Математические модели сетей массового обслуживания в виде «Вход-состояние-выход» Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЕТЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ В ВИДЕ «ВХОД-СОСТОЯНИЕ-ВЫХОД»

УДК 004.94

Елена Борисовна Захарикова,

аспирант кафедры «Математическое

обеспечение и применение ЭВМ»,

Пензенский государственный

университет

Тел.: (906) 399-95-84

Эл. почта: [email protected]

Представлены формулы для расчета характеристик систем массового обслуживания типа M/M/m/n. Предложен метод расчета характеристик узлов сетей массового обслуживания на основе определения интенсивностей входных потоков. Приведены примеры, иллюстрирующие данный метод с постоянной и скачкообразно изменяющейся интенсивностью входного потока. Показано, что при достаточно большой емкости буфера СМО типа M/M/1/n можно привести к СМО типа M/M/1/м.

Ключевые слова: система массового обслуживания, сеть массового обслуживания, интенсивности входных и выходных потоков, редеющий поток, стационарный режим, передаточная функция, система дифференциальных уравнений Колмогорова, функция Хэвисайда, теорема Берке.

Elena B. Zakharikova,

Post-graduate student, the Department of Software and Computer Application, Penza State University Tel.: (906) 399-95-84 E-mail: [email protected]

SYMBOLIC-FORM MODELS OF QUEUING NET IN THE FORM OF "INPUT - STATE - OUTPUT"

The formulae for calculating characteristics of queuing systems of M/M/m/n type are presented in the article. A method for calculating the characteristics of queuing networks nodes based on the determination of the intensities of the input streams is proposed. The examples that illustrate this method with a constant and stepwise changing of the intensity of the input streams are given. It is shown that the queuing systems of M/M/1/n type at sufficiently high buffer capacity can be led to queuing systems of M/M/1/ type.

Keywords: queuing system, queuing network, intensity of the input and output streams, thinning stream, stationary mode, transfer function, differential equation system of Kolmogorov, Heaviside function, Burke's theorem.

1. Введение

В ряде практических задач приходится встречаться с такой ситуацией, когда первоначальный поток требований, проходя через ряд последовательных обслуживающих приборов, теряет некоторую долю составляющих его элементов. Такой поток принято называть редеющим потоком [1]. Доказано, что пуассоновский входящий поток, редея случайным образом, образует пуассоновский поток, а поток потерь также является пуассоновским [2]. Таким образом, для проведения аналитического анализа экспоненциальной сети массового обслуживания (СеМО) можно независимо исследовать ее узлы, представляющие системы массового обслуживания (СМО) типа М/М/т/п. Для нахождения характеристик узлов СеМО необходимо рассчитать интенсивность входных потоков.

Динамические стохастические системы, которыми, в частности, являются СМО и СеМО, характеризуются параметрами, в общем случае зависящими от времени. Если система удовлетворяет условию эргодичности, то существует стационарный (установившийся) режим функционирования, при котором параметры не зависят от времени [3]. Такой режим и его характеристики представляют особый интерес при решении практических задач.

2. Расчет параметров систем массового обслуживания

Как известно, т-узловая СМО (т > 1), с п-местным буфером (п > 0), представляющая систему типа гибели - размножения, описывается системой линейных дифференциальных уравнений Колмогорова [3], решениями которой являются значения вероятностей состояний р0(0, А(0, ..., Рт+п(0. Кроме рассчитанных характеристик, работоспособность СМО оценивается следующими параметрами: нагрузкой, загрузкой, средним количеством заявок в системе, средним количеством заявок в очереди, средним временем пребывания заявок в системе, средним временем ожидания заявок в системе, средним временем обслуживания [4]. Удобно выразить эти параметры через входные параметры X, д, и значения вероятностей состояний СМО.

Рассмотрим одноузловую СМО с п-местным буфером (п > 0), структурная схема которой представлена на рис. 1.

А п и

Рис. 1. Структурная схема СМО типа M/M/1/n

Диаграмма интенсивностей переходов для СМО типа М/М/1/п в соответствии

с рис. 2 имеет вид:

А А

Рис. 2. Диаграмма интенсивностей переходов для СМО типа M/M/1/n

В стационарном режиме решение системы линейных уравнений имеет следующий вид [3]:

Pk = 7^+2 Рк'° * к * n 1 - р

(1)

1

где р - — - нагрузка, pk - вероятность нахождения системы в k-ом состоянии.

И

Загрузка находится по формуле:

n n

q _1 - Po pj pjp° _ i i n-1

PPo У РЯ Po Pi У Pi

_ j=1 _ i=0 _ Pi(1 - Pn)

Po Po Po

Среднее количество заявок в системе:

n n

Ne = £ kpk = Po £kpk.

k=0 k=0

Среднее количество заявок в очереди:

n n

No = -1 )pk = po X^k - l)pk-

k=2 k=2

Среднее время пребывания заявок в системе:

Tc =-

Nc

X кр^ po X kpk

к=0

к=0

- Po^ - Po) иС1 - Po) Среднее время ожидания заявок в системе:

n n

^(k - 1)рк p0^(k-l)pk

To =-

No

к=2

к=2

- Po) M(1 - Po) - Po) Среднее время обслуживания:

n n

X kpk Yjk - l)Pk

Tob = Tc - To =

k=0

k=2

V(1 - Po) V(1 - Po)

n

£Pk 1 1 k=1 = 1 - Po = 1

M(1 - Po ) M(1 - Po ) V

Рис. 3. Структурная схема СМО типа M/M/m/n

Диаграмма интенсивностей переходов для СМО типа М/М/т/п в соответствии с рис. 4 имеет вид:

(2)

Рис. 4. Диаграмма интенсивностей переходов для СМО типа М/М/т/п

В стационарном режиме решение системы линейных (3) уравнений имеет следующий вид [3]:

(4)

(5)

(6)

(7)

Pk =-

к!

,0 < к <>

1 -

m к m+1

+ Р--

k=0 к! m ■m! ! - р

m / \ 5 р ( р

pm+s

m! V m

■1 < 5 < n

1 -

m к m+1

+ P--

к=0 к! m ■ m! 1 — p

(8)

1

где р = — - нагрузка, рк, рт+1 - вероятности нахождения

И

системы в к-ом и (т + 5)-ом состояниях. Загрузка находится по формуле:

q =1 - Po = Х Pj■

м

Среднее количество заявок в системе:

Рассмотрим т-узловую СМО (т > 1) с «-местным буфером (п > 0), структурная схема которой представлена на рис. 3.

N = Х kPk •

к=0

Среднее количество заявок в очереди:

m+n

No = Х(к - ™)Рк •

(9)

(10)

(11)

к=m+1

Среднее время пребывания заявок в системе:

Tc = -

Nc

Z kp>

к=0

k

- Po ) mЛ1 - Po ) Среднее время ожидания заявок в системе:

(12)

To = ■

No

X(k - m)Pk

k =m+1

m"(i- Po ) m^(l - Po ) Среднее время обслуживания:

(13)

гп т ri tu t n

X kPk X(k - ™)Pk

Tob = Tc - To =

k=0

k =m+1

mp

p(l- po ) mp(l- Po )

m+n m-1

(m -1)^ Pk +X(k - l)Pk

mp

mb(l - Po )

n

m

n

m

l

+

3. Расчет параметров сетей массового обслуживания

Теперь определим интенсивность выходного потока.

Вероятностное разрежение простейшего потока заявок, при котором любая заявка случайным образом с некоторой вероятностью р исключается из потока независимо от того, исключены другие заявки или нет, приводит к образованию простейшего потока с интенсивностью X' = рХ, где X - интенсивность исходного потока. Поток исключенных заявок - тоже простейший с интенсивностью X" = (1 -р)Х [2].

Пусть на вход СМО М/М/1/п, функциональная схема которой представлена на рис. 5, подается пуассоновский поток с параметром X.

Рис. 5. Функциональная схема СМО типа М/М/1/п

Тогда у - интенсивность выходного потока, равная разности интенсивности входного потока и потока потерь [4]:

Ъ - ЪРп =

n-1

У = l(l - Pn )= ¿X Pi

(15)

Вычислим

n-1 n-1

i - p i —n+1p

i=o p

n n 1

Z pi = Z T-i

1=1 j- P Таким образом,

P1 = P

1 - P

1=i1 - P

Z

n-1

n+1 PJ' = pZ Pi

i=0

j-1 =

Z Pj n

lZ Pi=x~—="Z Pj ■

n-1

i=0

j =1

Или

y = "Z Pj = - Po ^ (16)

j=1

Передаточная функция в стационарном режиме имеет вид [5]:

W = У = ^-Pnl =! _ pir 11 n

(17)

[<h M

M

ЧЕн

Рис. 6. Функциональная схема СМО типа М/М/т/п

Тогда у - интенсивность выходного потока, равная разности интенсивности входного потока и потока потерь [4]:

1- lp„

Вычислим

n У'

m +n-\

У = - Pm+n )= Л X Pi i=0

(19)

Po =-

m k m+1

P + P_

1 -

s

k=0

k!

Pm

p I p_ m! I m

m+1

1 -

1 --

Pm

m . p ( p

m! I m

-Po-

m k

yp_ + p--

f-r! k! m • m! л p

k =0 1--

Таким образом,

l(l - Pm+n )= 1

m . p i p

1-

"Po

p-

mn p i p

= 1-

(

-Po = И

p-

m! I m

Po ■

Или

У = И

m / \n

p I p

m! V m

Po ■

(20)

Передаточная функция в стационарном режиме имеет Однако для упрощения структуры СеМО необходимо вид [5]: изображение Лапласа передаточной функции: / )

1 W = y = 1/1 - Pm+n) = ! - р (21)

, \ 1 \ 1 1 п (21)

L(W) = L(l - pn )= — L(pn). (18) 1 1

s

Однако для упрощения структуры СеМО необходимо Пусть на вход СМО М/М/m/n, функциональная схема изображение Лапласа передаточной функции: которой представлена на рис. 6, подается пуассоновский , \ 1 i \

поток с параметром X. = - Pm+n ) = ~ ~ L\pm+n )■ (22)

n

т

т ■ т

т

n

n

n

m

n

m! m

n

m

т \ т

Пример 1. Рассмотрим открытую СеМО с двумя узлами, представляющими СМО типа М/М/1/2 (X = 0.5, д = 0.7) и М/М/1/3 (д2 = 0.9). Функциональная схема данной СеМО представлена на рис. 7.

Рис. 7. Функциональная схема открытой СеМО

В данной сети второй узел не оказывает влияния на работу первого. Для узла 1 входным потоком является X, и система дифференциальных уравнений Колмогорова имеет вид:

= ^)-^)

т

Фп().

■ = 1Poi(t) + PiP21(t)-{l + Pi )pn(t)

(23)

dP12(t)

dt Ф22(t)

= 4 P02 (t)+ P2 P22 (t )-(X2 + P2 )Pl2 (t)

dt

_ ^2 Pl2 (t)+ M2P32 (t )-(4 + P2 )P22 (t) (24)

dP32 (t) _

dt dP42 (t)

dt

_ hP22(t)+ P2P42(t)-(k + P2)P32(t) _ 4P32(t)-P2P42(t)

В стационарном режиме значения вероятностей состояний, рассчитанные аналитически, равны: p02 = 0.536, p12 = 0.256, p22 = 0.122, p32 = 0.058, p42 = 0.028. Вероятность занятости второго узла и вероятность отказов равны: pz2 = 1 - p02; pz2 = 0.464; po2 = p42; po2 = 0.028.

При имитационном моделировании данной СеМО с помощью разработанного автором пакета программ получены следующие результаты: pz1 = 0.618; pol = 0.14; pz2 = 0.47; po2 = 0.024. Таким образом, относительная погрешность не превышает 1%.

Пример 2. Усложним задачу. Рассмотрим открытую СеМО из примера 1, где X(i) = 0.2Ф(0 + 0.3Ф(/ - 5),

- функция Хэвисайда.

/ ч |1 при г > 0 где Ф(г) = ^

[0 при г < 0

При решении соответствующей системы дифференциальных уравнений для первого узла получена наглядная графическая интерпретация зависимостей вероятностей состояний от времени, представленная на рис. 9.

dt

^^ = Xpn{t)+ P1P31(t)-(1 + p )P2i{t) dt

dPd^ = 1p 21 (t)-PiP3i(t) dt

Графики зависимостей вероятностей состояний от времени представлены на рис. 8.

Рис. 8. Графики зависимостей вероятностей состояний от времени для примера 1

Расчеты показывают, что установившийся режим для первого узла наступает при t = 19. В стационарном режиме значения вероятностей состояний, рассчитанные аналитически, равны: р01 = 0.386, р11 = 0.276, р21 = 0.197, р31 = 0.141. Вероятность занятости первого узла и вероятность отказов равны: pz1 = 1 - р01; pz1 = 0.614; ро1 = р31; ро1 = 0.141.

Для узла 2 входным потоком является Х2 = Х(1 - р31), и система дифференциальных уравнений Колмогорова имеет вид:

^ = р2 рп ^)-12 р02 ^) dt

Рис. 9. Графики зависимостей вероятностей состояний от времени для примера 2

Расчеты показывают, что установившийся режим для первого узла наступает при t = 25. Значения стационарных вероятностей состояний соответствуют значениям из примера 1 и равны: р01 = 0.386, р11 = 0.276, р21 = 0.197, р31 = 0.141. Следовательно, расчет характеристик второго узла в стационарном режиме идентичен соответствующему расчету в примере 1.

Таким образом, для примеров 1 и 2 узлы имеют одинаковые характеристики в стационарном режиме. Однако в примере 2 стационарный режим устанавливается позже.

4. Приведение системы массового обслуживания типа М/М/1/п к системе массового обслуживания типа М/М/1/да

Согласно теореме Берке выходящий поток стационарной СМО типа М/М/1/ю с входящим пуассоновским потоком с параметром X и показательным распределением времени обслуживания с параметром д в каждом из т приборов также является пуассоновским потоком с параметром X [3]. Этим объясняется простота анализа СеМО, состоящих из узлов с неограниченными буферами. На практике обычно имеют дело с узлами, имеющими ограниченный буфер. Покажем, что при достаточно большой емкости буфера СМО типа М/М/1/п можно привести к СМО типа М/М/1/го. Пусть е - достаточно малая величина, обозначающая вероятность

1 -Р Решая

потерь в СМО типа M/M/1/n. Тогда s =

1 - р

n+1

ln-

данное уравнение относительно n, получаем n

ps - р + 1 ln р

s

Примем е = 0.001, р = 0.9. Тогда п = 44. При е = 0.005, р = 0.9 п = 29.

В данном примере величина р приближена к максимально возможной (р < 1). При выборе р = 0.5, е = 0.001 значение п = 9 при р = 0.5, е = 0.005 п = 7.

5. Заключение

В данной статье приведен метод поузлового анализа СеМО, представляющей собой к последовательно соединенных узлов типа М/М/т/п, основанный на определении 1-го входящего потока (1 < I < к). Также представляет интерес нахождение входящего потока для каждой ветви при разветвлении СеМО. Такое исследование дает полное представление о функционировании каждого звена. Это позволяет найти узкие места СеМО и оптимизировать ее структуру.

Литература

1. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания / Б.В. Гнеденко, И.Н. Коваленко. - М.: Издательство ЛКИ, 2007. - 400 с.

2. Алиев Т.И. Основы моделирования дискретных систем. / Т.И. Алиев. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. - 363 с.

3. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания / Л. Клейнрок. - М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.

4. Кузин Л.Т. Основы кибернетики. В 2-х т. Т.2. Основы кибернетических моделей / Л.Т. Кузин. - М.: Энергия, 1979. - 584 с.

5. Изерман Р. Цифровые системы управления / Р. Изер-ман. - М.: Мир, 1984. - 541 с.

References

1. Gnedenko B.V., Kovalenko I.N. Introduction to queuing theory / B.V Gnedenko, I.N. Kovalenko. - M.: LCI Publisher, 2007. - 400 p.

2. Aliev T.I. Fundamentals of modeling of discrete systems. / T.I.Aliev. - St. Petersburg: ITMO, 2009. - 363 p.

3. Kleinrock L. Queueing Theory / L. Kleinrock. - M.: Mashinostroenie, 1979. - 432 p.

4. Kuzin L.T. Fundamentals of Cybernetics. In 2 v. V.2. Fundamentals of cybernetic models / L.T. Kuzin. - M.: Energia, 1979. - 584 p.

5. Izerman R. Digital control system / R. Izerman. - M.: Mir, 1984. - 541 p.