е {0,1}. (6.7)

При ограничениях (6.1)-(6.6) минимизировать значение функции Н.

К = ЕЕ(Укт- гкт) ^ т*п • (68)

к т

Переменные модели (6.1)-(6.8) - целочисленны и, кроме того, модель имеет громадную размерность. Реализация численного метода ее решения основана на эвристических алгоритмах.

Рассмотренные экономико-математические модели позволили поставить задачи организационнотехнологической подготовки строительного производства и разработать методы их реализации.

Литература

1. Воробович, Н.П. Модели, методы и информационно-вычислительные технологии многопроектного управления в иерархических средах САПР и АСУ / Н.П. Воробович; Сиб. гос. технол. ун-т. - М., 1998. - 273 с. Деп. в ВИИНИТИ 21.08.98. N 2631-В98.

2. Воропаев, В.И. Модели и методы календарного планирования в автоматизированных системах управления строительством / В.И. Воропаев. - М.: Стройиздат, 1975.

3. Гусаков, А.А. Методы совершенствования организационно-технологической подготовки производства / А.А. Гусаков, Н.И. Ильин. - М.: Стройиздат, 1985.