CC BY
67
УДК 531.383
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АКСЕЛЕРОМЕТРОВ КОМПЕНСАЦИОННОГО ТИПА
В.В. Кулешов
Рассматриваются методы построения математических моделей акселерометров, содержащих в своей структуре как преобразователь аналогового сигнала в длительность, так и преобразователь временных интервалов в относительный цифровой код пропорционально входному воздействию
Ключевые слова: акселерометр, преобразователь аналогового сигнала в длительность, преобразователь временных интервалов в относительный цифровой код, компаратор, итоговый регистр.
Автоматизированное проектирование акселерометров компенсационного типа связано с разработкой математических моделей. Целью данной работы является разработка математических моделей акселерометров компенсационного типа, содержащих в своей структуре как преобразователь аналогового сигнала в длительность, так и преобразователь временных интервалов в относительный цифровой код пропорционально входному воздействию.
Процесс преобразования аналогового сигнала в длительность можно реализовать путем сравнения его в компараторе с сигналом типа треугольная пила [1, 2]. В итоге, на выходе компаратора формируется двухуровневый сигнал, имеющий разную длительность.
Схема преобразования аналогового сигнала в длительность приведена на рис.1.
Каждый участок выходного сигнала и^(г) (рис.1) можно описать
следующими уравнениями:
1-й участок 0 < г < гп/2 и^ = -А + к ■ г
2-й участок г /2 < г < г иг = А - к ■ г,
п п т
где, к = 4 ■ А/гп крутизна пилы, гп - период пилы; А - амплитуда пилы.
Для составления математической модели необходимо определить время преобразования входного сигнала и величину цифрового кода преобразователя. В соответствии с рис.1 длительность времени преобразования положительного выходного сигнала ^ определяется из соотношения
. ^ т. т г г а + А А - а ■ (1--)--А г
тЛ = п - гл + гп = п - — +-к-= ж
1 2 1 2 2 к т + к 4
тт
1 - п ■ (1--)
1 - п +-к
т 1 + —
а dU
где п = —, т =-относительная величина входного аналогового сигнала
А dг
в момент первого перемещения пилы через ось абсцисс и скорость измене-
к
к
ния входного аналогового сигнала во время преобразования. Длительность времени преобразования отрицательного значения выходного сигнала т2 определяется из соотношения
_ Хп _
х2 _ —^2 + ч _
мм м 3 • м
А — а • (1 — м) — -А А + а • (1 — м) — — А
к к
+
к
к
м + к
с
4
к — м
\
2
, „ м, м м, 3 • м 1 — «(1--)--1 + «(1--)
кк
+
к
1 +
м
к
м
к
к
Рис. 1. Преобразование аналогового сигнала в длительность
Разностный и суммарный выходной сигнал длительности преобра-
зования
г
Т _ Т 2- т _
— 2 1 4
1 + п — 2-
1 /1 м м м, 3 • м 1 — «(1--)--1 + «(1--)
к к
+
к
1+
м
к
1+
м
к
к
_ г,.
г
Х+ _ Х2 + Х1 _ 4
2 • м
к «
м2 м 1 +
к 2 к У
1 — п 1 „ м 3 • м ^ (1 )+ к к _ гп
1 1 м 1 м
к У к
г
л
1
1
Преобразование аналогового сигнала в длительность можно представить в виде модели (рис.2), и это преобразование может быть описано следующим образом. При подаче на вход преобразователя сигнала и = аэт(® ■ г) (где а < А) максимальное значение скорости изменения
dU
входного сигнала т =-имеет место в момент перехода гармонического
dг
сигнала через нуль. Эта величина будет определять апертурную ошибку, т.е. ошибку, вызванную изменением сигнала за время преобразования. Для повышения точности преобразования аналогового сигнала в цифровой код
апертурную ошибку §а = 2т необходимо ограничивать на уровне одного
к
разряда преобразователя, т.е. крутизна пилы и скорость изменения входного сигнала должны выбираться в соответствии с ограничением 2т < 1
к ~ 2пп
(где пп - разрядность цифрового кода), и круговая частота входного сигнала также не должна превышать значения ®<=
2(2 М)2
Щ§
1
пА
А
к
П1
К + *
111 ш
К- к
Рис. 2. Модель преобразования аналогового сигнала в длительность
При выполнении этих условий величина относительной апертурной
ошибки и скорость изменения входного сигнала т <= к не будут
2(2 пп -1)
превышать единицы младшего разряда преобразователя аналогового сигнала в длительность. Оценим длительность преобразования аналогового сигнала при различных значениях относительной величины входного сигнала и скорости изменения входного сигнала. Если скорость изменения входного сигнала т=0, то длительность преобразования определяется как
235
т_ =п-хп, т+ = хп, т.е. если входной сигнал за время преобразования не изменяется, то разностная длительность будет прямо пропорциональна времени преобразования хп, и относительная величина входного сигнала, и измененная длительность аналогового сигнала будут равны времени преобразования. Если относительная величина входного сигнала п=0, а скорость изменения входного сигнала то параметры преобразованного сигнала в длительность определятся как
2
т =■
т
к
1 _
т
к
2
Т
т+
1 _
т
к
При этом величина относительной апертурной ошибки, определяющей точность преобразования, будет
5п =Г
2
т
к
1 _
т
2
V к у
Измеряя длительности интервалов т+ и т_, можно определить точные значения относительной величины и скорости изменения входного аналогового сигнала по следующим соотношениям:
т
= 1-
п
т
+
/! т. п = (1 + —)
к
т_
х_
2 • т / к
1 _
т
V к у у
2
или в цифровом виде [3]
N _ =тт(т_ •и,
К+ =ШТ(т+ •/т),
т
к
N
1 _
п
N
п
т
+
(
1 +
V к
N_
N
Nn =ШТ(Хп •/т),
т
п
т
2
,2
к
где ШТ(х) - целая часть; N - точные значения цифрового кода, соответствующего аналоговому сигналу, /т - тактовая частота генератора.
Разработанная математическая модель преобразования аналогового сигнала в длительность позволяет оценить погрешность преобразования входного сигнала, длительность и цифровой код, и она может рекомендоваться при проектировании высокоточных измерительных устройств для измерения физических величин (ускорений и угловых скоростей) [1, 4, 5].
236
Х
п
х
к
к
1
Рассмотрим математическую модель акселерометра, в котором преобразование временных интервалов в относительный цифровой код осуществляется пропорционально входному воздействию.
Математическую модель акселерометра, работающего в автоколебательном режиме, можно представить в виде структурной схемы (рис.3). Передаточная функция акселерометра может быть записана в виде [5]
Ж (л) =-К-,
л -(Т ■ л+1)
где К - коэффициент передачи; Т - постоянная времени; ^ - преобразователь Лапласа.
V©
Рис. 3. Структурная схема компенсационного акселерометра
Для расширения полосы пропускания в акселерометр введен регулятор с передаточной функцией [5]
К12 ■ (Т ■ л + 1)
Ж (л) =
л
К1
где Т - постоянная времени, К ^ = коэффициент передачи регуля-
тора.
Рассмотрим процесс преобразования временных интервалов в относительный код, пропорциональный входному воздействию, на примере реализации акселерометра компенсационного типа [5] (рис. 4).
В схеме (рис. 4) используются следующие обозначения: 1 - чувствительный элемент; 2 - датчик угла; 3 - генератор несущей частоты; 4 -полосовой фильтр; 5 - усилитель; 6 - эммитерный повторитель; 7 - инвертор; 8 - эммитерный повторитель; 9 - фазосдвигающая цепь; 10 - компаратор; 11 - формирователь импульсов; 12 - Ж-триггер; 13, 14 - ждущие синхронные генераторы; 15 - устройство распределения синхроимпульсов; 16 - генератор; 17 - Я^-триггер; 18 - релейный элемент; 19 - датчик момента; 20 - фильтр; 21, 22 - схемы совпадения; 23, 24, 27, 29, 30 - счетчик; 25 - преобразователь информации в прямой код; 26, 31, 32 - двоичный умножитель; 28 - схема сложения. Информация с итогового регистра реверсивного двоичного счетчика 24 поступает на вход преобразователя цифровой информации в прямой код 25, а затем на первый вход первого двоичного умножителя 26, на выходе которого число синхроимпульсов с устройства распределения синхроимпульсов 15,16 будет пропорционально цифровому коду.
Рис. 4. Схема реализации компенсационного акселерометра
Информация с выхода итогового регистра реверсивного двоичного счетчика 24 ТВ1 будет равна разности временных интервалов t1 и t2.
Синхроимпульсы с первого двоичного умножителя 26 поступают на суммирующий вход второго реверсивного двоичного счетчика 27. Информация с выхода второго реверсивного двоичного счетчика 27 будет
Y _ (—) • 2n, TB
где n - размерность счетчика; ТВ - суммарная длительность временного интервала t1 и t2, где n - размерность счетчика; ТВ - суммарная длительность временного интервала t\ и t2.
Сигнал с выхода двоичного умножителя подается на второй вход третьего двоичного умножителя 32. Число импульсов с выхода третьего двоичного умножителя 32, пропорциональных цифровому коду, подается на вычитающий (второй) вход второго реверсивного счетчика 27. Для получения суммарного временного интервала ТВ= t1+t2 с выходов схем совпадения 21,22 на вход двоичного умножителя 31 последовательно введены - схема сложения 28, суммирующий двоичный счетчик 29, итоговый регистр суммирующего двоичного счетчика 30 и второй двоичный умножитель 31. С выхода двоичного умножителя 32 получим информацию, пропорциональную f •TB1, а с выхода второго двоичного умножителя 31 -
2 n
TB J--.
2 n
Относительный цифровой код Y, с выхода второго реверсивного двоичного счетчика 27,
f TB1 _ TB Y
2n ' 2n 2n и после ряда несложных преобразований получим
(h-h) • 2n t1 +12
Y
(TB1) • 2n
TB
Аналоговая передаточная функция компенсационного акселерометра (рис. 4) представляется интегрирующим звеном, и при воздействии ускорения X на выходе асинхронного Я8-триггера получим
(^тах - X) • к • I, = 2 и,
(1)
(y + x)■ K ■ L _ 2-U, max у 2
где
y - максимальное значение напряжения на RS-триггере; t1 - дли-
max
тельность положительного временного интервала; ?2 - длительность отрицательного временного интервала; К - коэффициент передачи устройства; и - пороговое значение зоны неоднозначности асинхронного Я8-триггера.
Из выражения (1) определим сумму и разность временных интерва-
лов
t1 +12
2-U
-1
K
1
+
1
y max
t1 -12
-x
y max+x
)
4-U
K
1
y max
1
x
(2)
y max
4-U
K
x
y max
(1
(3)
1
x
y max
Из анализа полученных выражений (2), (3) следует, что как и сумма, так и разность временных интервалов зависят от параметров U , K ,
y и входного воздействия x. max
В акселерометре за счет введения с выхода схем совпадения на вход двоичного умножителя схемы сложения «ИЛИ», суммирующего двоичного счетчика, второго итогового регистра суммирующего двоичного счетчика, второго двоичного умножителя, реверсивного двоичного счетчика, итогового регистра, преобразователя кода, двоичного умножителя и реверсивного двоичного счетчика осуществляется преобразование временных интервалов в относительный цифровой код, пропорциональный входному воздействию [5],
t1 -12 _ TB1 t ~ TB
В акселерометре, работающем в автоколебательном режиме, параметры t1, t2 , t переменны и зависят от входного ускорения. Преобразования временных интервалов в относительный цифровой код позволяет повысить точность измерения ускорения, т.к. относительная величина (4) не зависит от динамических свойств акселерометра. Полученные результаты могут быть использованы при разработке высокоточных преобразователей механических величин компенсационного типа, применяемых в системах стабилизации, навигации и наведения подвижных объектов.
239
■ x.
(4)
(
)
1
1
Список литературы
1. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов по критериям точности, быстродействию, энергосбережению / В.В. Сурков, Б.В. Сухинин, В.И. Ловчаков, А.Э. Соловьев. Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. 300 с.
2. Майоров С.А., Новиков Г.И. Принципы организации цифровых машин. Л.: Машиностроение, 1974. 386 с.
3. Изерман Р. Цифровые системы управления. М.: Мир, 1984.
360 с.
4. Пат. РФ №2189046 С1. Устройство для измерения ускорений. / А.Н. Кутуров, В .В. Кулешов. Опубл. 10.09.2002. Бюл. №25.
5. Пат. 2171995 РФ. Устройство для измерения ускорений / А.Н. Кутуров, В.В. Кулешов. 2002.
Кулешов Владимир Вениаминович, канд. техн. наук, доц., v47kuleshov@gmail. com, Россия, Тула, Тульский государственный университет
MATHEMA TICAL MODELS OF COMPENSA TION TYPE ACCELEROMETER
V. V. Kuleshov
The paper deals with methods of constructing mathematical models accelerometers containing in its structure as the analog signal converter in duration and time intervals in converter relative digital code proportional to the input Effects
Key words: accelerometer analog signal converter duration timeslots transducer relative to a digital code, a comparator, a final register.
Kuleshov Vladimir Veniaminovich, candidate of technical sciences, docent, v4 7kuleshov@,gmail. com, Russia, Tula, Tula State University
