CC BY
237
Моделирование в экономике
Удк 336.763
математическая модель выбора оптимального инвестиционного портфеля
А. Г. МАДЕРА, доктор технических наук, профессор департамента математики на факультете экономики E-mail: agmprof@mail. ru Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Москва
В статье излагается математическая модель, позволяющая формировать оптимальный инвестиционный портфель ценных бумаг (акций) и отличающаяся от существующих портфельных моделей большей реалистичностью и адекватностью оценки рисков и доходностей акций. Модель использует как данные по доходности акций за прошлые периоды, так и прогнозные значения рисков и доходов по акциям в будущем. Приведен метод прогнозирования будущих значений материальных мер, а также мер возможной актуализации доходов и убытков по акциям. Разработанная модель портфеля относится к классу оптимизационных моделей линейного программирования.
Ключевые слова: математическая модель, инвестиционный портфель, вероятность, доходность, акции.
Введение
Акционеры, держатели обыкновенных акций являются совладельцами компании пропорционально количеству имеющихся у них в собственности акций и поэтому они несут все риски, связанные с владением капитала компании. Вместе с тем доходы акционеров ничем не ограничены, так что, если дела у компании идут успешно, то инвестор может рассчитывать на получение хороших дивидендов и/или прибыли от продажи акций. Многих акционеров привлекает и возможность получения не только дивидендов, но и дохода на колебаниях
цен акций. Таким образом, с каждой акцией для акционера связано, по меньшей мере, два фактора: доход и риск.
Вкладывать все средства в акции одной компании неразумно, поэтому основной задачей инвестора является формирование инвестиционного портфеля, состоящего из акций различных компаний. Доход по каждой акции в портфеле определяется ценой акции как на момент покупки, так и ее будущей ценой на момент подведения итогов. При этом будущие цены, а значит, и доходности по акциям определяются огромным количеством самых разнообразных факторов, будущие состояния которых отличаются крайне неопределенным и непредсказуемым характером.
В настоящее время существует множество портфельных моделей: Г. Марковица, У. Шарпа, САРМ и их многофакторные модификации [1, 2, 5, 10], которым присущи принципиальные недостатки, существенно ограничивающие их адекватность и применимость на практике. Назовем лишь некоторые из недостатков, опуская технические детали:
1) акцент делается только на риски, приводящие к убыткам по каждой акции. Вместе с тем именно надежды на повышенную доходность акций в будущем и составляют главный мотив, по которому акционер вкладывает свои деньги в их покупку, несмотря на реальную возможность убытков или даже потерь вложенного капитала.
Поэтому инвестор стремится не столько минимизировать риски, сколько максимизировать доходность своего инвестиционного портфеля, справедливо полагая, что без риска не может обойтись ни одно дело. Действительно, инвестирование, исходящее лишь из минимизации риска, не принимающее во внимание возможные прибыли, приводит к одному единственному решению - вложению в краткосрочные векселя Казначейства США как имеющие наименьший риск;
2) отождествление риска с дисперсией разброса доходности акций не подтверждается на практике. Между тем величина любого риска пропорциональна двум мерам: материальной и вероятностной, в то время как дисперсия разброса не несет в себе явной информации о вероятностях и материальной величине возможных убытков ни в прошлом, ни в будущем акций. Экспериментальной проверки требует также гипотеза о положительной связи между ростом доходности и ростом риска [6];
3) предполагается, что ожидаемый доход на акцию, риск, а также ковариация между отдельными акциями, имевшие место в прошлые периоды, полностью сохранятся и в будущем. Однако наблюдаемые в реальности колебания курса акций с течением времени свидетельствуют о том, что доходности, дисперсии и ковариации в будущем будут существенно отличаться от наблюдавшихся ранее, причем как в ту, так и в другую сторону;
4) портфельные модели не учитывают изменений курсов акций, их рисков и ковариаций с течением времени, обусловленных постоянной изменчивостью экономики, социального положения как в обществе, так и в самой компании, хотя риски - это те будущие события, которые могут нести с собой как убытки, так и прибыли. Как показывают ежедневные данные, доходности акций хаотично изменяются во времени, причем на сегодняшний день не удалось пока выявить какой-либо закономерности в этих изменениях, равно как и предоставить веские основания причислять их к случайным объектам [4, 7, 8];
5) если на фондовой бирже появляются акции новой компании, то статистический материал относительно их доходности по понятным причинам отсутствует. В таких случаях существующие портфельные модели ничем не смогут помочь, поскольку полностью основаны на экстраполяции прошлых значений, которых не существует.
Неопределенная и слабо предсказуемая природа доходности и рисков акций, а также взаимосвязей от-
дельных акций между собой при одновременном желании инвесторов получать значительные выигрыши от операций с акциями делают разработку адекватных концепций и математических моделей формирования портфелей по-прежнему актуальной.
В данном исследовании предлагается математическая модель формирования оптимального инвестиционного портфеля, опирающаяся как на данные по доходности акций за прежние периоды, так и на прогнозные значения доходности. В отличие от существующих, предлагаемая математическая модель рассматривает различные события, связанные с акциями, которые могут актуализироваться в будущем, а именно возможные убытки по акциям, т. е. риски, а также возможные прибыли, т. е. шансы. Математическая модель является оптимизационной и представляется в виде задачи линейного программирования. В ней ищется максимум целевой функции в виде специально сконструированного показателя рисков-шансов при ограничениях на получение суммарной доходности портфеля не меньше ожидаемого.
Концепция модели формирования инвестиционного портфеля
Предлагаемая математическая модель формирования инвестиционного портфеля ценных бумаг основывается на следующей концепции:
1) будущий доход по любой акции является неопределенным событием. Это означает, что в будущем финансовый итог по акции может оказаться прибылью, которую называем шансами, и убытком, который называем рисками. При моделировании портфеля шансы имеют такую же значимость для принятия решения о составе портфеля, как и риски, в то время как во всех существующих портфельных моделях речь идет исключительно о рисках, а шансами пренебрегают. Между тем практика формирования портфеля показывает, что инвесторы при выборе акций придают большее значение именно шансам, т. е. возможности получить в будущем большие дивиденды, чем рискам понести убытки, поэтому научно обоснованное принятие решения должно осуществляться путем анализа и рисков, и шансов [9];
2) количественная мера /-го риска и и шанса сЫ определяется как произведение материальной меры прибылиМ, или убыткаМ и меры возможной ак-
г ст -> п *
туализации МВА в будущем события-прибыли РЫ
ФИНАНСЫ И КРЕДИТ
3
или события-убытка Р.. Отметим, что существующие портфельные модели трактуют риск по акциям как дисперсию случайной величины доходности по данным за прошлые периоды, которые, однако, не имеют никакого отношения ни к риску, ни к шансу. Обозначим связанные с акцией п шансов (множество Хск) как ск1, ск2,..., скп, а т рисков (множество X) как г1, г2,..., г тогда полные шансы С и риски Я по акции будут равны сумме произведений соответствующих мер:
п т
С =1 МмРек,, R = 1 МпРп , а) 1=1 1=1
3) при моделировании портфеля будем исходить из того, что данные по поведению прибылям и убыткам каждой акции за прошлые периоды также важны, как и их прогнозируемые значения, которые могут актуализироваться в будущем (на момент подведения финансовых итогов).
Замечание. Понятие меры возможной актуализации, введенное автором, представляет собой объективно-субъективную вероятность реализации в будущем таких неопределенных событий, как риски и шансы. Субъективность вероятности означает, что ее значение полностью определяется субъектом. По существу, шансы и риски являются единичными событиями, которые будут реализованы в уникальных и невоспроизводимых условиях. В этом случае нельзя говорить о вероятности в классическом смысле (модель урны), которая имеет место лишь для массовых событий, которые могут разыгрываться неограниченное число раз в полностью воспроизводимых условиях. Для краткости при написании формул будем именовать возможные актуализации вероятностями, помня при этом содержание этого замечания.
При покупке акций разумный инвестор оценивает акции конкретной компании с точки зрения заложенного в них потенциала, во-первых, будущего роста цены и, во-вторых, превышения ожидаемого дохода над альтернативным доходом, который получил бы инвестор, воспользовавшись альтернативными формами получения прибыли, например такими, как проценты по облигациям, банковские проценты по вкладам и др. Очевидно, что если альтернативная форма вложения капитала дает большую прибыль, то инвестору выгоднее воспользоваться ею, чем приобретать акции.
Актуализация в будущем прибыли (шанса) или убытка (риска), связанных с акцией, является неопределенным событием, которое определяется состо-
яниями окружающей среды к моменту подведения финансовых итогов по акциям. Будущие состояния окружающей среды также являются неопределенными и включают в себя состояния экономики, социального положения общества, политико-правовой обстановки в государстве и за его пределами, которые, в свою очередь, оказывают влияние на состояние дел в акционерной компании, акции которых рассматриваются для приобретения. Поэтому чрезвычайно актуальным является разработка методов прогнозирования будущих состояний окружающей среды, положения в компании и поведения акций в будущем.
Вместе с тем с каждой акцией и представляющей ее компанией связано такое понятие, как «потенциал акции», т. е. связанная с ней возможность роста/падения доходности акции. Потенция акции во многом определяется историей успехов и неудач акционерной компании, зависит от состояния дел в выбранной компании в прошлом. Поэтому данные о поведении акции в предыдущие периоды также очень важны для правильного прогнозирования и оценки будущих рисков и шансов, связанных с акцией.
Вместе с тем наличие в историческом прошлом данной компании отдельных фактов превышения доходности ее акций над альтернативной еще не является достаточным основанием для принятия решения о покупке этих акций. Важно понять также, насколько часто в прошлом наблюдалось это превышение и, кроме того, встречалось ли это превышение чаще, чем падение доходности ниже альтернативной. Другими словами, необходимо оценивать и сравнивать между собой вероятности как превышения, так и снижения доходности акции ниже альтернативного уровня.
Предлагаемая далее математическая модель отражает реальный процесс приобретения акций и формирования портфеля, который учитывает, во-первых, прогнозные оценки рисков и шансов по акциям, во-вторых, поведение акций в прошлом и, в-третьих, реальный подход инвестора, который заботится, вообще говоря, не столько о рисках, сколько о желаемых доходах в будущем.
Методы вычисления материальных мер и мер возможной актуализации рисков и шансов акций
Инвестор априори не знает, какое именно событие, связанное с акцией, произойдет: то ли он получит по данной акции доход, то ли убыток, как не
знает и конкретного значения прибыли или убытка по акции, поскольку как появление в будущем риска или шанса, так и конкретные значения их материальных мер являются неопределенными событиями, о которых лишь можно строить различные предположения. Однако при покупке акции инвестор и не ориентируется на конкретные значения возможных прибылей и убытков. Для него важны только следующие соображения: (а) насколько реально, что прогнозируемая доходность акции превысит в будущем ее альтернативный уровень, (б) если это событие может произойти, то с каким значением МВА и, наконец, если доходность акции может превысить ее альтернативный уровень, то желательно, чтобы это превышение было как можно больше.
Поэтому можно выделить всего два события, связанных с акциями, которые могут актуализироваться к моменту подведения итогов по доходности портфеля:
1) шанс ch - превышение будущего дохода по каждой 7-й акции (I = (c' - c ) / c где c'. и c . - цена одной акции через некоторый период времени и в момент покупки, соответственно) над величиной альтернативного дохода I который мог бы получить инвестор, вложив ту же сумму c в альтернативные источники дохода. При актуализации шанса выполняется неравенство: I7 > 1а, %;
2) риск r - будущий доход на 7-ю акцию (I7 = = (c'- c) / c) не превысит ее альтернативного значения I, т. е. I < I.
а 7 а
Материальные меры шанса и риска исходя из их содержательного смысла равны альтернативному уровню доходности акций, равному значению I.
Меры возможной актуализации шансов и рисков вычисляются с помощью следующего метода. Актуализация в будущем шанса или риска по каждой акции носит неопределенный характер, который обусловливается неопределенностью экономической и социальной составляющих окружающей среды, а также поведением акции в прошлые периоды. Обозначим l возможных будущих состояний экономики как С1, С2,..., С, а k возможных будущих социальных состояний, как Sp S2,..., Sk. Будем также полагать, что экономические и социальные состояния окружающей среды независимы между собой, независимы в своих совокупностях и образуют каждые полные группы событий.
Будущее неопределенное событие, состоящее в актуализации шанса ch . или риска r. каждой 7-й
акции, может наступить совместно с одним из состояний экономики С1, С2,..., С1 и одним из социальных состояний общества S1, S2,..., Sk. Кроме того, следует учитывать имеющиеся статистические данные по поведению акций за прошлые периоды (причем поведение акции в данной модели заключается в наступлении либо шанса, либо риска). Обозначим шанс и риск, имевшие место в прошлом, как chпр е Х2 и гпр е X?, где и X? - множества шансов и рисков за прошлые периоды, релевантных данным акциям. Это означает совместное наступление (пересечение) множеств событий U Cj, |J S и хпр иX^, т. е. (ch, UCj, USq, XJ UX?) и (Г,
и Cj, U Sq, X-h и X^).
Тогда значения МВА шанса ch . и риска r . для -й акции
Ph = P(ch, U Cj , U Sq , X% U X- ) и Pn = P (r, U Cj, U Sq, X% U XrIip) могут быть записаны с использованием условных вероятностей в следующем виде:
Ph=p(UCj, USq, Xпр UX•
• P(ch7 | U Cj, U Sq, XJ U X^), (2) pn=P( U Cj, U Sq, U Xпо •
• P(r, I UCj, USq, X2 U Xпо, (3)
причем множества состояний экономики \JCj, социального положения Sq и множество шансов и рисков за прошлые периоды XJ U X^ независимы между собой и каждое из них образует полную группу несовместных и независимых в совокупности событий.
Обобщенные выражения (2) и (3) применимы для вычисления значений МВА шансов и рисков в общем случае. Они могут быть конкретизированы, если воспользоваться концепцией автора о трех иерархических уровнях шансов и рисков [9]. Согласно этой концепции риски и шансы (в зависимости от степени неопределенности будущих результатов действий или принятых решений) могут быть отнесены к одному из трех уровней: оперативному, тактическому и стратегическому.
Оперативный уровень характеризуется тем, что длительность периода времени между моментом покупки акции и моментом подведения финансовых итогов (назовем его период актуализации рисков/ шансов) является незначительной (один—несколько дней), по крайней мере, настолько, чтобы в течение этого времени можно было пренебречь изменениями в экономическом и социальном состояниях окружающей среды. В этом случае экономическое
и социальное состояния окружающей среды можно считать неизменными и равными таковым на момент покупки акции. Это означает, что характеристики рисков и шансов по акциям на оперативном уровне за прошлые периоды можно экстраполировать практически без изменения на конец периода оперативного уровня. На оперативном уровне конкретный вид общих выражений (2), (3) для МВА имеет вид:
Р* = P(cKP)P(ch, \оИ?) + P(r^^)P(chi кЛ, (4) Pn = Р(сИпР)Р(г \ оИ?) + P(rtпр)P(r \ Гпр). (5) Тактический уровень характеризуется тем, что период актуализации является (по сравнению с оперативным уровнем) более длительным (несколько недель, но не более года), так что изменениями в экономике пренебрегать уже нельзя, однако значимых изменений в социальном, в том числе и политико-правовом, состояниях общества не происходит. Это означает, что при оценке рисков и шансов на тактическом уровне следует учитывать только изменения в экономике. Отметим, что на тактическом уровне экономические изменения могут быть и незначительными, но, тем не менее, изменения в рисках/шансах акций могут быть существенными и их следует учитывать. Значения МВА на тактическом уровне будут равны:
Ри = Р^ЛЁP(Cj)• P(ch, \С}.,сИ*)
+
j=1
+Р(Гпр)£P(Cj) • P(ch \ Cj,гпр),
(6)
j=i
Pn = Р(сИ1пр)Ё P(Cj) • P(r \Су, ch*)
+
j=1
+P(rDZ P(Cj) • P(r, \ Cj, rf).
j=i
- , - V , - , (7) j' v 7 1 ^ 7 '
Стратегический уровень характеризуется такой значительной длительностью периода актуализации рисков/шансов (от нескольких месяцев до нескольких лет), что за это время в обществе могут произойти любые изменения как в экономическом, так и в социальном состояниях, которые неминуемо скажутся на курсах акций любой компании. Причем эти изменения могут носить самый неожиданный и трудно прогнозируемый характер. Поэтому на стратегическом уровне риски и шансы по акциям будут испытывать на себе влияние изменений всех факторов неопределенности: экономических, социальных и политико-правовых. На стратегическом уровне значения МВА вычисляются по формулам:
Рсш= P(ch,np)ZZ P(Cj) • P(Sq) • P(ch \Cj, Sq, ch?) +
j=1 q=1
+P(rnp)]C t P(Cj) • P(Sq) • P(ch \Cj, Sq, rnp), (8)
j=1 q=i
Pi = Pmi it P(Cj ) • P(Sq ) • P(r \Cj , Sq , ch^) +
j=1 q=i
+P('f)E ±P(Cj ) • ) • P(r, \Cj , Sq , Гпр). (9)
j=1 q=1
Вероятности в выражениях (4) - (9) имеют следующий содержательный смысл:
— вероятности P(chinp) и Р(г1пр) представляют собой статистические вероятности шанса ch7 и риска гпр, имевших место в прошлые периоды наблюдений за каждой 7-й акцией. Эти вероятности являются известными и объективными;
— вероятности состояний экономики P(Cj), j = 1, 2,..., l и вероятности социальных состояний общества P(Sq), q = 1, 2,., к определяются по методу вычисления предельных объективных вероятностей (ПО-вероятностей) [3]; эти вероятности носят объективно субъективный характер;
— условные вероятности шансов P(ch,\Cj, Sq, ch*), P(cht\Cj, Sq, гпр) и рисков P(r \ Cj,Sq,ch^), P(r \ Cj,Sq,г,пр) определяются при условии актуализации всевозможных сочетаний неопределенностей состояния экономики и социального состояния общества (Cj, Sq), а также с учетом истории поведения данных акций в прошлые периоды. Так, например, вероятность P(ch{ \ Cj, Sq, ch^) является значением МВА для 7-й акции при условии наступления события (Cj, Sq) и при условии, что в прошлом шанс 7-й акции ch7пр актуализировался с вероятностью P(ch7np), а вероятность P(chi \ Cj, Sq, г1пр) - при условии, что в прошлом риск 7-й акции r1np актуализировался с вероятностью P(r7np). Перечисленные условные вероятности являются субъективными и прогнозируются инвестором (экспертами) на основании изучения истории поведения акций в прошлые периоды, а также новой релевантной информации, позволяющей делать прогнозы о будущем экономики, социума и доходностей рассматриваемых акций.
После определения уровня шансов/рисков для каждой 7-й акции и вычисления соответствующих значений МВА по формуле (1) находятся величины полных шансов C. и полных рисков R. по акции.
Полной характеристикой 7-й акции, показывающей соотношение между ее полными шансами Си рисками Я,, вычисляемых согласно выражениям (1), является комплексный показатель С&Яг [9]:
С&Яг = рс С - Ря Я, (10)
где Рс и РЯ - коэффициенты относительной важности шансов и рисков, отражающие субъективное отношение конкретного субъекта (инвестора, эксперта) к шансам и рискам. Коэффициенты важности Рс и РЯ отражают склонность субъекта, принимающего решение, к осторожности, к рискованности или его нейтральное отношение к шансам/ искам по акциям.
Математическая модель формирования инвестиционного портфеля
Рассмотрим инвестиционный портфель, содержащий п видов акций п различных компаний.
Перед тем как решать, какие акции включать в портфель, необходимо сначала обратить внимание на знак комплексного показателя (10) С&Я.. Если комплексный показатель для данной акции неотрицателен (С&Я> 0), то такая акция может быть включена в инвестиционный портфель. В противном случае, если окажется, что ожидаемые убытки превышают ожидаемые прибыли, т. е. С&Я< 0, то такую акцию включать в портфель не следует.
Зная комплексный показатель С&Я для каждой 7-й акции (7 = 1, 2,..., п), можно вычислить комплексный показатель С&Яг инв портф для всего инвестиционного портфеля, содержащего п видов акций:
С&Я
инв. портф
= £(С & Я ):
(11)
первых, максимизировать превышение доходов (шансов) над убытками (рисками) и, во-вторых, получить такой суммарный доход от всего инвестиционного портфеля, который был бы не меньше, чем суммарный доход от альтернативных вложений капитала I либо не меньше желаемого дохода 10.
Модель формирования оптимального инвестиционного портфеля формулируется следующим образом: найти значения долей капитала х.(7 = 1, 2,., п), которые следует вложить в различные акции, такие, что (а) комплексный показатель инвестиционного портфеля С&Яинв портф будет максимальным, (б) полный желаемый доход всего инвестиционного портфеля 1инв. портф (желаемый доход портфеля) будет не меньше альтернативного I или желаемого дохода 10 > 1а и (в) будет выполнено структурное балансовое равенство инвестиционного портфеля (12). Инвестор может также ввести ограничения s2,..., зп на доли х1, х2,., хп своего капитала, которые он направляет на покупку акций 7 = 1, 2,., п. В этом случае к ограничениям модели следует добавить следующие ограничения: х1 < 51, х2 < s2,..., хп < з
Таким образом, математическая модель, описывающая формирование оптимального инвестиционного портфеля, примет следующий вид:
С&Я
инв. портф
= £ (С & Я ) х, ^ тах, (13)
I
инв. портф
= Ё 1,х7 > 1о,
(14)
х, + х + .•• + х = 1,
12 п '
где х - доля от капитала инвестора К, которая вложена в покупку акций -й компании в количестве т7 по цене с7 за одну акцию (0 < х . < 1, 7 = 1, 2,., п). Так, х . = с. т. / К. Для всего инвестиционного портфеля должно выполняться балансовое равенство:
х1 + х2 +... + хп = 1. (12)
Сформулируем математическую модель формирования оптимального инвестиционного портфеля. Основная идея модели отвечает реальным соображениям инвестора при покупке им акций тех или иных компаний. Инвестор преследует главным образом цель получения как можно большей прибыли, отодвигая на второй план возможные риски получения убытков. Другими словами, инвестор формирует свой инвестиционный портфель из таких акций, чтобы, во-
(15)
Х1 < х2 < V- хп < "V (16)
0 < х7 < 1, 7 = 1, 2,., п. (17)
Доходности I в неравенстве-ограничении (4) представляют собой желаемые значения доходнос-тей каждой акции 7 = 1, 2,., п, которые инвестор хотел бы получить в будущем при подведении финансовых итогов по своему портфелю, а доходность 10 в неравенстве (4) является минимальным желаемым значением доходности всего инвестиционного портфеля.
Решением математической модели (13) - (17) являются доли капитала инвестора (хр х2,..., хп), составляющие инвестиционный портфель.
Предложенная модель (13) - (17) в отличие от существующих моделей более реалистичной и учитывает истинные устремления инвесторов. В модели (13) - (17) минимизируется не дисперсия разброса доходности портфеля, как в модели Г. Марковица, а проводится максимизация ожидаемого шанса портфеля при одновременной минимизации его риска
7=1
7=1
(поскольку минимизация одного только риска может привести лишь к самым низкорисковым альтернативным вариантам вложения капитала, например к вложению в государственные облигации США). Кроме того, формируя свой инвестиционный портфель, инвестор в первую очередь желает максимизировать свои доходы, даже при существовании возможности актуализации тех или иных рисков и, более того, инвестор, как правило, ориентируется на возможные прибыли, зачастую игнорируя возможные риски убытков, надеясь, что уж его то они минуют.
Математическая модель (13) - (17) относится к классу задач линейного программирования, при этом множество допустимых решений, целевая функция и решение оптимизационной модели имеют простые геометрические образы: множество допустимых решений (хр х2,..., хп) принадлежит части гиперплоскости (15), отсекаемой
п
от нее полупространством: ^ 1{х{ > 10, (14), и
1=1
полупространствами: х1 < х2 < s2,..., хп < sn (16); целевая функция является гиперплоскостью:
п
^ (С & Я.) xi = А (А - произвольное число), с воз-
1=1
можностью перемещения параллельно самой себе вдоль вектора-градиента с координатами C&R1, C&R2,..., C&Rn. Оптимальное решение, отвечающее максимуму целевой функции (13), лежит в одной из вершин множества допустимых решений, с координатами, доставляющими максимум целевой функции и соответствующим крайнему положению
п
гиперплоскости ^ (С & Я1) х1 = А относительно
1=1
множества допустимых решений.
Инвестор может, вообще говоря, сформировать множество различных оптимальных инвестиционных портфелей при тех же затратах капитала, отличающихся друг от друга различными наборами акций различных компаний. Множество оптимальных инвестиционных портфелей включает в себя К различных вариантов портфелей, каждый из которых характеризуется своей оптимальной структурой (х1, х2,..., хп) к, к = 1, 2,., К, а также величинами наибольшего значения целевой функции (13), т. е. комплексного показателя портфеля C&Rинв портф (к), и полного ожидаемого дохода (14) 1инв. портф (к). Глобальное оптимальное решение, отвечающее наилучшему оптимальному инвестиционному портфелю из множества всех сформированных вариантов оптимальных инвестиционных портфелей,
может быть найдено исходя из двух возможностей (см. далее), если только не реализуется очевидный случай, когда один из портфелей множества имеет одновременно как максимальное значение целевой функции, так и максимальную величину полного дохода. Так, инвестор может руководствоваться, с одной стороны, критерием наибольшей величины
п
полного ожидаемого дохода (14) 1инв. портф = ^ 1. xi,
1=1
т. е. св. портф. = тах{1инв. портф.(к)}. С другой стороны, инвестор имеет возможность выбрать портфель, имеющий наибольшее значение комплексного показателя (13) C&Rинв портф, т. е. исходить из критерия С & Яипт. портф. = тах{С &Я^. Порт1,(к)}. Предпочтение того или иного критерия находится полностью в ведении данного инвестора и характеризует его приоритеты между полным доходом портфеля и возможным соотношением шансы -риски портфеля.
Выводы
Приведенная в исследовании математическая модель позволяет определять оптимальный состав инвестиционного портфеля. Модель отличается от существующих портфельных моделей, таких как модели Г. Марковица, У. Шарпа, САРМ и пр., и в частности лишена присущих им ограничений. Так, риск портфеля, измеряемый в модели Г. Марковица дисперсией разброса доходности акций за прошлые периоды, не является релевантным содержательному смыслу риска как неблагоприятного для инвестора будущего события, связанного с доходностью акции. Кроме того, существующие модели не содержат никаких прогнозов будущих курсов акций, равно как и не учитывают изменений их доходности со временем, полагая, что прошлые тенденции в неизменном виде сохранятся и в будущем.
Предложенная в статье математическая модель портфеля использует для прогнозирования курсов акций как данные за прошлые периоды, так и новые релевантные данные, которые несут в себе информацию о возможных изменениях ситуации на рынке акций в будущем. Параметры модели могут быть найдены с помощью предложенного в исследовании метода прогнозирования материальных мер убытков (рисков) и прибылей (шансов) по акциям, а также мер их возможной актуализации в будущем. Концепция модели основана на учете реальных интересов инвестора при выборе акции, поскольку инвестор в первую очередь
озабочен возможностью превышения доходности акции над ее альтернативной ценой, и только во вторую - возможно более низким риском по акции. При этом риск должен измеряться не по данным за прошлые периоды, а прогнозироваться с учетом новой релевантной информации. Введенные в исследовании иерархические уровни рисков и шансов - оперативный, тактический и стратегический - позволяют структурировать проблему прогнозирования и получать замкнутые выражения для вычисления мер возможной актуализации рисков и шансов будущего поведения акций.
Разработанная модель портфеля является оптимизационной и относится к классу моделей линейного программирования, ее оптимальное решение всегда существует и может быть найдено с помощью существующих компьютерных технологий. Сформулированная в исследовании модель оптимального портфеля является более реалистичной и адекватной реальному фондовому рынку и непосредственным интересам инвестора.
Список литературы
1. Буренин А. Н. Управление портфелем ценных бумаг. М.: НТО им. ак. С. И. Вавилова, 2012.
2. Мадера А. Г. Моделирование и принятие решений в менеджменте. 2-е изд. М.: Изд-во ЛКИ, 2012.
3. Мадера А. Г. Метод прогнозирования вероятностей актуализации последствий принятых решений в условиях неопределенности // Менеджмент в России и за рубежом. 2012. № 6. С. 21-29.
4. Мантенья Р. Н, Стенли Г. Ю. Введение в эконофизику. Корреляции и сложность в финансах. М.: ЛИБРОКОМ, 2009.
5. Шарп У., АлександерДж.,Бейли Т. Инвестиции. М.: Инфра-М, 2001.
6. Bernstein PL. Against the Gods: The remarkable story of risk. N.Y.: J. Wiley & Sons, 1996.
7. Bouchaud J. P., Potters M. Theories des risquй financiers. Eyrolles: AleaSaclay, 1997.
8. FamaE. F. Efficient capital markets // J. Finance. 1991. V. 46. P. 1575-1617.
9. Madera A. G. The generalized structure of risk and chafes or making decisions in business processes and SCM // Flexibility and adaptability of global supply chains: Proceedings of the 7th German-Russian DR-LOG 2012. S. Peterburg, 16-19 May 2012.
10. Markovits H. Portfolio Selection: Efficient diversification of investment. N. Y.: J. Wiley, 1959.
Вниманию руководителей и менеджеров высшего и среднего звена, экономистов, финансистов, преподавателей вузов и аспирантов!
Журнал «Финансы и кредит»
ISSN 2071-4688
Выпускается с 1995 года. Включен в перечень ВАК.
Включен в Российский индекс научного цитирования (РИНЦ).
Журнал реферируется ВИНИТИ РАН.
Формат A4, объем 80—100 с. Периодичность - 4 раза в месяц.
ПОДПИСКА ПРОДОЛЖАЕТСЯ!
Индекс по каталогу «Почта России» Индекс по каталогу «Роспечать» Индекс по каталогу «Пресса России»
34131 71222 45029
За дополнительной информацией обращайтесь в отдел реализации Издательского дома «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ» телефон/факс: (495) 721-85-75, E-mail:podpiska@fin-izdat.ru
Возможна подписка на электронную версию журнала, а также приобретение отдельных статей: Научная электронная библиотека: eLibrary.ru Электронная библиотека: dilib.ru
www.fin-izdat.ru
