CC BY
60
і2 = (хБ - х ')2 +(г,Б - і ')2; к2 =(хБ -х,)2 +(г,Б -г,с)2.
Для определения длин отрезков I и к необходимо найти координаты точки О'(Х', Y'). Она является серединой отрезка СК Следовательно,
х' = Хгс + ХК ; г= Г + УК
2 2
Длина отрезка к будет равна Ri без расстояния ОО ' (координаты точек О и О ' известны). Длина отрезка I определяется следующим образом:
і = -у]к2 + (Х,с - X')2 + (1с -1
Р и с. 3. Входная (выходная) кромка лопатки
По описанному алгоритму составлена программа для ЭВМ на языке Паскаль в среде Бе1рЫ 2.0. Рассчитаны слои лопаток для некоторых конкретных изделий.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1986.
УДК 621.365.5 Л. С Зимин
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВИБРОАКУСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Рассматриваются вопросы возникновения вибрации и шума мощных индукционных нагревателей, предназначенных для нагрева прямоугольных заготовок большого поперечного сечения, например, слябов.
Электромагнитные процессы в индукционной нагревательной установке (ИНУ) характеризуются не только выделением тепловой энергии, но и объёмной плотностью электромагнитного поля(ЭМП) и связанными с ней электродинамическими усилиями, приводящими к появлению вибраций и шума. Таким
образом, возникает задача оптимального проектирования вибростойких ИНУ, на основе исследования электродинамических и связанных с ними виброакустических процессов.
Электродинамические расчеты целесообразно проводить на численной математической модели, построенной с использованием метода связанных контуров и принципа возможных перемещений. При этом электродинамическое взаимодействие в системе “индуктор-металл” сводится к взаимодействию совокупности индуктивно связанных контуров, по одним из которых протекают токи индуктора, а по другим -вихревые токи. Электродинамические силы в такой расчетной системе можно определить через энергию ЭМП - Wм контуров Р и R
РЖм; Жм =1Р1К МРгк/2 . (1)
Формула (1) подразумевает двойное суммирование - по Р и по R, причем, если Р Ф R, то МРд -взаимоиндуктивность контуров, а в противном случае МРд , МРд - их собственные индуктивности.
Расчет акустического излучения любого объёмного тела следует рассматривать как связанную упругоакустическую задачу. Однако её решение в строгой математической постановке возможно только для ограниченного круга идеализированных колебательных систем. Поэтому с допустимой степенью упрощения поставленная задача разбивается на две: вначале рассчитываются колебания системы под действием известной электродинамической нагрузки без учета влияния среды, а затем определяется акустическое излучение при заданных колебаниях.
Для численного решения вибрационной задачи целесообразно использовать метод конечных элементов (МКЭ). С учетом форм границ индуктора, применены прямоугольные КЭ. Переход от системы с бесконечным числом параметров напряженно-деформированного состояния к системе с конечным числом степеней свободы осуществляется в результате ансамблирования КЭ, при этом математическая модель задачи представляется системой дифференциальных уравнений
[м] [Ж ], +[С][Ж], + ([К]+[Р],)[Ж], =[0],, (2)
где [ К ],[ м ],[ С] — матрицы жесткости, массы и демпфирования ансамбля КЭ; [ 0],,[ Р], — векторы центробежной и осевой нагрузок; [ Ж], — вектор узловых перемещений.
Для интегрирования системы (2) был выбран ©-метод Вилсона. В итоге на каждом временном шаге с помощью процедуры ЬБЬт-факторизации решается система линейных алгебраических уравнений относительно КЭ параметров вибраций в узлах расчетной сетки КЭ. Опросы звукового излучения мощных ИНУ являются довольно сложной задачей, которая характеризуется как особенностями самой ИНУ, так и помещением, где она расположена. В первом приближении решение акустической задачи можно получить с использованием одночленной формулы Г рина, по которой вычисляется потенциал У(х,у,2,т) звукового поля ограниченной пластины, если известны её виброперемещения W:
1 гг в-гкг д ¥
у=- ^^, р = — p0—, (3)
где ро - плотность среды; г- расстояние от элемента поверхности пластины ds до точки наблюдения; к = ю/с0 - волновое число; ю = 4л/; с0 - скорость звука в среде.
Выражения (3) могут служить первым приближением при решении поставленной задачи, когда ограничиваются рассмотрением вибрации лишь широкой грани индуктора. В этом случае акустическая мощность, излучаемая индуктором, будет равна
Ра = росо [ ¡¡Уэ (X, 2)ds
5
где р0с0 - акустическое сопротивление воздуха; 8 -площадь звукоизлучающей поверхности индуктора; Уэ (х,7) -функция распределения эффективной виброскорости индуктора, определяемая в результате интегрирования системы (2); 5 -коэффициент излучения индуктора.
Допуская, что широкая грань индуктора есть пластина с двумя жестко закрепленными ребрами и двумя свободными, то коэффициент излучения индуктора можно приближенно рассчитать по выражению
5=-П С°
$лМ
5»1,
4. "/. «Л;
*к
где /и -основная частота звука, излучаемая индуктором, равная удвоенной частоте питающего тока; П -периметр широкой грани индуктора; /к -критическая частота, при которой длина волны в материале индуктора равна длине звуковой волны в воздухе. Уровни акустической мощности Ьр и звукового давления Ь<! индуктора находятся по формулам
Ьр = ЬУ + 1° ^ + 1° 1ё8 + к°, (дБ), и = Ьр - 1° ^ - к°, (дБ)
(6)
где Ьу = 2°1ё
Ґ
/ v°
уровень виброскорости относительно порогового значения
Уо = 5.1°" см/с; ко -корректирующая поправка на атмосферные условия.
Вектор независимых параметров, определяющих виброакустические характеристики ИНУ, можно представить в виде
К = [х ,к ,а] єО к
(7)
где X = (Х1, *2,... ,*п ) - вектор геометрии окна индуктора и его числа витков; И = ( Ь^Ь^Ьз) - вектор
размера оболочки; а = (ц,а2,...,ап) -вектор формы оболочки индуктора. Состав вектора К может быть расширен путем введения дополнительных параметров, характеризующих новые признаки ИНУ и её элементов.
При проектировании вибростойкой конструкции индуктора вектор критериев оптимизации можно представить в виде
1 = ( 1\, 1б ), (8)
где 11=ЬР -уровень звуковой мощности ИНУ; 12 -полный вес индуктора; 13максимальное значение амплитуды перемещений обмотки индуктора; 14 -максимальное значение амплитуды виброскорости обмотки индуктора; 15 -электрический КПД индуктора; 16 -коэффициент мощности.
Критерии 11, 12, 13, 14 подлежат минимизации, а 15, 16 -максимизации, хотя их также можно привести к минимизируемым через потери активной и реактивной мощности. Совокупность математических моделей, описывающих поведение системы “индуктор-металл”, можно представить в виде операторного уравнения связи
(9)
где и г -вектор, отражающий пространство переменных состояния системы; 1 -размерность моделей.
Задача векторной оптимизации формулируется следующим образом: найти вектор конструктивных параметров ИНУ (7) с учетом ограничений (7), который минимизирует вектор-функционал (8) для объекта, описываемого оператором (9).
Решение поставленной задачи выполняется зондированием пространства параметров и критериев пробными точками с помощью ДПХ -последовательности.
