CC BY
79С.А. Нефедов
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЕМОГРАФИЧЕСКИХ ЦИКЛОВ1
«Демографические приливы и отливы есть символ жизни минувших времен, - писал Фернан Бродель, - это следующие друг за другом спады и подъемы, причем первые сводят почти на нет - но не до конца! - вторые. В сравнении с этими фундаментальными реальностями все (или почти все) может показаться второстепенным...» [Бродель, 1986, с. 42].
Как известно, начало исследования динамики населения связано с именем Томаса Роберта Мальтуса. Главный постулат Мальтуса заключался в том, что «количество населения неизбежно ограничено средствами существования» [Мальтус, 1993, с. 22]. Однако великий закон природы, писал Мальтус, состоит «в проявляющемся во всех живых существах стремлении размножаться быстрее, чем это допускается находящимся в их распоряжении количеством пищи». Это приводит к нехватке продуктов питания, что отражается в росте цен и падении потребления. Уменьшение потребления влечет, в свою очередь, сокращение численности населения. Пищи теперь становится достаточно, потребление увеличивается, но затем процесс повторяется.
Мальтус полагал, что падение темпов роста населения с уменьшением потребления является законом природы, и в 1920-х годах эта связь была подтверждена биологическими экспериментами. Американский биолог и демограф Раймонд Пирл показал, что изменение численности популяций некоторых видов животных описывается так называемым логистическим уравнением:
—-— =г ( 1 — -) N
4 К У
1 Работа подготовлена по гранту Президента РФ по поддержке ведущих научных
школ № НШ-5236.2010.6
Здесь N (t) - численность популяции в момент t, r - максимальный естественный прирост в благоприятных условиях, K - максимально возможная численность популяции при данных ресурсах (вмещающая емкость экологической ниши), эту величину можно трактовать также как количество продовольственных ресурсов, деленное на минимальную норму потребления. Решение логистического уравнения называется логистической кривой.
Логистическое уравнение показывает, что с уменьшением потребления рост замедляется, но не объясняет уменьшения численности популяции, поэтому экологи и демографы были вынуждены искать объяснения этим (наблюдавшимся как в популяциях животных, так и в человеческом обществе) явлениям во внешних факторах - в климатических изменениях, неурожаях, эпидемиях, войнах. Это была одна из главных причин того, что экзогенное объяснение колебательного процесса стало основой критики мальтузианской теории.
Таким образом, при исследовании демографических процессов математическими методами необходимо, в первую очередь, показать возможность эндогенных колебаний в системе, поведение которой описывается логистическим уравнением. При этом важно привлечь для объяснения этих колебаний специфику земледельческого общества, характер потребления которого отличается от характера потребления животных тем, что земледельцы потребляют производимые ими же ресурсы, т.е. К не является постоянной величиной, а зависит от посевных площадей, которые, в свою очередь, зависят от численности населения. Изучению динамики населения в земледельческом обществе с помощью математических моделей посвящено значительное количество работ, в числе которых можно назвать работы Марка Артсроути, Томаса Кегеля, Джона Комлоса, Андрея Коротаева, Сергея и Артемия Малковых, Петра Турчина и некоторых других авторов [Komlos, Artzrouni, 1990; Kögel, Prskawetz, 2001; Ко-ротаев, Малков, Халтурина, 2005; Korotayev, Khaltourina, 2006; Turchin, 2003; Малков, 2002]. Однако большинство из этих моделей достаточно сложны и включают в себя неопределенные параметры, изменение которых существенно влияет на поведение модели. Ниже мы опишем простейшую модель, которая не имеет неопределенных параметров и, как нам кажется, однозначно решает вопрос о наличии колебательной динамики населения в земледельческих обществах.
Пусть K (t) - запасы зерна после сбора урожая, исчисляемые количеством минимальных годовых пайков (один паек - это примерно 240 кг зерна), это то же самое, что и максимальная численность населения, которая может прокормиться на существующих запасах до следующего урожая. Площадь посевов, а следовательно, и урожай зависит от численности населения и при возрастании численности населения стремится к некоторой константе а, определяемой максимальной посевной площадью, находящейся во владении земледельческого сообщества. Мы будем считать,
что урожай определяется формулой Р=аЫ/(Ы+ё), где а и ё - некоторые константы. Для описания динамики населения используем логистическое уравнение, но добавим к нему еще одно уравнение для К (г). Поскольку за год расходуется N пайков, то прирост запасов будет равен
ёК л , Т aN Л т
——=Р - N^7-- - N
Л )
Итак, мы имеем простейшую систему двух дифференциальных уравнений. Эта система имеет положение равновесия, когда население и запасы остаются постоянными - это точка К0= N 0 = а-ё.
Заметим, что величина ц= а/ё показывает, сколько человек (включая и себя) может в благоприятных условиях прокормить один земледелец (или сколько семей может прокормить одна земледельческая семья). Из истории аграрных обществ известно, что q обычно колеблется в пределах 1.2< q <2. Имеет смысл выразить а и ё через q и N 0:
а= N 0%-1), а=
N 0 можно условно приравнять к 1, так что в этой модели мы имеем две константы г и q, имеющие реальный смысл и колеблющиеся в известных пределах: 0,01<г<0.02, 1.2<^<2. Обычные методы исследования динамических систем позволяют установить, что при данных значениях параметров эта система порождает медленно затухающие колебания. Первые колебания могут иметь различный период, но когда кривая приближается к положению равновесия, период близок к
Т= гдеп=г- - г (1- 1)
— / (Ш^--
— Ь 4
Период Т уменьшается при увеличении г и q, и, соответственно, увеличивается при уменьшении этих величин. При q=1.02 и г=0.01 период равен 154 годам, при г=0.02-110 годам. В случае, когда первоначальное население мало, первый цикл может быть длиннее обычного, наличие больших запасов порождает у земледельцев иллюзию благополучия. Численность населения с запозданием реагирует на сокращение запасов и в результате начинается голод. За короткое время население может уменьшиться в два-четыре раза. После катастрофы, в условиях изобилия свободных земель, население снова возрастает, но чрезмерный рост снова приводит к новой катастрофе. Второй цикл по протяженности уже ближе к стандартному периоду Т, а падение численности населения имеет меньшие масштабы.
2,0
1,0
1,6
1,4
1,2
Рис. 1.
Пример расчета по модели (г=0,016, р=1,2)
Таким образом, согласно предложенной модели динамика земледельческой популяции имеет колебательный характер. Хотя в теории эти колебания затухают, на практике различные случайные и не учтенные здесь воздействия (война, климатические катаклизмы) отбрасывают систему от состояния равновесия, после чего начинается новая серия затухающих колебаний. Однако важно, что в принципе колебания могут происходить и без внешних воздействий, что они имеют эндогенный характер. Основной причиной этих колебаний является запаздывающая реакция населения на сокращение экологической ниши, связанная со спецификой земледельческого хозяйства, а именно с созданием запасов зерна. Подробности можно посмотреть в статье [Нефедов, 2003].
До сих пор мы исследовали колебания численности населения в условиях стационарной экологической ниши, а именно в условиях постоянной урожайности. Однако в реальности даже в традиционном обществе происходит рост урожайности, связанный с постепенным улучшением технологии земледелия. Поэтому для того чтобы сравнить результаты модельных вычислений с реальным ростом населения, например в странах Европы, необходимо изменить формулу для производства продуктов питания (формулу для Р) с учетом влияния технологии. Усовершенствованная модель, учитывающая технологический рост, была построена совместно автором и известным специалистом по экономической истории, профессором Джоном Комлосом. В этой модели технология и производство в момент ^ зависят от суммы накопленных знаний, т.е. от суммарного числа людей, живших до этого момента. Подробности можно посмотреть в статье [Кош1о8, Nefedov, 2002]. В результате расчетов по модели было
получено достаточно хорошее совпадение с данными о численности населения Европы, приводимыми Мак-Эведи и Джонсом [McEvedy, Jones, 1978].
Описанные выше модели демонстрируют возможность эндогенного мальтузианского объяснения демографических циклов. Однако мы не можем полностью отрицать роль случайных экзогенных воздействий, таких, как колебания урожайности. Вместе с тем мальтузианская теория полагает, что перенаселение стимулирует некоторые социальные процессы, такие, как разорение крестьян, рост крупного землевладения, рост числа арендаторов и ремесленников и т.д. Изучение этих процессов с помощью математической модели также является важной задачей, для решения которой требуется достаточно сложная модель. В то же время исторические источники лишь в крайне редких случаях дают данные, которые позволили бы построить такую модель: данные о населении, посевных площадях и урожайности на протяжении целого демографического цикла. Фактически единственный такой случай - это ханьский цикл истории Китая (I—II вв. н.э.), от которого дошло достаточно много данных благодаря развитой системе государственной статистики. Таким образом, для построения модели нам приходится использовать материалы достаточно отдаленной эпохи, но при этом необходимо отметить то обстоятельство, что китайское общество того времени было типичным аграрным обществом, и в целом, по-видимому, можно полагать, что рассматриваемая модель в своих основных чертах описывает общие процессы аграрных обществ.
В модели, построенной нами для динамики населения Китая в I— II вв. н.э., учтены погодовые колебания урожайности. В модели принимается, что размеры посевных площадей возрастают пропорционально численности населения до тех пор, пока не достигают максимума, после чего уже не возрастают (эта динамика соответствует реальным китайским данным). Естественный прирост зависит от потребления по логистическому закону. Учтена возможность того, что в случае голода крестьяне продают землю помещикам и становятся ремесленниками; учтен также взаимообмен продуктами между крестьянами и ремесленниками. Подробности можно посмотреть в статье [Nefedov, 2004].
Один из вариантов расчета по модели представлен на рис. 2. Присутствие случайных колебаний урожайности обусловливает «вибрирующий» характер кривых, и при различных прогонах программы результаты могут меняться — иногда довольно существенно. Однако до 100 г. колебания урожайности почти не влияют на рост численности населения; как показывают расчеты, в этот период у крестьян имеются большие запасы зерна, и неурожай не приводит к голоду; кривая роста численности населения «заглажена» и устойчива. Как можно заключить из графика, расчетная численность населения достаточно хорошо согласуется с данными переписей. Согласуются и общие тенденции: в 57—85 гг. крестьяне интенсивно распахивали землю и у них скопились большие запасы зерна. Потребление в этот период было высоким и численность населения быст-
ро увеличивалась. После 85 г. с постепенным исчерпанием резервов свободных земель внутренняя колонизация замедлилась, а численность населения продолжала расти, так что потребление стало превышать размеры урожаев и запасы стали сокращаться.
♦ население (переписи) население(вычисления) ■ крестьяне ► пашня (вычисления)
А пашня (кадастр) арендаторы ► ремесленники и слуги ■ крестьянский надел
Рис. 2.
Численность населения, крестьян, арендаторов, ремесленников (млн. человек), пашня (млн. га) и запасы крестьян (млн. т) по расчетным данным.
Около 100 г. запасы исчерпались, и динамика роста населения резко изменилась. Все доступные (при тогдашней технологии) земли к этому времени были уже распаханы, экологическая ниша была полностью заполнена и рост численности населения прекратился. Потребление упало до критического уровня, едва обеспечивающего выживание. В годы неурожаев приходит голод, кривая численности населения начинает колебаться - тем сильнее, чем больше разброс урожайности. Источники того
времени говорят о постоянно повторяющемся голоде и о восстаниях голодающих. Чтобы облегчить страдания населения, власти раздавали беднякам зерно из государственных амбаров. Расчеты показывают, что без стабилизирующих мероприятий государства катастрофа могла произойти гораздо раньше, чем она случилась в действительности.
В период после 100 г. меняется характер протекавших в обществе экономических процессов. До этого времени численность ремесленников и арендаторов была невелика, и как показывают расчеты, она практически не увеличивалась. Численность крестьян возрастала, и крестьянское хозяйство сохраняло в целом стабильный характер. После 100 г. эта стабильность нарушается; нехватка земли порождает голод, а голод заставляет крестьян продавать землю помещикам, что приводит к еще большей нехватке земли. Начинается постепенно ускоряющийся процесс разорения крестьян и роста крупной помещичьей собственности. Часть разорившихся крестьян становится арендаторами у помещиков, другая часть крестьян уходит в города и пытается заработать на жизнь ремеслом. Расчеты показывают уменьшение численности крестьян и рост численности арендаторов, ремесленников и помещичьих слуг. Доходы помещиков растут, и это позволяет им тратить большую часть доходов на покупку ремесленных изделий - это объясняет рост числа ремесленников, расцвет городов и торговли. Этот парадокс - расцвет городов на фоне бедствующей деревни -отмечали многие современники. Однако расцвет был обманчивым, города были переполнены безработными и нищими, уровень потребления ремесленников был низким, и в годы неурожаев они, как и крестьяне, страдали от голода и спасались государственными раздачами зерна.
Продажа земли крестьянами проводила к нарастанию малоземелья, уменьшению урожаев, а следовательно, к нехватке зерна и к новым продажам. В 150-170-х годах этот процесс принял лавинообразный характер. Система государственных амбаров оказалась не в состоянии прокормить всех разорившихся крестьян - государственные ресурсы были исчерпаны, амбары опустели. Известно, что после 156 г. отсутствие средств у государства привело к прекращению выдачи пособий голодающим. В 160-х и 170-х годах восстания в разных провинциях происходили практически непрерывно. В отсутствие запасов и государственной помощи любой большой неурожай должен был привести к катастрофе. Ввиду присутствия случайной величины в наших расчетах время катастрофы варьирует в промежутке 160-200 гг.; при большем разбросе урожайности катастрофа может произойти и раньше. Меняются также масштабы катастрофы - чаще всего она приводит к гибели 1/3-2/3 населения. В реальности катастрофа разразилась в 184 г. - голод и эпидемия привели к грандиозному восстанию «желтых повязок». Восстание разрушило государственный аппарат империи Хань и породило долгие внутренние войны. Разрушение ирригационных систем еще более усилило голод - все эти бедствия слились в единый катаклизм, погубивший 5/6 населения. Конечно, эти массы
населения погибли не в один год, как показывает график на рис. 2; здесь мы сталкиваемся с условностью моделирования, которое не может достаточно достоверно описать динамику катастрофы. Однако в целом предлагаемая модель помогает понять характер социально-экономических процессов и причины катастрофического кризиса. Модель подтверждает основные положения неомальтузианской теории о том, что перенаселение приводит к разорению крестьян, росту крупного землевладения, росту числа арендаторов и ремесленников. Кроме того, мы видим, что в период роста крестьяне имеют достаточные запасы зерна, и колебания урожайности в этот период не могут привести к катастрофе. Однако в последующий период перенаселения такие запасы отсутствуют, что делает экономическую систему неустойчивой, и большой неурожай может привести к драматическим последствиям.
Новый этап в развитии концепции демографического циклизма открыло появление демографически-структурной теории Джека Голдстоуна [ОоЫ81;опе, 1991]. Отличительной чертой демографически-структурной теории является новый, структурный подход: в то время как неомальтузианская теория рассматривала население и экономику в целом, демографически-структурная теория рассматривает структуру - народ, государство и элиту, - анализируя взаимодействие элементов этой структуры в условиях роста населения.
Это взаимодействие касается в основном распределения ресурсов и взаимообмена услугами. Государство, собирая с населения налоги, обеспечивает военную защиту и социально-экономическую стабильность. Военная элита участвует в этом процессе, получая свою долю доходов от государства или непосредственно от населения; экономическая элита на тех же основаниях играет основную роль в организации производства.
Динамика населения в теории Дж. Голдстоуна описывается примерно так же, как у Мальтуса и Рикардо. Дж. Голдстоун полагал, что численность населения колеблется, описывая циклы, которые он называл экологическими, но причину этих циклов он видел во внешних воздействиях, таких, как изменения климата, эпидемии и т.п. П. Турчин первым высказал мысль о том, что экологические циклы вытекают из самого существа демографически-структурной теории, и проиллюстрировал это с помощью построенной им математической модели. Позднее мы вместе создали усовершенствованную модель, которая опубликована в статье [Нефедов, Тур-чин, 2006].
Модель состоит из двух уравнений. Первое уравнение - это обычное логистическое уравнение
(1 - К)
Второе уравнение описывает состояние государственных ресурсов 8 (это другой параметр теории Голдстуна)
йБ аЫ ,,, йг Ы+й
В этом выражении уменьшаемое характеризует государственные доходы (поземельный налог), а вычитаемое - расходы, которые пропорциональны численности населения. Разность - это профицит годового бюджета, который добавляется к запасенным ресурсам 8. Ресурсы могут быть направлены, в частности, на расширение экологической ниши К путем ирригации. К и Б связаны соотношением
К = р-а+е5У(3+#,
где р - «естественная» емкость экологической ниши в отсутствие государства и внутренних войн, с и/ - некоторые константы. Таким образом, при росте ресурсов емкость экологической ниши увеличивается - но только до определенного предела.
Система имеет положение равновесия, и обычными методами исследования дифференциальных уравнений можно показать, что возможны два варианта поведения решений. В первом варианте, который соответствует большинству реальных значений коэффициентов, мы имеем медленно затухающие колебания - как в первой модели. Однако при больших значениях налоговой нагрузки мы имеем другую картину, когда ресурсы растут, а численность населения монотонно, без колебаний стремится к некоторой асимптоте. Таким образом, высокие налоги стабилизируют численность населения, но на низком уровне.
Эти результаты подтвердила и другая наша совместная модель, в которой учитывается не только динамика населения и урожаев, но и численность элиты и динамика налогов. Посевные площади в этой модели растут пропорционально росту численности населения, пока не достигают своего максимума; население увеличивается или уменьшается соответственно потреблению, государство расходует основную часть собираемых налогов на войско (военную элиту), запасая остальное в резерв. Если государственных ресурсов не хватает, то содержание войска уменьшается и оно сокращается, это приводит к росту нестабильности в элите и к мятежам, что вынуждает государство увеличивать налоги. Голод, в свою очередь, приводит к росту нестабильности в крестьянской среде и к крестьянским восстаниям, что вынуждает государство понижать налоги. Оба показателя нестабильности влияют на хозяйственную жизнь, и рост нестабильности приводит к сокращению урожаев. Подробное описание модели можно найти в статье [Нефедов, Турчин, 2006].
На рис. 3 показаны результаты расчета с первоначальным уровнем налогов в 20% урожая. Как видно из рисунка, динамика населения носит циклический характер и наиболее типичными являются циклы продолжительностью примерно в полтора столетия. На протяжении цикла налоги, как правило, растут: время от времени казна оказывается пустой и вынуждена уменьшать содержание войска, что сопровождается его сокращением. Недовольная военная элита поднимает мятежи, и в итоге правительство вынуждено увеличивать налоги - ситуация, многократно наблюдавшаяся в истории разных стран. Те циклы, в которых уровень налогов ниже, имеют большую продолжительность, при высоких налогах циклы становятся короче, а потолок населения - ниже. Численность элиты пропорциональна величине налогов (ренты), и особенно велика в коротких циклах: причиной малой продолжительности этих циклов является чрезмерное давление элиты на народ. П. Турчин обратил внимание на то обстоятельство, что в средневековой истории Египта преобладали именно такие короткие циклы. Недавно А.В. Коротаев и Д.А. Халтурина предложили математическую модель этого явления, а также заметили, что население в то время не достигало потолка емкости среды [Кого1ауеу, КЪаИоигта, 2006, р. 47]. Как нам представляется, эта специфика может быть объяснена из предлагаемой нами модели, если учитывать существовавший в этой стране высокий уровень налогов.
1,8
1,6 1,4 _ 1,2
£ 1,0
100 90
и
80 ¡5 га
70 Л о со
60 л
I-
и о
50 ^ а> с; и
40 ^
30 5%
нООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООО
население
- численность войска
Рис. 3.
Динамика численности населения в млн. дворов. Вариант расчета с первоначальным уровнем налогов в 20% урожая
20
10
0
Как показывает модельный анализ, наиболее стабильными являются государства, создающие большие резервы путем значительных отчислений от налоговых поступлений. Эти отчисления одновременно уменьшают долю элиты в совокупной ренте и тем самым ее численность. Появляется возможность удовлетворить военное сословие и избежать опасности военных мятежей. Одновременно появляется возможность оказывать помощь крестьянам в случае голода и проводить ирригационные работы. Примеры такой политики дают Япония эпохи Токугава, Египет при тюркских мамлюках (середина XIII - середина XIV в.), династии Старшая Хань и ранняя Мин в Китае, Османская империя в XV-XVI вв., Византия эпохи Македонской династии. Это - политика сильных автократических государств, держащих в узде военную элиту.
Неспособность аккумулировать средства является оборотной стороной неспособности сдерживать каждодневные финансовые претензии элиты. Это приводит к тому, что государство не может удовлетворить требования войска в годы временных трудностей, что ведет к мятежам военного сословия. Мятежи, в свою очередь, вызывают рост налогов, что влечет голод и восстания. Бесконтрольная раздача икта в империи Сельджукидов в XI в. и в Египте в XII в. привела к резкому росту ренты и демографическим катастрофам.
Литература
Бродель Ф. Материальная цивилизация, экономика и капитализм в XV-XVIII веках. - М.:
Наука, 1986. - Т. 1: Структуры повседневности. Возможное и невозможное. Коротаев А.В., Малков А.С., Халтурина Д.А. Законы истории. Математическое моделирование исторических макропроцессов. Демография, экономика, войны. - М.: URSS, 2005. Малков С.Ю. Социально-экономическая и демографическая динамика в аграрных обществах / С.Ю. Малков, Ю.В. Коссе, В.Н. Бакулин, А.В. Сергеев // Математическое моделирование. - М., 2002. - Т. 14. - № 9. - С. 103-108. Мальтус Т.Р. Опыт о законе народонаселения // Антология экономической классики. - М.:
Наука, 1993. - Т. 2. - С. 5-136. Нефедов С.А. Простейшая математическая модель демографической динамики земледельческого общества // Информационный бюллетень ассоциации «История и компьютер». -М., 2003. - № 31. - С. 266-269. Нефедов С.А., Турчин П.В. Опыт моделирования демографически-структурных циклов // Макроистоисторическая динамика общества и государства. - М.: КомКнига, 2006. -С. 153-167.
Нефедов С.А. Демографически-структурный анализ социально-экономической истории
России. - Екатеринбург: УГГУ, 2005. Нефедов С.А., Турчин П.В. Модифицированная модель демографически-структурной динамики аграрного общества // Информационный бюллетень ассоциации «История и компьютер». - М., 2006. - № 33. - С. 102-110.
Goldstone J. Revolution and rebellion in the early modern world. - L.: Univ. of California press, 1991.
Kögel T., Prskawetz A. Agricultural productivity growth and escape from the Malthusian trap // Journal of economic growth. - Boston, 2001. - Vol. 6, N 4. - P. 337-357.
Komlos J., ArtzrouniM. Mathematical investigations of the escape from the Malthusian trap // Mathematical population studies. - N.Y., 1990. - Vol. 2, N 4. - P. 269-287.
Komlos J., Nefedov S. Compact macromodel of pre-industrial population growth // Historical methods. - Washington, D.C., 2002. - Vol. 35, N 2. - P. 92-94.
Korotayev A., Khaltourina D. Introduction to social macrodynamics: Secular cycles and millennial trends in Africa. - Moscow: URSS, 2006.
McEvedy C., JonesR. Atlas of world population history. - N.Y.: Viking, 1978.
Nefedov S.A. A model of demographic cycles in a traditional society: The case of Ancient China // Social evolution and history. - Moscow, 2004. - Vol. 3, N 1. - P. 69-80.
Steinmann G., Prskawetz A., Feichtinger G.A. Model on the escape from the Malthusian trap // Journal of population economics. - Heidelberg, 1998. - Vol. 11, N 4. - P. 535-550.
Turchin P. Historical dynamics. Why states rise and fall. - Princeton; Oxford: Princeton univ. press, 2003.
