CC BY
80
УДК 556; 627.13
А. Ф. Воеводин, В. С. Никифоровская, Т. А. Виноградова
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МодЕЛИ для Прогнозирования ПРоцЕССА
PАСПР0СТРАНEНИЯ волн катастрофических паводков в СИСТЕМАХ открытых РУСЕЛ И водотоков *
введение. В данной статье рассматриваются математические модели и численные методы для решения гидравлических задач для открытых русел и водотоков. При построении моделей учитываются реальные морфометрические и гидравлические характеристики русла и прилегающей к нему поймы, их взаимодействие, а также воздействие метеорологических факторов (ветер, атмосферное давление) на волновые процессы. С привлечением разностных методов, элементов теории систем и системного анализа разрабатываются эффективные алгоритмы расчета неустановившихся течений как для разветвленных (древовидных), так и для сложно разветвленных (с наличием колец) систем открытых водотоков, и в том числе — устьевых областей рек. Исследуется возможность использования рассматриваемых численных моделей для изучения неустановившихся движений воды при сгонно-нагонных процессах в устьевых областях рек, при весенне-осенних половодьях на реках, при распространении волн попусков и паводков (различной обеспеченности) в водохозяйственных системах открытых русел.
Математические модели. Теоретической основой разработанных математических моделей для исследования волновых процессов, возникающих при катастрофических паводках, являются одномерные уравнения Сен-Венана (уравнения мелкой воды) [1, 2]:
а) уравнение неразрывности
„д2 дО
В— + —-----q, (1)
д( дх
б) уравнение движения
дО , д (О2^ , д2 О|О| ш дРа , ^ |пя (2)
— + — — + qw — = --------------— + |Щ|, (2)
д( дх V ш / дх К р дх
где t — время, х — координата, отсчитываемая вдоль оси русла, В(И, х) — ширина свободной поверхности потока, Х(х, {) — уровень свободной поверхности, О(х, 1) — расход воды, q(x, 1) — заданный распределенный боковой приток, ш (И, х) — площадь поперечного сечения потока, g — ускорение силы тяжести, К(И, х) — модуль расхода, Ра(х, {) — атмосферное давление, Щ(х, 0 — компонента скорости ветра вдоль оси русла, | Щ(х, () | — модуль скорости ветра, р — плотность воды, ^ — коэффициент ветрового напряжения. Основными неизвестными в уравнениях (1), (2) считаются Х(х, {) и О(х, 1).
* Работа выполнена при финансовой поддержке проекта № 16.2 Программы фундаментальных исследований Президиума РАН и Гранта НШ № 2260.2008.1.
© А. Ф. Воеводин, В. С. Никифоровская, Т. А. Виноградова, 2009
При рассмотрении неустановившихся течений в системах открытых русел и водотоков для учета взаимодействия водных потоков и водообмена между участками открытых русел, сосредоточенными емкостями и участками пойм, кроме граничных условий во входных и выходных створах системы, формулируются условия сопряжения. Таким образом, рассматриваемая система открытых русел представляется в виде динамической системы, состоящей из двух типов элементов: участки открытых русел и узлы, которые являются местами слияния участков или входными и выходными створами системы.
Граничные условия во входных и выходных створах в зависимости от типа рассматриваемой задачи задаются в виде
здесь I — координата входного или выходного створа.
Для сопряжения потоков при слиянии нескольких русел в узлах слияния формулируются условия, которые включают в себя балансовые соотношения и условия примыкания. Балансовые соотношения являются следствием закона сохранения объема (массы) в узлах
участков системы, для которых.-й узел является правым концом, у ■ — множество номеров участков, для которых.-й узел является левым концом, то балансовые соотношения имеют вид
где От(1, О и От(0, 0 — расходы на правом и левом концах т-го участка, соответственно; О* =/(2.) — площадь зеркала сосредоточенной емкости в /-м узле; О * = /2(0 — сосре-
■ / ч тт ■
доточенный приток (отток) в узле. При отсутствии сосредоточенной емкости и притока (оттока) в узле, т. е. О* =0, О * = 0, соотношение (4) моделирует простое слияние нескольких участков.
Условия примыкания используются для учета местных сопротивлений при наличии гидротехнических сооружений на концах участков и формулируются в виде
где \т — коэффициент местного сопротивления.
В случае отсутствия гидротехнических сооружений на концах участков (Е,т = 0) уравнение (5) означает равенство уровней на концах участков, примыкающих к .-му узлу.
Отличительной особенностью неустановившихся процессов при катастрофических паводках является затопление пойменных территорий, прилегающих к участкам открытых русел. Для исследования этих процессов разработаны математические модели, учитывающие водообмен между открытым руслом и поймой при различных уровнях затопления поймы. В зависимости от сложившейся при прохождении паводка ситуации использовались следующие модели для расчета течений в руслах с поймами:
• модель, учитывающая влияние поймы через суммарные для русла и поймы гидравлические характеристики [3, 4];
• модель, основанная на выделении руслового потока и учитывающая пойму как распределенную емкость [2, 5].
0(1, ?) = /(?) или Z(l, ?) = /(?) или а(ї, ?) = ї(Ь(?)),
(3)
и формулируются следующим образом. Так, если. — номер узла, у + — множество номеров
(4)
Zm = Z* — ^ Ш,
(5)
Численный метод. С точки зрения теории систем и системного анализа, разветвленные открытые русла и водотоки относятся к динамическим системам с распределенными и сосредоточенными параметрами. Она включает два типа элементов: участки открытых русел с поймами и узлы с сосредоточенными емкостями и притоками. Распределенные гидравлические параметры 2(х, 0, О(х, Р) используются для описания состояния потока на участках открытых русел, а сосредоточенные параметры 2 (х, 0, О*(х, t), О*(х, 0 — для описания состояния потока в узлах. Для определения распределенных параметров применяется разностная аппроксимация уравнений Сен-Венана, а сосредоточенных параметров — граничных условий и условий сопряжения. Разностные уравнения получены на основе абсолютно устойчивых неявных разностных схем, позволяющих вести расчеты рассматриваемых процессов с крупными шагами по времени [1]. При этом шаги разностной сетки по времени и пространству выбираются независимо и исходя лишь из соображений точности. Отличительная особенность задач, связанных с исследованием процессов в системах открытых русел, заключается в том, что распределенные и сосредоточенные параметры требуется определять одновременно на всех участках и для всех узлов системы. С математической точки зрения эта особенность приводит к проблеме решения систем линейных уравнений большой размерности. В этой связи возникает необходимость в разработке экономичных методов решения систем линейных уравнений, учитывающих структуру матрицы разностных уравнений [1, 6]. Так, для случая разветвленных систем открытых русел, когда топологическая структура системы описывается графом типа «дерево», разработан специальный численный алгоритм решения систем разностных уравнений, учитывающий свойства этого графа. В случае сложно разветвленных систем, когда топологическая структура системы описывается графом с циклами, алгоритм решения разностных уравнений разбивается на следующие два этапа. На первом этапе на каждом участке путем преобразования системы разностных уравнений с привлечением условий примыкания (5) и балансовых соотношений (4) получаем линейные уравнения для уровней воды в узлах 2.. Далее, в зависимости от размерности этой системы, для ее решения привлекаются стандартные прямые (метод Г аусса) или итерационные (метод Зейделя) методы для вычисления 2.. На втором этапе полученные значения уровней в узлах используются для вычисления распределения расходов и уровней по длине каждого участка на новый момент времени.
Результаты и их обсуждение. Пример 1. Штормовой нагон в Обско-Тазовской устьевой области.
Расчет штормового нагона 15-20 августа 1988 г. в Обско-Тазовской устьевой области производился от пунктов Салехард и Находка до пункта Тамбей, общая протяженность рассчитываемой области составляла 1306 км (рис. 1 а). В качестве верхних границ расчетной области брались створы п. Салехард и п. Находка, в которых задавались (в каждом своя) кривая расходов О = О (0, соответствующая рассчитываемому периоду нагона. Нижней границей области являлся створ п. Тамбей (морская граница эстуария), на которой задавался ход уровней штормового нагона. При расчете нагона рассматриваемая область была разбита на 5 расчетных участков различной длины. Для иллюстрации определяющей роли метеорологических факторов (ветер, атмосферное давление) в формировании нагона и создании экстремальной ситуации, приведшей к катастрофическому повышению уровней воды, помимо основного расчета был выполнен также расчет без их учета.
На рис. 1 б приведены результаты выполненных расчетов штормового нагона с учетом (пунктирная линия) и без учета (штрих-пунктирная линия) метеорологических факторов в сравнении с натурными данными (сплошная линия).
а
б
Рис. 1. Штормовой нагон 1520 августа 1988 г.:
а — схема Обско-Тазовской устьевой области; б — ход уровней воды при штормовом нагоне 1988 года в п. Ямсальский Бар; сплошная линия — наблюденный уровень, пунктирная — расчет с учетом ветра и давления, шрих-пунктирная — расчет без учета ветра и давления
Пример 2. Весеннее половодье в эстуарии реки Енисей.
Рассматривается устье реки Енисей от водпоста в/п Селиваниха до в/п Диксон общей протяженностью 1329 км (рис. 2 а). Верхней границей этого участка было выбрано место впадения р. Н.-Тунгуска (вблизи в/п Селиваниха), где при отсутствии сильных нагонов уровень воды определяется расходами воды в реке. В качестве нижней границы был принят морской край эстуария р. Енисей (створ Диксон). При расчете рассматриваемый участок был разбит на 7 расчетных участков различной длины. Граничными условиями являлись: на верхнем конце (в/п Селиваниха) — кривая расходов Q = Q (?), соответствующая катастрофическому половодью 1986 г., на нижнем конце (в/п Диксон) — ход колебаний уровней воды X = X (?) за соответствующий половодью период времени. Оба условия задавались по наблюдениям.
На рис. 2 б приведен ход расчетных (прерывистая линия) уровней воды в створах Игарка, Караул и Сопочная Карга в сравнении с данными натурных наблюдений (сплошная линия) [7].
Пример 3. Распространение волны прорыва из водохранилища при разрушении плотины.
Рассчитывается распространение волны прорыва при полном (гипотетический вариант) разрушении плотины Веселовского водохранилища, входящего в состав Усть-Манычской водохозяйственной системы (Ростовская обл., Россия). Объем водохранилища составляет 1 млрд куб. м, площадь зеркала — около 290 кв. км, средняя глубина — порядка 4,5 м. При возможном разрушении волна прорыва распространяется по Усть-Манычскому водохранилищу, являющимся в свою очередь нижним бьефом плотины Веселовского водохранилища, переходящим в русло р. Маныч, впадающей затем в р. Дон. На 35 км от створа
Н (м)
11 I (мес)
Рис. 2. Весеннее половодье 1986 г.:
а — схема расчетной части эстуария р. Енисей; б — ход уровней воды в пп. Мгарка, караул, Соп карга; сплошная линия — наблюденный уровень, прерывистая линия — рассчитанный
б
а
плотины в р. Маныч впадает р. Подпольная. на обеих реках недалеко от точки их слияния находятся два автомобильных моста, соединенных между собой дамбой. общая протяженность расчетной части составляет около 45 км (рис. 3 а).
на рис. 3 б приведены результаты расчета распространения волны прорыва для различных моментов времени, начиная с 10 минут до 10 суток с момента разрушения плотины.
Анализ результатов расчетов позволяет сделать вывод, что разрушение плотины Веселовского водохранилища не приведет к разрушению расположенных ниже водохранилища автодорожных мостов и соединяющей их дамбы.
Заключение. Авторами разработаны математические модели, численные методы и комплекс программ для решения широкого круга задач гидравлики открытых русел и водотоков для решения практических задач по гидрологическому обоснованию водохозяйственных проектов, даны оценки возможного отрицательного воздействия их на экологию окружающей среды. Результаты вычислительных экспериментов и их сравнение
О 5000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000 45 000
Рис. 3. Распространение волны прорыва:
а — схема расчетной части Усть-Манычской водохозяйственной системы; б — положение волны прорыва в Усть-Манычском водохранилище в различные моменты времени
с данными натурных измерений показали, что разработанный комплекс программ на ЭВМ может быть эффективно использован для теоретического исследования волновых процессов при катастрофических паводках и попусках в реальных системах открытых русел и водотоков.
Литература
1. Воеводин А. Ф., Никифоровская В. С., Овчарова А. С. Численные методы решения задачи о неустановившемся движении воды на устьевых участках рек // Тр. Аркт. и Антаркт. науч.-исслед. ин-та. СПб., 1983. Т. 378. С. 23-34.
2. AbbottM. B., VerhoogF H. Data reversible systems for flood routing // Proceedings of 13th Congress of the Int. Assoc. for Hydraul. Res. Japan, Kyoto, 1969. Vol. 1. Р. 305-312.
3. Воеводин А. Ф., Никифоровская В. С., Остапенко В. В. Математическое моделирование трансформации волн паводков в руслах с поймами // Метеорология и гидрология. СПб., 2008. № 3. С. 88-95.
4. Никифоровская В. С. О численных моделях неустановившихся течений в руслах с поймами // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1978. Вып. 35. С. 89-95.
5. Cunge J. A. Schematisation des Champs D’Inondation dans les modeles mathematiques fluviaux // Proceedings of 15th Congress of the Int. Assoc. For Hydrau. Res. France, Paris, 1971. Vol. 5. P. 163-168.
6. Воеводин А. Ф., Шугрин С. М. Методы решения одномерных эволюционных систем. Новосибирск, 1993.
7. Виноградова Т. А., Иванова А. А. Динамика воды в арктических устьевых областях эстуарного типа в период половодья / Докл. на VI Всероссийском гидрологическом съезде, секция 5. СПб., 2008. С. 102-109.
