Научная статья на тему 'Математические модели геомиграции в пористых средах, обладающих фрактальной структурой'

Математические модели геомиграции в пористых средах, обладающих фрактальной структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

247
30
Поделиться
Ключевые слова
ГЕОМИГРАЦИЯ / СМЕСЬ / ГРУНТОВЫЕ ВОДЫ / ФРАКТАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Афонин Анатолий Андреевич

В данной статье представлены математические модели геомиграции загрязнений в грунтовых водах в классической постановке, а также в почвах, обладающих фрактальной структурой.

MATHEMATICAL MODELS OF GEOMIGRATION IN POROUS MEDIA WITH FRACTAL STRUCTURE

In this study are presented mathematical models geomigration of contaminations with groundwater in classical way and in soils with fractal structures.

Текст научной работы на тему «Математические модели геомиграции в пористых средах, обладающих фрактальной структурой»

3. Нахушев AM., Нахушева В.А., Сербина Л.И. О некоторых прикладных аспектах

дробного исчисления. Тезисы докладов Международной конференции «Воздействие интенсивных потоков на вещество». Терскол, 1999.

4. Caputo М. Elasticita e Dissipazione.- Zanichelli, Bologna, 1969.

5. Полубаринова-Кочина П.Я., Пряжтская ВТ., Эмих В.Н. Математические мето-

ды в вопросах орошения.- М.: Наука, 1969.

Афонин Анатолий Андреевич

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге

E-mail: nikitina.vm@ gmail.com

347928, Россия, Таганрог, ГСП 17А, пер. Некрасовский, 44 Тел.: 8(8634) 37-16-06

Afonin Anatoliy Andreevich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”

E-mail: nikitina.vm@gmail.com

44, Nekrasovsky, GSP 17A, Taganrog, 347928, Russia, Ph.: +7(8634) 37-16-06 УДК 534.29:551.594.25

А. А. Афонин

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГЕОМИГРАЦИИ В ПОРИСТЫХ

,

В данной статье представлены .математические модели геомиграции загрязнений в грунтовых водах в классической постановке, а также в почвах, обладающих фрактальной структурой.

Геомиграция; смесь; грунтовые воды; фрактальные структуры.

A. A. Afonin

MATHEMATICAL MODELS OF GEOMIGRATION IN POROUS MEDIA WITH FRACTAL STRUCTURE

In this study are presented mathematical models geomigration of contaminations with groundwater in classical way and in soils with fractal structures.

Geomigration; mixture; groundwater; fractal structures.

При мелиорации земель, проектировании и строительстве гидротехнических , ,

,

важное значение играют геофильтрация и геомиграция водорастворимых веществ, в частности солей, в почве и грунтах.

При исследовании подземных вод важным является такой расчет работы во, -, . При работе водозаборных скважин в районе морских побережий, засоленных озер

и солончаков существенно, чтобы водозабор не засорялся. Очевидно, что форма границ области загрязнения влияет на условия работы водозабора.

Грунтовые воды всегда содержат то или иное количество растворимых солей. Некоторое количество солей находится в грунте в твердой фазе, они могут быть сорбированными на частицах грунта и десорбироваться с их поверхности или быть рассеянными внутри пор. Имеет место то или иное первичное засоление почв и грунтов, в результате ирригации наблюдается вторичное засоление. Оно объясня-, , земли на достаточно близкое расстояние (обычно меньшее трех метров), испарение с их поверхности становится особенно интенсивным, и соли выносятся в верхние слои грунта и на его поверхность. При этом снижается плодородие почвы, а через некоторый промежуток времени она может стать совсем бесплодной. Поэтому вопросы прогноза водно-солевого режима почв и грунтов имеют весьма .

Считаем пористую среду, в которой происходит фильтрация, недеформируе-мой; будем пренебрегать силами инерции, вызывающими конвективное ускорение, силами вязкого трения внутри жидкости; будем пренебрегать молекулярной диффузией, вызываемой градиентом температуры. Тогда для фильтрации неодно-

,

одной компоненты в смеси имеет вид

тд(рс) + У(у - рс) = У(рБУс), (1)

дг

где р = р(с) - плотность смеси; т = т(х)- пористость среды; у = у(х,г) - скорость фильтрации (смеси); В = В(х)- коэффициент диффузии.

Если в уравнении (1) пренебречь инерционными членами (р = СОт(), урав-(1)

т— = У- (Б- Ус)-(у-У)с. (2)

дг

К уравнению (2) присоединяем закон Дарси и уравнение неразрывности:

у = к (х)Ур, Уу = 0, (3)

где р - обобщенный потенциал фильтрации (р = -к0И в случае профильной

фильтрации; р = -к0ТИ в случае плановой напорной фильтрации; р = 1 к И2 в

2 0

случае плановой напорной фильтрации со свободной поверхностью, где И - пьезометрический напор; Т - мощность водопроницаемого пласта; к0 - характерный размер); к(х) - коэффициент фильтрации.

, ( ) -ными. Однако во многих практических случаях фильтрационные течения таковы, что течениями в одном из трех координатных направлений можно пренебречь, и исследовать фильтрацию в двух других направлениях.

Плановые задачи геомиграции

Для незначительных по толщине и больших по простиранию водоносных пластов можно предположить, что градиенты давления, а, следовательно, и фильтрация в направлении 02 пренебрежимо мала по сравнению с фильтрацией в двух других направлениях. Все величины, входящие в уравнения геомиграции (2)-(3) представляют собой усредненные тем или иным способом ПО ОСИ 02 величины.

, , .

.

Уравнения (2)-(3) для плановой геомиграции перепишутся в следующем виде:

дс д (^ЭеЛ д (дс дс

т— = — О— +-------

о *

ді дх V дх ] ду I ду) х дх у ду

- V„-------------У„

(4)

V = к(х,у)gradф, ^ ^ = о. (5)

д х д у

Профильные задачи геомиграции

Пренебрегая фильтрацией в одном из горизонтальных направлений вместо вертикального, получим модель, которую называют профильной.

Этот вид можно использовать в тех случаях, когда фильтрация происходит преимущественно в вертикальном и одном из горизонтальных направлений. Величины, входящие в уравнения, представляют собой усредненные тем или иным способом по оси Оу величины.

Уравнения (2)-(3) для профильной геофильтрации можно записать в следующем виде:

дс дс

дс д ( „дсЛ д ( _ дс

т— =— О— +— О— ді дх \ дх) дг ^ ду

V = к (х, 2) gradф, +ду^ = 0.

дх 2 дг

дг (7)

Радиальные течения

К таким течениям относятся фильтрационные течения с одной скважиной ( ).

также является двумерной функцией. Входящие в уравнения геомиграции, представляют собой усредненные тем или иным способом по координате р вели чины.

В настоящее время значительный интерес представляет разработка математических моделей геомиграции, учитывающих влияние фрактальной структуры почвы на движение загрязнений в потоке грунтовых вод и на их водно-солевой режим.

Установлено [1], что почвогрунт имеет фрактальную структуру. В настоящее время разработаны методы, позволяющие наблюдать коллоидные структуры непосредственно в почвах, получить информацию о фрактальной размерности почв [2]. Учет этого фактора принципиально меняет уравнения геомиграции, превращая их в дифференциальные уравнения дробного порядка с коэффициентом.

Для плановой геомиграции перепишем уравнение (4) с учетом коэффициента фрактальной диффузии члена, учитывающего содержание солей в твердой фазе:

дс д I ^ дс) д | ^ Эс | дс дс п,

т— = — О,— +-------О,— - уг------Vу-+ в(ст - с), (8)

дг дх \ Эх) ду \ ду) дх ду

где р - коэффициент растворимости; ст - предельная концентрация насыщения;

О - .

Если рассматриваются хорошо растворимые соли, коэффициент растворимости в мал и членом р(ст - с) можно пренебречь.

Вводя Бв и да - операторы дробного интегродифференцирования порядка |в| Римана-Лиувилля и М. СарЩо порядка а [3], имеем аналог уравнения (8):

"';>а^СІC,У,'М = ^ В + |у) - Ух ^ - УУ ^ + в(ст - сМ <9)

где

дас(Х уг)= Оа-1 дc(x,у,т)

о ог^^^ у,Ч = Оог дт ' (10)

Для профильной геомиграции перепишем уравнение (6) в виде дс д (... дс} д (... дс} т. Эс дс ,

т э7 = ах° Их)+д;(Df - к дх “12+вХт - с). (11)

,

02, заменим соответствующие производные по 2 в уравнении (11) производными :

т! + >"х | - °Г ^ + в(ст - с), (12)

где да0хс(х,£,г )= О0Г д сХ^г), П -1 <а< п = 1,2.

Ъ^п

Одномерные классические профильные задачи вертикальной геомиграции солей, вытекающие из уравнения (6), были рассмотрены в работе [4]. Соответст-, -том фрактальной структуры грунтов, были рассмотрены в работе [5].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Федотов Г. Н., Третьяков Ю. Д., Иванов В. К., Куклин А. Н., Пахомов Е. Н.,

Исламов А. X., Початкова Т. Н. Влияние влажности на фрактальные свойства почвенных коллоидов // ДАН. 2006. Т409. 2.

2. Серб та Л. И. Об одной математической модели переноса субстанции во фрактальных средах // Математическое моделирование. 2003. Т15. 9.

3. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. - М.: Высш. шк., 1995.

4. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. - М.: Наука, 1977.

5. . .

фрактальной организацией // Труды 2-го Международного форума (7-й Международной конференции молодых ученых и студентов) «Актуальные проблемы современной науки». - Самара, 2006. Ч. 1-3.

Афонин Анатолий Андреевич

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге;

E-mail: nikitina.vm@ gmail.com

347928, Россия, Таганрог, ГСП 17А, пер. Некрасовский, 44 Тел.: 8(8634) 37-16-06

Afonin Anatoliy ANdreevich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”

E-mail: nikitina.vm@gmail.com

44, Nekrasovsky, GSP-17a, Taganrog, 347928, Russia, Ph.: +7(8634) 37-16-06