CC BY
128
УДК 622.24.05-5
А. В. Алексеев, В. Н. Есауленко Астраханский государственный технический университет
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАБОЙНОГО ДАТЧИКА ОСЕВОЙ НАГРУЗКИ НА ДОЛОТО
Введение
Известно, что при бурении глубоких скважин значения технологических параметров, определяющих режим бурения и полученных по показаниям наземных приборов, существенно отличаются от действующих на забое скважины. Однако до сих пор в подавляющем большинстве случаев в практике буровых работ при управлении процессом бурения используется информация о наземных параметрах бурения и информация о косвенном измерении забойных параметров, что приводит к большим погрешностям измерений. Отклонение текущих значений технологических параметров от проектных создает ряд осложнений и вызывает серьёзные аварии, преодоление которых требует значительных затрат времени и материальных средств на всех этапах строительства скважин. В связи с этим особенно важным является обеспечение контроля и управления процессом бурения по забойным параметрам.
Известно, что процесс бурения характеризуется большим количеством геологических и технологических параметров. Естественно, что чем больше забойных параметров бурения удается контролировать, тем полнее картина процессов, происходящих на забое скважины. Однако, как показывает практика, для определения режима бурения и расчета управляющих воздействий для его оптимизации, а также контроля соответствия проектных параметров скважины и их текущих значений вполне достаточно осуществлять измерение нескольких основных параметров процесса бурения (осевая нагрузка на долото, частота вращения породоразрушающего инструмента, давление бурового раствора и пространственное положение скважины).
Известно, что осевая нагрузка является важнейшим технологическим параметром, в значительной мере определяющим режим бурения. Именно поэтому точное измерение осевой нагрузки имеет огромное значение для оптимизации режима бурения. Практически все известные забойные устройства контроля осевой нагрузки обладают рядом существенных недостатков [1]. В связи с этим был разработан новый датчик, реализующий частотный способ представления и передачи информации об осевой нагрузке по гидравлическому каналу связи. Кроме того, в отличие от известных датчиков, данный датчик может применяться при любом способе бурения. Основным элементом разработанного датчика является аэродинамический генератор колебаний.
Постановка задачи
С целью установления однозначной зависимости между показаниями предложенного забойного датчика осевой нагрузки на долото и вели-
чиной осевой нагрузки необходимо было разработать математическую модель предложенного датчика.
Для получения математической модели забойного датчика осевой нагрузки на долото, построенного на базе аэродинамического генератора, в первую очередь необходимо было получить аналитические зависимости, описывающие процессы заполнения и опустошения приемной камеры аэродинамического генератора.
При анализе любых вопросов, связанных с наполнением и опорожнением сосудов, исходным уравнением является выражение для секундного весового расхода газа через отверстие [2]. В общем случае оно имеет вид
Ссек Fcу,
где Gсек - весовой секундный расход газа;
Р - площадь сечения отверстия;
с - скорость газа в отверстии;
у - удельный вес газа в отверстии.
Для упрощения решения основных уравнений газодинамики принимаются следующие допущения:
1) при истечении газа через отверстие тепловой обмен отсутствует, т. е. процесс его расширения следует закону адиабаты;
2) начальная скорость газа в резервуаре, из которого происходит истечение, равна нулю;
3) процесс истечения имеет установившийся характер;
4) расход газа через отверстие, как при рассмотрении процесса опорожнения приемной камеры, так и процесса ее заполнения, происходит только по закону для подкритических областей давлений;
5) работа датчика протекает при постоянной температуре или сопровождается незначительными ее изменениями, т. е. протекающие процессы являются изотермическими.
В соответствии с принятыми допущениями выражение для мгновенного расхода газа через отверстие имеет следующий вид:
°сек =
k -1
Р, У,
2
(р} л к
,
k+1
(р} л
,
(1)
где G - весовой секундный расход газа через отверстие, кг/с; ц - коэффициент истечения;
Р - сечение отверстия, м2;
k - показатель адиабаты (для двухатомных газов и воздуха k = 1,4);
8 - 9,81 м/с2;
р, - давление воздуха в сосуде, откуда происходит истечение, кг/м2; у, - удельный вес газа там же, кг/м3;
Р] - противодавление среды, в которую вытекает газ, кг/м2.
Здесь и далее под давлением газа понимается его абсолютное значение.
к
Будем рассматривать процесс опорожнения приемной камеры - истечение сжатого газа из сосуда ограниченной емкости в среду, обладающую постоянными параметрами. Примем, что давление внешней среды равно атмосферному.
Пусть в приемной камере объемом V содержится сжатый газ, давление которого р,0 и удельный вес у,0. В некоторый начальный момент времени t = 0 в приемной камере внезапно открыто отверстие сечением Р, через которое газ вытекает в атмосферу. Нашей задачей является определение параметров газа в камере в любой момент времени в течение всего процесса опорожнения.
Поскольку мгновенный расход газа определяется согласно уравнению (1), составим дифференциальное уравнение материального баланса газа. За бесконечно малый отрезок времени А из приемной камеры вытечет Gсек А кг газа. Так как объем V приемной камеры остается неизменным, то уменьшение общего веса газа на величину Gсек А произойдет за счет соответствующего изменения удельного веса у,. Разность между его начальным значением и его значением через промежуток времени А будет равна Ау, а общий вес газа в приемной камере уменьшится на Шу,, кг, причем за счет уменьшения величины у, дифференциал Ау имеет отрицательный знак.
Таким образом, получаем дифференциальное уравнение
^екЛ = -Щ,. (2)
Согласно (1) величина секундного расхода газа равна:
°сек = , (3)
где
2 g
k -1
(4)
Перепишем уравнение (2) в следующем виде:
dt = - VdYi.
(5)
Для решения этого уравнения необходимо, согласно принятым допущениям, установить связь между р, и у,. Для этого запишем уравнение состояния газа:
2
k
Pi/PiO =(Yí / Yiо Y, (6)
где m - показатель политропы (для изотермического процесса m = 1).
Исключая посредством (6) из уравнения (5) yi и переходя к относительным давлениям, понимая под этим отношение всех последующих величин давления газа в приемной камере к его начальному давлению: во = = Pi/pio, получим
V lr-п 1-3m dt = —-— M0s0 2m ds . (7)
pFym \ pi0
Прежде чем приступить к решению дифференциального уравнения (7), выразим у в относительных единицах. В нашем случае противодавление равно атмосферному давлению: pi = pa = const.
Тогда p,,/ pi = (pj pdx(pi0 pi0) = soa/so, и выражение (4) для у можно переписать в виде
2 g
k -1
k+1
s I k
°o.a
V S0 J
V So J
Подставив это выражение в уравнение (7), получим
(8)
Решение данного дифференциального уравнения получаем интегрированием в пределах от Во.нач = Рг. нач/РгО До Во.кон = Рг.кон/Рю. ЗдеСЬ Рг.нач - Давление в приемной камере аэродинамического генератора колебаний, при котором происходит отрыв струи газа от профильной стенки и переброс ее в выходное сопло генератора; рг.кон - давление в приемной камере аэродинамического генератора колебаний, при достижении которого процесс опорожнения приемной камеры заканчивается, струя газа вновь начинает обтекать профилированную стенку, в результате чего начинается процесс заполнения приемной камеры. В начальный момент времени, когда газ начинает вытекать из приемной камеры, рг.нач = рг0, поэтому нижний предел интегрирования е0 нач = 1. Для изотермического процесса т = 1; k = 1,4. Согласно характеристическому уравнению состояния газарю/ую = RTi0. Таким образом, интегрируя выражение (8), получаем
t,
V
k+m-2mk o 2mk
опорож
HFmso.a
RT,o Eo
k-1 o k - so
1
k-112 і k
J
(9)
Таким образом, в аналитической форме с учетом принятых допущений получено выражение для времени опорожнения приемной камеры аэродинамического генератора колебаний.
Рассмотрим теперь процесс наполнения приемной камеры.
В забойном датчике осевой нагрузки подача газа для аэродинамического генератора колебаний осуществляется из баллона, наполненного сжатым
2
k
k
s
o.a
s
o.^M
s
о
s
газом. Согласно принятым допущениям будем считать, что наполняющий сосуд (далее - баллон) имеет очень большую емкость и наполнен сжатым газом с параметрами р0 и у0, не изменяющимися с течением времени. Считаем также, что объем приемной камеры V по сравнению с объемом баллона является небольшим и начальное давление в приемной камере меньше давления в баллоне. Параметры газа в приемной камере pa и уа, температура Та.
Пусть в некоторый начальный момент времени t = 0 в приемной камере внезапно открыто отверстие сечением F, через которое по короткому каналу она наполняется газом, перетекающим из баллона. В этом случае основной задачей является определение параметров газа в камере в любой момент времени в течение всего процесса наполнения ее сжатым газом.
Рассуждая так же, как при рассмотрении процесса опорожнения, можно сказать, что за бесконечно малый отрезок времени dt из баллона вытечет dG = G^u dt кг газа, где G^, так же как и раньше, равно весовому количеству газа, вытекающему за 1 сек через отверстие сечением F.
Вес газа в приемной камере будет определяться следующим выражением: G = V(y - уа), кг. За промежуток времени dt прирост весового количества газа составит: dG = d(Vy - Vya ) = Vdy .
Так как весовое количество газа, потерянное баллоном, равно приросту такого же количества газа в приемной камере, то
^ек dt = Vdy. (10)
Подставляя в уравнение (3) выражение для G^, получим
MFyV РоУоdt = Vdy. (11)
Решение этого уравнения определяет рост удельного веса газа
в приемной камере. Чтобы определить закон, связывающий величину удельного веса с давлением, воспользуемся характеристическим уравнением состояния газа. При этом считаем, согласно принятым допущениям, что теплообмен между газом и стенками сосуда происходит очень быстро:
y/yo = p/po и Т = То = Та . (12)
Известно, что для подкритических областей давлений для процесса
опорожнения приемной камеры значение у определяется по формуле (4).
При рассмотрении процесса заполнения приемной камеры роль противодавления будет играть давление внутри приемной камеры, т. е. в формуле (4) величина pj заменяется на р, и, поскольку наполняющим сосудом является баллон питания, величина pi заменяется на p0. Таким образом, выражение (4) для у, применительно к процессу заполнения приемной камеры, перепишем в следующем виде:
2 g
k -1
2
fp_ Л k
Po
k + 1
fp_ XkT
Po
k
Интегрируя уравнение (11) и подставляя в него выражение для у, запишем:
Ткои ТЛ
¿з =| -------------------------------------гАу , (13)
Унач I к ( 2 к^ ^ 2
м^Г*і^їл,т° ” _
83 к — 83 к
V У
где ^ - время заполнения, в3 = р/р0.
Заменим в подынтегральном выражении dy через соотношение (12):
Ау = (у0ар)/ р0 = y0d(р /р0 ) = y0d8з.
Пользуясь характеристическим уравнением состояния газа р0/у0 = RT0, перепишем интеграл (13) в следующем виде:
V £З.КОН 1
^ = I к == 1 ГА8з .
МРЛ 2£-RT0 8з.нач ( 2 ^2
V к — 1 I 8з к — 8з к
Интегрирование проводится в пределах от вз.нач = рг-.нач/р0 до вз.кон =
рі.кон/р0.
Здесь рінач - давление в приемной камере аэродинамического генератора колебаний, при достижении которого процесс опорожнения приемной камеры заканчивается, струя газа начинает обтекать профилированную стенку и начинается процесс заполнения приемной камеры; рі.кон -давление в приемной камере аэродинамического генератора колебаний, при достижении которого процесс заполнения приемной камеры заканчивается, струя газа перебрасывается в выходное сопло аэродинамического генератора и начинается процесс опорожнения камеры.
Полное время цикла, состоящего из заполнения и опорожнения приемной камеры будет равно:
8
т г з.кон 1
V Г 1 ,
_ і к 1 / лі8з—
М^ ^ «і- 18з2 — 8зX ' 2
„ к+т—2тк
т г о.к.к --------------
V Г 8^ 2тк
(14)
1 •
Ц^о.а 412gRTг0 ^ Е°НН ( - ^ ^ ^ 2
Между колебаниями давлений в приемной камере и на выходном сопле аэродинамического генератора имеется непосредственная связь: время опорожнения приемной камеры равно длительности импульса давления на выходном сопле, а полное время цикла, равного сумме времени заполнения и
опорожнения камеры (вычисляемое по формуле (14)) равно периоду колебаний давления на выходном сопле аэродинамического генератора. Таким образом, можно получить формулу для частоты выходных колебаний:
V = — X
V
М^/2КТ°
-йг„
Ц^с.а к, 2ё^Т, о
к -1
к+т-2тк 8о 2тк
-Аеп
к-1
(15)
Согласно принципу работы рассматриваемого датчика осевой нагрузки, свободный объем приемной камеры V определяется величиной осевой нагрузки на долото. В ненагруженном состоянии, когда долото находится над забоем, свободный объем приемной камеры V максимален и определяется её начальным объемом. Обозначим начальный объем приемной камеры через У0. Считая, что приемная камера выполнена в виде цилиндра с площадью основания можно записать:
Vо = «х1о, м3, (16)
где 10 - начальная длина внутренней полости цилиндра.
При изменении осевой нагрузки дно приемной камеры перемещается на величину, пропорциональную приложенной нагрузке О: А! = G/K, м, где К - коэффициент жесткости пружины, кг/м.
При этом свободный объем цилиндра уменьшается на величину АV = «хА! = SхG/K, м3, и, с учетом (16), становится равным: V= «х!0 -- SхG/K, м3.
Теперь, подставляя последнюю формулу в (15), можно получить аналитическую зависимость между частотой выходных колебаний аэродинамического генератора и осевой нагрузкой на долото:
V =
1
х — х
!о -
1
8з
к+т-2тк 8^ 2тк
к+1
8о
к-1
к-1
. (17)
Данная формула является математической моделью датчика осевой нагрузки на долото. Она в полной мере отражает процессы, протекающие в аэро-
1
к
1
8
з.кон
1
8
о.кон
2
8
з.нач
8
о.нач
8зк - 8з к
8о к ~ 8о.а
к
1
8
з.кон
8
о.к.к
2
2
8
2
з.нач
8
о.н.н
8зк - 8з к
8о к 8о.а к
динамическом генераторе колебаний, а также включает в себя характеристики всех элементов, составляющих аэродинамический генератор колебаний.
Заключение
Математическая модель получена в общем виде и содержит величины, численные значения которых могут быть определены только для конкретной конструкции аэродинамического генератора и чувствительного элемента, входящих в состав датчика осевой нагрузки. Таким образом, данная математическая модель является базой для инженерного расчета предложенного датчика осевой нагрузки на долото.
Положенная в основу алгоритма расчета осевой нагрузки на долото, включенного в состав программного обеспечения информационноизмерительной системы контроля параметров бурения, данная математическая модель может стать базой для создания высокоэффективных систем автоматического управления режимом бурения скважин.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Алексеев А. В. Анализ забойных датчиков осевой нагрузки на долото // Строительство нефтяных и газовых скважин на суше и на море. - 2002. - № 11. -С. 19-21.
2. Цейров Е. М. Вопросы газовой динамики воздушных выключателей // Труды ВЭИ. - Вып. 60. - 1956. - С. 138.
Получено 8.09.2004
THE MATHEMATICAL MODEL OF THE AXIAL LOAD SENSOR ON CHISEL
А. V. Alexeev, V. N. Esaulenko
In the given work the construction of the mathematical model of a new axial load sensor on chisel, made on the base of the aerodynamic generator of oscillations is considered. This mathematical model is the base for engineering calculation of the suggested sensor, and it can be used while setting up high-performance systems of the automatic control by well-boring practice.
