Математические модели плоскопараллельного движения судна. Классификация и критический анализ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Комитет по рыболовству Российской Федерации Мурманский Государственный Технический Университет

РАЗРЕШЕНО НА ДЕПОНИРОВАНИЕ

Ректор

д. т. н., проф._Ершов А.

М.

УДК

Ю. И. Юдин, И. И. Сотников

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ СУДНА. КЛАССИФИКАЦИЯ И КРИТИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ

Авторы:_Юдин Ю. И.

(подпись)

Сотников И. И.

(подпись)

Мурманск 2006

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение. 3

2. Специфика задачи моделирования движения судна 7

3. Общая структура математических моделей движения судна 12

4. Линейные и нелинейные модели 15

5. Критический анализ моделей 26

6. Заключение 37 Приложение 1. Описание математических моделей движения судна 39 Приложение 2. Система обозначений для параметров движения судна 78 Литература 92

1. Введение. Как известно (см. напр. Зубов., 1975), в общем случае математическая модель управляемой динамической системы описывает с той или иной степенью точности изменение состояний данной системы с течением времени при заданных управляющих воздействиях и заданных условиях функционирования системы и может быть представлена следующим образом:

8(0 = 8(0), Щ), Ц0, Е(0), (1)

где Р - некоторая векторная функция или оператор, характеризующий данную конкретную математическую модель;

8(?) - совокупность параметров, описывающих состояние системы в момент времени

и(0 - управляющие воздействия на систему в разные моменты времени;

- функция нагрузки на систему; Е(0 - функция внешних возмущающих воздействий на систему.

Все перечисленные функции имеют совершенно конкретную эмпирическую интерпретацию с точки зрения предметной области, и существует возможность измерить значения этих функций на реальном объекте и сравнить поведение реального объекта с моделью. На выходе математической модели мы имеем эволюцию моделируемой системы 8(0, которая может, как совпадать, так и несколько отличаться от эволюции реального объекта 8Э(0 при прочих равных условиях. Модель может считаться адекватной, если погрешность модели |8(0 - 8Э(0|, измеренная в некоторой выбранной метрике, не превышает некоторых допустимых пределов для данного класса задач. Естественно, что ни одна математическая модель не может быть идеальной из-за не полноты учета внешних воздействий Е(0, из-за несовершенства математического аппарата или неправильного понимания процессов в данной системе. С другой стороны, с практической точки зрения вполне приемлемо, если погрешность моделирования соизмерима с инструментальными

погрешностями измерения параметров реального объекта, так как более высокой точности соответствия модели мы не можем добиться в принципе.

Математические модели управляемых динамических систем можно классифицировать на следующие типы:

1) по охвату возможных объектов моделирования:

- модели для одной конкретной управляемой системы;

- модели для некоторого класса (множества, семейства) таких систем. В последнем случае математическая модель имеет следующий вид:

8(0 = С, 8(0), ВД), Ц0, Е(0), (2)

где С - вектор постоянных параметров системы, которые характеризуют данную конкретную динамическую систему и отличают ее от множества других систем;

2) по сфере применения и типам решаемых задач:

- универсальные модели (общего назначения);

- специальные модели - пригодные лишь для ограниченного круга задач и отражающие только один из возможных режимов функционирования данной динамической системы. Специальные модели адекватны не при любых реально достижимых управляющих воздействиях и(0 и не из любого реально возможного начального состояния 8(0). Однако в тех случаях, когда условия их применимости полностью соблюдаются, специальные модели обладают, как правило, меньшей погрешностью, чем универсальные;

3) по способу построения - эмпирические и теоретические;

4) по математическому описанию - дискретные и непрерывные, линейные и нелинейные. В случае с непрерывными математическими моделями наиболее типичными формами их представления являются системы дифференциальных уравнений - обыкновенных, если каждое состояние модели 8(?) описывается вектором, либо в частных производных, если каждое состояние 8(?) описывается скалярным или векторным полем.

Нужно иметь в виду, что любая задача, обычно решаемая с помощью математических моделей, в принципе могла бы быть решена чисто экспериментальными методами, причем получилось бы заведомо более качественное решение, но такой подход несоизмеримо более трудоемкий, дорогостоящий и часто связан с различными рисками. Практическая ценность построения математических моделей управляемых динамических систем состоит именно в накоплении знаний о реальном объекте, полученных на основании сравнительно небольшого количества экспериментов и в распространении этих знаний за счет интерполяции и экстраполяции:

1) от одних величин управляющих воздействий на другие;

2) от одних нагрузок на систему или от одних внешних возмущающих воздействий на другие;

3) от одних управляемых динамических систем на другие (например, в вопросах проектирования таких систем).

Как только математическая модель построена, в дальнейшем вместо того, чтобы проводить новые эксперименты с реальным объектом при других управляющих и возмущающих воздействиях и при другой нагрузке на систему, достаточно провести вычисления с использованием математической модели (численный эксперимент).

С математической моделью (2) связаны следующие хорошо известные из теории классы задач:

1) Прямая задача моделирования. В формуле (2) 8(0 = ? при известных Р, С, и(0, Ь(0, Е(0. По уже имеющейся и построенной тем или иным способом математической модели нужно продемонстрировать, как будет вести себя система при таких-то условиях, если на нее оказать такие-то управляющие воздействия. То есть надо получить ответ на вопрос: ЧТО БУДЕТ, ЕСЛИ... Область применения: проведение исследований на предмет возможного поведения системы в тех или иных условиях, а также разработка специализированных тренажеров и обучающих систем,

имитирующих поведение реального объекта, с целью обучения человека-оператора.

2) Обратные задачи. Нужно выяснить, что было или должно быть на входе системы или в самой системе, чтобы на выходе получилось вполне конкретное поведение системы 8(0. Нужно получить ответ на вопрос: КАК СДЕЛАТЬ, ЧТОБЫ... Выделяются следующие случаи обратных задач:

2.1) С = ? при известных Р, 8(0, Щ), Ь(0, Е(Г). Это задача проектирования новой управляемой динамической системой. Решая ее, мы должны выяснить, какие должны быть физические параметры всех элементов этой системы и как «собрать» эту систему, чтобы она отвечала на управляющие воздействия так, как нам нужно.

2.2) Р = ? при известных С, 8(0, Щ), Ь(0, Е(Г). Это задача построения новой эмпирической математической модели на основании экспериментальных данных по уже существующей реальной управляемой динамической системе или некоторому классу таких систем. Нужно установить вид функциональной зависимости между входными и выходными параметрами этой системы. Это наиболее сложная в вычислительном плане и нетривиальная задача.

Во многих случаях удается ее упростить, если либо на основании каких-то априорных теоретических данных иметь представление о наиболее вероятной форме такой зависимости, либо если задать по принципу «всё взаимодействует со всем» некий избыточный шаблон для функциональной зависимости Р с очень большим количеством параметров, о физическом смысле которых нам ничего не известно. Конкретные значения параметров, которые имеют место в действительности, мы должны найти, решая обратную задачу. Тогда это задача идентификации параметров модели.

2.3) и(0 = ? при известных С, Р, 8(0, Ц0, Е(Г). Это задача построения адаптивного алгоритма управления (системы управления, управляющего устройства). При этом алгоритм управления должен для

любого желаемого и нужного нам поведения системы 8(0 формировать такую последовательность управляющих воздействий и(0 на реальную систему, чтобы на выходе получить 8(0. Кроме того, к этому классу задач относится прогнозирование поведения системы на предмет осуществимости или неосуществимости того или иного режима ее работы, выполнимости или невыполнимости того или иного действия при помощи этой системы.

2.4) Ь(0 = ? при известных С, Р, 8(0, Щ), Е(0 или Е(0 = ? при известных С, Р, 8(0, и(0, Ь(0. Это задача косвенного измерения нагрузки на систему или внешних возмущающих воздействий через выявление изменений (возмущений) в поведении управляемой системы. Здесь в качестве измерительного прибора выступает сама реальная управляемая динамическая система, а при помощи математической модели мы должны установить, какой была нагрузка или возмущающие воздействия.

2. Специфика задачи моделирования движения судна. Морские и речные суда представляют собой сложные управляемые технические системы, функционирующие в изменяющихся условиях внешней среды.

В настоящей статье рассматривается обычное водоизмещающее морское или речное судно, управляемое одним обычным рулем, одним гребным винтом регулируемого или фиксированного шага и одним подруливающим устройством (последнее может и отсутствовать).

В настоящее время существует целый ряд математических моделей движения судна, описанных в литературе (Васильев, Белоглазов, 1966; Войткунский и др., 1973; Гофман, 1988; Павленко, 1979; Соболев, 1976; Справочник. , 1985; Тумашик, 1978; Федяевский, Соболев, 1963), и все они имеют следующие общие характеристики:

1) очевидно, что задача моделирования движения судна является частным случаем задачи математического моделирования управляемого движения твердого тела и должна предсказывать траекторию движения

при тех или иных условиях. Каждое состояние 8(0 в этой модели представляет собой набор из 3 пространственных координат центра масс и 3 характерных углов, описывающих кинематическое положение судна. В большинстве случаев изменение осадки и углов крена и дифферента в процессе движения невелико, поэтому достаточно рассматривать плоскопараллельное движение судна в горизонтальной плоскости и именно такое движение мы будем рассматривать. Тогда состояние судна характеризуется тремя параметрами - координатами х0 и у0 относительно неподвижной системы координат и курсовым углом д:

Даже в более сложных математических моделях, где учитывается изменение всех пространственных координат судна, главным элементом все равно является та или иная модель плоскопараллельного движения;

2) таким образом, модель является непрерывной с конечным числом параметров состояния. Наиболее естественная форма представления такой математической модели - система обыкновенных дифференциальных уравнений, а более конкретно - система из 3 дифференциальных уравнений 2-ого порядка, как это следует из классической механики для случая плоскопараллельного движения твердого тела:

3) в качестве управляющих воздействий и(0 рассматриваются угол перекладки руля 3^(0, частота вращения «т(0 и шаговое отношение ИЮ(0 гребного винта, положение регулятора подруливающего устройства ^иуотн(0, который задает его относительную мощность в процентах от максимально возможной. Все перечисленные параметры могут принимать положительные и отрицательные значения в зависимости от направления и не могут превышать по модулю каких-то предельно достижимых значений:

8(0 = (*о(0, МО, д(0);

(3)

Л28 / Л1 = Р(^ С, d8 / Ж, 8(0, и(0, Ь(0, Е(0)

(4)

Щ) = (^(О, ^(0, И/ДО, ^дуоШ(0)

(5)

В качестве параметров нагрузки рассматриваются массы и координаты всех грузов на судне, в качестве параметров внешних возмущающих воздействий Е(0 - глубины во всех точках акватории, скорости и направления ветра и течения, амплитудный и фазовый спектр волнения, а также спектр направлений распространения волн по всем частотам для всех точек акватории во все моменты времени;

4) различают математические модели двух видов:

- модели движения одного конкретного судна - они, как правило, представлены в виде систем дифференциальных уравнений с совершенно конкретными фиксированными коэффициентами, полученными путем простого подбора на основании сравнения результатов моделирования с экспериментальными данными для конкретного судна. В такую систему обычно не входят в явном виде такие очевидные и легко измеримые свойства судна, как его линейные размеры. Такие математические модели совершенно не пригодны для целого ряда задач, например, для задачи проектирования нового типа судна, а адекватность модели для существующего судна при различных комбинациях внешних условиях сильно зависит от количества и качества натурных экспериментов, проведенных именно с этим конкретным судном на этапе построения модели. Это чисто эмпирические модели. Сфера их применения -построение программных комплексов навигационных тренажеров для жестко заданных конкретных типов судов, а также проведение узко специализированных исследований. Подробно такие модели в данной работе не рассматриваются;

- математические модели для некоторых классов судов - эта категория математических моделей представляет значительно больший интерес и предполагает на этапе построения моделей значительно более глубокую систематизацию экспериментальных данных по целому ряду судов. Вопросам построения таких математических моделей посвящены труды ряда исследователей - Басина, Мелкозеровой, Першица, Соболева,

Гофмана и других авторов (Васильев, Белоглазов, 1966; Войткунский и др., 1973; Гофман, 1988; Павленко, 1979; Соболев, 1976; Справочник. , 1985; Тумашик, 1978; Федяевский, Соболев, 1963), большинство подобных публикаций относятся к 50-ым - 70-ым годам 20-ого века. Такие модели позволяют определить не только то, как будет вести себя данное судно в конкретных условиях плавания, но и то, как очевидные и легко измеримые параметры этого судна влияют на его поведение. В дальнейшем рассматриваются только такие математические модели. Они обычно включают в себя систему дифференциальных уравнений и совокупность формул, таблиц и графиков для определения коэффициентов этих уравнений исходя из постоянных и легко измеримых параметров судна. В данном случае в формуле (4) вектор С включает в себя характерные линейные размеры, площади и объемы судна и технические характеристики его средств управления. При этом основной и самой сложной частью математических моделей являются именно формулы, таблицы и графики для вычисления коэффициентов, а сами дифференциальные уравнения большой сложностью и большим разнообразием не отличаются.

Данные математические модели являются полуэмпирическими. Чисто теоретический подход к определению всех гидродинамических сил, действующих на корпус судна, имеющий достаточно сложную форму, на сегодняшнем уровне знаний представляется невозможным. С другой стороны, в структуре дифференциальных уравнений в существующих математических моделях предполагается использование классических подходов теоретической механики, а не просто делается попытка установить любым способом соответствие между входными и выходными параметрами. Не только входные и выходные, но и некоторые промежуточные параметры модели имеют явную физическую интерпретацию. По крайней мере, в таких математических моделях используется понятие силы из классической механики. Но при этом способ

определения самих сил остается эмпирическим. Математические модели движения судна обладают свойством модульности: они включают в себя ряд эмпирических блоков, отражающих поведение корпуса судна и каждого отдельного средства управления, но способ соединения этих блоков является теоретическим. При этом способы описания поведения средств управления судна во всех математических моделях не столь разнообразны и являются взаимозаменяемыми и при обзоре математических моделей движения судна мы на средствах управления подробно останавливаться не будем, а разберем только один подход.

Основным отличительным элементом каждой из существующих математических моделей является способ определения коэффициентов дифференциальных уравнений, отражающих гидродинамические силы на корпусе судна;

5) общей особенностью большинства существующих математических моделей движения судна является способ получения исходных эмпирических данных авторами этих моделей. В большинстве случаев для этой цели использовались не дорогостоящие натурные эксперименты со всевозможными типами судов с различными геометрическими размерами и пропорциями, а модельные эксперименты с физическими моделями, представляющими собой уменьшенные макеты корпусов этих судов, в гидролотке, опытовом бассейне, ротативной установке или аэродинамической трубе (более подробно - см. Гофман, 1988). При этом все характерные геометрические размеры, скорости, глубины и измеряемые силы пересчитывались с учетом масштабных коэффициентов по соображениям геометрического и физического подобия. То есть мы имеем физическое моделирование реального объекта с использованием макетов и только уже на основании этого физического моделирования осуществляется математическое моделирование. Такая особенность является дополнительным источником погрешностей, поскольку может проявляться эффект масштаба, когда некоторые

гидродинамические силы или их составляющие могут зависеть от размеров объекта более сложным образом и не поддаваться столь тривиальному пересчету при переходе от физической модели к реальному судну.

>

3. Общая структура математических моделей движения судна.

Существующие математические модели могут быть представлены в форме (4), которая в более развернутом виде выглядит так:

С2х0 / Ж2 = ¿X ^х0 1 С, С х0 / С t, dу0 / dt, dq / dt, х0(0, у0(0-q(t), Щ), L(t), E(t)) / т

Су0 / С^ = ¿X ^у0 1 (t, С, сХ0 / dt, СУ0 / dt, dq / dt, x0(t), у0(0, q(t), U(t), L(t), E(t)) / т Г (6)

С^ / С*2 = ¿X М1 (t, С, Сх0 / dt, Су0 / dt, dq / dt, x0(t), y0(t), q(t), U(t), L(t), Е(0) / /2. ^

Однако с практической точки зрения удобнее рассматривать уравнения относительно не самих координат и курсового угла, а их производных характеристик - линейной скорости V, угловой скорости ^ и угла дрейфа Д Поэтому большинством авторов используется следующая эквивалентная структура математической модели, в которой используются сразу две системы координат - подвижная и неподвижная - и все силы раскладываются на проекции по осям подвижной неинерциальной системы координат (х, у), связанной с самим судном:

Рис. 1. Системы координат.

ёх0 / Ж = V соб (д - в); Д

ёу0 / Л = V б1п (д - в); ёд / Ж? =

Л . в в( 1 1 ) (* £ ^п в (, X ^>08 в

-= б1п в соб в(---)-- -+ —=-;

ёг 1 + кп 1 + к 22 (1 + к 22)рУ (1 + ки)рУ

в = в + соб2 в)- (г£^х,)в1пв - (г£^у )со8в .

Л 1 + к11 1 + к 22 (1 + k11)pVv (1 + к 22)pУv

ё^ = , £ М ; ёг (1 + кбб)/г ;

£ ^ (г, С, 1*0, 40, в), Х0(0, у,(0, д(0, и(г), Ь(г), Е(г)) =

: ^в + ^р + Те + ^Внеш ; (

£ ^ (г, С, КО, 40, во, Х0(0, у,(0, д(0, и(0, Ц0, Е(г)) =

: V + V + Т + Г •

^в^р^ПУ^ внеш '

£ М (г, С, 1*0, 40, в), Х0(0, у,(0, д(г), и(г), Ц0, Е(0) =

: Мв + Мр + МПУ + Мвнеш.

7

Здесь Хв, Ув, Мв - продольная и поперечная сила и момент гидродинамического сопротивления на корпусе; X У Мр - силы, создаваемые обычным рулем; ТЕ - эффективный упор гребного винта; ТПУ, МПУ - эффективный упор подруливающего устройства и создаваемый им момент; Хвнеш, Гвнеш, Мвнеш - силы, обусловленные внешними условиями плавания - ветром, течением, волнением и т. п.. Каждая из сил и моментов, а также ряд других величин в системе (7) зависят от совокупности факторов С, v(t), w(t), ДО, х0(0, у0(0, q(t), U(t), L(t), E(t)), однако для простоты записи знак такой функциональной зависимости будет опускаться.

Любая из существующих математических моделей включает в себя систему уравнений (7) в полном или упрощенном и огрубленном виде, дополненную совокупностью формул, задающих зависимость всех сил и моментов X Г^ М 7p, ^ TE, TПУ, МП^ XBHеш, Yвнеш, Мвнеш) от факторов (t, С, v(t), w(t), Д7), x0(t), y0(t), q(t), U(t), L(t), E(t)). Именно вид этих формул определяет специфику каждой математической модели.

Общая структура существующих математических моделей и каждая конкретная модель в отдельности, в том числе с учетом ветра, течения, волнения и мелководья, более подробно описаны в Приложении 1. Все математические модели приведены к некоторой единой системе обозначений для используемых параметров, представленной в Приложении 2 и, возможно, отличающейся от той системы обозначений, которая использовалась авторами отдельных публикаций.

Примечание. При составлении системы уравнений (7) предполагалось, что компоненты демпфирующих (то есть зависящих от угловой скорости w) инерционных сил, связанные с присоединенными массами, уже включены в гидродинамические силы сопротивления (Хв, Ув, Мв) и поэтому отдельно прописывать их в системе не нужно. Для большинства математических моделей это верно, поскольку

экспериментальными методами раздельно определить указанные силы не всегда возможно. Если в какой-либо конкретной математической модели это не так, то в систему (7) нужно внести некоторые поправки - см. Приложение 1.

В принципе, разные силы, входящие в уравнение (7), можно определять различными способами, в том числе комбинируя несколько подходов. Силы от средств управления судном и силы, обусловленные воздействием внешних условий плавания, в принципе во всех математических моделях движения судна определяются одинаково, большого разнообразия в подходах здесь нет, разве что в том, что одни авторы математических моделей предлагают учитывать нелинейные составляющие, а другие - отбрасывать их.

Что касается продольного вязкостного сопротивления Хв, то большинство авторов математических моделей (см. напр. Гофман, 1988; Тумашик, 1978) не описывают в систематизированном виде зависимость сопротивления от скорости и параметров судна, предлагая пользоваться диаграммами разгона и торможения, полученными экспериментально для каждого конкретного судна. Некоторые другие авторы (см. напр. Справочник. , 1985, том 2) предлагают весьма и весьма грубые зависимости для сопротивления, применять которые на практике особого смысла нет.

Далее каждую конкретную математическую модель движения судна мы будем характеризовать именно тем, как в ней определяются поперечная сила вязкостного гидродинамического сопротивления Ув и момент сопротивления Мв в зависимости от угла дрейфа Д угловой скорости w и параметров самого судна.

4. Линейные и нелинейные модели. Строго говоря, ни одна математическая модель движения судна в общепринятом понимании не является линейной сразу по всем параметрам. Мы будем говорить о

линейности математической модели исключительно по отношению к двум параметрам - текущей угловой скорости w и текущему углу дрейфа Д

Тогда все существующие математические модели движения судна можно условно разделить на три категории:

а) линейные модели;

б) частично линеаризованные модели;

в) нелинейные модели.

Линейные модели. Система уравнений (7) упрощается до следующей: dx0 / dt = v cos (q - в); Л

dy0 / dt = v sin (q - в); dq / dt = w; dv i У Fx,

dt (1 + k11)pV

w

. У F

i ¿—i y

(8

в

dt 1 + к 22 (1 + к22)руу'

с^ = г £ м , dt (1 + к66)/г '

£ ^ (t, С, w(t), ДО, x0(t), у/0, q(t), U(t), L(t), E(t)) =

= ^в + ^р + ТЕ + ^внеш ;

£ (t, С, v(t), w(t), ДО, *о(0, Уo(t), q(t), U(t), L(t), E(t)) =

= У + У + Т + У •

в р ПУ внеш '

£ М (и С, у(0, w(t), ДО, ^,(0, Уo(t), q(t), U(t), L(t), Е(0) =

= Мв + Мр + МПУ + Мвнеш.

Зависимость боковой силы и момента сопротивления от угловой скорости и угла дрейфа имеет следующий вид:

Ув = лх w + В1 в П

J

M = A w + b2 д.

(9)

при vw = const, где vw - скорость судна относительно воды, Ду - угол дрейфа относительно воды.

При отсутствии течения:

^ = V, ДД = Д (10)

Предполагается, что формулы для расчета всех остальных сил тоже не содержат нелинейных зависимостей от Д и w.

В этой системе полностью разделяется управление гребным винтом и управление рулем, а перекладка руля не приводит к изменению линейной скорости. Такая математическая модель не отражает снижение линейной скорости на циркуляции по сравнению с прямым курсом.

Только такая система уравнений движения судна может быть в общем случае решена аналитически, да и то при следующих ограничениях:

- в течение интересующего нас интервала времени управляющие воздействия остаются фиксированными (например, не меняется перекладка руля);

- отсутствуют внешние воздействия на движение судна (например, ветер, течение, волнение), плавание судна осуществляется в стандартных условиях, то есть в формуле (2) условно считается Е(0 = 0, либо рассматриваются какие-то иные частные сильно идеализированные случаи с определенными весьма жесткими ограничениями относительно Е(0 и

q(t);

- управление осуществляется только одним рулем при установившемся режиме работы движителя и установившейся линейной скорости судна.

В этих случаях прямая задача моделирования движения судна полностью сводится к решению системы из 2 обыкновенных линейных дифференциальных уравнений относительно Д7) и w(t).

Такая система сильнее всего искажает реальное поведение судна и приемлемо работает только при очень небольших углах дрейфа Д (±5 град.). В чистом виде не применяется и ни одним автором не рекомендовано использовать данную систему в качестве основной, хотя при необходимости в принципе любую из существующих математических

моделей можно линеаризовать. В дальнейшем линейные модели мы не рассматриваем.

Частично линеаризованные модели. Это наиболее распространенный вид математических моделей движения судна, рекомендованный почти всеми авторами публикаций (Васильев, Белоглазов, 1966; Войткунский и др., 1973; Гофман, 1988; Павленко, 1979; Соболев, 1976; Справочник. , 1985; Федяевский, Соболев, 1963). Каждая из этих моделей может быть записана в двух эквивалентных формах - размерной, то есть обычной, когда все величины измеряются в привычных для нас единицах измерения, и безразмерной. Как известно, в безразмерной форме представления уравнений движения судна все длины измеряются не в метрах, а интервалы времени не в секундах, а в долях безразмерной единицы, причем за единицу длины принимается длина судна по ватерлинии L, а за единицу времени принимается время прохождения судном расстояния, равного своей длине L, при скорости v0, которая достигалась бы на прямом курсе на тихой воде при том же самом режиме работы движителя. В подавляющем большинстве литературных источников на эту тему используется безразмерная форма записи уравнений, что исторически связано еще и с тем, что большинство математических моделей для некоторых классов судов разрабатывались на основе не натурных, а модельных экспериментов с уменьшенными макетами судов и результаты этих экспериментов требовалось пересчитывать. Однако в данной статье все формулы в этих математических моделях будут приводиться к размерному виду, что позволит глубже проанализировать их поведение в различных режимах. В частично линеаризованных моделях система (8) упрощается: dx0 / dt = v cos (q - в);

dy0 / dt = v sin (q - в); У"

dq / dt = w;

Д_ ___г X ¥уг .

Л 1 + к 22 (1 + к 22)рУу'

Л

, X Мг .

Л (1+к бб)/г

£ (t, С, v(t), w(t), Д), х0$, Уo(t), q(t), и(0, L(t), E(t)) =

= Хв + Хр + Те + Хвнеш ;

>

£ ^ (t, С, v(t), w(t), Д), Xo(t), Уo(t), q(t), U(t), L(t), E(t)) =

= V + V + т + 7 •

^в^р^ПУ7 внеш '

£ М (t, С, 1<0, w(t), ДО, х0$, Уo(t), q(t), U(t), L(t), E(t)) =

= Мв + Мр + МПУ + Мвнеш.

7

Что касается уравнения для линейной скорости, то здесь нет единого подхода, а многие авторы публикаций вообще не затрагивали этот вопрос. Был предложен такой вариант (Справочник. , 1985):

_ г X ' ^хг (12)

Л ~ (1 + ки)рУ ( )

- при разгоне или торможении на прямом курсе без перекладки руля либо

V = У0 / (1 + 1,9 ^ Ь / У0)2) (13)

- при выполнении элементов циркуляции при установившемся режиме работы движителя.

Введем следующие обозначения: Д = Д при (- п/2) < Д < п/2; ^

Д = п - при п/2 < Д, < п; ^ (14)

Д = - п - Д пРи Д < - п/2.

wr = w Ь / V - относительная (безразмерная) угловая скорость. Зависимость боковой силы и момента сопротивления от угловой скорости и угла дрейфа имеет при прочих равных условиях следующий полиномиальный вид:

2

7в = - Суг Д w, V0) Р Vw А» / 2;

Мв = Стг (Д0, w, Vo) pVw2 ^ Ь / 2;

(15)

Cyr( w , во, v 0) = (X Ape 0' (—)j);

(i, j ) v 0

Cmг.(w, в0, v0) = (X Bpe 01 (—)j);

(i, j) v 0

где A¿j и B- - некоторые безразмерные коэффициенты, которые в каждой конкретной математической модели вычисляются по своим эмпирическим формулам и графикам исходя из соотношений между геометрическими размерами, коэффициентов полноты и некоторых других геометрических параметров погруженной части корпуса судна.

Далее перечисляются конкретные математические модели данного класса:

Модель Басина (Справочник... , 1985). Басиным предложена следующая расчетная схема для боковых сил, действующих на корпус судна на циркуляции:

Суг = 0,5 Cpy sin (2 в) cos в + Cppy sin^sin^; ^

Стг = mi Sln (2 в0) + m2 Sln P0 - CWm wr , J (17)

где коэффициенты CP CPP, m1, m2, C m определяются через соотношения между размерами судна L / B, B / d, d / L и коэффициенты полноты a, CV, Cm по довольно громоздким эмпирическим соотношениям, сводящимся к кусочно-линейной и кусочно-квадратической зависимости и представленным более подробно в Приложении 1. Кроме того, был предложен упрощенный вариант этой модели, где вместо синусоидальных и косинусоидальных используются линейные зависимости. Модель Мастушкина (Мастушкин, 1981). Мастушкиным предложена следующая аппроксимация для боковых сил, действующих на корпус судна на циркуляции, полученная для промысловых судов при сравнительно небольших углах дрейфа:

Суг = Cey Р0 + C» Р0 |в,| + Cwy wr ;

С„ = Cem в0 - CWm wr - C»m ^ y

2 , Л /с А ла - L / B

CPy = (ak2 + 0,6 ak - 0,24)(1,45 - L / B - 0,1 B / d -

0,5 Су / Ст + 0,705) К°у;

Срру = (0,067 (Ь / В) - 0,25 (В / Ф) - 1,5 (Су / Ст) + 2,165) Кььу; Л

у

С"у = 0,06 х 0,5 (ак1/2 - 10 (ок2 - 2,7 о + 1,5));

СРт = ((1 - 0,1 аг^((4 - Фн) / Ьрр) х 180 / п) (0,8 + 30 (0,001 +

рр^

+ (0,95 - ок)2)) (е (Ь/В) (0,05 (Ь ' В) - 0,7) - (0,07 (В / Ф) + 0,1 Су / Ст) + + 0,226)) Кт; ^

С№т = |(3,07 ок - 1,68)(0,144 - 0,005 (Ь / В) - 0,02 (В / Ф))| К№т; С№ррт = |(1 + аг^((4 - Фн) / Ьрр) (180 / п) (0,23 - Ф / Ь))(0,85 + + 40 (1,1 ок2 - 1,76 ок + 0,704)) (0,203 - 0,012 (Ь / В) + 0,5 (Ф / В)2 -- 0,01 (В / Ф) + 0,02)| У

От модели Басина она отличается более гладким характером зависимости кинематических и динамических характеристик от геометрических размеров самого судна и учетом добавочного демпфирующего момента при значительных углах дрейфа.

Примечание. Здесь и далее К Кь Кьт, - поправочные

коэффициенты, учитывающие влияние мелководья на боковые силы и моменты сопротивления на корпусе. При движении на бесконечно глубокой воде эти коэффициенты равны единице.

Модель Гофмана (Гофман, 1988; Павленко, 1979). Для крупнотоннажных судов внутреннего плавания с большим коэффициентом общей полноты (Су > 0,8) В. И. Коган и А. Д. Гофман получили зависимости, в которых дополнительно учитывается по одной нелинейной составляющей боковой силы и момента, пропорциональной произведению в0

СуГ = Сру в + Срру в в + С"у + в | |; ^

Стг = СРт в - С№т ^ - С^ в | |, Сру = 3,7 (Ф / Ь) КЬу;

Срру = (0,02 (В / Ф)2 - 0,24 (В / Ф) + 13 (Ф / Ь) + 0,024 (Ь / Ф)) х

>

х К"

у

С№у = 0;

(19)

У

>

Cpwy = 0,127 - 0,12 <тк;

Cpm = (0,00174 (Ь / B) + 0,0868)(21 (й/ L) + 0,285) К^; Cwm = |-0,1364 - 0,0174 (В / й) + 0,093 (В / й)1/2 - 0,3 (й / Ь) + + 0,03 ок1

CPwm = |-0,089 + 0,11 (й / В) + 1,81 ((й / В) - 0,15)3|. Модель японских инженеров (Гофман, 1988). Группа японских исследователей принимает для морских транспортных судов:

СуГ = сру в + Свву в I в01 + Cwy ^ + Cpwy в I ^ I + Л

+ Cwwy ^ I ^ I;

Cmг = ^ в0 - CWm ^ + CPPWm ^ ^ - С^ Д ^ +

+ С m ^г | ^г I

Сру = (п й / Ь + 1,4 Су В / Ь) Ку;

Срру = (-0,08 + 6,53 (1 - Су)(й / Ь)) Кььу;

Су = (п / 2) / (й / Ь);

Cpwy = 0,44 - 1,73 (1 - Су)(й / В);

С-у = -0,48 (1 - Су)(й / В);

С1^ = 2 (й / Ь) К^; (20)

Cwm = Ь1,08 (й / Ь)(1 - 2 й / Ь) К^; Cpwwm = ^,06 - 0,42 Су (й / В)!. Данная модель использует полиномиальную аппроксимацию более высокой степени, в отличие от других моделей, и за счет этого способна более адекватно отражать ситуации, когда вклад вращательного движения судна в текущие кинематические характеристики становится соизмеримым с вкладом основного поступательного движения.

Коэффициенты Срр^ и С^ определяются по графику, представленному в Приложении 1.

Модель Павленко (Павленко, 1979). Следующие формулы получены на основе уточнения аппроксимационных формул В. И. Когана для грузовых судов внутреннего плавания. В данной математической модели для

]

момента гидродинамических сил используется линеиная зависимость, причем способ определения коэффициента демпфирующего момента весьма специфический, он учитывает мало параметров судна и пригоден лишь для достаточно ограниченного класса судов:

СуГ = Сру во + Срру во I во I + Су ^ + ср\ во I

у Но

у А'о I но

у г

у Но I Мг |;

Л

т г

С = св в - с

тг т о

сву = 3,14 (й/ Ь) Кьу;

срру = (о,о2 (В / й)2 - о,24 (В / й) + 13 (й / Ь) + о,о24 (Ь / й)) Кьу Су = о,о2 + о,37 (1 - о) - 12 (1 - о)2;

т

(21)

Ср"у = о,12 + 1,2 (1 - ок);

Срт = (5,8 й/ Ь + о,о84) (1,25 - о) <

С№т = (1 / (15 В / й - 37,5)) J

Модель Першица (Гофман, 1988) в принципе аналогична модели Басина и отличается от нее более гладкими степенными, а не кусочно-линейными или кусочно-квадратическими зависимостями коэффициентов сил и моментов от геометрических параметров судна. Р. Я. Першиц рекомендует принимать для морских транспортных судов при |во| < 15° и |мг| < о,7:

Суг = сру во + срру во | во |;

С = ср в - с

тг т о

Л

М .

тг

сру = (п (й / Ь) (о,65 ст / су)5/2 (Ь / (6 В))1/3 + (о - о,96)) срру = (о,72 (3 й/ В)1/2 (о,7 ст / су)3/2 + 1,25 (о- о,95)) Кьу;

>

срт = (1,8 (й / Ь) + о,6 (о,7 - су / ст) + (о,97 - о)) К

т

Ст = |(о,о5 + о,58 й/ Ь) о4|

(22)

У

Модель Соболева (Соболев, 1976; Гофман, 1988) учитывает, во-первых, добавочный демпфирующий момент при значительных углах дрейфа, как и в модели Мастушкина, во-вторых влияние кормового дейдвуда или стабилизатора на гидродинамические характеристики корпуса судна. Г. В. Соболев для морских транспортных судов при |во| < 15° и ^^ < о,8 предложил следующие зависимости:

>

Суг = Сру Д + СРРу в I в I + к + Ср\ в I к

у г

у I '"г

Сщг = ^ в - CWm к - Д к СРу = 3,14 (* + 3,6 О (й / Ь) Кьу;

Срру = 0,8 (3 й / В)1/2 Кьу;

Cwy = - (4,71 (1 - ок) + 11,4 ост хст отн) / (й / Ь);

CPwy = 0,5 (3 й / В)1/2;

Cpm = (1,33 Су (1 - 0,75 (В / Ь))(4 о - 1) + 4,71 (1 - ок) + + 11,31 Ост *ст_отн) (й / Ь) ^

Cwm = |(0,67 Су (1 - 1,6 (В / Ь))(3 о- 1)(ок - он) + 0,79 Су2 +

_ ) (й / Ь)| К^ CPwm = ^,13 (3 й/ B)1/2|; Он = 1 - ^ек / (0,5 Ь й);

+ 11,31 Ост Хстотн.

Г = Г / Т ■

^ст отн ^ст '

л

(23)

У

Ост = Аст / (0,5 Ь й),

где Аек - площадь, дополняющая носовую часть погруженной части диаметральной плоскости до прямоугольника при посадке судна на ровный киль;

Аст - площадь кормового дейдвуда или стабилизатора (если есть);

хст - отстояние центра площади дейдвуда или стабилизатора от

мидельшпангоута;

& определяется по графику, приведенному в Приложении 1.

Нелинейные модели. Это наиболее сложные и наиболее точные математические модели движения судна, в которых полностью учитываются проекции всех сил на оси х и у, используется система уравнений (7) без каких-либо упрощений, для всех сил и моментов используются аппроксимационные зависимости, проверенные для всех возможных углов дрейфа в диапазоне от (- п) до п при любых внешних условиях плавания, при любых начальных скоростях и при любых

режимах работы средств управления судна. Зависимость для боковых сил и моментов в таких моделях не приводится к виду формул (15) и (16), и содержит, как правило, тригонометрические функции. В имеющейся литературе был разобран только один пример построения такой математической модели.

Модель Тумашика (Тумашик, 1978). А. П. Тумашиком предложена обобщенная математическая модель для расчета сил, действующих на судно при выполнении сильных маневров с большими угловыми скоростями, в том числе при вращении судна на месте под действием подруливающих устройств. При этом большая часть коэффициентов уравнений движения судна рассчитываются точно так же, как в модели Басина, и при малых углах дрейфа и малых относительных угловых скоростях в линейном приближении модель Тумашика дает результат, идентичный модели Басина. Принципиальное отличие от модели Басина состоит в том, что все зависимости для сил и моментов здесь приводятся

- ^2,7-2 2\ 1/2

не к линейной скорости, а к величине (vw + L w ) , учитывающей и поступательное, и вращательное движение судна, и кроме того, добавлен ряд дополнительных нелинейных составляющих сил и моментов, отражающих реакцию судна на его вращение на месте. Формулы для расчета сил и моментов, действующих на корпус, в модели Тумашика сводятся к следующим выражениям:

X = с/ р (vw2 + L2 w2) Al. / 2; ^

Y = Су* р (Vw2 + L2 w2) Al. / 2;

Мв = Ст* р (Vw2 + L2 w2) Al. L / 2;

Q = L w / ((L w)2 + Vw2)1/2;

CX3 = -0,075 sin((n - arcsin (CX0 / 0,075))(1 - 180 / (Д)); V

G0 = (1 - 90 / ^°x) / sin ^ ; |

G1 = - CX0 - (l Pw 1 / n)(CX3 - CX0);

G2 = (CX3 - CX0) / (2 П);

J

ф = e (1 - Gq sin ew); F1 = (G1 + G2 sin (2 Ф)) cos Ф;

^xn = Fi + (0,075 - |Fi|) sin3 (п (1 - cos Ф)); ^

= Cxn (1 - Q2); CYn = 0,5 Cpy sin 2ew |cos Д ] + Срру sin2 Д. sgn(sin 2Д,) + + C3 |sin3 2pw ] x sin 2в;

3 w w

*

' = С

Y Yn

С/ = СYп (1 - Q2);

(24)

A1 = 0,09 - Cwm - 0,0033 (L / B - 7) - 20 (d/ L - 0,05)2 + + 0,4 (a- 0,9) + 0,05 (Ст- 0,9);

A2 = 0,016 L / B + 1,8 (d / L - 0,05) + 0,9 (a- 0,955);

C = Cwm + A1 |sin в + 0,5 A2 (1 - cos(4 (п / 2 - |Д |) cos в + + 0,1 | sin 2 ew |));

Cmn = m1 sin 2Av + m2 sin Av + m3 sin3 2Av + m4 sin4 2Av sgn Д.;

a1 = 2 / (2 a- 1)

Ствр = 0,473 (Срру / a) (1 / 16 + 1 / a4);

Ст = Cmn cos (п П/2) (1 + 0,5 |Q| cos 4Pw) -- (Cr/ п) sin (п Q) - CmBp |Q| Q J

Коэффициенты Сру , Срру, m1, m2, Cwm, С3, m3, m4 определяются через геометрические параметры судна примерно по таким же алгоритмам, как и в модели Басина, с использованием кусочно-линейных и кусочно-квадратических зависимостей, а угол у 0x - по графику. Более подробно модель Тумашика описана в Приложении 1.

5. Критический анализ моделей. В ходе данного исследования был разработан программный продукт для моделирования движения судна, на базе которого был проведен вычислительный эксперимент по тестированию в компьютерном варианте всех перечисленных математических моделей на адекватность на примере танкеров и промысловых судов. Подробное описание программного продукта и

проведенных вычислительных экспериментов будет опубликовано в следующей работе. Результаты моделирования стандартных маневров сравнивались с результатами натурных экспериментов по этим судам. В качестве критерия соответствия рассматривалась относительная погрешность в определении кинематических параметров в нескольких характерных точках того или иного стандартного маневра, в том числе относительная погрешность в определении выдвига, прямого смещения, тактического диаметра, установившегося угла дрейфа и установившейся линейной скорости при циркуляции, тормозного пути при активном торможении, углов зарыскивания при маневре «зигзаг», установившейся угловой скорости при развороте судна на месте за счет подруливающего устройства, включенного на полную мощность.

Тестирование каждой математической модели осуществлялось в следующей последовательности:

1) на физическую адекватность, на предмет того, чтобы каждое управляющее воздействие хотя бы с качественной точки зрения действительно приводило к тому маневру судна, для которого оно предназначено, и чтобы спустя некоторое время после маневра устанавливался вполне стабильный и физически объяснимый режим движения судна;

2) если поведение модели физически адекватно, оно сравнивалось в количественном отношении с результатами натурных экспериментов по соответствующему маневру, и вычислялась относительная погрешность в определении характерных кинематических и динамических параметров в некоторых точках этого маневра;

3) если для данного маневра по данному судну отсутствовали данные натурных экспериментов, поведение модели сравнивалось со стандартом 1МО (Резолюция МБС.137 (76) от о5.12.о2 «Стандарты маневренных качеств судов») на предмет того, чтобы моделируемые характерные кинематические и динамические параметры маневра попадали в некоторый

допустимый диапазон для данного класса судов (в предположении, что реальное судно заведомо соответствует всем стандартам).

При этом для каждого судна тестировались сразу все рассмотренные математические модели. Каждая из частично линеаризованных моделей тестировались в двух модификациях - в исходном виде, предложенном автором, то есть с упрощенной системой дифференциальных уравнений в форме (11) - (13), и в полной форме с системой дифференциальных уравнений (8).

Ни одна модель не является идеальной, ни одна не обеспечивает приемлемую точность соответствия кинематических параметров сразу по всем интересующим нас стандартным маневрам ни для одного судна и тем более ни одна модель не может считаться универсальной. Был выявлен целый ряд недостатков у всех математических моделей. Одни недостатки уже упоминались самими авторами как ограничения на сферу применения этих моделей, что потом подтвердилось вычислительным экспериментом. Другие недостатки могут быть выявлены чисто теоретическим анализом структуры математической модели даже без эксперимента, однако на них ранее не обращалось внимания из-за нетипичности подобных маневров или подобных комбинаций внешних условий. Третьи недостатки проявляются довольно неожиданно и были обнаружены только путем проведения вычислительных экспериментов и сравнения их результатов с результатами натурных экспериментов.

Перечень недостатков существующих математических моделей и ситуаций, когда они приводят к количественной и качественной неадекватности.

Частично линеаризованные модели.

При использовании упрощенной системы дифференциальных уравнений в форме (11) - (13), рекомендованной авторами этих моделей, в ходе данного исследования было выявлено следующее:

1) не может адекватно отражаться циркуляция судна одновременно с разгоном или торможением. При этом либо модель никак не будет реагировать на изменение режима работы движителя, то есть не будет ни разгоняться, ни тормозить, если используется уравнение (13), либо на циркуляции будет устанавливаться такая же большая линейная скорость, как и на прямом курсе, если используется уравнение (12).

Так происходит из-за того, что в модели используются чрезмерно упрощенные предположения относительно продольных сил различной природы и вместо подробного анализа сил, возникающих при циркуляции и их наложения на другие силы, используется чисто эмпирическое и чисто ассоциативное соотношение (12), в котором воздействия на скорость уже не принимают характер силы и не могут складываться с другими факторами, влияющими на движение судна. Это связано еще и с тем, что математические модели подобного рода изначально создавались на основе не натурных, а модельных экспериментов и еще на этапе построения моделей их авторами имели место сложности при адекватном пересчете всех сил на случай с реальным судном;

2) модель дает лишние, иногда слишком сильные, физически неадекватные понижения скорости движения судна по формуле (12), например, в следующих случаях:

- на участке с закруглениями течения реки или канала при большой скорости течения и малых радиусах закругления;

- при попадании судна, движущегося прямым курсом, в область с сильным почти попутным ветром, направленным под некоторым углом, если у этого судна все надстройки сильно смещены в кормовую или, наоборот, сильно смещены в носовую часть;

- при включении подруливающего устройства, когда судно идет малым передним ходом.

Причина этого явления - та же самая, в слишком грубой ассоциативной связи между изменением линейной и угловой скорости, без

учета конкретных факторов, обуславливающих тот или иной характер движения судна, которые отнюдь не всегда, заставляя судно вращаться, обязаны замедлять его движение. В перечисленных случаях несоответствие может проявляться не на уровне установившегося движения судна, а лишь во время сравнительно коротких переходных процессов, на которые при анализе натурных экспериментов чаще всего не обращается особого внимания. Однако следует учесть, что тенденция к занижению линейной скорости, а значит и смещения судна во время подобных достаточно сложных маневров в таких математических моделях по сравнению с реальным судном будет приводить к принятию неверных и потенциально опасных решений;

3) при развороте первоначально неподвижного судна за счет подруливающего устройства математическая модель показывает разворот судна на месте вокруг собственного центра тяжести без какого-либо смещения, что сильно идеализирует ситуацию. На самом деле с физической точки зрения некоторая ненулевая скорость смещения должна быть практически всегда - как в случае с одним подруливающим устройством, так и с несколькими подруливающими устройствами, расположенными не симметрично относительно центра тяжести судна. Такое несоответствие связано с тем, что упрощенная структура дифференциальных уравнений (11) - (13) не предполагает, что поперечно направленные силы могут влиять на линейную скорость судна. Подобное несоответствие частично линеаризованной модели реальной ситуации также потенциально опасно, особенно когда данный маневр совершается в условиях стесненной акватории или вблизи других судов.

С целью борьбы с указанными недостатками математических моделей в данном исследовании сделана попытка использовать полную форму системы дифференциальных уравнений (8), оставляя при этом частично линеаризованные формулы для боковых сил и моментов гидродинамического сопротивления на корпусе судна, предложенные

авторами этих моделей. Перечисленные недостатки модели устраняются, однако вместо них возникают другие несоответствия:

- при циркуляции с фиксированным углом перекладки руля моделируемое судно начинает двигаться не по окружности, а по сужающейся спирали, при этом линейная скорость чрезмерно падает, а угол дрейфа постепенно возрастает до 90 градусов или больше, либо просто судно начинает вращаться на месте (см. рис. 2). Указанный недостаток в одних моделях проявляется практически сразу, а в других -только при достаточно больших углах перекладки руля.

Примечание. Соответствующие графики (рис. 2) построены в ходе вычислительного эксперимента с использованием программного продукта, разработанного на этапе проведения настоящего исследования.

Это явление связано с тем, что в модели возникает положительная обратная связь и по мере развития циркуляции за счет обычного руля, расположенного за гребным винтом, эффективность действия руля все более усиливается.

Во всех математических моделях используется зависимость, согласно которой упор гребного винта зависит не только от частоты его вращения, но и от скорости натекания потока и достигает максимальной величины при нулевой скорости. С другой стороны, силы на обычном руле, расположенном за гребным винтом, возрастают по мере роста упора винта на переднем ходу. Соответствующие достаточно громоздкие формулы подробно описаны в Приложении 1, однако в данной работе более подробно они не анализируются, так как указанные явления общеизвестны и сомнений не вызывают.

Другое дело, что в математической модели развивается положительная обратная связь по следующему принципу: перекладка руля в начале циркуляции ^ появление угла дрейфа за счет поперечных сил на руле ^ снижение линейной скорости за счет возросшего сопротивления из-за увеличившейся площади сечения судна в направлении,

перпендикулярном вектору скорости, и за счет того, что этому сопротивлению противодействует не весь упор винта, а лишь проекция упора на направление скорости ^ возрастание упора гребного винта при той же частоте вращения ^ дальнейшее возрастание эффективности работы руля, расположенного за гребным винтом, поскольку нагрузка на винт увеличилась по сравнению с той, какая была в начале циркуляции ^ дальнейший рост угла дрейфа ^ дальнейшее снижение скорости и т. д..

Рис. 2. Моделирование циркуляции по модели Басина на примере танкера Саратов в грузу. Угол перекладки руля 35 град (Примечание. Пунктирными линиями показано поведение реального судна по данным натурных экспериментов).

Ключевым звеном здесь является влияние гребного винта на работу руля. При использовании частично линеаризованной системой в форме (11) - (13) положительной обратной связи не было либо из-за того, что все коэффициенты сил на руле рассчитывались один раз в начале циркуляции,

исходя из такого упора винта, который имел место на прямом курсе, либо из-за того, что понижение линейной скорости сдерживалось по достаточно искусственной формуле (13). Более глубокая причина подобных несоответствий состоит в недостаточной изученности влияния гребного винта на работу руля во всех возможных режимах при косом обтекании движительно-рулевого комплекса и в слишком грубых чисто ассоциативных эмпирических формулах, которые используются для учета такого влияния.

Помимо этого выявлен ряд других недостатков частично линеаризованных моделей, которые проявляются совершенно одинаково вне зависимости от выбора формы представления системы уравнений - (8) или (11) - (13):

1) при развороте первоначально неподвижного судна на месте за счет подруливающего устройства угловая скорость продолжает медленно, но практически неограниченно возрастать (см. рис. 3).

120 п 100 7 80

в

I 60

а.

5* 40

20 0

0 2 4 6 в 10 12 14

1 (мин.)

Рис. 3. Моделирование разворота первоначально неподвижного судна при полной мощности подруливающего устройства. Танкер Саратов в грузу. (Примечание.

Пунктирной линией показано поведение реального судна по данным натурных

экспериментов).

Примечание. Соответствующий график (рис. 3), обозначенный сплошной линией, построен при выполнении настоящей работы в ходе вычислительного эксперимента с использованием того же самого программного продукта, разработанного для проведения настоящего исследования.

Это явление связано с тем, что в частично линеаризованных моделях не учитывается сложный характер зависимости демпфирующего момента одновременно от угловой скорости w и линейной скорости V. Авторов этих моделей совершенно не интересовало, какая будет в формулах (15) и (16) зависимость от линейной скорости, главное - чтобы момент сопротивления на корпусе Мв находился в линейной или полиномиальной зависимости от безразмерной угловой скорости wr = w Ь / v0, а значит, и от угловой скорости w. В моделях с полиномиальной зависимостью все равно преобладает линейная составляющая. При переходе от безразмерных величин к физически осмысленным размерным из этих формул следует, что момент сопротивления на корпусе Мв при нулевом угле дрейфа пропорционален произведению (^ С физической точки зрения это довольно абсурдно, из подобной математической модели следует, что судно совершенно не сопротивляется вращению на месте. На самом деле чувствительность демпфирующего момента к линейной скорости должна быть гораздо менее существенной, чем прямая пропорциональность и, во всяком случае, при нулевой линейной скорости при вращении судна на месте момент сопротивления Мв должен быть ненулевым. Более глубокая причина подобного явления заключается в том, что математические модели строились на основе не натурных, а модельных экспериментов с уменьшенными макетами судов и возникла проблема пересчета всех сил и моментов с учетом эффектов масштаба в случае с малыми скоростями, когда зависимость сил сопротивления от скорости существенно не квадратическая. Указанное явление может проявляться, правда, не столь резко, и при маневрировании судна на малых ходах даже без

подруливающего устройства с использованием одних основных средств управления;

2) в модели Басина при постепенном добавлении грузов на судно и постепенном изменении его посадки моделируемые параметры судна могут скачкообразно меняться, а иногда в определенных состояниях загрузки циркуляции судна моделируются адекватно, а в других наблюдается такая же картина, как на рис. 2.

Причина этого явления в плохих аппроксимационных зависимостях коэффициентов сил и моментов сопротивления от параметров судна в модели Басина в виде кусочно-линейных и кусочно-квадратических функций, которые на даже не состыкованы между собой на соседних интервалах. При составлении модели Басина, по-видимому, была выполнена недостаточно глубокая систематизация экспериментальных данных по разным типам судов, в результате чего модель сработала в большей степени на простое запоминание параметров конкретных судов в их конкретных состояниях загрузки со всеми погрешностями при экспериментальном измерении кинематических параметров, чем на выявление физической сущности процесса. Кроме того, возможно, модель Басина искусственно составлялась таким образом, чтобы упростить вычислительную процедуру с учетом возможностей той вычислительной техники, которая была доступна в 50-ые - 70-ые годы. Например, в данной модели минимизировано количество вычислений степенных, показательных и логарифмических функций, зато очень много проверок условий и очень много линейных и квадратических функций. В настоящее время нет никакого практического смысла в подобных упрощениях вычислительных процедур в ущерб адекватности модели. В других моделях названный недостаток отсутствует. Таким образом, частично линеаризованные модели обладают плохой адекватностью:

а) при маневрировании судна на малых ходах;

б) в таких ситуациях, когда возмущения линейной скорости судна -причем неважно, в какую сторону, - вызванные внешними факторами -например, ветром, течением, мелководьем, волнением - становятся соизмеримы или превышают собственную скорость судна, которая достигалась бы при том же режиме работы движителя на тихой глубокой воде на прямом курсе.

Преимуществом таких моделей является сравнительная простота пересчета на каждом шаге при решении системы дифференциальных уравнений движения судна любым численным методом (аналитическое решение возможно только в случае с чисто линейными моделями). Однако результаты вычислительных экспериментов показывают, что этот фактор отнюдь не является критическим и возможности современной вычислительной техники позволяют без усилий одновременно моделировать движение нескольких судов в ускоренном в несколько раз масштабе времени с хорошим разрешением по времени.

Недостатки таких моделей связаны со следующими обстоятельствами:

1) модели приходилось адаптировать под сравнительно слабые возможности вычислительной техники 50-ых - 70-ых годов;

2) во время создания математических моделях основное внимание уделялось задачам, связанным с движением судов в открытом море, как правило, на больших ходах, вопросам ходкости и устойчивости на курсе, удержания судна на заданном курсе при неблагоприятных внешних условиях плавания, оптимизации расхода топлива при движении судна между заданными пунктами и т. п. В настоящее время более актуальны вопросы безопасности судовождения, которые в большей степени связаны с поворотливостью судна и с маневрированием в стесненных условиях в портовых акваториях или вблизи других судов - как правило, это маневры при сравнительно небольших линейных скоростях, но с большими углами дрейфа.

Нелинейные модели.

Они были бы идеальны для наших задач в современных условиях, однако данный класс математических моделей с учетом произвольных маневров судна с произвольными углами дрейфа до настоящего времени разрабатывался мало, соответствующих экспериментальных данных получено недостаточно, и все они плохо систематизированы. По имеющимся литературным источникам на эту тему можно привести лишь один пример - модель Тумашика. К сожалению, она обладает тем же самым существенным недостатком, что и модель Басина, поскольку создавалась на ее основе, а именно - ей свойственны скачкообразные изменения кинематических и динамических параметров по мере изменения загрузки и посадки судна, достижение приемлемой точности при одних состояниях загрузки судна и полная неадекватность модели при других. Этот недостаток во многом перечеркивает все положительные качества данной модели.

6. Заключение. Таким образом, в данной работе проанализированы существующие подходы к математическому моделированию движения судна как управляемой динамической системы, функционирующей в сложных изменяющихся условиях внешней среды, и основные классы задач, связанных с этими моделями. По результатам вычислительных экспериментов и их сравнения с натурными экспериментами выявлены существенные недостатки у всех математических моделей. Удалось выявить области преимущественного применения линейных, частично линеаризованных и нелинейных моделей.

Для моделирования движения судна в навигационных тренажерах и системах прогнозирования движения судна в современных условиях наиболее предпочтительны полностью нелинейные модели, однако

построение универсальных нелинейных моделей для любых классов судов весьма затруднительно из-за недостаточного количества проведенных исследований. Поэтому возникла идея взять за основу ту или иную частично линеаризованную модель, использовать в ней полную не упрощенную систему дифференциальных уравнений, и дополнить ее некоторым количеством поправочных калибровочных коэффициентов на тип судна и подобрать эти коэффициенты, добиваясь максимального сходства модельной и экспериментальной траектории. Но добавлять эти коэффициенты нужно в минимальном количестве, чтобы выровнять только наиболее существенные расхождения в поведении модели и судна и только те, которые хуже всего описываются теорией. Все остальные параметры, в которых погрешность модели сравнима с погрешностью измерений, нужно оставить как есть, чтобы математическая модель сохраняла универсальный характер и не превращалась в модель одного конкретного судна в одном конкретном состоянии загрузки. В дальнейшем, когда придется моделировать другие типы судов, по которым еще не было экспериментов, можно было бы оставить эти коэффициенты в том виде, каковы они были у наиболее сходного из ранее рассмотренных типов судов. Среди аспектов математической модели, для которых было бы целесообразно выполнять такую калибровку, можно назвать, например, влияние гребного винта на работу руля при косом обтекании или влияние линейной скорости на способность судна сопротивляться вращательному движению, то есть на демпфирующий момент. В связи с этим намечается цель дальнейших исследований - совершенствование математических моделей движения судна и проведение дополнительных вычислительных экспериментов с модифицированными математическими моделями на примере нескольких типов судов. Результаты этих исследований будут опубликованы в следующих работах.

Приложение 1. Описание математических моделей движения судна

(все математические модели приведены к единой системе обозначений, которая может отличаться от обозначений, рекомендованных авторами отдельных публикаций)

>

Общая структура всех моделей.

Система уравнений движения судна как твердого тела:

2 2

& х0 / & = ¿X ^х0 { (¿, С, &х0 / &у0 / dq / Ж, х0(?), у0(0, q(0, и(Г), Ь(0, Е(0) / т

&у0 / й^1 = ¿X ^у0 1 (¿, С, &х0 / &£, &у0 / &£, dq / &£, х0(£), у0(0, q(t), и(Г), Ь(0, Е(0) / т | (25)

d2q / = ¿X М{ (¿, С, &х0 / &£, &у0 / &£, dq / &£, х0(£), у0(0, q(t), и(0, ЦО, Е(0) / т. ^

Целью моделирования является определение координат центра тяжести судна в неподвижной системе (х0, у0) и курсового угла q во все моменты времени.

Рис. 4. Системы координат. Примечание. Для удобства читателя здесь повторяются некоторые формулы из п. 3 и 4, описывающие общую структуру математических моделей, и рис. 1, наглядно отражающий смысл основных кинематических параметров движения судна.

Эквивалентная система дифференциальных уравнений в подвижной неинерциальной системе координат:

Хин + £ Fx i (t, C, dx0 / dt, dy0 / dt, dq / dt, x0(t), y0(t), q(t), U(t), L(t), E(t)) / m = 0

YHK + £ Fy i

(t, C, dx0 / dt, dy0 / dt, dq / dt, x0(t), y0(t), q(t), ^ U(t), L(t), E(t)) / m = 0 (26)

Мин + iZ Mi (t, C, dx0 / dt, dy0 / dt, dq / dt, x0(t), y0(t), q(t), U(t), L(t), E(t)) / m = 0

Л

у

У

dx0 / dt = v cos (q -dy0 / dt = v sin (q - ¡в); dq / dt = w;

J

vx0 = V cos Д vy0 = - v sin Д

Курсовой угол q и угол дрейфа в считаются положительными, если они отсчитываются по часовой стрелке, как показано на рис. 4. Инерционные силы и моменты:

а) полные, включая компоненты демпфирующих инерционных сил и моментов, зависящих от присоединенных масс (то есть в том виде, как это следует из классической механики):

Хн = - pV (1 + *п) (dVxo / dt) + pV (1 + k22) Vy0 w ; -^ = - PV (1 + k22) (dVyo / dt) - pV (1 + kn) Vxo w ; L (28)

Mz = - 4 (1 + квв) (dw / dt) + pV (kn - k22) Vxo Vyo , ^

б) за вычетом компонентов демпфирующих инерционных сил и моментов, зависящих от присоединенных масс:

Хин = - pV (1 + kn) (dVxo / dt) + pV Vyo w ;

^ин = - pV (1 + k22) (dVyo / dt) - pV Vxo w ; f (29)

Mz = - Iz (1 + k66) (dw / dt)

Именно в такой форме (29), не совсем корректной с физической точки зрения, инерционные силы учитываются во всех рассматриваемых нами математических моделях. При этом недостающие компоненты включены в состав сил и моментов гидродинамического сопротивления на корпусе, поскольку экспериментально определить эти силы раздельно довольно затруднительно.

Система дифференциальных уравнений относительно V(t), Д7), w(t): а) для стандартного случая, когда инерционные силы и моменты выделены полностью, как это следует из теории:

Л

>

J

¿V . в _(1 + к 22 1 + кп. (г X Руг)*™ в (г Е ^^ в

-= *1п в со* в(-22---—) —^-+ —=-;

¿г 1 + к11 1 + к22 (1 + к 22)рУ (1 + кп)рУ

¿в ((1 + к 22 ) *1п 2 в (1 + кп)с082 в) (г Е Рхг)81п в (г Е ^>0* в

-= w(--\--)----;

¿г 1 + к11 1 + к 22 (1 + к11)р¥у (1 + к 22)рУу

дм! ¿г

рУ (к22 - кц)у 2*1п(2в) + г ЕМг .

+;

2 (1 + к 66) 1г

б) реально используемая во всех математических моделях, когда компоненты демпфирующих инерционных сил и моментов, зависящие от присоединенных масс, включены в состав сил сопротивления на корпусе:

¿V

¿г

= -т> *1П в со* в(

1 ) (, Е ^ )*1П в (, Е Ргг )С0* в ^ )---1--

1 + к11 1 + к22 (1 + к22)рУ (1 + к11)рУ

¿в (*1П2 в со*2 в) (г Е )§1П в (г Е )С0* в -= м\--\--)----;

¿г 1 + к11 1 + к22 (1 + k11)рУv (1 + k22)рУv

>

, Е м .

¿м

¿г = (1 + кбб) '

(31)

!г « 0,05 р У Ь1 . Коэффициенты присоединенных масс:

ки = 0,5 (й / Ь) Кип ;

к22 = (2 с1 / В)(1 - В / (2 Ь)) К22Н ;

кбб = 1,5 ((^ / В) - 0,05 (6 - Ь / В)) Кббн ,

(32)

(33)

Л

где К11Н, К22Н, К66Н - коэффициенты, учитывающие влияние мелководья на присоединенные массы.

На глубокой воде К11Н = К22Н = К66Н = 1. X 1 (г, С, ¿х0 / ¿г, ¿у0 / ¿г, ¿д / ¿г, х0(г), у0(г), д(г), и(г), ь(г), Е(г)) = X + хр + гЕ + хвнеш ;

X 1 (г, С, ¿х0 / ¿г, ¿у0 / ¿г, ¿д / ¿г, х0(г), у0(г), д(г), и(г), ь(г), Е(г)) = 7В + 7р + тш + 7вне1П ; ( (34)

X м1 (г, С, ¿х0 / ¿г, ¿у0 / ¿г, ¿д / ¿г, х0(г), у0(г), д(г), и(г), ь(г), Е(г)) = Мв + Мр + Мпу + м^. у

Здесь Хв, 7в, Мв - продольная и поперечная сила и момент гидродинамического сопротивления на корпусе; X У Мр - силы, создаваемые обычным рулем; ^ - эффективный упор гребного винта; Tш,

>

1

МПУ - эффективный упор подруливающего устройства и создаваемый им момент; Хвнеш, ^внеш, Мвнеш - силы, обусловленные внешними условиями плавания - ветром, течением, волнением и т. п.. При движении судна на тихой глубокой воде вдали от каких-либо препятствий и других судов Хшеш = ^внеш = Мвнеш = 0. Каждая из сил и моментов, а также ряд других величин в системе (31) или (30), зависят от совокупности факторов (, С, л(0, w(t), ДО, х0(0, У0(0, #(0, и(0, Ц0, Е(0), однако для простоты записи знак такой функциональной зависимости мы будем опускать.

- скорость судна относительно воды, в - угол дрейфа относительно воды. При отсутствии течения полагаем: = V, Ду = Д.

Введем следующие обозначения:

лх = ^ с°8 в

Л

А*=Ь Л *

>

(35)

У

о= 1 - 3 Ас / ((20 - г) ЛЬ) + 0,054 (Лк - Лн) / Л Су = К/ (Ь В Л);

Ст = / (В Л);

* = 1 - 2 Ас / (Ь Л). Расчет боковой силы и момента гидродинамического сопротивления на корпусе судна.

1) Частично линеаризованные модели.

Система уравнений (31) упрощается за счет линеаризации следующим образом:

в___

л 1 + к 22 (1 + к 22)рКл,

, Е М .

М г Е ¥У[_ . ^

У (36)

Л (1 + к 66) I];

Что касается уравнения для линейной скорости, то здесь нет единого подхода, а многие авторы публикаций вообще не затрагивали этот вопрос. Был предложен такой вариант (см. Справочник... 1985):

ЛЛ г Е

л (1 + к11)рК

- при разгоне или торможении на прямом курсе без перекладки руля

либо

V = л0 / (1 + 1,9 (м Ь / л0)2) (38)

- при выполнении элементов циркуляции при установившемся режиме работы движителя.

Здесь л0 - некая исходная скорость, которую достигало бы судно при том же режиме работы движителя на тихой глубокой воде на прямом курсе. Эту скорость для разных режимов работы движителя необходимо определять экспериментально для каждого типа судна.

Примечание. Возможен вариант использования таких математических моделей с полной неупрощенной системой уравнений (31) вместо системы (36) - (38). При этом в нижеследующих формулах можно считать л0 =

Введем следующие обозначения:

в = в при (- п/2) < в < п/2;

в = п - в при п/2 < в < п;

в = - п - в при в < -п/2. ^ (39)

= м Ь / л0.

Продольная сила сопротивления определяется следующим образом: X = - |СХ0 (лх)| рлх2 sgn(vx) ALa / 2 (40)

Через sgn здесь и далее обозначается функция, возвращающую знак числа: sgn(x) = - 1 при х < 0; sgn(x) = 0 при х = 0, sgn(x) = 1 при х > 0.

На самом деле зависимость силы сопротивления от скорости не квадратическая, и сам по себе коэффициент сопротивления СХ0 тоже зависит от продольной скорости лх относительно воды. Эмпирические формулы, отражающие характер такой зависимости, приводятся ниже, причем они одинаковы для всех математических моделей.

Зависимость боковой силы и момента сопротивления от угловой скорости и угла дрейфа имеет при прочих равных условиях следующий

полиномиальным вид:

Yb = - суг Pvw2 Alü / 2;

-yr

Mb = Cmr pvw2 Al_ L / 2

C

C

= (I Ae 0 'w/);

>

(41)

( i , j )

= (I B j в 0 );

(i, j )

где Ajj и Bjj - некоторые безразмерные коэффициенты, которые в каждой конкретной математической модели вычисляются по своим эмпирическим формулам и графикам исходя из соотношений между геометрическими размерами, коэффициентов полноты и некоторых других геометрических параметров погруженной части корпуса судна.

Во всех моделях будут введены поправочные коэффициенты Kbm, Kwm, Kby, учитывающие влияние глубины фарватера. При движении судна на тихой глубокой воде полагаем Kby = Km = Kwm = Kby = 1. 1.1) Модель Басина (Справочник. , 1985).

суг = 0,5 Cp sin (2 во) cos во + Cpl ял(в)|яп(в)|;

Спг = mi Sln (2 Ю + m2 Sln в - C m wv

a1 = 375 x 0,932 - 725,8 x 0,93 + 349,5

b1 = 3000 x 0,932 - 570 x 0,93 + 2723 при L / B < 6, 7< 0,93,

A

либо

a1 = 375 7 - 725,8 7 + 349,5

b1 = 3000 <2 - 570 7+ 2723 при L / B < 6, 0,93 < 7< 0,95, либо a1 = 150 <2 - 293,5 7+ 141,97

b1 = 800 72 - 1560 7+ 773,5 при L / B < 6, 0,95 < 7< 0,97, либо a1 = -1,137 72 + 0,24 7- 0,753 b1 = - 4,667 7+ 17,57 при L / B < 6, 7> 0,97, либо a = 1000 x 0,932 - 1898 x 0,93 + 900

Ь1 = 1800 х 0,932 - 3494 х 0,93 + 1705 при 6 < Ь / B < 8,

о< 0,93, либо

а1 = 1000 о2 - 1898 900 Ь1 = 1800 о2 - 3494 1705 при 6 < Ь / В < 8, 0,93 < о< 0,95, либо

а1 = 175 о2 - 339,8 163,9

Ь1 = - 30 38,42 при 6 < Ь / В < 8, 0,95 < о< 0,97, либо а1 = - 0,5 о- 0,485

Ь1 = 516,7 о2 - 1032 523,7 при 6 < Ь / В < 8, ст> 0,97, либо

а1 = 350 х 0,932 - 664,5 х 0,93 + 314,96

Ь1 = 3600 х 0,932 - 6928 х 0,93 + 3339 при Ь / В > 8, о< 0,93,

либо

а1 = 350 о2 - 664,5 314,96

Ь1 = 3600 о2 - 6928 3339 при Ь / В > 8, 0,93 < о< 0,95, либо а1 = - 1,5 0,985

Ь1 = 2000 о2 - 3894 1901 при Ь / В > 8, 0,95 < о< 0,97, либо а1 = 1,5 0,985

Ь1 = 316,67 о2 - 629,5 318 при Ь / В > 8, 0,97 < о< 1, либо а1 = 1,5 х 1 + 0,985 (42)

Ь1 = 316,67 х 12 - 629,5 х 1 + 318 при Ь / В > 8, о > 1; ^

и = а1 (Ь / В) + Ь1;

а2 = 16,67 (Л / Ь)2 - 11,92 (Л / Ь) + 0,06; Ь2 = -261,1 (Л / Ь)2 + 213,6 (Л / Ь) - 2,468;

В = а2 и + Ь2;

а3 = 0,2392 (Су / Ст)2 - 0,4009 (Су / Ст) + 0,1815; Ь3 = 0,4033 (Су / Ст)2 - 0,6965 (Су / Ст) + 0,3263; Сру = (а3 В + Ь3) а1 = 54,46 (Су / Ст) - 59,43; Ь = -31,44 (Су / Ст) + 46,8;

u = al (+ bl ;

a2 = - 0,0105 u2 - 0,0585 u + 0,985;

b2 = 0,0б u - 0,б5 u + 2,91 при u < 2, либо

a2 = 0,001 u2 - 0,079 u + 0,98;

b2 = - 0,02б7 u2 - 0,41 u + 2,78 при 2 < u < 5, либо

a2 = - 0,005 u2 - 0,015 u + 0,81;

b2 = 0,03 u2 - 0,89 u + 3,7б при u > 5;

b = a2 (L I B) + b2;

a3 = (d I L)2 + 0,85 (d I L) + 0,0311;

b3 = -55 (d I L)2 + 7,85 (d I L) + 0,124 при d I L < 0,04, либо

a3 = (d I L)2 + 0,615 (d I L) + 0,0405;

b3 = 40 (d I L)2 - 0,1 (d I L) + 0,29 при 0,04 < d I L < 0,06, либо a3 = - 5(d I L)2 + 1,05 (d I L) + 0,036;

b3 = - 10 (d I L)2 + 2,5 (d I L) + 0,314 при 0,06 < d I L < 0,08, либо

a3 = - 5 x 0,082 + 1,05 x 0,08 + 0,036;

b3 = - 10 x 0,082 + 2,5 x 0,08 + 0,3 1 4 при d I L > 0,08;

Cßßy = a b + b3) Kbby;

U = - 23 5 ( + 474,2 (- 23 5,8 - 74,67 x 0,552 + 110,9 x 0,55 -- 39,64 при Cv I Cm < 0,55, либо

U = - 235 ( + 474,2 (- 235,8 - 74,67 (CVICm)2 + + 110,9 (CVICm) - 39,64 при 0,55 < CVICm < 0,7, либо д

U = - 210 ( + 422,9 (- 207,2 + 12 (CVICm)2 - 8,8 (CVICm) -

Vm

+ 474 2 235 8 - 74 67 (C , ^ " lipi ^ < 07

(CV m V m

0,64 при 0,7 < CVICm < 0,85, либо

U = - 210 ( + 422,9 (- 207,2 + 12 x 0,852 - 8,8 x 0,85 -0,64 при CVICm > 0,85.

G = -1,3 U + 7,8 + 0,02333 (L I B)2 - 0,045 (L I B) + 1,187

при U > 4 либо

G = -1,3 U + 2,6 + 0,01792 (L I B)2 + 0,1275 (L I B) + 6,113

при U < 4;

m1 — ((- 0,1317 (й / L)1 + 0,05358 (й / L) + 0,000181) G + + (- 2,361 (й / L)2 + 0,8653 (й / L) - 0,000161)) Кт; т2 — (- 1п(1,023 7) / (11,6 7- 9,29)) К^; Стт = (0,739 + 8,7 й / L)(1,611 72 - 2,873 7+ 1,33) Ктт;

СРт = 2т1 + т2

1.2) Модель Мастушкина (Мастушкин, 1981).

Суг = Сру Д + Срру Д 1в01 + ^ ; Л

Стг = СРт в - С-т ^ - С^ ^

Сру = (7к2 + 0,6 7к - 0,24)(1,45 - L 7 в - 0,1 В / й - 0,5 Су / Ст + + 0,705) Кьу;

Срру = (0,067 (L / В) - 0,25 (В / й) - 1,5 (Су / Ст) + 2,165) К^; С-у = 0,06 х 0,5 (7к1/2 - 10 (7к2 - 2,7 7к + 1,5));

у Л ^ ^к ^ Ч^к ^к

Срт = ((1 - 0,1 аг^((йк - йн) / х 180 / п) (0,8 + 30 (0,001 + + (0,95 - 7к)2)) (е (ь/в) (0,05 (L ' в) - 0,7) - (0,07 (В / й) + 0,1 Су / Ст) +

+ 0,226)) Кп

(43)

т

С-т = |(3,07 7к - 1,68)(0,144 - 0,005 (Ь / В) - 0,02 (В / й))| К^; С-РРт = |(1 + arctg((dк - йн) / Lpp) (180 / п) (0,23 - й / ^)(0,85 +

к н рр

+ 40 (1,1 7к2 - 1,76 7к + 0,704)) (0,203 - 0,012 ^ / В) + 0,5 (й / В)2 -- 0,01 (В / й) + 0,02)| ^

1.3) Модель Гофмана (Гофман, 1988; Павленко, 1979).

Суг = Сру в + Срру в0 | в | + С-у ^ + Ср-у в0 | ^ |; Л

>

Стг = СРт в - С-т ^ - С^ Д | ^г |,

Сру — 3,7 (й / L) Кьу;

Срру — (0,02 (В / й)2 - 0,24 (В / й) + 13 (й / L) + 0,024 (L / й)) Кььу;

т

Су — 0;

К44)

СРт, — 0,127 - 0,12 7;

Срт — (0,00174 ^ / В) + 0,0868)(21 (й/ L) + 0,285) Кт; Стт — |-0,1364 - 0,0174 (В / й) + 0,093 (В / й)1/2 - 0,3 (й / L) +

+ 0,03 ок| К*т;

Ср-т = |-0,089 + 0,11 (Л / В) + 1,81 ((Л / В) - 0,15)3

1.4) Модель японских инженеров (Гофман, 1988).

СуГ = Сру в + Срру в I в0 I + С"у + Ср-у в0 | | + С™ | ^

стг = Срт р - С-т м + Срр-т в2 м - Ср™ р м2 + С™ м х

х| М |,

Сру = (п Л / Ь + 1,4 Су В / Ь) Ку; Срру = (-0,08 + 6,53 (1 - Су)(Л / Ь)) Кььу;

С-у = (п / 2) / (Л / Ь); )Ч45)

Ср-у = 0,44 - 1,73 (1 - Су)(Л / В); С™ = -0,48 (1 - Су)(Л / В); Срт = 2 (Л / Ь) Кт; С-т = |-1,08 (Л / Ь)(1 - 2 Л / Ь)| К^;

С<^т = |0,06 - 0,42 Су (Л / В)|. 7

-0,01 -0,02 = -0,03 О -0,04 -0,05 -0,06 -0,07

(1 0, ]5 0 1 0, 15 0 2 о,:

О/ ■ В I

0 -0,1 -0,2 | -0,3 5 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7

(I 0, ]5 0 15 0 2 о,:

СУ : В/1_

Рис. 5. Графики для определения коэффициентов С

(гГофман, 1988)

ш' ш'

1.5) Модель Павленко (Павленко, 1979).

Суг = Сру во + Срру во I в01 + ^ + С>% во I |; ^

Сшг С ш Д) С ш ;

Сру = 3,14 (й/ Ь) Кьу;

Срру = (0,02 (В / й)2 - 0,24 (В / й) + 13 (й / Ь) + 0,024 (Ь / й)) Кьу;

С"у = 0,02 + 0,37 (1 - о) - 12 (1 - о)2;

= 0,12 + 1,2 (1 - о); Срш = (5,8 й / Ь + 0,084) (1,25 - оК) К0

>

(46)

к' ш' у

С* = (1 / (15 В / й - 37,5)) К

>

т

1.6) Модель Першица (Гофман, 1988).

Суг = Сру в0 + Срру в0 | в0|;

^ = Ср в - С

тг т 0

т г'

Сру = (п (й / I) (0,65 Ст / Су)5/2 (I / (6 В))1/3 + (о - 0,96)) Ку; Срру = (0,72 (3 й/ В)1/2 (0,7 Ст / Су)3/2 + 1,25 (о- 0,95)) Кььу; Срт = (1,8 (й / I) + 0,6 (0,7 - Су / Ст) + (0,97 - о)) К

>

т

С№т = |(0,05 + 0,58 й / I) о4|

(47)

1.7) Модель Соболева (Соболев, 1976; Гофман, 1988).

Суг = Сру в0 + СРРу Д | в + С"у ^г + Ср№у Д |

у 0 0

у^0 I ^г

Стг - Свт А) - С™т ^г - А) |^г|; Сру - 3,14 (к^ + 3,6 оСТ) (й/ I) Кьу;

Срру - 0,8 (3 й / В)1/2 Кьъу;

) / (й / I);

Л

С у - - (4,71 (1 - ок) + 11,4 ост ХсТ_0Ш Ср№у - 0,5 (3 й / В)1/2;

Срт - (1,33 Су (1 - 0,75 (В / !))(4 о - 1) + 4,71 (1 - о) + + 11,31 От *ст_ОТН) (й / I) К°т;

С*т - |(0,67 Су (1 - 1,6 (В / Щ3 о- 1)(о - Он) + 0,79 Су2 +

_ ) (й / I)| К"т; С^т - |0,13 (3й / В)1/2|; Он - 1 - ^ек / (0,5 I й);

+ 11,31 Ост Гст отн

Г - Г / I ;

^ст отн ^ст '

7

(48)

Ост - Аст / (0,5 I й),

где Аек - площадь, дополняющая носовую часть погруженной части

диаметральной плоскости до прямоугольника при посадке судна на ровный

киль (определяется по аналогии с площадью кормового подзора Ае); Аст - площадь кормового дейдвуда или стабилизатора (если есть);

хст - отстояние центра площади дейдвуда или стабилизатора от мидельшпангоута.

(гГофман, 1988)

2) Нелинейные модели. Модель Тумашика (Тумашик, 1978).

В данной математической модели используется система уравнений в форме (31).

= С Р^2 + Ь2 м?2) Л, / 2;

Л

П = Су* Р^2 + Ь2 ^2) Л^ / 2;

М = Ст* р^2 + I2 w2)ЛЪаЬ / 2;

хЬст ка

п = Ь м> / ((Ь ^)2 + Vw2)1/2;

СХ3 = -0,075 Бт((л - агсят (СХ0 / 0,075))(1 - 180 / (Д)); Со = (1 - 90 / Л) / ял Л ;

°1 = - СХ0 - (1 в I / п)(СХ3 - СХ0); С2 = (СХ3 - СХ0) / (2 п);

Ф = в (1 - С вт в);

^ = (в1 + в2 ят (2 Ф)) соя Ф;

7

Л

Схп = Р + (0,075 - В1И3 (п (1 - есв Ф));

сх* = Схп (1 - л2);

Суп = 0,5 Сру 81И 2Д, |сов в + Срру вт2 Д, в§п(в1п 2Д,) + + С3 |вт3 2^ I вт 2^;

Су* = Суп (1 - Л2);

Ах = 0,09 - С*т - 0,0033 (Ь / В - 7) - 20 (б / Ь - 0,05)2 + + 0,4 (а- 0,9) + 0,05 (Ст- 0,9);

А2 = 0,016 Ь / В + 1,8 (б / Ь - 0,05) + 0,9 (а- 0,955); Сг = СГШ + А1 |В1П Д | + 0,5 А2 (1 - сов(4 (п / 2 - |Д |) сов Д. + + 0,1 | Вт 2 Д. |));

Стп = т1 В1П 2в + т2 В1П в + т3 ^ 2в + т4 ^ 2в ^ в

а = 2 / (2 а- 1)

Ствр = 0,473 (Срру / а) (1 / 16 + 1 / а4);

твр

Ст = Стп сов (п Л/ 2) (1 + 0,5 |Л сов 4Д,) - (Сг / п) б1п (пЛ) -

- Ствр | Л Л.

Рис. 7. График для определения угла цРх. (Справочник... , 1985).

Коэффициенты Сву , Свв т1, т2, С^т определяются точно так же, как

в модели Басина (формулы (42)), а коэффициенты С3, ш3, ш4 - по следующему алгоритму (50):

а1 = 24,65 х 0,552 - 29,67 х 0,55 + 7,547 при Су/Ст < 0,55, либо А

у т

ах = 24,65 (Су/Ст)2 - 29,67 (Су/Ст) + 7,547 при 0,55 < Су/Ст <

< 0,72, либо

а1 = 5,917 (Су/Ст) - 5,3 при 0,72 < Су/Ст < 0,85, либо

а1 = 5,917 х 0,85 - 5,3 при Су/Ст > 0,85;

Ь1 = - 60,44 х 0,552 + 74,61 х 0,55 - 9,255 при Су/Ст < 0,55,

либо

Ъ = -60,44 (Су/Ст)2 + 74,61 (Су/Ст) - 9,255 при 0,55 < Су/Ст <

< 0,68, либо

Ъ1 = -10,08 (Су/Ст) + 20,34 при 0,68 < Су/Ст < 0,85, либо

Ъ1 = -10,08 х 0,85 + 20,34 при Су/Ст > 0,85;

С3 = (2,569 (й / Ь)2 - 0,5805 (й / Ь) + 0,00183)(а1 (Ь / В) + Ъ1) -

- 27,7 (й / Ь)2 + 6,428 (й / Ь) - 0,01749;

т3 = (е8>20939(су/ст) 0,7728 х 10-3 - 1,873) 10-3 ((31,26 -

- 9,0146 е0'066947 L/B) 8,6245 е0'071419 L/B - 31,26) / (а- 1,029) + + (- е747893 (су/ст) 0,4404 х 10-2 + 5,709) х 10-2 при 1 либо

т3 = (е8,20939(су/ст) 0,7728 х 10-3 - 1,873) 10-3 ((31,26 -

- 9,0146 е0>066947 L/B) х 1 + 8,6245 е0>071419 ш - 31,26) / (1 - 1,029) + + (-е7,47893 (су/ст) 0,4404 х 10-2 + 5,709) х 10-2 при 1;

Бт4 = - 71,88 (й/ Ь)2 + 4,238 (й / Ь) - 0,066 при й / Ь < 0,028,

либо

^т4 = - 9,375 (й / Ь)2 + 0,8875 (й / Ь) - 0,0212 при 0,028 <

< й / Ь < 0,04, либо

£т4 = - 3,833 (й/ Ь)2 + 0,415 (й/ Ь) - 0,01117 при й/ Ь > 0,04;

т4

и0 = -140,62 х 0,552 + 180,62 х 0,55 - 53,35 при Су/Ст < 0,55,

либо

У

Ц, = -140,62 (Су/Ст)2 + 180,62 (Су/Ст) - 53,35 при 0,55 < Су/Ст < 0,64, либо

Ц, = -56,67 (Су/Ст)2 + 75,1 (Су/Ст) - 20,2 при 0,64 < Су/Ст <

< 0,74, либо

Ц, = -216,7 (Су/Ст)2 + 312,8 (Су/Ст) - 108,5 при 0,74 <

< Су/Ст < 0,85, либо

и0 = -216,7 х 0,852 + 312,8 х 0,85 - 108,5 при Су/Ст > 0,85; ^ = 1900 х 0,932 - 3696 х 0,93 + 1796 при а< 0,93, либо ^ = 1900 а2 - 3696 а+ 1796 при 0,93 < а< 0,96, либо ^ = 3917 а2 - 810,4 а+ 416,4 при 0,96 < а< 1, либо ^ = 3917 х 12 - 810,4 х 1 + 416,4 при а> 1; т4 = ^т4 + 0,00827 (ио + - 0,017.

Расчет коэффициента продольного сопротивления в зависимости от продольной проекции скорости судна относительно воды (для всех математических моделей)

Для лобового сопротивления судна не существует общепринятой и достаточно адекватной универсальной зависимости. Поэтому для этой цели в данной работе получены и используются эмпирические формулы на основании диаграммы разгона и торможения для танкера Саратов, при этом был выполнен пересчет зависимости от скорости на число Фруда, чтобы указанная зависимость была адекватна и для других типов судов, а также введен один поправочный коэффициент, который в дальнейшем будет эмпирически подбираться для каждого нового типа судна исходя из соответствия скорости полного переднего хода.

Коэффициент лобового сопротивления на глубокой воде:

СХ0 Ы = Схг Схп ОхХ (51)

где Схг - коэффициент продольного сопротивления на больших скоростях на полном переднем ходу, который будем определять простым подбором;

Л

]

Схп.(ух) - поправочный коэффициент, учитывающий неквадратический характер зависимости силы сопротивления от скорости на малых ходах: МУх) = Ух / (Ь g)1/1 ^

Схп.(^Г(Ух)) = |(145,9 + (372,86 - 187,03 (^>(Ух) (147 х 9,81)1/2) + + 23,254 (^>(Ух) (147 х 9,81)1/2)2)) / (23,254 (^>(Ух) (147 х 9,81)1/2)2)| при ¥т (ух) > 4,38 / (147 х 9,81)ш;

Схп(Рг(\)) = 1(33,3 - (53,433 - 37,243 (*>00 (147 х 9,81)1/2) + + 7,917 (^>(ух) (147 х 9,81)1/2)2 - 0,502 (^>(ух) (147 х 9,81)1/2)3)) х

(52)

х (Fr(vx) (147 х 9,81)1/2) / (23,254 (Fr(vx) (147 х 9,81)1/2)2)| при 1,49 / (147 х 9,81)1/2 < Fr (vx) < 4,38 / (147 х 9,81)1/2;

Cxn.(Fr(vx)) = 119,42 (Fr(vx) (147 х 9,81)1/2) / / (23,254 (Fr(vx) (147 х 9,81)1/2)2)| при 0 < Fr (vx) < 1,49 / (147 х 9,81)1/2;

CXn(Fr(vx)) = |(88,1 + (60,423 + 160,526 (Fr(vx) (147 х х 9,81)1/2) + 122,074 (Fr(vx) (147 х 9,81)1/2)2 + 28,646 (Fr(vx) (147 х х 9,81)1/2)3)) (Fr(vx) (147 х 9,81)1/2) / (23,254 (Fr(vx) (147 х 9,81)1/2)2)| при -1,85 / (147 х 9,81)1/2 < Fr (vx) < 0;

Cn (Fr(vx)) = |(163 + 1237 + 1246 (Fr(vx) (147 х 9,81)1/2) + + 311,904 (Fr(vx) (147 х 9,81)1/2)2)/(23,254 (Fr(vx) (147 х 9,81)1/2)2)| при Fr (vx) < -1,85 / (147 х 9,81)1/2. J

Расчет сил и моментов, создаваемых средствами управления судна

(для всех математических моделей)

Эффективный упор (сила тяги) гребного винта TE(nm, H/D) зависит от числа оборотов винта в минуту nm, шагового отношения H/D, линейной и угловой скорости судна, угла дрейфа, постоянных параметров судна и самого гребного винта. Поперечной составляющей силы, создаваемой винтом, пренебрегаем.

Введем обозначения:

vwk - скорость движения кормовой части судна относительно воды без учета скоса потока;

Рк0 - угол дрейфа в кормовой части судна относительно воды без учета вращения судна. При отсутствии течения полагаем:

vwk = v; "i

вко = P. J (53)

Pk - угол дрейфа в корме относительно воды:

вк = Рко + arcsm (Lvv w |cos Pkol / ((Lpp w)2 + 4 Vw2 + + 4 Lpp Vw w sin в/2) (54)

Как и обычный угол дрейфа, угол дрейфа в корме Рк должен изменяться в пределах от (- п) до п. Если это не так, то к нему последовательно прибавляем или вычитаем величину 2п нужное число раз; Y- коэффициент попутного потока:

Y= (0,4 Cv2 + 0,28 Cv - 0,05) (1 - (|рр / 0,785))5 (55)

при |рр| < 0,785

либо y = 0 в остальных случаях; t3 - коэффициент засасывания:

t3 = 0,6 (1 + 0,67 Y) Y; (56)

j - относительная поступь гребного винта:

j = Vwk cos (Рк) (1 - Y) / ((nm / 60) DB), где (57)

DE - диаметр винта; T(H/D, nm) - упор гребного винта:

T(H/D, Пт) = (Пт / 60) Пт / 60| DB4 х K^H/D, j) (58)

где КТО4(Я/Д 7) - коэффициент упора, рассчитываемый по формуле Небеснова (59), а КТп - поправочный коэффициент, обусловленный несоответствием формы реального винта на данном судне форме того винта, для которого была составлена эта аппроксимация и определяемый. для каждого судна простым подбором, исходя из соответствия

установившегося упора винта на полном переднем ходу экспериментальным данным.

^TO4(H/D, j) = 0,3561823 (((H/D) / 0,845) (1 - 0,7 (j / 0,906) + + (j / 0,906)2 ) - 1,3 (j / 0,906)2) при H / D > 0, j > 0;

KTO4(H/D, j) = 0,3561823 (((H/D) / 0,845) (0,85 - 1,4 j / 0,906) +

Л

+ 2,05j / 0,906)2 ) - 1,3 j / 0,906)2) при H/ D < 0, j > 0;

KTN4(H/D, j) = 0,3561823 (((H/D) / 0,845) (0,85 + 0,45 j /

/ 0,906) + 0,6 (/' / 0,906)2 ) + j / 0,906)2) при H/ D < 0, j < 0;

(59)

^TO4(H/D, j) = 0,3561823 (((H/D) / 0,845) (1 + 1,4 (j / 0,906) + + 1,34 (j / 0,906)2) + (/' / 0,906)2) при H / D > 0, j < 0. ^

TE(nm, H/D) - эффективный упор винта с учетом коэффициента засасывания:

Te(H/D, nm) = T(H/D, Пт) (1 - (60)

Силы, создаваемые рулем

Вводятся следующие обозначения: AR - площадь пера руля; hR - высота пера руля;

Ard - площадь пера руля, попадающая в струю от гребного винта; Lr - отстояние руля от мидельшпангоута (в метрах). Рассчитываются следующие параметры:

A = A - A •

R0 R RD' Л = hR2 / Ar,

All = hR AR0 / AR ; ^R2 = hR ard / ar ,

lrr=L / L;

= 1,25 - 0,1 L / В при cos в > 0 либо

= 1 при cos J3k < 0

(коэффициент спрямляющего действия корпуса).

Л

У

Коэффициент нагрузки гребного винта по упору:

Ст = 8 T/ (п pDB2 (vwk (1 - Y) cos в)2 ) при T> 0 либо CT = 0 при T < 0. (61)

св = 1 при CT < 1;

св = Ст / (CT2 - CT + 2) + 0,11 |CT - 2| + 0,001 |CT3 - 4| при 1 < CT < 4 и T > 0; д

ceB = CT / (CT2 - CT + 2) + 0,11 |CT - 2| + 0,12 при CT > 4 и T > 0. c = cK cB

- приведенный коэффициент влияния корпуса и винта на работу руля

K = 1,5 - 0,052 CT (1 + 0,121 ((4 - CT)1,977 - 0,62 CT)) при CT < 4; V Kx = 1,292 - 0,001 (6 + CT) log10 (CT - 3) при 4 < CT < 10; Kx = 1,292 - (0,21 (0,0024 CT2 - 0,1809 CT + 1) / (1 + + 0,3 CT)) log10 (CT - 3) при 10 < CT < 20;

Kx = 1 + 1,726 / CT при CT > 20. J

Если руль расположен за гребным винтом и хотя бы частично попадает в струю от винта и при этом гребной винт работает в режиме переднего хода (T > 0):

CayR = (п Я2 (1,25 Ct + 3) (2 K + Л - 1) (4 Л Kk - 3 Л - 4 Kk + + 6) / (4 Ar Лт (1 + Л) (2 + Л))) + (2 п Л / (1 + Л)) (62)

В остальных случаях:

CayR = 2 п Л/ (1 + Л) (63)

a - эффективный угол атаки руля в зависимости от угла перекладки

руля Sr:

a = ^ - c (п + в) при в < - п / 2, либо a = ^ - c вк при (- п / 2) < вк < п / 2, либо a = ^ - c (- п + в) при в > п / 2. Угол атаки должен изменяться в пределах от (- п/2) до п/2. Если это не так, то к нему последовательно прибавляем или вычитаем п нужное число раз.

(64)

Критический угол атаки руля акр, при котором происходит срыв потока с руля, на переднем ходу (при cos в > 0) существенно зависит от конкретного используемого профиля руля и пока будет задаваться константой, а на заднем ходу определяется по приближенной формуле:

%_зад = (47 - 14 Л) п / 180 (65)

Силы и моменты, создаваемые рулем, в общем случае определяются

так:

x(w = - cxr (w) pvwk2 л / 2;

W = - Cyr (W) PVwk2 Ar / 2;

K(W) = CYR (W PVwk2 Ar L / 2;

>

(66)

wk R rr'

а) при докритических углах атаки на переднем ходу, то есть при | а\ <

< аКр и cos Pk > 0:

CXR (WR) = CayR а sin(ek) + CxLr(a) c0s(ek);

CYR (WR) = C"yR a C0s(ek) - CxLr(a) Sin(ek); J (67)

б) на докритических углах атаки на заднем ходу, то есть при | а\ <

< %_зад и C0s Pk < 0:

Cxr (Wr) = (1,05 + 0,54 Л) a sin(A) + CxLr(a) cos(A);

Cyr W = (1,05 + 0,54 Л) a cos(A); _J (68)

в) на закритических углах атаки, то есть при (|а| > акр и cos в > 0)

или (\а\ > «кр_зад и cos Pk < 0)

CXR (WR) = 1,2 sin2 acos W |sin(ek)| + CxLr(a) cos(ek); "1

CYR (WR) = 1,2 sin a |sin a| cos WR sgn(cos(ek))- _J (69)

Коэффициент сопротивления руля определяется по формуле Федяевского:

CxLr(a) = (0,0221 - 0,00223 lg ReR) Ср + KD sin2 a + 2 |sin3 a|, (70) где ReR - число Рейнольдца по длине руля:

Reg = Vwk (1 - Y hR / (Л v)|, (71)

v- вязкость воды. Число Рейнольдца рассматривается в пределах 106 <

< Явк < 10 . Если оно не попадает в эти пределы, то для дальнейших расчетов нужно присвоить ему соответствующее крайнее значение 106 или 10 . Коэффициенты Ср и Кв определяются по следующим графикам (рис. 8

- 9):

Рис. 8- Зависимость коэффициента СРв формуле (70) от относительной толщины

профиля

(гГофман, 1988)

Рис. 9- Зависимость коэффициента Кй в формуле (70) от относительного удлинения руля Я .

Силы, создаваемые подруливающим устройством (если такое имеется)

Параметры, характеризующие подруливающее устройство: dПУ - диаметр входного отверстия подруливающего устройства; ^вых пУ - диаметр выходного отверстия подруливающего устройства (для большинства типов ПУ dпу = dвык ПУ);

Жгутах - максимальная мощность привода подруливающего устройства в кВт;

Авч пу - площадь сечения выступающих частей подруливающего устройства в проекции на плоскость его входного отверстия; Ареш ПУ - площадь решетки подруливающего устройства в проекции на плоскость его входного отверстия;

Фтш - угол наклона ватерлинии в районе отверстия подруливающего устройства в радианах (^тпу > 0);

у/шп ПУ - угол наклона шпангоута в районе отверстия подруливающего устройства в радианах (^шп ПУ > 0, а если борта в районе подруливающего устройства являются прямостенными, то ^ъпУ = ^шп ПУ = 0); /к ПУ - длина канала подруливающего устройства;

Ь/евч ПУ - отношение длины к ширине профиля выступающих частей (например, кронштейнов) подруливающего устройства; Ь/ереш ПУ - отношение длины к ширине профиля элементов решетки подруливающего устройства;

хпУ - отстояние центра входного отверстия от миделя (считается хпу > 0 для носового подруливающего устройства).

Регулируемым параметром является относительная мощность привода подруливающего устройства АгПУотн, которая изменяется от (-1) до 1. При этом фактическая мощность в данный момент времени составляет:

^ПУ = ^ПУшах ^ПУош (72)

Считаем мощность условно положительной, если подруливающее устройство отбрасывает воду в сторону левого борта и отрицательной в противном случае.

Упор подруливающего устройства (в кН) без учета нагрузки и без учета коэффициента засасывания вычисляется по формуле:

?ПУ0 = 0,8 | ^ПУшах ^ПУотн V Sgn(^пУота) (73)

Коэффициент сопротивления подруливающего устройства:

*к_пу = 0,5 + 0,3 / (1 + ^ПУ + tg2 ^ши_пу)1/2 + 0,2/ (1 + ^

+ tg2 у^пу + tg2 ^пи_пу) + (0,0032 + 0,0221 / Де^0,237) /к_пу /

/ dw + Св(Ь/еБч пу) (4 ач ПУ / (П ^ПУ2)) / (1 - 4 Авч ПУ / (* О) +

гПУ ^Б^' "-вч_ПУ/ ^^хвч_ПУ ' V1- ^ПУ // ' Vх ^ вч_ПУ V ПУ + Св(ь/ереш_пу) ((4 Ареш_ПУ / (п dпy2)) / (1 - 4 Ареш_ПУ / (п dпy2))) X X (блу / ^ьк_пу) + '$к:_вых_ПУ;

\ вых ПУ = 1,05(dПУ / ^ых ПУ) -1 при ^ых ПУ < dПУ Либо

У

к вых ПУ

= 0,16 (Ц

вых ПУ ПУ

2 2 4

- 1Г (¿ПУ / ¿ВЬК ПУ) при

¿вых ПУ > ¿ПУ, где ^еПУ - число Рейнольдца для подруливающего устройства:

КеПУ = |УПУ ¿ПУ / ^ (75)

V

ПУ

- вызванная скорость движения воды в канале подруливающего

устройства:

Упу = (8 ^пУ0 / (п Р(1 + \ПУ) ¿лу2))1* (76)

Коэффициент сопротивления Св сегментного профиля выступающих частей и решетки подруливающего устройства определяется по графику (рис. 10).

Эффективный упор и вращающий момент, действующий на судно от

подруливающего устройства:

ТПУ(МПУ) = ТПУ0 (уПУ2 - О / УПУ2 при 1 УПУ 1 > 1 УХ 1 лийо Тпу№У) = 0 при 1 УПУ 1 < 1 Ух |; МПУ(^ПУ) = ТПУ(^ПУ) %у.

(77)

64

(гГофман, 1988)

Влияние внешних условий плавания на движение судна (во всех математических моделях)

1) Влияние ветра и сил аэродинамического сопротивления

При реальном движении судна и выполнении различных маневров как правило приходится учитывать влияние таких внешних факторов, как ветер, течение, мелководье и волнение.

В формулах (34) под внешними силами будем понимать следующее:

Хвнеш = ХЛ + ^ + ^СХ;

Увнеш = ^Л + ^ + ^су; У (78)

Мвнеш = МЛ + Mw,

где ХЛ, УЛ, МЛ, Хш, Уш, Мш - продольные и поперечные силы и моменты, вызванные соответственно аэродинамическим сопротивлением (в том числе в условиях ветра) и действием волнения, ЫСХ и Ысу - продольная и поперечная проекции силы соскальзывания на закруглениях течения в реке или канале.

Аэродинамические силы ХЛ, УЛ, МЛ действуют как при наличии ветра, так и при его отсутствии и направлены таким образом, чтобы минимизировать скорость судна относительно воздуха и развернуть его носом или кормой к ветру, но при этом в зависимости от условий могут как препятствовать движению судна относительно земли или воды, так и наоборот, увеличивать его скорость или приводить в движение первоначально неподвижное судно.

Ветер характеризуется скоростью истинного ветра Уа и углом истинного ветра у&, который отсчитывается от направления на север до того направления, с которого дует ветер относительно земли. Для заданного положения судна (в том числе и при Уа = 0) вычисляется скорость кажущегося ветра уак, которая равна по модулю скорости судна

относительно воздуха, и угол кажущегося ветра yaK, который отсчитывается от направления из кормы в нос судна до того направления, с которого натекает на судно поток воздуха. При этом скорости истинного и кажущегося ветра должны быть неотрицательными, а углы считаются положительными, если они отсчитываются по часовой стрелке, как показано на рис. 11, и отрицательными в противном случае. Vak = (V2 + ^а2 + 2 V Va C0S^ - q + ®)Ш ; ^

Yak = arcc0s ((V c0s (q - в + Va c0s Ya) ¡ Vak) - q при v sin (q - в) + va sin Ya ^ 0 либо f (79)

Yak = - arcc0s ((V c0s (q - в + Va c0s Ya) ¡ Vak) - q при v sin (q - в) + va sin ya < 0

При этом угол кажущегося ветра уж должен быть в пределах интервала от (-п) до п, и если это не так, то из него последовательно вычитается или прибавляется 2п нужное число раз.

Рис. 11. Истинный и кажущийся ветры. Продольная аэродинамическая сила для судов с произвольно расположенными надстройками любой формы определяется по формуле Ишервуда, поперечная сила и момент - по формулам Мелкозеровой и Першица (Мартюк и др., 2004 а):

^Л = - (А(1 Гак1) + А1(1 ^1) х 2 / Ала/ + АО ^1) АУВ / ^шах2 + Л

+ А3(|Гак|) Ашах / Вшах + А4(|^ Рр / Ашах + А5(|^ (0,5 Алах - *ср) / Ашах + + Аб(|Гак|) ^мс) РЛ ^ АУВ / 2;

7л = - ((1 - 28 (АУЪк / Ауъ)2) (1 + (1,12 - 65 (Инб / А)2 )АУЪнр /

/ avl) (7 (hH6 / L) + 0,62) sin Гак + F sm(3 Гак) / (1 + (1,12 - 65 (hH6 /

/ L)2) А^нР / Avl)6 ) v„2 Avl / 2;

MA = - CMA pA Уак Avl L / 2 для судна с одной надстройкой и / или рубкой или

^A = - Cma (1+ (А* / L) (А^мн / А^бн)(0,02 | Гак I 180 / п - (80)

- 1,2) sgn CMA) pA vj AVL L / 2 для судна с двумя или несколькими надстройками и / или рубками;

Cma = Рнб / L) + 0,04) sin(2 Гак) - 0,25 (hrf / L) sin(4 +

+ 1,4 (Хср / L) sin (1,5 sgn Гак min {| Гак |, П - 1 Гак |} ) - (hнб / L) (А^нр / / AVL + AVL< / AVL) km (1 + sin (4 Гак - П /2)) sgn Гак;

F = 0,53 (h^ / L)2 - 5,7 (\б / L) + 0,03 при 0,005 < (\б / L) < 0,1

либо

F = 0 в остальных случаях; km = 1 при cos Гак > 0 либо km = 0 в остальных случаях,

3 3

где рА = 1,29 х 10 т / м - плотность воздуха.

Коэффициенты Л0, А1, ... , А6 в зависимости от модуля текущего угла кажущегося ветра \уак\ определяются по таблице 1, а на интервалах между значениями, указанными в строках таблицы, - кусочно-линейной интерполяцией.

Таблица 1. Коэффициенты для расчета продольной аэродинамической силы

сопротивления.

(Справочник., 1985)

|V,k| Ao Ai А л A* А»

0 It/180 2,152 -5,00 0,243 -0,164

10 Tl/1 80 1,714 -3,33 0,145 -0,121 — — ._

20 IT/180 1,818 -3,97 0,211 -0,143 — — 0,033

30 1ÍÍ180 1,965 -4,81 0,243 —0,154 — — 0,041

40 ТСЛ80 2,333 -5,99 0,247 -0,190 — — 0,042

50 К ii 80 1,726 -6,54 0,189 —0,173 0,348 0,048

60 It/180 0,913 -4,68 — -0,104 0,482 — 0,052

7011/180 0,457 -2,88 — -0,068 0,346 — 0,043

80 It/180 0,341 —0,91 — -0,031 — — 0,032

90 it/180 0,355 — — -0,247 — 0,018

100 It/180 0,601 — — — -0,372 — -0,020

110 It/180 0,651 1,29 — — -0,582 .—, -0,031

120 it/180 0,564 2,54 — — -0,748 — -0,024

130 It/180 -0,142 3,58 — 0,047 -0,700 -— -0,028

140 it/180 —0,677 3,64 _ 0,069 -0,529 — -0,032

150 It/180 -0,723 3,14 — 0,064 -0,475 — -0,032

160 It/180 -2,148 2,56 — 0,081 — 1,27 -0,027

170 It/180 -2,707 3,97 -0,175 0,126 — 1,81 -—.

180 it/180 -2,529 3,76 -0,174 0,128 ■— 1,55 —

2) Влияние морских и речных течений на движение судна

Воздействие течения на движение судна сводится, во-первых, к простому сносу вниз по течению, во-вторых, к поперечным силам, заставляющим судно поворачивать вместе с потоком воды на закруглениях реки или канала. Течение характеризуется скоростью течения vT и углом направления течения yT, который отсчитывается по часовой стрелке от направления на север до направления, с которого движется поток воды к неподвижному наблюдателю, по аналогии с углом истинного ветра уа.

В каждый момент времени скорость судна и угол дрейфа

относительно воды будет вычисляться следующим образом:

2 2 1/2 vw = (v + vi + 2 v vi cos (Yr(xo Уо) - q + P)) ;

Pw = q - arccos((v cos (q - p) + vT cos Yr(*o, Уо)) / Vw) при v sin (q - в) + vT sin YT(x0, y0) ^ 0 либо

Pw = q + arccos((v cos (q - p) + Vт cos ?т(*о, Уо)) / Vw) при v sin (q - в + vT sin YT(x0, y0) < 0.

(82)

Скорость обтекания судна в кормовой части в районе движительно-рулевого комплекса без учета скоса потока vwk и угол дрейфа в кормовой

части судна в0 относительно воды без учета вращения будут таковы:

22

vwk = (v + vT + 2 v vT cos (гт(х0 - (L/2) cos q, y0 - (L/2) sin q) - \

- q + в))1/2;

вк0 = q - arccos((v cos (q - в) + vT cos гт(х0 - (L/2) cos q, y0 -

- (L/2) sin q)) / vwk) при

v sin (q - в) + vT sin гт(х0 - (L/2) cos q, y0 - (L/2) sin q) > 0 либс

вк0 = q + arccos((v cos (q - в) + vT cos гт(х0 - (L/2) cos q, y0 -

- (L/2) sin q)) / vwk) при

v sin (q - в) + vT sin гт(х0 - (L/2) cos q, y0 - (L/2) sin q) < 0. J

Углы дрейфа Pw и ek0 приводятся к интервалу от (-п) до п путем последовательного увеличения или уменьшения на величину 2п нужное количество раз. Полученные скорости и углы дрейфа подставляются во все формулы для расчета гидродинамических сил сопротивления на корпусе и сил от средств управления судна.

При этом гидродинамические силы и моменты будут направлены таким образом, чтобы минимизировать скорость судна относительно воды и развернуть его носом или кормой по течению. Течение может как препятствовать, так и способствовать движению судна, в том числе приводить в движение судно, первоначально неподвижное относительно земли.

При наличии закруглений течения, например, на поворотах реки и канала, помимо ранее рассмотренных сил нужно учитывать силу соскальзывания, вызванную поперечным уклоном поверхности воды и направленную к центру кривизны независимо от направления и скорости движения самого судна:

NC = pVvT2 / RT, (83)

где Ят - радиус кривизны закругления течения. В проекциях на оси х и у,

связанные с судном это составит:

2

Мех = (Ру Ут (Yт(xo, Уо) - Ут(хо + А/ с°8 Yт(xo, Уo), Уо - А/ х х бш Yг(xo, Уо))) / А/) (Yг(xo, Уо) + Ф';

(84)

>

Меу = (Р^ Ут (Yт(xo, Уо) - Гт^о + А1 с°8 Yт(xo, УоХ Уо - А1 х х вш Yт(xo, Уо))) / А/) с°Б (Yт(xo, Уо) + Я), где А/ - произвольное небольшое (дифференциально малое) смещение вдоль линии течения, на которой находится судно, которое должно быть намного меньше длины самого судна (например, можно всегда задавать А/ = 1м).

Сила соскальзывания равна по модулю и противоположно направлена Корриолисовой силе, которая в нашем случае учитывается в уравнениях движения судна автоматически вместе с другими инерционными силами, и поэтому нет смысла выделять ее отдельно.

3) Влияние мелководья

Влияние мелководья сводится к росту сил и моментов гидродинамического сопротивления, действующих на корпус судна, из-за затруднений его обтекания, что приводит к снижению установившейся скорости на прямолинейном курсе при заданном режиме работы движителя, уменьшению тормозного пути, снижению установившегося угла дрейфа и увеличению диаметра циркуляции при развороте судна.

Продольное сопротивление движению судна на мелководье будем определять по формуле Карпова (Мартюк и др., 2оо4 с):

я = / аН / л, ^>н)) + ^ / а(н / л, *>н))) (ух / а(н / л, ^>н))2 + 4о(^х / а2(Н / Л, ^Гн)) (Ух / а(Н / Л, ^Гн))2) р ^ / 2, (85)

где , , ^о - коэффициенты сопротивления трения, шероховатости обшивки и остаточного сопротивления, которые сами могут зависеть от скорости;

^>н - число Фруда по глубине:

^>н = ^ / & Н)1/2; (86)

^см = 1 (о,5 В + Л)(о,55 + 1,52 Су). (87)

Коэффициенты а1(Н / Л, ^>н) и а2(Н / Л, ^>н) в зависимости от соотношения Н / Л и числа Фруда по глубине определяются по графикам (см. рис. 12 - 13).

0,6 РгН

Рис.12. График для определения коэффициента а1. (Мартюк и др., 2оо4 с)

1,1 1

0,9

0,8 О 1

"Е.

™ 0,7

0,6 0,5 0,4

4

3

н <1 = 1,; 24 2 ,5

0,2 0,7 1,2 1,7

РгН

Рис. 13. График для определения коэффициента а2.

(Мартюк и др., 2004 с) В нашем случае точное определение коэффициентов всех трех составляющих сопротивления ^0 затруднительно, зато известны

аппроксимационные формулы для расчета полного гидродинамического сопротивления при любой скорости на прямолинейном курсе, полученные на основании экспериментальных данных. Поэтому вместо непосредственного применения формулы Карпова (85) необходимо модифицировать формулы (52) для поправочного коэффициента продольного сопротивления следующим образом:

= Ух / ((Ь g)1/2 а2(И / а, ¿>н))

Л

Сш^КО) = 1(145,9 + (372,86 - 187,03 (гг(ух) (147 х 9,81)1/2) + + 23,254 (гг(ух) (147 х 9,81)1/2)2)) / (23,254 (гг(ух) (147 х 9,81)1/2)2)| х х а2-2(И / а, ^Гн) + ^см х «2(И / а, ^Гн) (Z;(|Vxl / а(Н/ а, Г>н)) + + ¿Ш) - а2-2(И / а, А>н) (¿Ж| / а2(И / а, ^Гн)) + О) / (Схг

>

при Гг(ух) > 4,38 / (147 х 9,81)

1/2

Схп(^х)) = |(33,3 - (53,433 - 37,243 (ГГ(Ух) (147 х 9,81)1/2) + + 7,917 (Гг(ух) (147 х 9,81)1/2)2 - 0,502 (Гг(ух) (147 х 9,81)1/2)3)) х

х (Гг(ух) (147 х 9,81)1/2) / (23,254 (Гг(ух) (147 х 9,81)1/2)2)| а2-2(И / а, У

1/2 2

^>н) + ^см (а1-2(И / а, ^Гн) (¿Ж| / а1(И / а, *>н)) + О - а2^(И / а,

-2

Г>н) («^ / а2(И / а, FГн)) + О) / (Схг Л„)

Л

при 1,49 / (147 х 9,81)1/2 < Гг (ух) < 4,38 / (147 х 9,81)

1/2

Схп(^г(ух)) = 119,42 (Гг(ух) (147 х 9,81)1/2) / (23,254 х х (А>(Ух) (147 х 9,81)1/2)2)| а2-2(И / а, ГГ^) + ^ (а1-2(И / а, ГГ^) х

х (^ / а(И / а, г>н)) + о - а2-2(И / а, гн (¿Ж| / а2(И / а,

^>н)) + О) / (Схг А.) при 0 < Гг (Ух) < 1,49 / (147 х 9,81)

1/2

Схп(Гг(Ух)) = |(88,1 + (60,423 + 160,526 (Гг(ух) (147 х 9,81)1/2) +

+ 122,074 х (гг(ух) (147 х 9,81)1/2)2 + 28,646 (гг(ух) (147 х х 9,81)1/2)3)) (гг(ух) (147 х 9,81)1/2) / (23,254 (гг(ух) (147 х 9,81)1/2)2)| х

х а2-2(Н / Л, ^>н) + ^см (а1-2(Н / Л, ^н) (£(! ^ / а1(Н / Л, ^н)) + С) -

- а2-2(Н / Л, ^>н) (£(К! / а2(Н / Л, *>н)) + О) / (^ А*) при (-1,85) / (147 х 9,81)1/2 < ¥г (ух) < о;

Схп(^г(ух)) = |(163 + 1237 + 1246 (^г(ух) (147 х 9,81)1/2) + + 311,9о4 (^г(ух) (147 х 9,81)1/2)2) / (23,254 (^>Ох) (147 х 9,81)1/2)2)| х х а2-2(Н / Л, ^>н) + ^см (а1-2(Н / Л, ^>н) (£(! Ух! / а(Н / Л, ^>н)) + ¿ш) -

- а2-2(Н / Л, ^>н) (¿;(|Ух! / а(Н / Л, ^Гн)) + С)) / (С„ А*) при ¥г (Ух) < -1,85 / (147 х 9,81)1/2.

Коэффициент сопротивления трения вычисляется как функция скорости следующим образом (здесь под V может пониматься любая скорость, которая просто задается как параметр и не обязательно имеет физический смысл):

£00 = о,о75 / (^ шт{шах{| V | Ь / V, 1о6}, 1о7} - 2)2, (89)

где у = о,ооооо156 м /с - вязкость воды.

Коэффициент сопротивления шероховатости зависит от обшивки судна, от волнистости формы корпуса и наличия вырезов. Зависимостью данного коэффициента от скорости пренебрегаем и будем принимать =

о,ооо55.

Кроме того, мелководье увеличивает боковую силу и момент гидродинамического сопротивления на корпусе судна и коэффициенты присоединенных масс. Поправочные коэффициенты Ку

(Л / Н), Кьу (Л / Н),

КЬш (Л / Н, о), (Л / Н, в / Л), КПн(Л / Н, Су), К22н(Л / Н, Су), Кббн(Л / Н, Су) будут определяться по графикам (см. рис. 14 - 17).

Рис. 14. Коэффициенты влияния мелководья на позиционную составляющую поперечной силы на корпусе.

(Мартюк и др., 2004 с)

3.5

2.5

■а 2

1 .5

0.5

<1=0 ,94

<7=0 ,96

□

□ .1

□ ,2 0.3

0,4

<1 н

□ ,5

□ .6 0.7

□ .8

Рис. 15. Коэффициенты влияния мелководья на позиционную составляющую

момента на корпусе.

(Мартюк и др., 2004 с)

Рис. 16. Коэффициенты влияния мелководья на демпфирующую составляющую

момента на корпусе. (Мартюк и др., 2004 с)

Рис. 17. Влияние мелководья на присоединенные массы: 1 - су = 0,52; 2 - су = 0,8.

(Мартюк и др., 2004 с)

4) Влияние регулярного и нерегулярного волнения

Волнение является переменным фактором, действующим на судно по определенному периодическому закону.

Регулярное волнение характеризуется параметрами, зависящими от времени по закону синуса или косинуса. Нерегулярное волнение может быть приближенно представлено с требуемой точностью в виде суммы некоторого конечного числа гармонических составляющих, каждая из которых ведет себя как регулярное волнение. В рамках имеющихся

моделей в предположении, что волнение не настолько сильное, чтобы существенно влиять на посадку судна и крен, что углы рыскания достаточно малы, чтобы их квадратами можно было пренебречь, и что изменение скорости судна в течение одного периода действия волнения незначительно, применяется линейную теорию и принцип суперпозиции, согласно которому, во-первых, силы от действия волн никак не связаны с обычными силами сопротивления воды, во-вторых, гармоники с разными частотами никак не взаимодействуют друг с другом и результирующая сила от действия волнения равна сумме сил от действия всех гармоник:

X = Ы^у х . ^

^т 1=1 ^

у = ^у у .

^ 1=1 ^ 1

М = М Мт 1=1 ^ М%1,

(90)

где - количество гармонических составляющих волнения, Хт, Ут1, Мт

- продольная и поперечная силы и момент от действия /-ой гармоники волнения (/ = 1, 2, ... , Каждая гармоника характеризуется следующими параметрами: Ит - высота волны (удвоенная амплитуда),

- длина волны, wш - истинная круговая частота гармоники, ф0т -начальная фаза, ут - угол направления бега волны, который отсчитывается от направления с юга на север до того направления, с которого приходят волны (по аналогии с углом истинного ветра При этом разные гармоники волнения - высокочастотные и низкочастотные - могут распространяться в разных направлениях, иметь разные источники и разную природу. Далее будем рассматривать отдельно взятую /-ую гармонику волнения.

Для текущего положения судна в данный момент времени определяется курсовой угол по отношению к волнению:

= Я - Гт (91)

Данный угол приводится к диапазону от (-п) до п путем увеличения или уменьшения на величину 2п нужное число раз. Тогда продольная сила

от действия волнения по формуле Шифрина будет такова (Мартюк и др., 2004 b):

XWl = - (26,1 Cv3 - 31,5 C 2 + 11 Cv - (0,9 Cv3 - 0,1 (0,65 -

- Cv2)) (5 - L / B) L + (0,725 Cv3 - 0,875 Cv2 + 0,306 Cv -

- (0,025 Cv3 - 0,1 (0,65 - Cv2)) (5 - L / B) L) / d) ((AWi / L) (0,47 +

(92)

+ 1,94 г / L)) (8,1 (|v| / L1/2) + 120 (г / L) - 26,06) (^ qm

qWl

+

+ ^qWi Iqwil + 1) pg (hwi B / 2)2 / L,

где aqWi = 5; bm = 8,7 при Aw / L < 0,6 либо

a

qWl

= 10 exp(- (0,1 + ^Wi / L));

(93)

V: = 1,47 (Л / А)2 - 39,5 (Л / £) + 27,1 при Л / £ > 0,6. гу - продольный радиус инерции судна, который может быть найден по

следующей приближенной формуле (94):

ry = 0,228 L Ca0'751 (B / d)0'249, где Ca - коэффициент полноты действующей ватерлинии. Поперечная сила и момент от действия волн:

7Wi = П hWi sin qWi C0s (WkWi t + ^Wi) (1 + k22 WkWi / WWi) X X exp(- 2 Л (d - 2цв) / ^Wi) ^1кр(У P g ^ Awp

MWi = g Iz x 2n hWi Sin qWi Sin (wkWi t + ф0Wl) ((1 + k66 WkWi / WWi) ^2кр(^ C0S qWi + 0,5 Мкр(^ P Aa L V ^m AWi / (Iz x 2n WWi))

x exp(- 2 n (d - ^цв) / Avi) / Aw где

(94)

Л (95)

WWi)> x

J

w

kWi

= wWi (1 + v wWi c0s(qWi) / g)

(96)

- кажущаяся круговая частота волны (относительно судна); zцр - аппликата центра величины (геометрического центра погруженной части корпуса судна);

kq = |2п L cos(gWl) / |; (97)

^iKp(kq), ^2Kp(kq) - поправочные коэффициенты Крылова:

^1кр(^ = C0s (kq / 4,78) при kq ^ 6 или ^

^(kq) = exp(- kq / 10) cos (kq / 10) - 0,05 kq + 0,15 J

при kq < 9 или

^(kq) = exp(- kq I 10) cos (kq I 10) + 0,045 kq - 0,72 при kq < 17 или

^(kq) = exp(- kq I 10) cos (kq I 10) - 0,15 + 0,02 I 11 - kq I при kq > 17;

^2кр(У = cos (kq I 7,7) при kq < б или

^p(kq) = exp(- kq I 10) cos (kq I 10) + 0,03 (б - kq) при kq < 9 или ^p(kq) = exp(- kq I 10) cos (kq I 10) - 0,15 + 0,02 I 11 - kq I У

при kq > 9.

>

Приложение 2. Система обозначений для параметров движения судна

Обозначение Наименование параметра Единицы измерения

Ас площадь кормового подзора 2 м

А ^сы площадь, дополняющая носовую часть погруженной части диаметральной плоскости до прямоугольника при посадке судна на ровный киль 2 м

Аьа приведенная площадь погруженной части диаметральной плоскости 2 м

Л площадь пера руля 2 м

площадь пера руля, не попадающая в струю от гребного винта 2 м

площадь пера руля, попадающая в струю от гребного винта 2 м

площадь поперечного сечения надводной части корпуса судна 2 м

площадь продольного сечения надводной части корпуса судна 2 м

А УЬбн площадь продольного сечения большой надстройки или рубки 2 м

АУЪк площадь парусности козырька 2 м

А УЪмн площадь продольного сечения второй по величине надстройки или рубки 2 м

А УЪнр площадь продольного сечения всех надстроек и рубок 2 м

А вч_ПУ площадь сечения выступающих частей подруливающего устройства в проекции на плоскость его входного отверстия 2 м

А реш_ПУ площадь решетки подруливающего устройства в проекции на плоскость его входного отверстия 2 м

Аст площадь дейдвуда или стабилизатора 2 м

В ширина судна по ватерлинии м

Ь/евч_ПУ отношение длины к ширине профиля выступающих частей (например, кронштейнов) подруливающего устройства

Ые реш_ПУ отношение длины к ширине профиля элементов решетки подруливающего устройства

В тах максимальная ширина судна м

с вектор постоянных параметров моделируемой динамической системы в общем виде (*)

с0 коэффициент сопротивления сегментного профиля выступающих частей или решетки подруливающего устройства

Ст коэффициент полноты мидельшпангоута

* С т безразмерный момент сопротивления на корпусе с учетом дрейфа, линейной и угловой скорости в модели Тумашика

с ^мл безразмерный момент аэродинамических сил

С тг безразмерный момент сопротивления на корпусе

с тп безразмерный позиционный момент в модели Тумашика

сг коэффициент момента с учетом вращения судна на месте в модели Тумашика

коэффициент нагрузки винта по упору

Су коэффициент общей полноты водоизмещения

С т коэффициент демпфирующего момента

с У коэффициент демпфирующих сил

* С х полная безразмерная продольная сила сопротивления в модели Тумашика

с коэффициент продольного сопротивления на прямом курсе

с коэффициент продольного сопротивления при движении судна задним ходом

с хЬг безразмерная сила сопротивления на руле

С безразмерная суммарная сила на руле, направленная вдоль оси х (**)

Схг коэффициент продольного сопротивления на очень больших скоростях на полном переднем ходу (определяется простым подбором)

с хп поправочный коэффициент, учитывающий неквадратический характер зависимости силы сопротивления от скорости на малых ходах

* С полная безразмерная поперечная сила сопротивления в модели Тумашика

С безразмерная суммарная сила на руле, направленная вдоль оси у (**)

с Уп полная безразмерная позиционная сила на корпусе в модели Тумашика

С у г безразмерная сила поперечного сопротивления на корпусе

са коэффициент полноты действующей ватерлинии

а С уЯ коэффициент наклона кривой зависимости коэффициента подъемной силы руля от угла атаки при малых углах атаки

ср ^ т коэффициент позиционного момента

ср ^ у коэффициент позиционной силы

сРРу добавочный коэффициент позиционной силы

а осадка судна м

Я диаметр гребного винта м

диаметр выходного отверстия подруливающего устройства м

ак осадка кормой м

< осадка носом м

аПУ диаметр входного отверстия подруливающего устройства м

Е(0 функция внешних возмущающих воздействий на управляемую систему в общем виде (*)

Б знак функциональной зависимости в модели управляемой системы в общем виде (*)

р х01 одна из сил, направленных вдоль оси х0 кН

одна из сил, направленных вдоль оси х (**) кН

F 1 у01 одна из сил, направленных вдоль оси _у0 кН

Fy. одна из сил, направленных вдоль оси (**) кН

Fr число Фруда (по длине судна)

Frн число Фруда по глубине

& ускорение свободного падения (= 9,81) / 2 м / с

H глубина акватории м

НЮ шаговое отношение гребного винта

hR высота пера руля м

hWl высота волны (удвоенная амплитуда) одной из гармоник волнения м

hнб высота надводного борта м

/ номер теоретического шпангоута, пограничного между и- и У-образными в кормовой части судна (нумерация шпангоутов идет от носа к корме, 0 -носовой перпендикуляр, 20 - кормовой перпендикуляр)

I момент инерции судна относительно оси г (**) 2 т • м

] относительная поступь гребного винта

кп коэффициент продольной присоединенной массы

К11Н коэффициент влияния мелководья на продольную присоединенную массу

к 22 коэффициент поперечной присоединенной массы

К22Н коэффициент влияния мелководья на поперечную присоединенную массу

^66 коэффициент присоединенного момента

К66Н коэффициент влияния мелководья на присоединенный момент

^т коэффициент влияния мелководья на позиционный момент

Ку коэффициент влияния мелководья на позиционную силу

коэффициент влияния мелководья на добавочную позиционную силу

КШ4 коэффициент упора по формуле Небеснова для гребного винта с 4 лопастями

КТп поправочный коэффициент, связанный с несоответствием формы реального винта на данном судне форме того винта, для которого получена формула Небеснова (определяется. для каждого судна простым подбором)

К т коэффициент влияния мелководья на демпфирующий момент

ь длина судна по ватерлинии м

Ь(0 нагрузка на систему в общем виде в модели управляемой динамической системы (*)

^тах максимальная длина судна м

^РР длина судна между перпендикулярами м

А отстояние руля от мидельшпангоута м

А относительное отстояние руля от мидельшпангоута

^к_ПУ длина канала подруливающего устройства м

¿нр кратчайшее расстояние между 2 надстройками (рубками) - самой большой и 2-ой по величине м

т масса судна (весовое водоизмещение) т

т1 коэффициент одной из составляющих позиционного момента

т2 коэффициент одной из составляющих позиционного момента

МА момент аэродинамических сил кН • м

Mw момент сил от действия волн на корпус судна кН • м

момент сил от действия одной из гармоник волнения на корпус судна кН • м

М[ один из моментов сил, вращающих судно (в общем виде) кН • м

Мв момент сил вязкостного сопротивления на корпусе судна кН • м

^Мвнеш момент сил, обусловленных воздействием внешних факторов кН • м

МПУ момент сил, создаваемых подруливающим устройством кН • м

Мр момент сил на руле кН • м

Уе сила соскальзывания на закруглениях течения (равная по величине силе Корриолиса) кН

Уех проекция силы соскальзывания на закруглениях течения на ось х (**) кН

Усу проекция силы соскальзывания на закруглениях течения на ось у (**) кН

Пт частота вращения гребного винта об. / мин.

К количество гармоник волнения

Кс количество мачт и стоек, отчетливо различимых в продольной проекции судна

Ку мощность привода подруливающего устройства кВт

^ПУтах максимальная мощность привода подруливающего устройства кВт

^ПУотн относительная мощность привода подруливающего устройства (в долях от максимальной)

ч курсовой угол судна рад.

qwl курсовой угол судна по отношению к одной из гармоник волнения рад.

Явя число Рейнольдца по длине руля

Яеш число Рейнольдца для подруливающего устройства

^т радиус кривизны закругления течения м

гу продольный радиус инерции судна м

ВД совокупность параметров, описывающих состояние моделируемой системы в момент времени t (в общем виде) (*)

sgn обозначение функциональной зависимости для следующей функции: sgn(x) = -1 при x < 0, sgn(x) = 0 при х = 0, sgn(x) = 1 при x > 0

*\_ПУ коэффициент сопротивления подруливающего устройства

^квь^ПУ коэффициент сопротивления на выходе подруливающего устройства

^см площадь смоченной поверхности 2 м

совокупность параметров, описывающих состояние управляемой системы в момент времени ? (в общем виде) по данным экспериментов (*)

время с

т упор гребного винта кН

Ч коэффициент засасывания

ТЕ эффективный упор гребного винта с поправкой на коэффициент засасывания кН

относительная толщина профиля руля

Т ^ПУ эффективный упор подруливающего устройства кН

Т упор подруливающего устройства без нагрузки и без учета коэффициента засасывания кН

т управляющие воздействия на моделируемую систему (в общем виде) (*)

V линейная скорость судна м/с

V объемное водоизмещение 3 м

линейная скорость судна, которая достигалась бы при том же режиме работы движителя на прямом курсе на тихой глубокой воде м/с

скорость истинного ветра м/с

V ак скорость кажущегося ветра (относительно судна) м/с

vТ скорость течения реки или канала м/с

Vw скорость судна относительно воды м/с

^к скорость движения кормовой части судна относительно воды без учета скоса потока м/с

проекция скорости судна относительно воды на направление оси x (**) м/с

проекция скорости судна на направление оси x (**) м/с

^ПУ вызванная скорость движения воды в канале подруливающего устройства м/с

w угловая скорость судна рад./с

площадь погруженной части мидельшпангоута 2 м

Wr относительная (безразмерная) угловая скорость судна

WWl истинная круговая частота одной из гармоник волнения рад./с

Л:0 абсцисса центра тяжести судна в неподвижной системе координат м

продольная аэродинамическая сила кН

x ср абсцисса центра парусности судна (**) м

продольная сила, обусловленная действием морского волнения на корпус судна кН

XW1 продольная сила, обусловленная действием одной из гармоник волнения кН

X, продольное вязкостное сопротивление на корпусе судна кН

X внеш суммарная продольная сила от воздействия внешних факторов на судно кН

XПУ абсцисса центра входного отверстия подруливающего устройства (**) м

Хр суммарная сила на руле вдоль оси х (**) кН

х ст абсцисса геометрического центра дейдвуда или стабилизатора (**) м

х ст_отн относительное отстояние центра дейвуда или стабилизатора от мидельшпангоута

Уо ордината центра тяжести судна в неподвижной системе координат м

поперечная аэродинамическая сила кН

К поперечная сила, обусловленная действием морского волнения на корпус судна кН

V 1 поперечная сила, обусловленная действием одной из гармоник волнения кН

V, поперечное вязкостное сопротивление на корпусе судна кН

V внеш суммарная поперечная сила от воздействия внешних факторов на судно кН

суммарная сила на руле вдоль оси у (**) кН

2Дв аппликата центра величины (геометрического центра погруженного объема судна) (**) м

а эффективный угол атаки руля рад.

акр критический угол атаки руля рад.

а кр_зад критический угол атаки руля на заднем ходу рад.

в угол дрейфа рад.

во угол дрейфа относительно воды, приведенный к диапазону от (-п / 2) до п / 2 рад.

вw угол дрейфа относительно воды рад.

вк угол дрейфа в кормовой части судна относительно воды рад.

вк0 угол дрейфа в кормовой части судна относительно воды без учета вращения судна рад.

Га угол истинного ветра (отсчитывается от направления на север до того направления, с которого дует ветер относительно земли) рад.

Уак угол кажущегося ветра (отсчитывается от направления из кормы в нос судна до того направления, с которого натекает на судно поток воздуха) рад.

Гт углом направления течения (отсчитывается по часовой стрелке от направления на север до направления, с которого движется поток воды к неподвижному наблюдателю) рад.

Ywl угол направления бега волны для одной из гармоник волнения (отсчитывается от направления с юга на север до того направления, с которого приходят волны) рад.

М произвольное небольшое (дифференциально малое) смещение вдоль линии течения, на которой находится судно м

угол перекладки руля рад.

ф0Wl начальная фаза одной из гармоник волнения рад.

я относительное удлинение руля

Ли относительное удлинение части руля, не попадающей в струю от гребного винта

относительное удлинение части руля, попадающей в струю от гребного винта

Ли длина волны одной из гармоник волнения м

Мкр поправочный коэффициент Крылова для одной из гармоник волнения

поправочный коэффициент Крылова для одной из гармоник волнения

V вязкость воды (= 0,00000156) м2/с

Р плотность воды (= 1,025) т/м3

Ра плотность воздуха (= 1,29 х 10 ) т/м3

а приведенный коэффициент полноты диаметральной плоскости

ак приведенный коэффициент полноты кормовой части диаметральной плоскости

аст относительная площадь дейдвуда или стабилизатора

относительная угловая скорость с учетом поступательного и вращательного движения в модели Тумашика

¥ коэффициент попутного потока

угол наклона ватерлинии в районе отверстия подруливающего устройства рад.

^шп_ПУ угол наклона шпангоута в районе отверстия подруливающего устройства рад.

Со коэффициент остаточного сопротивления

£ коэффициент сопротивления трения

С коэффициент сопротивления шероховатости

Ж коэффициент влияния корпуса и гребного винта на работу руля

коэффициент влияния винта на работу руля

коэффициент влияния корпуса на работу

руля

Примечание. (*) Размерность указанных величин, отражающих в общем виде моделирование произвольной динамической системы, зависит от вида и физической природы конкретной системы и воздействий на нее.

(**) Координаты характерных точек и направления относительно самого судна определяются в следующей локальной системе координат: начало координат - точка пересечения верхней кромки киля и плоскости мидельшпангоута, ось х направлена из кормы в нос судна, ось у - с левого борта на правый, ось г - вертикально снизу вверх.

Литература

Васильев А. В., Белоглазов В. И. Управляемость винтового судна. - М.: Транспорт, 1966.

Войткунский Я. И., Першиц Р. Я., Титов И. А. Справочник по теории корабля. - Л.: Судостроение, 1973.

Гофман А. Д. Движительно-рулевой комплекс и маневрирование судна. Справочник. - Л.: Судостроение, 1988. - 360 с.

Зубов В. И. Лекции по теории управления. - М.: Наука, 1975. - 496 с.

Мартюк Г. И., Юдин Ю. И., Юдин А. Ю. Учет ветра в математической модели судна с целью оценки его влияния на маневренные характеристики. // Вестник МГТУ: Труды Мурманского Государственного Технического Университета. 2004, том 7, №3. С. 375 - 380.

Мартюк Г. И., Юдин Ю. И., Юдин А. Ю. Учет волнения в математической модели судна с целью оценки его влияния на маневренные характеристики. // Вестник МГТУ: Труды Мурманского Государственного Технического Университета. 2004, том 7, №3. С. 381 - 389.

Мартюк Г. И., Юдин Ю. И., Юдин А. Ю. Учет мелководья в математической модели судна с целью оценки его влияния на маневренные характеристики. // Вестник МГТУ: Труды Мурманского Государственного Технического Университета. 2004, том 7, №3. С. 390 - 397.

Мастушкин Ю. М. Управляемость промысловых судов. - Л.: Легкая и пищевая промышленность, 1981. - 232 с.

Павленко. Маневренные качества речных судов. - М.: Транспорт, 1979.

Соболев Г. В. Управляемость корабля и автоматизация судовождения:

Учебник для вузов. - Л.: Судостроение, 1976. Справочник по теории корабля: В 3 томах. / Под ред. Я. И. Войткунского. -

Л.: Судостроение, 1985. Тумашик А. П. Расчет гидродинамических характеристик судна при

маневрировании. // Судостроение. 1978, №5. С. 13-15. Федяевский К. К., Соболев Г. В. Управляемость корабля. - Л.: Судпромгиз, 1963.