Математическая модель управления процессом эпидемии в двух социальных группах Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Полученные путем моделирования прогнозные данные об изменении физических параметров природного объекта являются основой для распознавания пожароопасных ситуаций.

Процесс принятия решений основывается на анализе исходных ситуаций, которые определяются результатом моделирования. Построение исходной ситуации представляет собой последовательность достаточных ситуаций, определяющих конкретный вариант расчета, и доопределение их на основе экспертных знаний. Эффективным инструментом анализа возможных ситуаций являются ГИС. Быстрое развитие технологий ГИС в направлении расширения функциональности, удобства пользовательского интерфейса и эффективности обработки данных обеспечило лидирующие позиции ГИС-технологий в сфере информационных систем экологического мониторинга.

Архитектура информационной системы оценки пожароопасности на базе ГИС-технологий представлена на рисунке.

Система предоставляет пользователям доступ к специализированному web-сайту Internet через стандартный HTML-браузер. Здесь предопределен перенос основной нагрузки на серверную часть

СППР. Система позволяет произвести выборку данных и расчет физических характеристик природного объекта, отобразить результаты в отчетах электронных таблиц и на электронной карте. Для удобства работы пользователей системы разработана интуитивно понятная форма интерфейса и реализована возможность обращения к любому хранилищу данных по технологии клиент-сервер.

Список литературы

1. Гамаюнов Н.И., Испирян Р.А., Клингер А.В. Построение и идентификация математических моделей тепло- и массо-переноса в капиллярно-пористых телах // ИФЖ. - 1986. - Т.50. -№2.- С299.

2 Ветров А.Н., Прохныч А.Н. Использование распределенной адаптивной математической модели для прогнозирования состояния окружающей среды // Проектирование технических и медико-биологических систем // Сб. науч. тр. - Тверь: ТГТУ, 2000. - С.60-65.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ ЭПИДЕМИИ В ДВУХ СОЦИАЛЬНЫХ ГРУППАХ

Е.А. Андреева

На современном этапе развития науки и техники большое внимание уделяется математической теории оптимального управления, позволяющей находить решения сложных прикладных задач с помощью методов математической теории оптимального управления. Одной из таких задач является задача о распространении эпидемии в неоднородном сообществе, контролируемая проведением вакцинации восприимчивых к заболеванию людей и карантина. Особенностью данной модели является учет вероятности заболевания при встрече инфицированного и подверженного заболеванию человека и латентного периода заболевания. Модель описывается системой интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра.

В работе аппарат математической теории оптимального управления использован для исследования процессов распространения заболевания. Среди моделей, рассмотренных в [1-5], можно вы-

делить модели эпидемии в однородном и неоднородном сообществах. Наиболее распространенными противоэпидемическими средствами являются вакцинация населения, подверженного заболеванию, и медикаментозное лечение инфицированных людей. При некоторых тяжелых заболеваниях контроль за ходом эпидемии осуществляется с помощью изоляции инфицированных людей. Другим методом контроля является проведение программы "Здоровье", которая состоит в организации теле- и радиопередач, лекций, посвященных этой проблеме, и т.д. Эти меры можно рассматривать в качестве управляющих воздействий на ход эпидемии. Обсудим две модели эпидемии в неоднородном сообществе, состоящем из двух социальных групп. Модели учитывают наличие иммунитета (постоянного или временного), факторы естественной рождаемости и смертности, латентный период заболевания и другие параметры.

Модель процесса распространения эпидемии в двух социальных группах, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений

Введем следующие обозначения: Т - фиксированное время, на котором рассматривается процесс распространения заболевания; Х(1), х(1) -численность населения, восприимчивого к заболеванию в 1-й и 2-й социальных группах соответственно в момент времени 1; ¥(1), у(1) - численность инфицированного населения в 1-й и 2-й социальных группах соответственно в момент времени 1; у"1 - коэффициент, характеризующий время естественного выздоровления, которое может изменяться от 10 дней в случае ангины и гриппа до нескольких недель в случае холеры. Предполагается, что заболевание передается только при встрече восприимчивого к заболеванию человека с инфицированным. Коэффициент р1 характеризует скорость заражения людей в 1-й социальной группе в результате встреч с инфицированными людьми из этой же группы, р2 - соответствующий коэффициент для 2-й группы, коэффициент 81 характеризует скорость заражения людей в 1-й социальной группе в результате встреч с инфицированными людьми из 2-й группы, коэффициент б2 характеризует скорость заражения людей во 2-й группе в результате встреч с инфицированными людьми из 1-й группы.

Управление эпидемией осуществляется с помощью вакцинации восприимчивого к заболеванию населения и карантина:

у1 (1) - скорость введения вакцины в 1-й социальной группе в момент времени 1,

иД1) - доля людей, отправленных на карантин в 1-й социальной группе в момент времени 1, 1=1,2.

Процесс распространения заболевания на отрезке времени [0,Т] в двух социальных группах описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений:

X(1) = -РхХ(1)¥(1) - 8хХ(1)у(1) - Ух(1);

¥ (1) = РхХ(1)¥(1) + 8хХ(1)у(1) - ух¥(1) -

- их(1)¥(1);

X (1) = -Р2х(1)у(1) - 82х(1)¥(1) - у2 (1);

у(1) = в2Х(1)у(1) + 52Х(1)¥(1) - 72У(1) -- и2(1)у(1);

с начальными условиями:

Х(0) = Хо;¥(0) = ¥о;х(0) = Хо; у(0) = уо. (2)

Затраты на проведение вакцинации и карантина в каждой группе ограничены:

0 < уД1) < А1, 1 = 1,2 1 е [0,Т]; (3)

0 < ^(1) < В1,1 = 1,2 1 е [0,Т]. (4)

(1)

Цель управления эпидемией состоит в минимизации функционала 1(у,и), который включает затраты на лечение инфицированных людей, затраты на проведение вакцинации и карантина во всех социальных группах. Принимая стоимость лечения одного больного за единицу, запишем общую стоимость эпидемии за время Т:

Т

Ду,и) = | [¥(1) + у(1) + Схих(1) + С2и2(1) +

0

+ их (1)¥(1) + и2 (1)у(1) + ^уД!) + (5) +а2у2(е)]ае ^ ш

где С1 - относительная стоимость карантина в 1-й социальной группе; di - относительная стоимость вакцинации в 1-й социальной группе; 1=1,2. Запишем функцию Понтрягина: Ы(1,Х,х,¥,у,и,у,р(1),я(1), X,) = = -Х0[¥ + у+С1и1 + С2и2 + и1¥+ +и2У+dlVl + d2У2] -

-Р1(1)(Р1Х¥+81Ху+У1)- (6)

-Р2(1)(в2ху + 82х¥ + У2) + +Я1(1Хр1Х¥+81ХУ - у1У - %¥)+ +Я2 (1)(Р2ху + 82х¥ - У2У - и2У);

введем функции переключения:

Ф1(1) = + ¥) + Я1(1), Ф2(1) = ^0(С2 + У) + 42(1),

ВД = + Р1(1), ^2(1) = М2 + Р2(1)-

Теорема. Пусть процесс ^ = (Х,х,¥,у,П,У)

является оптимальным. Тогда оптимальное управление удовлетворяет условиям: 0, ФД1) > 0,

У1 (1) = • В1, ФД1) < 0, 1 = 1,2 п.в. 1 е [0,Т] (7) ВД], ФД1) = 0;

0, ^(1) > 0,

й1(1) = • А1, ^(1) < 0,1 = 1,2 п.в. 1 е [0,Т] (8)

[0,А,], ВД = 0,

а сопряженные функции описываются системой дифференциальных уравнений:

Р 1(1) = (Р1(1) - Ч1(1))(Р1¥ + 81у); р 2(1) = (Р2(1) - Ч2(1))(Р2у + 82¥); 41(1) = X 0(1 + + (Р1(1) - 41 (1))Р1Х +

+ + и1) + (Р2(!) - Ч2 (О^х,

4 2(1) = ^0(1 + и2) + (Р1(1) - Ч1(1))81Х +

+ 42 (1)(У2 + и2) + (Р2 (1) - 42 (1))в2х

с граничными условиями:

Р1(Т) = Р2(Т) = 41(Т) = 42(Т) = 0. (10)

Модель распространения эпидемии с учетом распределенного запаздывания

(9)

Инфекционное заболевание передается только при встрече восприимчивого к заболеванию и инфицированного человека. Вероятность заболевания вследствие контакта зависит от иммунитета человека, проводимых им профилактических мер безопасности и т.д. Инкубационный период заражения человека, в который болезнь развивается внутри организма и не имеет внешних проявлений, в каждом отдельном случае имеет свое значение. Учет этих факторов в исходной модели при описании динамики процесса осуществляется с помощью системы интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра:

X(1) = -р1Х(1)У(1) - 51Х(1)у(1) - У!(1); ¥ (1) = | [Р1Х(8)У(8) +б1Х(8)у(8)]

1-г

0^1 - 8^8-п¥(1) - Ы1(1)У(1); х (1) = -Р2х(%(1) - 82х(1)У(1) - у2 (1);

У(1) = | (р2Х(8)у(8) + 52Х(8)У(8)]02(1 - 8)

Ь -г

Й8 -У2У№ - ^МуМ; Х(1) = Хо(1),У(1) = Уо(1),х(1) = (11)

= Хо(1),у(1) = Уо(1) 1 е [-г,0].

Функция 0(1,8) характеризует влияние числа встреч инфицированных и восприимчивых к заболеванию людей в момент времени 8 на процесс передачи инфекции в момент времени 1. На данную функцию наложен ряд ограничений, а именно:

0(1,8) = 0 если 8 > 1 10(м)1< С е [0,Т]х[0,Т] -

- ограничена в области определения 0(1,8) - непрерывная функция по всем агрументам.

В работе выбирается функция 0(1,8) следующего вида:

0(1,8) = ае"Р('"8) а > 0;

0(1,8) =

2

п(1+а - 8)2)

0(1,8) =

1

2

(1+г - 8)

Задача оптимального управления состоит в минимизации функционала (5) при ограничениях (3), (4), (11).

Запишем функцию Понтрягина:

щ^Х^у^рахяа), =

-^0[У(1) + У(1) + С^ф + С2и2(1) + Ы1(1)У(1) + и2(1)у(1) + ^(1) + а2У2(1)] --Р1 (1)(р1Х(1)У(1) + 51Х(1)у(1) + У1(1)) -= Р2(1Хр2*Шу(1) + 62Х(1)У(1) + У2(1)) + (12)

1+г

+1 Ч1(8)(Р1Х(1)У(1)+81Х(1)у(1))01(8- 1)а8--Ч1(1)(у1У(1) + и1(1)У(1)) +

1+г

| 42 (8)(Р2Х(1)у(1) + 82Х(1)У(1))02(8 -1)(18 -

-Ч2(1)(У 2у(1) + и2(1)у(1)).

Теорема (необходимые условия оптимальности). Пусть процесс ^=(Х,Х,У,у,и,У) является оптимальным в задаче (3)-(5), (11). Тогда оптимальное управление находится из условий:

0, Ф^) > 0, У,(1) = •Б1, Ф^) < 0,1 = 1,2 п.вЛ е [0,Т] (13) [0,Б|], Ф,(1) = 0.

ЭД=

0, ^а) > 0,

А1, ¥¡(0 < 0,1 = 1,2 п.в. 1 е [0,Т] (14) [0,А1], ВД = 0.

Сопряженные функции описываются системой интегро-дифференциальных уравнений:

1+г

Р 1(1) = (Р1(1) - | 41(8)01(8 - 1)б8)(Р1У + §1у);

1

1+г

Р2(1) = (Р2(1) - | Ч2(8)02(8 - №)(Р2у + 82У);

1+г

41(1) = ^(1+и1)+(Р1(1)- | 41(8)01(8- №)

Р1Х+Ч1(1)(71 + и1) +

1+г

+(Р2 (1) - | 42(8)02(8 - ^^Х;

1+г

42(1) = ^(1 + и2) + (Р1(1) - | Я1(8)01(8-

81Х + 42^X7 2 + и2) + 1+г

+(Р2(1) - | 42(8)02(8 - ^^Х.

На правом конце отрезка интегрирования выполняются условия трансверсальности: Р1(Т) = Р2(Т) = 41(Т) = 42(Т) = 0. Для реализации численных методов используется правило левых прямоугольников для вычисления интеграла и схема Эйлера для аппроксима-

ции производных. Дискретная задача оптимального управления имеет вид:

4-1

1(у,и) = £ [У1 + у1 + С1и1 + С2и'2 + + 1=0

+ и2у1 + dхvi + d2vl2]dt ^ Ш; Х1+1 = Х1 - dt(PiXiYi + 81Х1у1 + у\);

¥1+1 = ¥1 + dt( £ ^Х^1 + 81Х|у| -

1=1-8

- и11¥1);

х1+1 = х1 - dt(P2xiyi +82х1¥1 + у2);1 = 0,я -1 1-1

у1+1 = у1 + d1( £ 1Р2х1у1 +82х1¥1^21"^1 -У2у1 -1=1-8

, - и^у1);

х0 = х0;Х0 = Х0;у0 = у0; ¥0 = ¥01 = -80.

Задача оптимального управления решена методом проекции градиента при следующих параметрах. За единицу времени принят один месяц, за единицу стоимости - стоимость лечения одного

инфицированного больного; е=10"7 (точность вычислений); а=130, ß=0,0001 (коэффициенты функции G(t,s)); T=10 (время распространения заболевания); q=1000 (число точек разбиения отрезка); dj=0,0002 у.е. (стоимость проведения вакцинации в i-й социальной группе); cj=0,001 у.е. (стоимость проведения карантина в i-й социальной группе); i=l,2; y=1 (скорость естественного выздоровления); uj°=0 (доля людей на карантине в начальный момент времени); vj°=0 (интенсивность проведения вакцинации в начальный момент времени); X°=500000 человек в 1-й социальной группе, подверженных заболеванию; x°=250000 человек во 2-й социальной группе, подверженных заболеванию; Y°=37 инфицированных человек в 1-й социальной группе; y°=50 инфицированных человек во 2-й социальной группе; Umaxl=0,8, U„ax2=0,7 (правое ограничение на проведение карантина в обеих группах); Vmaxl=l5000, Vmax2=5000 (правое ограничение на проведение вакцинации в обеих группах); ßi=0,000002; 6i=0,00000l; ß2=0,000002; ö2=0,000002 (частота встреч инфицированных и восприимчивых к заболеванию людей из разных социальных групп).

Результаты расчета выводятся в виде таблицы и графиков.

Список литературы

1. Андреева Е.А. Оптимальное управление динамическими системами. - Тверь: ТвГУ, 1999.

2. Андреева Е.А., Бенке X. Оптимизация управляемых систем. - Тверь: ТвГУ, 1996.

3. Андреева Е.А., Семыкина Н.А. Оптимальное управление. - Тверь: ТвГУ, 2003.

4. Семыкина Н.А. Линейная задача оптимального управления с фазовыми ограничениями // Оптимальное управление динамическими системами: Сб. науч. тр. - Тверь: ТвГУ. - 2001. С. - 72-88.

5. Behncke H. The control of deterministic epidemics// Math. Appl. Sci. 1993. V.3. P. 298-311.

ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИОННАЯ СИСТЕМА ДИАГНОСТИКИ И СТОИМОСТНОЙ ОЦЕНКИ ДРАГОЦЕННЫХ КАМНЕЙ

А.Р. Абу Суек

Изучение свойств драгоценных камней, законов ценообразования и причин изменения спроса на ювелирные изделия, определение их художественной ценности составляет суть геммологического исследования. Конечной целью геммологического исследования является стоимостная оценка

ювелирных камней. Под стоимостной оценкой здесь понимается рыночная оценка ценности конкретных товаров в конкретный момент времени.

Начальным этапом исследования является диагностика ювелирных камней, построенная на формальной классификации минералов. Основная