CC BY
0
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СКВАЖИННЫХ РЕЖУЩИХ УСТРОЙСТВ
Хейрабади Газаля Керимова Ирада
Азербайджанский государственный университет нефти и промышленности (Азербайджан, г. Баку)
DOI:10.24412/2500-1000-2024-4-5-126-132
Аннотация. В интенсификации любого технологического процесса (в том числе процесса фрезерования) важную роль играет степень совершенства оборудования, предназначенного для его реализации в соответствующих режимных параметрах. Степень совершенства оборудования оценивается спектром эксплуатационных характеристик, по изменениям которого в предыдущих разделах определена граница разделения зон совместимых и несовместимых условий объединения как режимно-технологических факторов, так и компонентного состава композиционной наплавки. Построены взаимно корреляционные и автокорреляционные функции между параметрами, характеризующими режущую способность композиционной наплавки и параметрами вектора ее состояния, а также совершенство технологии процесса.
Ключевые слова: оборудования, процесса разрушения, фрезерным инструментом, уравнения.
В интенсификации любого технологического процесса (в том числе процесса фрезерования) важную роль играет степень совершенства оборудования, предназначенного для его реализации в соответствующих режимных параметрах. Степень совершенства оборудования оценивается спектром эксплуатационных характеристик, по изменениям которого в предыдущих разделах определена граница разделения зон совместимых и несовместимых условий объединения как режимно-технологических факторов, так и компонентного состава композиционной наплавки. Построены взаимно корреляционные и
автокорреляционные функции между параметрами, характеризующими режущую способность композиционной наплавки и параметрами вектора ее состояния, а также совершенство технологии процесса. Параметры вектора состояния композиционной наплавки классифицированы по степени их значимости, для аттестации которой использован наиболее значимый параметр - относительное удлинение материала матрицы, а для аттестации процесса разрушения - энергия, подводимая к инструменту. Эти зависимости были аппроксимированы следующими уравнениями:
Rqq = A- exp(-at)cos(rat); (1)
Rpn = B exp(-yt)(cosPt + csinpt),
где коэффициенты уравнений для рассматриваемого случая имеет следующие значения: А=1; а=0,48; ш=0,40; В=0,8; с=0,85; у=0,25; р=19.
Согласно уравнению Винера-Хопфа, определяем весовую функцию, затем применяя интегральное преобразование Лапласа к автокорреляционной функции (1 ) получаем передаточную функцию процесса в нижеприведенном виде:
W(5) = А
S + а
(5 +а)2 +ш2'
(2)
Подставляя значения коэффициентов в уравнение (2) после несложных математических преобразований, окончательно формируем передаточную функцию.
W(S) = А
S + 0,48
S2 + 0,965 + 0,3904'
(3)
Так как функция выхода связана ч функцией входа выражением x(S) = w(S)•u(S) то дифференциальное уравнение процесса разрушения математических объектов фрезерным инструментом, армированным композиционным материалом,
связывающим удельную производительность инструмента с относительным удлинением матричного материала и энергией подаваемой к инструменту на забое, представляется в следующем виде:
d2x dx du
—г + 0,96— + 0,3904х = — + 0,48и at2 dt dt
(4)
где x^q - удельная производительность инструмента; u^(pn) - энергия, подаваемая на инструмент при разрушении сква-жинных объектов.
Дифференциальное уравнение (4) позволяет решать оптимизационные задачи по проектированию режимно-
технологических параметров разрушения скважинных объектов фрезерными инструментами вооружением из композиционного материала.
Подобными уравнениями приближенно описываются некоторые тепловые объекты, к числу которых также можно отнести процесс фрезерования.
С целью регламентирования режимно-технологических параметров процесса
фрезерования решаем следующую задачу оптимального управления.
Требуется найти алгоритм управления, переводящий объект из положения х = 0; х = 0 при t = 0 в положение х = xn; х = 0 за минимальное время при ограничении управляющего воздействия |u| < umax
Непосредственно применить принцип максимума к уравнению (4) нельзя, так как не только высшая производная, но и первая производная может претерпевать разрывы. Для устранения этой трудности применяем метод разложения на множители, запишем уравнение (4) в виде двух уравнений с новыми координатами yi и y2:
d2y2 dt2
= -0,96
dy i dt dy2 dt
= ku;
0,3904 I udt - 0,48u.
I
Новые координаты ух и У2 уже не претерпевают нежелательных разрывов. Выходная координата равна сумме новых координат у1 и у2 :
X = yi + y-2.
(6)
С переходом к новым координатам изменилась и цель управления: необходимо попасть на прямую (6) и по ней сместиться в начало координат. Указанная задача сво-
дится к задаче с подвижным правом концом. Для решения применяем принцип максимума А.С. Понтрятина. Оптимальное управление в формулировке принципа
максимума, обладает тем свойством, что функцию Н, называемую Гамильтонианом, оно в каждый момент времени вдоль оп- причем Н = 0, т.е. тимальной траектории максимизирует
ma xH„ иев 1
(7)
j=0
^ —являются сопряженными функциями и могут быть определены из решения следующей системы уравнений:
С учетом функционала
V.i. dfi
dt
Zj dx, j=0
(i,j = 0,1,2 ,...,n)
L
= f
J0 = I (100n — u)2dt ^ min
(8)
Получаем следующую фиктивную систему уравнений:
' 0,3904JM
Согласно (5) составляем сопряженные функции
dt
М-..,. д$ ... дь ... =
dy, _ dt
(9)
dt
df0 . dfi ' д it , dti,
= 0,3904 j
dVi dt
Следовательно,
0
0
Для определения у2 и уэ решаем последние два уравнения системы (10):
(10)
(ii)
или же
Решая (12) для определения уз получаем следующее
уз= exp(0,48t)(C3sin0,4t + C4cos0,4t).
(12)
где Сэ и С4 - интегральные постоянные. Соответственно, для определения у2 получаем:
уз= 0,4exp(0,48t)[(1,2C3+C4)sin0,4t - (Сз - 1,2C4)cos0,4t]. Согласно (5) составляем Гамильтониан:
=-(Q-/JCf)cos (C^inOM+Ct cos Q,4t>
Определяем уравнение по формуле:
dH , Л
— = 2иС0 + (С.-2 ■ 100пС0) - exp(0,48t) х аи
х (C3sin0,4t + C4cos0,4t)(0,3904u + 0,43) = 0, [(C1 - 2 ■ 100nC0) + 0,4Qexp(0,4Qt)(C3sin0,4t + C4cos0,4t)]
откуда
и =
[0,3904exp(0,4Qt)(C3sin0,4t + C4cos0,4t) - 2C0]
(13)
(14)
Интегральные постоянные в (14) определяются согласно граничным условиям, описанным ранее. Так как решаемая задача, является задачей с подвижным правым
концом, то для определения дополнительных интегральных постоянных используются условия трансферсальности, которые записываются в виде
<у(0), ^>=0; <y(t), ^>=0.
Подобная постановка и решение задачи оптимального управления может быть использована для синтеза оптимальных ре-жимно-технологических параметров реализации процесса фрезерования аварийных объектов в условиях скважины фрезерными устройствами.
б) скалярная модель в пространстве состояний.
По результатам экспериментальных исследований выявлено, что автокорреляционные и взаимно-корреляционные функции между входными и выходными параметрами, характеризующими режущую способность композиционной наплавки, ее состояние, а также совершенство технологии разрушения, представляются выражением (1). Согласно уравнению Винера-Хопса
Bexp(—yt)(cos^t + csinpt) = | Aexp(—at)cosшtФ(t — т)йт. (15)
о
Определяем передаточную функцию, для чего применяем интегральное преобразование системы уравнений (2.48):
ф(5) = RXy(S) _B[(S + Y) + cms - а)2 + Ы2]
Ryy(S)
A(S + a)[(S + у)2 + Р2]
(16)
После несложных математических преобразований числителя и знаменателя выражения (16) для определения передаточной функции получаем следующее:
G(S) =
y(S) _ b0S0 + b1S1 + b2S2 + b3S3 u(S) 1 + a1S1 + a2S2 + a3S3
или же
где
G(S) =
b0S0 + btS-1 + b2S-2 + b3S
1 + a±S-1 + a2S-2 + a3S
:-3
:-3
Учитывая, что функция выхода связана С (Б) •и(Б), то перемножив обе части с функцией входа выражением у (Б) = уравнения (14) получим
t
dt' 'dt! dt ' dt at 'at
a>'df
Уравнение (15) можно преобразовать к виду
x(tf) = Ф(К — 1) + rU(K — 1); у(Ю = cx(tf)
Ф, Г, С определяется соотношениями
С = [1,0, ...,0].
Здесь Ф - коагулированная матричная форма /4.33/, а а - нижняя треугольная фунция, обращение которой легко получается подстановкой.
Коэффициент уравнения (15), из которых формируется матрицы Ф и Г для исследуемого процесса принимают следующие значения
Ь0 = - 0,331; Ы = 0,418; Ь2 = - 0,41; ЬЭ = - 0,453; al = 2,235; а2 = 0,560; аз = 0,570.
С учетом значений коэффициентов для указанных матриц получаем
0 10
Ф =
0 0 1 —0,57 —0,56 —2,236
(17)
Г =
■ 1 0 0 0" -1 "0,4180" "0,4180"
2,236 1 0 0 —0,410 — 1,345
0,56 2,236 1 0 —0,453 2,320
. 0,57 0,56 2,236 1 . 0 . -4,672.
(18)
По видам матриц Ф и Г, согласно выражениям преобразованного уравнения (15) формируем скалярную модель в пространстве состояний исследуемого процесса разрушения металлических забоев вооружением из композиционной наплавки:
у(Ю = Х1(Ю; х1(^) = х2(К — 1) — 0,418и(К — 1); х2(г) = х3(к — 1) — 1,340м(к" — 1); х3(К) = х1(^ — 1) — 0,56х2(к — 1) — 2,236х3(^ — 1) + 2,32и(К — 1).
Полученная модель позволяет решать оптимизационные задачи по синтезу композиционных материалов с заданными свойствами.
Библиографический список
1. Микаилов С.Б. Колебания подкрепленных ортотропных цилиндрических оболочек, с протекающей жидкостью в среде // Теоретическая и прикладная механика, Азербайджанский архитектурно-строительный университет. - Баку, 2013. - №1. - С. 135-141.
2. Зейналов P.P., Бабаев С.Г. Первоочередные задачи сертификации оборудования для нефти и газа. Азербайджанское нефтяное хозяйство. - 2002. - №7. - С. 42-48.
3. Амензаде Ю.А. Плоская задача теории упругости. - 1974. - 109 с.
4. Кощий С.С. Сертификация как средство повышения конкурентоспособности продукции и продвижения российских товаров и услуг на внешние рынки // Надежность и сертификация оборудования для нефти и газа. - 2000. - №4. - С. 21-23.
5. Краевский Э.А. Система, которую ждут в «Газпроме» (состояние, проблемы, перспективы) // Надежность и сертификация оборудования для нефти и газа. - 2000. - № 3. -С. 11-16.
6. Курчаткин В.В., Тельнов Н.Ф., Ачкасов К.А., Савченко В.И. Надежность и ремонт машин // Под ред. В.В. Курчаткина. - М., Колос, 2000. - 776 с.
7. Искендеров Р.А. Устойчивость подкрепленных кольцевыми ребрами цилиндрических оболочек с заполнителем при статическом нагружении. //«Проблеми обчислювальноi мехашки i мiуностi контрукуш» збiрник наукових прауь Дншропетровський нащональний Университет iменi Олеся Гончара. - 2011. - Випуск 17. - С. 159-165.
8. Jafarova I. M. Free vibrations of laterally stiffened medium-filled cylindrical shells under axial compression and with regard to friction. Proceedings of Institute of Mathematics and Mechanics, B-2009, pp. 195-200.
9. Михлин С.Г. Интегральные уравнения и их приложения. - Гостехиздат, 1949.
MATHEMATICAL MODELS OF THE INTERACTION PROCESS BOREHOLE
CUTTING DEVICES
Kheyrabadi Qazala Kerimova Irada
Azerbaijan State University of Oil and Industry (Azerbaijan, Baku)
Abstract. In the intensification of any technological process (including the milling process), an important role is played by the degree of perfection of the equipment intended for its implementation in the appropriate operating parameters. The degree of equipment perfection is assessed by the spectrum of operational characteristics, based on changes in which in the previous sections the boundary of separation of zones of compatible and incompatible conditions for combining both operational and technological factors and the component composition of composite surfacing was determined. Mutual correlation and autocorrelation functions were constructed between the parameters characterizing the cutting ability of composite surfacing and the parameters of its state vector, as well as the perfection of the process technology.
Keywords: equipment, destruction process, milling tools, equations.
