Метод контроля магнитных свойств изделий из магнитомягких материалов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 537.611:621.3.013.62

МЕТОД КОНТРОЛЯ МАГНИТНЫХ СВОЙСТВ ИЗДЕЛИИ ИЗ МАГНИТОМЯГКИХ МАТЕРИАЛОВ

© 2010 г. Д.В. Шайхутдинов

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute)

На основании анализа работы феррорезонансной электрической цепи, предлагается новый метод контроля динамических магнитных свойств образцов из магнитомягких материалов. При этом петля гистерезиса образца определяется пропорционально вольтамперной характеристике источника питания.

Ключевые слова: феррорезонанс; аналитическая модель; петля гистерезиса.

In article, on the base of analysis of work electric ferroresonance scheme, the new method monitoring of a dynamic magnetic properties of samples from soft magnetic materials is. In this case, the hysteresis loop is defined proportional volts-amper characteristic of the power supply.

Keywords: ferroresonance; analytic model; hysteresis loop.

Важным этапом технологического процесса производства любого электротехнического изделия является контроль его основных параметров. Наиболее информативным будет определение его магнитных параметров, так как от них зависят практически все эксплуатационные характеристики готового изделия. Для использования традиционных методов контроля необходимо наличие двух обмоток, нанесенных на испытуемое изделие - намагничивающей и измерительной, в качестве которых могут быть использованы рабочие обмотки производимого изделия. Исполнение данного требования снижает производительность контроля целого ряда электротехнических изделий, имеющих в конструкции только одну обмотку.

Таким образом, разработка метода, предполагающего использование только одной обмотки, для испытания готовых электротехнических изделий и отдельных магнитопроводов является актуальной задачей. Для решения данной задачи рассмотрим электрическую цепь, приведенную на рис. 1.

RI

VI

L1

C1

Рис. 1. Схема исследования: R1 - эквивалентное активное сопротивление схемы; L1 - катушка с ферромагнитным сердечником; С1 - конденсатор; VI - источник питания переменного напряжения

Электрическая схема рис. 1 представляет собой автоколебательную цепь с нелинейным элементом типа катушки с ферромагнитным сердечником [1]. Цепи, содержащие нелинейную катушку индуктивности и линейный конденсатор, называют феррорезо-нансными. Свое название такие цепи получили благодаря возможности работы в режиме феррорезонанса. В частности, феррорезонанс напряжений в таких цепях возникает в случае, когда первая гармоника тока совпадает по фазе с напряжением источника и1. Переход от одного к другому режиму работы ферроре-зонансной цепи с фиксированной катушкой с ферромагнитным сердечником Ы1 осуществляется путем изменения напряжения или частоты источника питания V1, либо путем изменения емкости конденсатора С1.

В [2] произведен анализ работы схемы рис. 1 без учета потерь в сердечнике катушки индуктивности Ы1, основываясь на кривой намагничивания катушки индуктивности у(/). Кривая намагничивания у(/) на рабочем участке аппроксимируется полиномом

у= L0 i - k3 i

(1)

где Ы0 и к3 - коэффициенты аппроксимации.

Рассмотрим работу схемы рис. 1, учитывая, что перемагничивание катушки индуктивности Ы1 ведется по петле гистерезиса. Для этого производим параллельный сдвиг осей координат относительно характеристики (1). Тогда уравнение (1) приобретет вид:

di

VO'i) = Lo (ii + ic) - k3 (ii + ic) , — < 0;

dt 3 di

(2)

V(i2) = L0 (i2 - ic ) - k3 (i2 - ic ) , "Г > 0

dt

где 1ц=1 - ¿с, г2=г + ¿с, ¿с - значение тока, пропорциональное коэрцитивной силе на петле гистерезиса.

Петля гистерезиса, полученная с помощью уравнений (2), показана на рис. 2 сплошной линией.

Нелинейную феррорезонансную цепь рис. 1 в общем случае можно описать дифференциальным уравнением первого порядка

U,(t) = R1i(t) + ^ + -L Ji(t)dt,

dt C1

(3)

dy dy di di

= = L (i) ,

dt di dt dt

(4)

Ц1)д„ = Ln(i) = ^ = L0 - 3*з(1и ±lc)2 , di„

(5)

Ui (t) = R1i„ (t) + (Lo - 3k3 (i„ 2(t) + 2i„ (t)ic +

+ic2)) ^ + 7^ J i« (t)dt,

dt C1

(6)

U1(t) _ R1 dqn d 2qn k3 d 2qn dqn 2 _

--3-

(-Z-)2 +

где - потокосцепление магнитного потока Ф, проходящего по ИО с витками катушки, нанесенной на ИО; = S - площадь поперечного сече-

ния ИО; м> - число витков катушки.

Напряжение на индуктивной катушке можно представить выражением

L0 L0 dt dt2 L0 dt2 4 dt

_ з к^ с^ + Lo сЬ2 Lo dt2 C1Lo

Пользуясь методом гармонического баланса, можно искать решение уравнения (7) в виде

qn = A cos(rat + ф).

(8)

при этом для удобства последующих преобразований

целесообразно обозначить at - ф = 4 и

1

л/CiLO

: = Юо

Подставим (8) в (7).

U,

D1 k

^ sin(at) =—юА cosZ-ю2 A sinZ+3^ю4 A3cos2ZsinZ+

где дифференциальная индуктивность с учетом принятых аппроксимаций равна

Lo

L

+6 ^ ю3 A2cosZ sinZ + 3 k3ic- ю2 A sin Z + ю0 А sin Z-

Ln

Ln

[3]:

где п = 1, 2. На рис. 2 пунктирной линией показан график зависимости L(i).

Значение L0 определяет начальную индуктивность катушки при отсутствии насыщения сердечника (к3 = = 0). Отношение потокосцепления уп к току in на начальном линейном участке кривой уп(4) позволяет определить величину L0. С ростом намагничивающего тока наступает насыщение и индуктивность уменьшается.

Уравнение (3) с учетом выражений (4) и (5) можно записать в виде

^0 ^0 Производим замену в соответствии с формулами

sin(o)í) = sin(Q + ф) = sin Q cos ф + cos I sin ф;

2 1 1

cos I sin| = — sin— sin3|;

4

4

cos £ sin £ = 1sin2£ 2

и приравниваем величины при cos^ и sin^. Получим систему уравнений:

Л1<а4 = Um sin ф;

3 k

Ы,

-ю2 А + --^Ю4 А3 + Ю2 А +

4 Ln

Ln

U„

+ ю2 А = —m cos ф.

L

(9)

Рис. 2. Петля гистерезиса (сплошная линия) и соответствующий график дифференциальной индуктивности Ь (пунктир), полученные с помощью уравнения (6)

После деления на £0 и замены тока in = dqJdt это уравнение приобретает вид

Для анализа системы (9) воспользуемся вместо заряда q основной гармоникой тока

dq

i„ = Im cos(ot-ф), dt

где Im = oA.

Угол ф определяет сдвиг фаз между напряжением источника напряжения V1 и основной гармоникой тока в цепи. Из первого уравнения системы (9) находим

cosф= 1 - ()2 ,

V U m

тогда второе уравнение системы (9) примет вид

3 k3 т3 k3ir

-ra-m +--3 ral;; + 3^

m 4 г m г

2 I

-ralm +ra0 — =

ra

= Um. 1 - (D-m )2

o

2

Откуда находим амплитуду тока

-U„

R12 + (ffL3KB -^-)2

(10)

юС1

Юр L3KB _ :

С1

«р2=

1

LoCl - 3k3ic 2C1 - 3 k3C1Im2

ю =

1

1

L3KBC1 L3KB2C1V

- R1 .

(11)

Рис. 3. Пример АЧХ феррорезонансной цепи для трех различных амплитуд питающего напряжения

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) феррорезо-нансной цепи определяется из условия

t:g ф =

тг - 1/

зкв /юС1

R1 '

тогда

M(Lo - 3k3ic2 - 3 кзIm2) - 1

где Ыэкв = Ы0 - 3к31с2 - 3 к31т2 - эквивалентная индуктивность по основной гармонике.

При увеличении амплитуды тока, эквивалентная индуктивность уменьшается, начиная с Ыэкв = Ы0 -3к312. Полученное выражение для амплитуды тока 1т имеет такой же вид, как для соответствующей нераз-ветвленной линейной цепи. Следовательно, ферроре-зонансная цепь рис. 1 с учетом гистерезиса ферромагнитного сердечника К1 может быть рассмотрена как линейная цепь с индуктивностью, равной Ыэкв. Поэтому для расчета установившегося режима в такой цепи по основной гармонике можно применять символический метод. Из выражения (10) следует условие резонанса напряжений:

Ф = arctg-

юС1

R1

(12)

На рис. 4 показана ФЧХ, полученная с помощью выражения (12) для первого значения амплитуды питающего напряжения ит1. Стрелками указано направление движения по характеристике, пунктиром показан участок неустойчивости.

ф

Амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) феррорезонансной цепи построим с помощью выражения (10). При этом решаем обратную задачу - определяем частоту, исходя из амплитуды тока. Для упрощения расчета АЧХ в области резонансных частот пренебрегаем слагаемым второго порядка малости, в результаты получаем выражение

На рис. 3 показана АЧХ, построенная используя выражения (11) для различных амплитуд питающего напряжения(Цт1< и,^ Цтз).

^т

Рис. 4. Пример ФЧХ феррорезонансной цепи

Для изменения режима работы может использоваться изменение не только частоты питающего генератора V1, но и значения емкости конденсатора С1. Тогда, исходя из формул (11) и (12), можно сделать вывод, что при некоторой амплитуде напряжения питания ит1 сдвиг фаз между током I и напряжением и1 не превысит нулевого значения ни при каком значении частоты или емкости конденсатора С1.

Докажем, что при некотором режиме работы цепи, когда значение конденсатора С1 = С1т (рис. 1) и совпадают по фазе амплитудные значения напряжения генератора и^т) = ит и тока ¿(т) = ¿т, значения Вт и ит пропорциональны между собой и по семейству ВАХ возможно определять ДКН ИО вплоть до границы возможности настройки совпадения фаз.

Напряженность магнитного поля Н сердечника прямопропорциональна току ' в катушке индуктивности Ы1:

/'(/ )м>

H (t) =-

(13)

ср

где w - число витков намагничивающей обмотки; /ср -длина средней магнитной линии сердечника.

Форма изменения потокосцепления во времени для цепей, содержащих только активное и индуктивное сопротивления, определяется их соотношением. Чем больше индуктивное сопротивление по отношению к активному, тем более синусоидальна зависимость В((), и вся нелинейность ДПГ определяется нелинейностью напряженности магнитного поля; и наоборот. В случае наличия в цепи емкостной состав-

ю

ляющей сопротивления синусоидальность определяется отношением индуктивной к сумме емкостной и активной составляющей. Предположим, что индуктивная составляющая нагрузки цепи рис. 1 преобладает, что правомерно в большинстве случаев [4], и В(?) =

= В^т(юО.

Магнитная индукция в испытуемом образце (ИО) в момент максимума В(т = Вт совпадает по фазе с моментом максимума напряженности магнитного поля Н/т) = Нт и, следовательно, намагничивающего тока ^т) = im.

Для доказательства воспользуемся моделью классической петли гистерезиса с наклоном [5]. Семейство петель классической петли гистерезиса (рис. 5) записывается в виде следующего обобщенного трансцендентного уравнения в параметрической форме относительно х(?) и у(/):

x(t) = a cosm (at) + bx sinn (at); y(t) = by sin(at),

(14)

где a - координата точки расщепления (пропорциональна коэрцитивной силе ИО Hc); bx, by - координаты точки насыщения; m, n - целые числа; ю - круговая частота перемагничивания, ю = 2п/, f - частота намагничивающего тока (напряжения), Гц.

Рис. 5. Форма «классической» петли гистерезиса

Для получения кривой производного типа «классической с наклоном» (рис. 6), касательная в точке перегиба нерасщепленной петли которой составляет с ох угол в Ф п/2, производится поворот системы координат по часовой стрелке на угол 0 = п/2 - р.

Таким образом, используя известные формулы преобразования Декартовых прямоугольных координат при повороте осей [6], получим

X(t) = x(t)cos0 + y(t)sin0; 1

y (t) = - x(t) sin 0 + y (t) cos 0,J где X(t), y(t) - координаты повернутой системы.

(15)

y 1 b

by

c Á 7

/ /

-a / Iß 1 1

-bx I 7 ) a bx x

/ /

1 r -c

-b > i -h

Рис. 6. Форма «классической с наклоном» петли гистерезиса

При повороте системы координат точка расщепления а и точка насыщения Ь изменяют свое положение относительно исходной системы, и, следовательно, необходимо предварительно исказить их координаты так, чтобы после поворота эти точки совпали с исходными. Для этого используются следующие формулы преобразований [6]:

a = a cos0;

bx = bxcos0 - bvsin0;

by = bx sin0 - by cos0.

.) y

(16)

Подставляя полученные скорректированные значения постоянных расщепления и насыщения а, Ьх, Ьу

(16) в (14) вместо значений а, Ьх, Ьу, получим выражения х(?) и у(?), необходимые для выполнения расчетов по формуле (15).

Считая, что петля гистерезиса отображается в координатах i(t) взамен х(?) и у(0 взамен у(I), im1 взамен а, im2 взамен Ьх, ут взамен Ьу получим следующие выражения для зависимостей i(t) и у(?):

i(t) = (im1 cos0cosm (at) + (im2 cos0 - ym sin0) x xsinn (at))cos0 + (im2 sin0 + ym cos0)sin(at)sin0; y(t) = -(im1 cos 0 cos m (at) + (im2 cos 0-ym sin 0) x xsinn (at)) sin 0 + (im2 sin 0 + ym cos 0)sin(at) cos0.

(17)

Произведем дифференцирование уравнения (3), подставим в полученное уравнение выражения (17) и учтем, что для момента времени t = ^ sin(ím) = 1, а ^(т = 0. Получим:

0=(im2 cos e -у m sin e)nœ2 sin e- (im2 sin e+у m cos e)œ2 x

x cose+—[(im2 cos e - у m sin e) cos e +

+(im2 sin e+у m cos e) sin e].

Откуда:

i

0 = im2(sinecosenœ - sinecoseœ +--) -

Ci

-ym (sin2 enœ2 + cos2 eœ2)

22

, = œ2Ci(sin2 en + cos2e)

^m2 Y m о .

œ2C1sinecose(n - i) + i

(18)

Произведем двойное дифференцирование уравнения (3), подставим в полученное уравнение выражения (17) и учтем, что для момента времени t=tm sin(tm) = 1, а cos(tm) = 0. Получим:

-Ю2ит = т 6)ЙЮ2 -

-(im2 sin e + у m cose)œ sin e].

Откуда:

U„

^ = im2 (sin2 e+cos2 en)+у m sinecose(i - n). (19)

Подставляя (18) в (19), находим:

Um = [œ2Ci(sin2 en + cos2 e)(sin2 e + cos2 en) + Ri = Vm œ2C1sinecose(n - i) + i

Отсюда:

+sinecose(i - n)]

i n

¥m = KUm ,

(19)

где K - коэффициент пропорциональности

œ2C1(sin2 0n + cos2 0)(sin2 0 + cos2 0n)

K = Ri[-

œ2C1sinecose(n - i) + i +sinecose(i - n)].

Формула (19) доказывает пропорциональность значений Вт и ит. С учетом (13) можно сделать вывод, что при настройке схемы в состояние, при котором амплитудное значение напряжения питания схемы совпадает по фазе с амплитудным значением тока в цепи, а изменение магнитной индукции в испытуемом изделии происходит по синусоидальному закону [4], все точки на петле гистерезиса В(Н) будут пропорциональны точкам на ВАХ Ц7), а основная кривая

Поступила в редакцию

намагничивания изделия - координатам вершин семейства ВАХ, полученного описанным выше образом.

На основании данного вывода предлагается метод экспресс-контроля магнитных параметров массивных изделий из магнитомягких материалов, заключающийся в том, что:

1) в цепь источника питания синусоидального напряжения U(t) включаются намагничивающая катушка, нанесенная на образцовое изделие, переменный управляемый конденсатор, измеритель тока;

2) для интересующих значений амплитуды тока цепь настраивается в режим совпадения фаз амплитудных значений тока в намагничивающей катушке и сигнала на выходе генератора синусоидального напряжения;

3) фиксируются все значения напряжения на выходе генератора синусоидального напряжения U(t), а с помощью измерителя тока фиксируются все значения намагничивающего тока i(t);

4) строится вольтамперная характеристика (ВАХ) феррорезонансной цепи U(i), координаты точек которой пропорциональны координатам точек динамической петли гистерезиса изделия;

5) повторяются пункты 1 - 4, для ИО, для чего в цепь генератора синусоидального напряжения вместо НК образцового изделия, включают НК, нанесенную на испытуемое изделие;

5) путем сравнения полученных ВАХ образцового и испытуемого изделий судят о различии их магнитных параметров, таких как остаточная магнитная индукция Br, коэрцитивная сила Hc, потери на перемаг-ничивание P.

Литература

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. М., 1996.

2. Теоретические основы электротехники. В 2 т. Т. 2. Нелинейные цепи и основы теории электромагнитного поля / П.А. Ионкин [и др.]. М., 1976. 383 с.

3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М., 1972. 872 с.

4. Шайхутдинов Д.В., Ланкин М.В., Боровой В.В. Измерение магнитных характеристик элементов мехатронных систем в режиме последовательного резонанса // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2009. Спец. выпуск: Ме-хатроника. Современное состояние и тенденции развития. С. 177 - 179.

5. Lapshin R.V. Analytical model for the approximation of hystérésis loop and its application to the scanning tunneling microscope // American Institute of Physics. 1995. September. С. 4718 - 4731.

6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., 1984. 832 с.

23 июля 2010 г.

Шайхутдинов Даниил Вадимович - аспирант, кафедра «Информационно-измерительная и медицинская техника», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635)299410. E-mail: d.v.shaykhutdinov@gmail.com

Shaykhutdinov Daniil Vadimovich - post-graduate student, department «Information and Measuring Systems and Technologies», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635)299410. E-mail : d.v.shaykhutdinov@gmail.com_