Математические модели систем управления „природа—техногеника“ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И СИСТЕМЫ

УДК 551.46.08

Р. И. Сольницев, Г. И. Коршунов

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ „ПРИРОДА—ТЕХНОГЕНИКА"

Рассматривается система управления „природа—техногеника", позволяющая снижать концентрацию загрязняющих веществ (ЗВ) в окружающей среде. Представлены математические модели объекта управления как распределенной в пространстве системы. Предлагаемые модели, являющиеся обобщением одномерного случая, описывают пространственное движение потоков ЗВ.

Ключевые слова: системы управления, математические модели, пространственный перенос загрязнений.

В работе [1] предложена концепция создания замкнутых систем управления „природа— техногеника" (ЗСУПТ) для широкого класса объектов (ТЭЦ промышленных предприятий), в которых требуется снижение концентрации загрязняющих веществ (ЗВ) техногенного характера. Концепция создания ЗСУПТ основана на минимизации „человеческого фактора", обеспечении неразрывности цепочки „мониторинг—очистка", сокращении потерь информации. Использование разработанного класса систем позволяет снизить экономические издержки, а также учесть упущенную выгоду [2]. Для оценки характеристик ЗСУПТ как систем автоматического управления (САУ) для одиночного источника ЗВ рассматриваются математические модели ЗСУПТ, основанные на анализе и детализации операторов отдельных звеньев ЗСУПТ [3] (см. рисунок).

На структурной схеме представлены операторы преобразования „вход—выход": Ь1 — переноса ЗВ от источника до точки измерения параметра, Ь2 — измерительного устройства, Ь3 — устройства преобразования, Ь4 — устройства управления, Ь5 — очистного агрегата с исполнительным устройством, х — возмущающее воздействие, у1— рассогласование, у2 — из* *

меряемая величина концентрации ЗВ, у2 — результат измерения параметра, у20 — его до**

пустимая величина, 5 — величина отклонения, у2 — преобразованный сигнал, и — сигнал управления, а — сигнал компенсации возмущения.

Если операторы ¿2—¿5, преобразующие входные сигналы в выходные, точно описаны линейными, нелинейными и вероятностными моделями с сосредоточенными параметрами [2, 3], то построение моделей, реализующих оператор ¿1, который отображает распределенный объект управления в процессах переноса ЗВ в воздухе, воде, почве, связано со значительными трудностями. Для описания этих процессов используется модель баланса между скоростью изменения значения концентрации ЗВ, составляющими этой скорости от конвекции, диффузии, мощности источника ЗВ и параметров их отвода природными и техногенными средствами. Известные модели такого баланса не позволяют строить математические модели „вход— выход", необходимые для последующего анализа и синтеза ЗСУПТ при пространственном переносе ЗВ. В статье [3] такая задача решена для одномерного случая, в настоящей работе она решается для математических моделей объекта управления в ЗСУПТ в трехмерном пространстве.

Применительно к теории САУ модели баланса представляются математическими моделями звеньев системы управления, являющихся объектом управления [4]. В рассматриваемом случае такие звенья позволяют привести математические модели с распределенными параметрами к форме „вход—выход", необходимой для решения классических задач анализа, синтеза и расчета САУ.

Используя предлагаемые в настоящей работе модели, можно оценить характеристики потоков ЗВ (от места их возникновения до точки измерения) и при решении обратной задачи.

При формализации процессов переноса обычно вводят следующие переменные [5, 6]:

1) С — концентрация /-го ЗВ, кг/м3 , она является скалярной функцией от пространственных координат и времени С(х, у, г, г), причем х = х(г), у = у(г), г = г(г); 2) I(х, у, г) — вектор-функция потока ЗВ, [кг/с]; 3) ] = СУ — плотность потока, кг/м2• с , У(х, у, г) — скорость потока; 4) Q(х, у, г, г) — масса выброса (сброса) ЗВ, [кг].

При выводе математических моделей переноса веществ в разных средах обычно применяют

— закон Фика

] = -В вгаёС, (1)

2

где В — тензор, представленный коэффициентами диффузии, [м /с],

— закон сохранения

^ ] = - ^, (2) йг

где р — плотность вещества. В практических приложениях вместо плотности р используют концентрацию (обычно понятие плотности используется для однородных сред, а понятие концентрации — для смесей).

Уравнения переноса на основе (1), (2) можно получить следующим образом. Рассмотрим полный дифференциал от функции С(х, у, г, г) в виде:

йС (х, у, г, г) = дСдх +СдУ (3)

йг дх дг ду дг дг дг дг

Здесь х(г), у (г), г (г) — временные функции переноса ЗВ в пространстве. Следовательно, при

т„ , ( йх(г) йу(г) йг (г) ^ условии несжимаемости вещества ЗВ в потоке V (г) = 1-,-,-I или

^ йг йг йг )

V = (Ух, Уу, Уг ) . Условие несжимаемости удовлетворяется для ЗСУПТ в рассматриваемой постановке задачи [1—3].

Тогда уравнение (3) можно представить в виде:

ЖС дС ТГ дС тг дС тг дС — = — Ух +—К, +—У2 +—. & дх ду д7 д*

ёС

В соответствии с законом сохранения-= ] и согласно (1),

Ж

= -ёгу (-В§гаёС).

Ж*

(4)

(5)

Полагая поток изотропным, а коэффициенты диффузии Вх, Ву, В2 в направлениях х, у, 7 постоянными, из уравнений (4), (5) найдем:

дС дС дС дС ^ д2С „ д2С ^ д2С

— +—V +—к, +—V = вх

2- + ВУ

•+в7

д* дх Л ду ' д2 л Л дх1 У ду1 ' д^ (6)

Представим обобщенное уравнение переноса для разных сред, в котором учтены интенсивность источника ЗВ и параметры нейтрализации веществ природными и техногенными средствами

дС „ дС „ дС „ дС ^ д2С ^ д2С ^ д2С

= -¥х--V

д* дх

Коэффициент К1,

у ду

1 '

3

м • с

- У7 — + В " д2 ~ дх

■ + Ву

2 + В7

+К& - КС.

(7)

' ду2 д72

определяет степень преобразования потока вещества в ЗВ

(например, топлива для теплоэнергоцентрали — в диоксид серы) и зависит от вида вещества и характера преобразований (например, режима горения топлива). При возрастании интенсивности потока величина К1 возрастает и на отдельных участках может быть аппроксимирована линейной функцией. Для разных видов вещества (например, топлива) значения К1 заданы в работах [5, 6].

Коэффициент К2, [1/с], определяет степень поглощения ЗВ как техногенными, так и природными средствами. Значение „техногенной" составляющей К2 определяется параметрами абсорбции, хемосорбции, адсорбции, термической нейтрализации и др. Для некоторых методов (например, абсорбции) зависимость К2 представляется аналитически, для других, например процессов хемосорбции и адсорбции, эмпирически. В работах [5, 6] приведены экспериментальные зависимости, представляющие монотонно возрастающую функцию. „Природная" составляющая зависит от метеорологических, химических и других внешних параметров и учитывается на основе усредненных статистических данных. В настоящей работе коэффициенты К1, К2 считаются постоянными величинами.

Уравнение (7) следует дополнить граничными и начальными условиями:

С(хо, Уo, ^ *) = Со(*оX С(х^7,*о) = = С ) дС(x, У, 7, *) = р ) дС(х У, 7 *) = р ) дС(х У, 7, *) = р )

= С0 (*Л-= р10 (*Л-= р20 (*Л-= р30 (*),

дх

х0 у0 70

ду

д7

х0 у0 70

V(xо, Уо, ТЪ *) = К0(*X С (Ц Я, Н, *) = С» (0, при х = Ц у = Я, 7 = Н,

х0 у0 70

У(Ц, Я, Н) = У» (*),

дС ( х, у, 7, *)

Ц, Я, Н

= Р2» (*X

дх

дС (х, у, 7, *)

д7

= Р1» (*),

дС ( х, у, 7, *)

ду

, Я, Н

\ь, Я, Н

= Рз» (*).

Далее его необходимо привести к виду „вход—выход", удобному для моделирования, анализа и синтеза ЗСУПТ как САУ [3].

Общее дифференциальное уравнение в частных производных (ДУЧП) второго порядка имеет вид

(

F

qj xb x25 xn 5

dq dq

dq д2 q д2 q d2 q d2 q ^

dxx &2 dxn dХ12 dx2 dxi dxk dxt

= 0,

(8)

n J

где q — искомая функция х1, х2,...,хп); х1, х2,..., хп — независимые переменные, а функ-

2

ция q задана в неявной форме. Обозначив = Pi, = р^, перепишем это уравнение:

дх/ дх о^

F (q, x15 x25 •••, xn 5 P15 P2' ••' Pn5 P115 P125 ••' Pnn ) = 0

(9)

В -U д2 q д f dqЛ

В случае г = k —2 = — J

-2 dx,

dx2

г \dxi j

дР ■ дР ■

' Pik 5 и получаем ДУЧП первого порядка по

дхг

дхг

отношению к функциям Р / (/ = 1, п ):

(

F

q5 x15 •••, xn5 P15 P25 • ••' Pn5

дР i

дР,

дx1

дх,

= 0^

n J

Применив это преобразование к уравнению (7)

+ D

д 2 С

dC дС дС дС ^ — + Vx — + Vv — + Vz — = Dx —-dt дх * ду дz дх:2

д 2 С

V а 2

ду

+ D

д 2 С

z _ + K1Q - K2С5

дz 2

получим

дР дР дР Dx -1 + Dy -V- + Dz = УХРХ + УуР2 + УР + Р4 + K2С - KQ дх ду дz

(10)

(11)

(12)

Попарно фиксируя (Р3, Р2 ), (Р, Р1), (Р р ), получим систему уравнений:

д1 = Вх (С+Ур + УуР2 + УР + Р4 - KlQ),

дР2

ду Dy дz D

D-(k2С + УуР + УxPl + УРз + Р4 -K1Q)

^(k2С + +У2Рз + УуР2 + УЛ + Р4 - K1Q) •

(13)

Представим эту систему в виде обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме (ОДУСФ) [7]. По переменной Р1 имеем:

dB

{УХРХ + УР + У2Рз + Р4 + K2С - KQ)

dx 1 •

(14)

Аналогичным образом поступаем с двумя другими уравнениями системы (13). С помощью таких уравнений характеристик [7] решение полевых задач, к которым и относится рассматриваемая здесь задача, сводится к интегрированию ОДУСФ. Найдем частные интегралы ОДУСФ, проинтегрировав (14):

где

а1 [1п (Р1 + Ъ )-1п (а1 Р10 + Ъ1)] = (x - xoX

«1 = D-, Ъ1 = D-(K2С + УуР2 + УzPз + Р4 - KQ).

(15)

(16)

Применив операцию потенцирования к (15), получим

1

Р = -

а

Мхо)(а1 Р10 + Ъ1) - Ъ1

(17)

Поскольку р = дС(X^У, 7, *) , то получим еще одно ДУЧП первого порядка, но теперь

дх

по отношению к искомой функции С(х, у, 7, *) :

дС_ дх

— оа\(х хо)

= е

Р10 + Ъ

с 1 И

_5_еа1(х-хо)

(18)

V а1 а1 У

Осуществив преобразование Лапласа к С(х, у, 7, *), Q(х, у, 7, *) как функциям *, най-

дем

дС (5, х, у, 7) дх

(

= а2 + С (5, х, у, 7)

Л

К2 + О.

V Вх Вх у

К

Q(5, х, у, 7) + Ъ2

В

(19)

где а2 = еа1(х хо)Р10, Ъ2 = —Р2 +—Р3, 5 — оператор Лапласа.

Ву В7

Приведем это уравнение к симметрической форме

дС (х, у, 7, 5)

(

С(х, у, 7, 5)

К2 ^

л

V Вх + Вх у

К

^х ^ 7, 5) + а2 + Ъ2

ёх

(20)

В

тогда частный интеграл будет:

С (х, у, 7,5) = — е( х-хо) аз Со (5) - ^ + ^ е( х-хо) аз.

а3 а3

(21)

Ъ3 = Q(х, У, 7,7) + а2 + Ъ2.

К2 5 , К

где а3 =--1--

3 Вх Вх " Вх

Аналогичные соотношения получаются при интегрировании двух других уравнений системы (13).

Раскрыв а3 , Ъ3, а2, Ъ2, а1, Ъ , найдем

(В+В )(х- хо)

С (х, у, 7, 5) = Со(5^Вх Вх У +

- V - В(х-хо) К1 у Р2 + Т7"Р3 + еВх Р10 -тт1 Q(х,у,7,5)

В

Вх

Вх

1

К2 5 +—

Вх Вх

1

5

■ + ■

. (22)

К1 + К

Вх Вх Вх Вх

В результате получим связи выходных функций, в данном случае С(х, у, 7, 5), с входными Со (5) параметрами и возмущающими воздействиями на объект управления (Кх, Ку, V, Вх, Ву, В2, К1, К2, Q). При этом может быть найдена модель объекта управления

в форме „вход—выход", что позволит получать оперативные оценки и прогноз концентраций ЗВ в рассматриваемом районе, в том числе трансграничных переносов.

Полученная обобщенная математическая модель может быть сведена к рассмотренным в работе [3] частным случаям. Например, рассматривая только конвекцию по координате х, из исходной системы (13) получим соотношение

dCixP + dCixP = _ dt x dx ^ 2

Соответствующее ОДУСФ — — = — = ■ dC

при

1 Vx KQ _ K2C

xt=0 = Xo,C(0, Xo) = Co, Q(0, Xo) = Qo, 0 < t < T, C

=l = c ( L, T ).

x

t=T

Из общего уравнения (22) найдем соответствующее уравнение „вход—выход"

К1

C(L, T) = Coе"KT _ k1 Qo (1 _ e"KT ). (23)

К2

Используя формулы (22), (23) и аналогичные им уравнения из системы (13), возможно проводить анализ, синтез и расчет ЗСУПТ как САУ, строить математические модели „вход— выход" при пространственном движении ЗВ в процессах переноса, в том числе трансграничного, и выполнять перспективные и ретроспективные оценки концентрации ЗВ. Предложенные модели не содержат ограничений на вид среды (воздух, вода, почва), поэтому они могут быть адаптированы к многим частным приложениям при условии определения коэффициентов К1 и К2 для рассмотренных сред. Приведенные модели применимы также для известных случаев гауссова распределения параметров точечных источников ЗВ.

список литературы

1. Solnitsev R. The instrumentation in human safety // ISA. South America région. Sao-Paolo, Brasil, 1995. Desembo. P. 412—415.

2. Сольницев Р. И., Коршунов Г. И. Инновационный проект „Замкнутая система управления природа— техногеника" // Изв. ГУАП. 2o11. № 1. С. 145—152.

3. Сольницев Р. И. Вопросы построения замкнутой системы управления „Природа—Техногеника" // Изв. ЛЭТИ. 2oo9. № 7. С. 21—32.

4. Теория автоматического управления / Под ред. В. В. Солодовникова. М.: Машиностроение, 1967.

5. Дульнев Г. Н. Тепло- и массообмен в радиоэлектронной аппаратуре. М.: Высш. школа, 1989.

6. Белов С. В., Барбинов Ф. А., Козьянов А. Ф. и др. Охрана окружающей среды. М.: Высш. школа, 199o.

7. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.—Л.: ГИТТЛ, 1951. Т. IV.

Сведения об авторах

Ремир Иосифович Сольницев — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный

университет аэрокосмического приборостроения, кафедра системного анализа и логистики; E-mail: remira7o@mail.ru Геннадий Иванович Коршунов — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный

университет аэрокосмического приборостроения, кафедра инноватики и управления качеством; E-mail: kgi@pantes.ru

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

инноватики и управления качеством 24.05.12 г.