CC BY
40
УДК 621.318.134
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УСТРОЙСТВ НА БАЗЕ НАПРЯЖЕННЫХ МАГНИТОАНИЗОТРОПНЫХ СТРУКТУР
© 2013 А. Е. Дубинин, А. В. Зорина, А. А. Дубинин
Самарский государственный университет путей сообщения
Поступила в редакцию 27.01.2012
Рассматривается математическая модель устройств на базе напряженных магнитоанизотропных структур (НМАС). При этом физическая модель НМАС представлена в виде четверти кольца в электромагнитном поле при силовом воздействии на него, которая описывается системой дифференциальных уравнений теорий электромагнитного поля, ферромагнетизма и упругости в полярных координатах. Магнитная цепь устройств описывается системой алгебраических уравнений. Совместное решение системы дифференциальных и алгебраических уравнений позволяет определить электрические и магнитные параметры устройств на базе НМАС, а так же построить выходную статическую характеристику.
Ключевые слова: напряженная магнитоанизотропная структура; физическая модель, математическая модель, чувствительный элемент, компенсационный элемент, функциональная схема, выходная статическая характеристика.
В настоящее время разработано множество разнообразных функциональных устройств на базе НМАС: модуляторы, ключи и переключатели, преобразователи перемещения, регулируемые линии задержки, преобразователи силы и крутящего момента [1, 2], ключевые элементы [3] и акселерометры [4, 5].
В качестве базовой схемы перечисленных функциональных устройств используется компенсационная резонансная схема измерения, в которой чувствительный (ЧЭ) и компенсационный (КЭ) магнитные выполнены на кольцевых ферритовых магнитопроводах (рис. 1).
На ЧЭ 1 и КЭ 2 элементах расположены обмотки возбуждения 4, 5 и измерительные обмотки 3, 6. Обмотки возбуждения 4, 5 включены пос-
ледовательно-согласно и питаются от генератора синусоидального напряжения 7. Измерительные обмотки 3, 6 соединены последовательно-встречно и подключены к выходу измерительного прибора 9. Параллельно обмоткам 3, 6 включен конденсатор 8, образующий совместно с обмотками резонансный контур. При отсутствии усилия Р сигнал на выходе измерительного прибора 9 равен нулю. При давлении силы Р в кольцевом ЧЭ 1 возникают механические напряжения, которые приводят к изменению его магнитной проницаемости. При этом увеличивается разностный сигнал на выходе измерительных обмоток 3, 6. Выходной сигнал достигает максимума при максимальном усилии Р = Ртах . Дальнейшее увеличение силы Р уменьшает выходной сигнал.
Физическая модель ферромагнитного ЧЭ представлена в виде четверти кольца на рис. 2, где Р -сила воздействия на кольцо; а = Гн — Те - ширина кольца; Гн, Те - наружный и внутренний радиус
Рис. 1. Компенсационная резонансная схема
Дубинин Александр Ефимович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой "Электротехника". Зорина Анна Владимировна, аспирант, преподаватель кафедры "Электротехника". E-mail: risulja@mail.ru Дубинин Александр Александрович, аспирант кафедры "Автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте".
Рис. 2. Физическая модель ЧЭ
кольца соответственно; Ь - толщина кольца; гн - гв
г0 = н 2 в -средний радиус кольца; р - угол
между осью и радиусом; Ег; Ер - напряженности электрического поля на гранях сечения; Вс - магнитная индукция внешнего электромагнитного поля; Нс - напряженность магнитного поля по поверхности сечения кольца; I - ток, протекающий через обмотку возбуждения; /в - вихревой ток.
Математическая модель ферромагнитного ЧЭ НМАС описывается уравнениями теории электромагнитного поля, ферромагнетизма и упругости. Решение этой модели в трехмерном пространстве связано с большими трудностями. Поэтому задача была сведена к двумерной и решена в полярных координатах. При этом принимается ряд следующих допущений:
1. Магнитная индукция Вс внешнего электромагнитного поля, в котором находится ЧЭ, изменяется по синусоидальному закону.
2. Магнитное поле равномерно и имеет только нормальную составляющую магнитной индукции Вс.
3. Комплексная магнитная проницаемость Ц зависит от значения механической силы Р,
—а
Ца = ?(Р).
4. Плотность токов 8г,8р по толщине кольца не изменяется, что имеет место при Ь /(2Д) < 0.5 , где Д - эквивалентная глубина проникновения электромагнитного поля в кольцо.
5. Тангенциальные составляющие напряжен-ностей электрического поля Ег и Ер на гранях сечения кольца постоянны.
6. Поля выпучивания, идущие в обход сечения кольца, относятся к полям рассеяния.
7. Механическая сила Р (напряжение у) направлена по радиусу кольца под прямым углом к магнитному полю Вс.
8. Среда структуры кольца анизотропна или изотропна.
При принятых допущениях в двумерном пространстве при одновременном воздействии силового поля и электромагнитного поля возбуждения состояние ЧЭ описывается дифференциальными уравнениями в полярных координатах.
д-Нс = у Е
дг д H
д
С _
УгЕг ;
(1)
(2)
дЕг д E
<р
д Б,
дг д
dt
С
-jcLLaHc; (3)
дБ
С
1 дБС д HC
-•-•-= Li .
дHC Б2 дHC да ~а;
Е
д~№г дг
= а
(4)
(5)
где Уг ,Ур - удельные электрические проводимости по направлениям; Ег, Ер, Hc - комплексы действующих значений напряженностей электрического и магнитного полей по поверхности сечения кольца по переменным г, р и с; с = 2wq = const - длина кольца; г0 - средний радиус кольца; со - круговая частота; /Ла - магнитная проницаемость от механического напряжения а , wr - перемещение точки структуры по радиусу г; Е - модуль упругости.
Граничные условия при этом имеют вид (рис. 2).
Hc(г, р) = Hc(г) при г = гв ±b/2, р = 0;
ге < г < гн ; (6)
Hc (р, г) = Hc (р)
• b < < . b при - arcsin -— < р < arcsin
2гв
при малых углах
2гв
-г 2
b ~ L = | го йр
(7)
р,
He (г, р) = 0 при р = ± arcsin
b
2гв
He(р,г) = о при г = гв ±b/2 . (8)
Из уравнений (1) и (2) следует:
Ер =
1 д H
c
Ур дг ' г Уг д р ■
Уравнений (9) подставим в уравнение
Е =
1 д H
c
(9)
(3).
1 д 2 H
ii-C
1 д 2 H
S-c
Уг д р2 Ур дг2
= -jcLaHc
Н 1 Э 2 Нс + _э 2 Нс
Нс =--+--ч—
Ут]ЫЦа Э р2 Ур]ЫЦа Эг2 '
где Жг =4Ут]тЦа;Хр =у]щЦа .
Тогда совместное решение системы уравнений (1) - (5) дает:
Э 2 н э2 Н
Н с=Нс (гр+Нс (р,г) ■ (ю)
где Хг =^VrjmMa = Хер =-,¡Ycpja>Vo =
Д
; Д г =
1
V
Í
Д
-; Др =
р
COYrVa 1 ;
(11)
Хг Хр - постоянные распределения электромагнитной волны в материал кольца; А г, Ар-эквивалентная глубина проникновения электро-
7 Р ^
магнитного поля в материал; ш =----фа-
4 2
зовый угол между индуктированной ЭДС и вихревым током; ¡3 - угол магнитных потерь.
Так как постоянные (11) являются комплексными величинами, то решение уравнения (10) ищется в комплексном виде через круговые и гиперболические функции:
Н с (г, Р) = A1 cos(qiP + jpir); Нс (р, г) = A2 cos(p2 г + jq2р ),
(12)
где Ai, A2, pi, Р2, qi, q2 - постоянные разложения (12).
Нс (г,Р) = Aicos qipcos jpir - Ai sin qp sin jpir; Нс (Р, г) = A2 cos p2V cos jq2P - A2 sin p2V sin jq2P.
Определим вторые производные:
Нс =
д 2 H
с
(г ,Р)
дг
2
= Ai cos qipcos jplГ;
H Э2 He (р, r) . . (13)
He =-2-= A2 cos p2r cos jq2P.
Эр2
Сравнивая (13) с (11), запишем, что
Pi = Xr ^VrJ^Ma; q2 = Хр = .
Используя эти величины и связь с круговыми и гиперболическими функциями, получим:
\H_e (r, P) = Aichxrr cos qip [Ke (P r) = A2chXpP cos P2r
(14)
После подстановки граничных условий (6) и (7) в (14) получим выражения:
Нс (г) = An:ИХг (гв + b)
откуда A1 =
Н.с (г)
2
ch Хг (гв + 2)
Нс (Р) = A2 chXp (arcsin-^)
2гв
откуда A2 =
Нс (Р)
chXp(arcsin 2—)
к
(15)
Уравнения (15) подставим в (14): chx^
Нс (г,Р) = Нс (г)-
—cos qip;
Нс (р, г) = Нс (р)-
^Хг (гв + 2) chXpP
chXp(arcsiniL-) 2гв
-cos p2^
. (16)
С учетом того, что cos qiP = cos P2r = 0 , т.е. qip = p2r = — , уравнение (10) принимает
вид: 2
Н С = Нс (г)-
ch%¡гг
chХг (гв+2)
-+Нс (Р)-
chXpPP
b
chXf/arcsin—). (17) 2гв
Тогда уравнения (1) и (2) принимают вид:
shxгг
ЭН С (г,Р) E '-г =-дг-= YРEР
ЭНС (Р, г) E
-Р =--:-=YгEг
(гв + 2) ^ХрР
—Р
где
дг
х!аХР (arcsin^b^)
-,(18)
Ег = —рхг нс (г ф№хг а=—^вс авг;
Ер = —РХрНс (р гуИХфЪ = —)ювсЪв(р.; (19)
вс - комплекс действующего значения индукции, равномерно распределенный на эквивалентных глубинах а вг и Ъвр, которые позволяют найти участки эквивалентного контура вихревых токов.
ЬЭ = а + Ъ. (20)
В эквивалентном контуре действует ЭДС Э = 2(Ега + ЕрЪ) = — . (21)
Полученные выражения (17)-(20) позволяют определить сопротивления магнитных элементов НМАС силы вихревому и намагничивающему токам при действии на них силовой нагрузки.
Вихревые токи в эквивалентном контуре
= а + Ъ сечения кольца находятся путем интегрирования выражений (18):
г cE
Ln =с\-Раг = еГ
ch Р -1
b
0
L
РХг ^Хр (arcsin(2—)) 2г
I рв = c ¡-г^Р =
ch Р -1
(22)
РХр shxr (гв + b)
e
0
Сопротивления ЧЭ вихревым токам вычисляются с учетом выражений (19), (21) и (22) вычисляются:
Zr
a
Z
_
саЕг b
-pe
3Vr
рв
Lpe
cb
pe
JVv
Ep
(23)
Полное сопротивление вихревому току запишется как сумма выражений (23):
Z _ Z + Z _
a
caEr
pe3 y +
b
pe3v*,(24)
cb
Eq
- aEr _ bEp _
a
K1
chKi - cosK
2
(25)
chKi + cos K2
- эквивалентные глубины проникновения электрического поля в кольцо, определяются с учетом выражений (11):
K _а _ajЩ-Ма,K _k^osf-^); Д 4 2
k2 _ k sin£-4rr _ - _;
-,.,r- ~Yr COW-3Yrsin^-4 2 p
(26)
Углы сдвига между вихревым током и ЭДС: K1 shK 1 + K2 sin K2
cos y/r _ cos y/q _
K\lsh2K1 + sin2 K2
sin yr _ sin y/q _
K1 shK! + K2 sin K
2
2
(27)
:VS
K-^lsh2Kj + sin2 K2
Сопротивление кольца намагничивающему току Iф = сНс по соответствующим направлениям эквивалентного контура определяются с учетом выражений (19) и (21)
Z
гФ
^ф _
Э r ao aB
с Hc c
Эр bo bB
с Hc c
r Мае] ar
Мае
30р
(28)
Полное сопротивление намагничивающему току запишется как сумма выражений (28):
2ф = (а • аВгв^' + Ь • Ъвуа*) ^. (29)
где авг, Ъвр- эквивалентные глубины проникновения магнитного поля в ЧЭ НМАС; ¡Ла - магнитная проницаемость кольца; 0СГ , - углы сдвига между намагничивающим током и магнитным потоком по соответствующим направлениям эквивалентного контура.
Эквивалентные глубины проникновения магнитного поля определяются с учетом выражений (11)
aBr _ bBp _
a
ch2K1 - cos 2K2 ch2K1 + cos2K2 ' (30)
2
где р - удельное электрическое сопротивление кольца; Щг- углы сдвига между вихревым током и ЭДС по соответствующим направлениям эквивалентного контура; с - средняя длина пути магнитного потока;
где К\, К2,К - определяются по соотношениям (26).
Углы сдвига между намагничивающим током и магнитным потоком
cos ar _ cos a,q _
K2ch2K + K sin 2K
2
K-yJsh22K1 + sin2 2K2
sin ar _ sin 0Cp
_ K1sh2K1 + K2 sin 2K2 (31) K^sh2 2K1 + sin2 2K2
При отсутствии поверхностного эффекта, что имеет место при K _ a^jooyrMa ^ 0.5 , эквивалентные глубины проникновения электрического и магнитного полей равны
bBr _ 2 aBr _ "2"' bEp _ aEr _ 0 5aBr , а магнитная индукция распределяется равномерно по
сечению элемента Bc _ BaBr . При этом можно
a
пренебречь составляющими, пропорциональными круговым функциям в выражениях (27) и (31). Тогда
• K 2 . Л
cosy _ sin0 _ —— _ sin(---);
K
42
K ж , (32)
cos a = sin у = —- = cos(--w).
K 2
С учетом всех принятых условий, сопротивление вихревому току, приведенное к виткам соответствующей обмотки, принимает вид
L Э
Z в _
0.5 aBrc
pK П e3y
(33)
W
где К П =--коэффициент приведения сопротивления чувствительного элемента к соответствующей обмотке W; ЖЧ = 1- число витков ЧЭ.
Активная и индуктивная составляющие сопротивления вихревому току равны
ге = Zb cos^; хе = Ze sin^ . (34)
Полное сопротивление намагничивающему току, приведенное к виткам соответствующей обмотки, принимает вид
Z = °L3аВг K2 ja
Z ф =-с-Пe . (35)
Активная и индуктивная составляющие сопротивления намагничивающему току:
гф = Zф sin a; Хф = Zф cos a. (36)
Приведенная к первичным виткам ЭДС эквивалентного контура
Э = оВС L3 aBrW1. (37)
Поскольку сопротивления вихревому и намагничивающему токам расположены относительно друг друга параллельно, то комплекс полного результирующего сопротивления ЧЭ
Z в Z ф
(38)
Zp =
-е Z ф Z е + Z ф
Активная и реактивная составляющие
ге гф Хе Хф
гр = ——; Хр =-^
ге + гф
Хе + Х
ф
(39)
U Ч + UK = и 1
U ч - Uk
ис = о.
(41)
Рис. 3. Схема замещения магнитной цепи НМАС
Ск; и - напряжение питания преобразователя.
Система уравнений (41) после перехода к магнитным индукциям принимает вид
|Вч + Вк = Bi 1ВЧ - Вк - Вск = 0.
(42)
При отсутствии поверхностного эффекта ( К < 0.5 ), что имеет место для ЧЭ МАПС из магнитомягкого феррита, глубины проникновения поля в элемент и его сопротивление вихревому току 7е практически не зависят от давления силы Р (механических напряжений а ), а сопротивление же намагничивающему току 7ф изменяется при действии силы Р (напряжений а ). При радиальном воздействии на кольцевой элемент выражение (35) приобретает вид [1, 2]:
7 ф =—(^н--7В2—Ъ2-)Кпе . (40)
с 7В а ■ Ъ
Зависимости (33)-(40) позволяют определить электрические сопротивления чувствительных элементов НМАС и электрические потери и тангенс угла магнитных потерь tgР при силовом воздействии на них.
Схема замещения магнитной цепи НМАС представлена на рис. 3.
Для схемы замещения по второму закону Кирхгофа составляется систему алгебраических уравнений:
где Вч , Вк - магнитные индукции в сердечниках ЧЭ и КЭ, В\ - магнитная индукция в сердечниках элементов за счет напряжения питания Цл; ВсК - магнитная индукция в сердечниках элементов за счет напряжения на конденсаторе.
Запишем выражения для магнитных индукций в виде
Вч = (Н1 + Н 2)МЧ; Вк = (Н1 -Н 2)VK; и п
Bi =—1—; Вск coSw1
Н 2 c
о2 Sск ■ w22
(43)
где Н 1 - напряженность магнитного поля, создаваемая в сердечниках ЧЭ и КЭ за счет протекания тока в первичной цепи преобразователя; Н - напряженность магнитного поля, создаваемая в сердечниках элементов за счет протекания тока во вторичной (измерительной) цепи; ¡Лч и /лК - комплексные магнитные проницаемости ЧЭ и КЭ, получим
VK =Мк -jMKtgPK,
(44)
где U4, UK ,Uc - соответствующие напряжения на обмотках ЧЭ и КЭ и контурном конденсаторе
tg¡ч и tg¡к - тангенсы магнитных потерь ЧЭ и КЭ, ю- круговая частота питающего напряжения; 8 - сечение магнитопроводов; ^ и - число витков обмоток возбуждения и измерительной, с - средняя длина пути магнитного потока в элементе.
После подстановки (43) в систему уравнений (42) она преобразуется к виду
H i(—Ч+—K )+H 2—Ч ~—K) =
Hi (—Ч- — K) + H2—Ч + — K —
= Ui .
caSwi Ск
(45)
Ч~tLK>^~ii-24z.Ч tiK —2
со c
■SvW,
) = 0
В результате решения системы уравнений определим напряженность магнитного поля:
и 1 (ЕК ~ аЧ )тСк • Кт ™2
H 2 =
2 2
c (—Ч ~—K ) " 4—Ч —K о cSw 2
. (46)
где ^K — ¡л^ — иь./л - изменение магнитной про-
аК -аЧ =Аа
ницаемости [1], которое при радиальном воздей-
ствии силы Р на кольцо имеет вид:
А— =
0.563 Asas — нr0P .
лБ 2a ■b2
; KT = ■
w
коэффи-
w
циент трансформации ЧЭ; w1 - число витков обмотки возбуждения; / - частота питающего напряжения; £ = аЪ - сечение элемента; Ск - емкость контурного конденсатора, определяемая из условия резонанса токов при максимальной нагрузке Р = Ртах на элемент [1],
Ск =
2xp -Ах
P
(47)
со{21Р -ЫР У
Ахр, ДZp - изменения индуктивного хр полного Хр сопротивлений ЧЭ при силовом воздействии на него, приведенные к той обмотке, в которой включен контурный конденсатор Ск.
При радиальном воздействии механической силы Р на кольцо напряжение поля Н2 принимает известный вид [1,2]
и 1Ктг0Л8а8цн>2ск •р
H
2 рад
5.03лБ2ab2(r0 - 4л— н f 2cabw2)
,(48)
где и1 - напряжение питающей сети; Кт - коэффициент трансформации ЧЭ; г0 - средний радиус кольца; - изотропная магнитострикция; /ин - начальная магнитная проницаемость; / -частота питающего напряжения; w2 - число витков измерительной обмотки; Ск - емкость контурного конденсатора; р - механическая сила; В - магнитная индукция; а, Ъ - ширина и толщина кольца; с - длина четверти кольца.
Выходное действующее напряжение и2, снимаемое с конденсатора СК , записывается выражением
U 2 = 12
i
H 2 c i
r0
--Н 2 (49)
юСк w 2 юСк 2 Ск ' х '
которое после подстановки в него выражения (56) и (55) приобретает вид
и^т^аа -АХр )Р
U
2 рад
5.03лБ2ab2[r0(:2Zp-AZp J -2—н fabwj(2xp-Axp)] ,(50)
и 10 20 30 M PtH
Рис. 4. Выходная статическая характеристика: 1 - расчетная; 2 - экспериментальная
2
т. к. Ск = const , то (2Zp-AZp) и (2 xp -Axp ) можно считать постоянными, т. к. ошибка при этом не превышает
А=
2 Xp - Ах
P
2
•100% = 0.01%
(2ХР -АХР )2
Предлагаемая методика использовалась для расчета устройств, кольцевые ЧЭ и КЭ которого имеют размеры 10х6х4,5 мм из феррита марки 2000НМ1 при радиальном воздействии силы от 0 до Ртах = 50Н , при напряжении и частоте питания и1 = 4.5В, / = 40кГц.
Получены следующие результаты расчета: ан = 4•Ю-3Гн/м при р = он ; Хе = 3.9 3 2-106 ом; Х_ф = 650Ом ; Хр = 650 Ом ; и2 = 9.85В при ртах = 50 Н .
На основании выражения (50) построена выходная статическая характеристика и2 = /(р) , которая представлена на рис. 4. Сходимость данной характеристики относительно экспериментальной составляет не более 5%.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дубинин А.Е. Магнитоанизотропные преобразователи силы. М.: Энергоатомиздат, 1991. 112 с., ил.
2. Дубинин А.Е., Кислицын АЛ. Магнитоанизотропные устройства автоматизированных систем. Ульяновск: УлГТУ, 2004. 372 с.
3. Патент РФ № 2008141875/22, 22.10.2008. Дубинин А.Е., Капитуров Р.Е., Бородина А.В. Ключевой элемент// Патент России № 81861.2009. Бюл. №9.
4. Патент РФ № 2009127928/28, 20.07.2009. Дубинин А.Е., Попов Д.А., Бородина А.В. Магнитоупругий линейный акселерометр// Патент России № 2404437.2010. Бюл. №32.
5. Патент РФ № 2010135550/28, 24.08.2010. Дубинин А.Е., Попов Д.А., Бородина А.В. Магнитоупру-гий линейный акселерометр// Патент России № 100832.2010. Бюл. №36.
A MATHEMATICAL MODEL OF ELECTRICAL DEVICES BASED ON STRAINED MAGNETIC ANISOTROPIC STRUCTURES
© 2013 A.E. Dubinin, A.V. Zorin, A.A. Dubinin
Samara State University of Railway Transport
A mathematical model of electrical devices based on strained magnetic anisotropic structures (SMAS) is studied. The physical model of the strained magnetic anisotropic structures is presented as a quarter of the ring in the electromagnetic field under the force action. The physical model is described as the mathematical equation system of the EMF theory, ferromagnetism and the elasticity theory in polar coordinates. The magnetic circuit of electrical devices is described as the system of algebraic equations. The simultaneous solution of the system of differential and algebraic equations enables the authors to define electric and magnetic parameters of electrical devices on the basis of strained magnetic anisotropic structures as well as to build the output static characteristic. Key words: strained magnetic anisotropic structure; physical model; mathematical model; sensitive element; compensation element; functional circuit; output static characteristic.
Alexander Dubinin, Doctorate in Engineering, Head at the Electrical Engineering Department.
Anna Zorina, Graduate Student, Lecturer at the Electrical Engineering Department. E-mail: risulja@mail.ru Alexander Dubinin, Graduate Student at the Automatics, Telemechanics and Communications in Railway Transport Department
