CC BY
28
НА УЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА сер. Радиофизика и радиотехника
УДК 621.396
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПАДАЮЩЕЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ С ПЛОСКИМ РАСКРЫВОМ
В.А. КОВРИГИН
Статья представлена доктором технических наук, профессором Шахтариным Б.И.
Рассматривается математическое описание взаимодействия падающей локально плоской электромагнитной волны и антенной системы с плоским раскрывом. Получено выражение для вычисления пространственно-временного сигнала на выходе раскрыва.
В [1] выведено соотношение для ЭДС, наводимой в одномерном симметричном вибраторе падающей плоской электромагнитной волной. В данной работе получено обобщение этого результата для антенных систем с плоской апертурой.
Модель приемной антенны как эквивалентного генератора с сосредоточенной ЭДС. На
рис. 1 приведена обобщенная структурная схема антенной системы, описывающая архитектуру антенны как в режиме передачи, так и приема.
Излучающая
Линия пер едачи подсистема
Рис. 1. Обобщенная структурная схема антенной системы
В излучающей подсистеме (апертуре, раскрыве) протекают токи, возбуждающие в свободном пространстве электромагнитные волны. И хотя в приемной антенне токи возбуждаются падающей электромагнитной волной, однако в силу принципа обратимости антенн такое же название подсистемы сохраняется и для приемных антенн [2]. В современных антеннах передача энергии от генератора к излучающей подсистеме и от раскрыва к нагрузке происходит по линии передачи с волной заданного типа.
Приемная антенны представляет собой линейную систему с распределенными параметрами. Однако при решении многих задач удобно описывать возбуждение антенны электромагнитным полем как действие сосредоточенной ЭДС в эквивалентной функциональной схеме (рис. 2). Эта схема соответствует представлению приемной антенны в виде эквивалентного двухполюсника.
Рис. 2. Представление антенны в виде эквивалентного двухполюсника
Приемная антенна при этом трактуется как эквивалентный генератор с нормированной ЭДС e (размерность VВт) и нормированным внутренним сопротивлением zA, равным входному сопротивлению антенны в режиме передачи [2]. ЭДС зависит от интенсивности падающей на антенну волны и основных параметров антенны в режиме передачи. Нагрузкой эквивалентного генератора является нормированное сопротивление нагрузки приемника К п.
Нормированный ток в нагрузке приемной антенны на основании (рис. 2) равен
К =-f-• (1)
Zh + ^ A
Для однозначности получаемых результатов ЭДС и токи помещают в фиксированное сечение линии передачи, называемое входом антенны или сечением нагрузки. В соответствие с требованиями теоремы взаимности сопротивление Z.n должно быть включено в том сечении
фидера антенны, где в режиме передачи течет ток, к которому отнесено сопротивление zA. Таким образом, все параметры антенны отнесены к одному и тому же входному сечению.
Описание амплитудно-фазового распределения. Обычно амплитудно-фазовое распределение (АФР) тока раскрыва антенны имеет вид
jr(p)=Lfb). (2)
где f (p) - пространственная функция, которая в зависимости от геометрии антенны, длины волны и вида АФР может принимать произвольное значение в центре раскрыва p = 0, так что в общем случае f (о)^ 1. Скалярный параметр Í 0н отнесен к сечению нагрузки антенны. Потребуем, чтобы АФР jr (p) в центре апертуры удовлетворяло равенству j г (о) = Í н, где Í н - нормированный ток в сечении нагрузки. Для этого исходное АФР должно удовлетворять условию
jr(p)=jp), (3)
где
j (p) = f (p )/ f (0) (4)
- нормированное АФР, такое, что j (0)=1.
Рассмотрим в качестве примера симметричный вибратор, для которого одномерное распределение f (x) имеет вид
f (x) = sin b(l -| x|) при |x| £ l,
где l - половина длины вибратора. Ток в центре вибратора (при x = 0) в зависимости от отношения l/1 может принимать произвольные значения [2]. Нормированное распределение в этом случае описывается соотношением
j (x) = sin J3(l - |x|)/ sin /31.
Комплексная амплитуда касательной составляющей вектора E . Пусть апертура W лежит в плоскости x0y (рис. 3).
Начало координат совпадает с центром апертуры. В точке P(R,d,j), находящейся в дальней зоне антенны, расположен сторонний первичный или вторичный излучатель. Направление на точку P удобно задать с помощью вектора единичной длины u = (ux, uy, uz) [3], координаты которого являются направляющими косинусами углов относительно соответствующих осей декартовой системы ua = cos(qa) (a = x, y, z) (рис. 4).
Рис. 3. Системы координат и модуль типового амплитудно-фазового распределения
Я*
У
Рис. 4. К расчету разности хода лучей и разложению вектора Е Тогда расстояние Яг от точки Р до произвольной точки апертуры р = (х,у,0) можно представить как Яр = Я + АЯр, где разность хода лучей в предположении дальней зоны находится как скалярное произведение
Р) = -(мхх + иуУ). (5)
Кроме того, пусть падающая плоская электромагнитная волна имеет линейную поляризацию
вектора E . Нормальная составляющая этого вектора равна En = (E, iz ) = Euz, где E - модуль E . Апертура реагирует только на касательную составляющую Et = E - En (см. рис. 4), модуль которой Et = E sin y, где y - угол между E и ортом i z. Направление прихода волны задается вектором — u.
Комплексную амплитуду касательной составляющей Et в произвольной точке апертуры представим в виде
Emt(P) = Emt0 eXP(—j'bDRp) = E mt0 ЄХР0'2p(UxVx + uyVy )X (6)
где Emt0 - комплексная амплитуда напряженности Et в центре раскрыва; vx, vy - ненулевые нормированные декартовы координаты апертуры va=a/1 (a = x,y), играющие роль угловых пространственных частот [3]; /3 = 2p/1 - волновое число.
Полная мощность, отдаваемая электромагнитной волной току раскрыва. Под влиянием падающей волны в апертуре антенны наводится поверхностный электрический ток, характеризуемый вектором плотности Jг (р )=Re{j' (р)}, который, в соответствии с законом Ома в дифференциальной форме, коллинеарен вектору касательной составляющей Et и одинаково с ним направлен. Рассмотрим бесконечно малую прямоугольную подобласть раскрыва DS (рис. 5), сторона длиной Dl которого параллельна вектору Et.
Выберем произвольную точку подобласти р. Падающая волна возбуждает на элементе площади Д£ при разомкнутом выходе приемной антенны распределенную ЭДС Ав(р) = -Ёт(р)Ы. Здесь знак минус учитывает, что ЭДС Дв(р) компенсирует составляющую Ё т(р) на поверхности апертуры, и в дальнейшем во внимание приниматься не будет. ЭДС Дв (р) является сторонней (по отношению к рассматриваемой антенне), так как падающая волна создается источниками, расположенными вне антенны.
Мгновенное значение поверхностного тока, протекающего поперек стороны Дк, равно Д1 = (р)Дк . Этот ток создает на торцевых сторонах подобласти Д£ разность потенциалов на
длине Д1, равную dU = Ке{Де (р)}. Мгновенная мощность, отдаваемая падающей волной наводимому току Зг (р), вычисляется по формуле
ДР = ДиД1 = Ёт(р)Г (р)Д/Дк, где Ёт(р) = Ке{Ёт(р)}. Принимая во внимание, что Д£ = Д/Дк - площадь подобласти Д£ = Д/Дк, находим
Р, (р) = ДР / Д£ = Ёт(р)Г (р), (7)
где Р, (р) - поверхностная плотность мощности, отдаваемой волной току, в точке р апертуры. Хотя формула (7) выведена для бесконечно малой прямоугольной площадки апертуры, ее
справедливость не связана с формой бесконечно малой площадки, так как входящие в нее величины зависят лишь от их значений в точке и не зависят от других факторов.
Чтобы найти полную мощность, вызываемую всеми подобластями, разобьём апертуру О произвольным образом на N элементарных подобластей Д5п и выберем в каждой подобласти произвольную опорную точку рп = (хп, уп ,0). Сумма
N
р @ X Е,(рп )/ (р„ К
п =1
представляет собой интегральную сумму для функции ЕТ(рп)/(рп) и является приближенным значением полной мощности, вызываемой всем раскрывом. Точное значение полной мощности получается при переходе к пределу интегральной суммы при неограниченном увеличении числа подобластей N так, чтобы мах Д5п ® 0, и равно поверхностному интегралу
Р = {р (р^ = {Ет(р)Г (р№. (8)
Формулу (8) можно записать и с помощью скалярного произведения векторов Ет(р) и 1' (Р):
Р = | Е,(р)1г(р)й5. (9)
Полную комплексную мощность представим с помощью комплексных амплитуд в виде
Р = 21 е^рК (р)л , (10)
2 5
где символ * означает операцию комплексного сопряжения.
Вывод основного соотношения. Комплексную мощность Р (10), отдаваемую полем раскрыву, можно выразить также через комплексные амплитуды нормированной ЭДС ет и
нормированного тока нагрузки I тн (1):
р=2 е ткн. (11)
Тогда, учитывая равенство правых частей (10) и (11) и подставляя в (10) вместо
нормированного распределения 1т (р) выражение (3), получим следующее выражение для
эквивалентной ЭДС
ет = | Ет,(рК (Р №. (12)
Формула (12) учитывает общий случай взаимодействия падающего поля и тока апертуры. В случае коллинеарности векторов Е(р) и 1(Р) сосредоточенная ЭДС описывается соотношением
ет = | Е тт (Р)/т (Р^ (13)
Обсуждение полученного соотношения. Операция Ет(р)/(р) из (13) лежит в основе
алгоритмов пространственно-временной обработки [3]. Здесь нормированное АФР /(р) играет роль оператора антенны, интерпретируемой как линейная система с распределенными параметрами. При таком подходе обрабатываемый пространственно-временной сигнал, формируемый антенной из воздействующего на нее поля Ет(?, р), можно представить в виде комплексной огибающей
5(^ р) = Ет^ р)/(р) .
АФР j(p) антенны влияет на зависимость амплитуды и фазы сигнала на выходе раскрыва от пространственных координат. Модуль АФР описывает распределение “усиления” по раскрыву антенны, а его аргумент учитывает фазовые изменения, вносимые антенной в фазу падающей волны.
ЛИТЕРАТУРА
1.Фрадин А.З. Антенно-фидерные устройства. М.: Связь, 1977.
2.Сазонов Д.М. Антенны и устройства СВЧ. М.: Высшая школа, 1988.
3.Коростелев А. А. Пространственно-временная теория радиосистем. М.: Радио и связь, 1987.
MATHEMATICAL MODEL OF INTERACTION OF A FALLING ELECTROMAGNETIC WAVE
WITH A FLAT APERTURE
Kovrigin V.A.
A mathematical description of an interaction of a locally flat falling electromagnetic wave with the antenna system having a flat aperture is considered. An expression for calculation of an aperture output space-time signal is derived.
Сведения об авторе
Ковригин Владимир Афанасьевич, 1938 г.р., окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана (1963), кандидат технических наук, доцент кафедры автономных информационных и управляющих систем МГТУ им. Н.Э. Баумана, автор более 100 научных работ, область научных интересов - моделирование и оценка эффективности систем ближней локации.
