CC BY
41
УДК 621.396.6
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УЧЁТА ИЗМЕНЕНИЯ МОЩНОСТИ НАГРЕВАТЕЛЯ ДЛЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА ТЕМПЕРАТУРЫ ГИБРИДНО-ПЛЁНОЧНОГО МИКРОТЕРМОСТАТА
В.М. Карабан
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники E-mail: karaban_vm@mail.ru
Выполнено численное моделирование двухмерных нестационарных температурных полей термостатируемой подложки для пропорционального регулятора температуры гибридно-плёночного микротермостата с учётом изменения мощности нагревателя, вызванного нестабильностью питающих напряжений. Использован метод конечных разностей совместно со схемой расщепления по координатам и методом прогонки. Предложена математическая модель определения уровней изменения мощности нагревателя для пропорционального регулятора температуры гибридно-интегральных схем, позволяющая обеспечить устойчивость работы системы автоматического регулирования температуры.
Введение
Система термостатирования, реализованная в виде гибридно-плёночного микротермостата (МТ) с подогревом, выполняет функцию стабилизации температуры термостатируемого объекта (подложки ги-бридно-интегральных схем). Эффективность функционирования МТ и, как следствие, температурная стабильность работы всего радиоэлектронного аппарата, в значительной степени определяется эффективностью функционирования системы автоматического регулирования (САР) температуры подложки и, в частности, выбранным типом регулирования.
В микротермостатах применяется пропорциональное, астатическое, изодромное и пропорционально -интегрально -дифференциальное регулирование. Каждый из указанных типов регулирования имеет определенные особенности и применяется в зависимости от предъявляемых требований к регулированию: устойчивости к дестабилизирующим воздействиям, точности термостатирования, времени выхода на режим и др.
Следует отметить, что усложнение типа регулирования не всегда эффективно. Напротив, при переходе к микротермостатированию, т. е. к уменьшению объёма термостатирования, преимущества более сложных типов регуляторов (к таким можно отнести последние три типа) должны проявляться реже.
При проектировании радиоэлектронной аппаратуры (РЭА) специального назначения в каждом конкретном случае необходимо иметь представление об уровнях изменения дестабилизирующих факторов, при которых обеспечивается устойчивая работа САР, а значит и всего РЭА. Проведение исследований по определению указанных уровней посредством натурного эксперимента представляется затруднительным, т. к. при их реализации требуется изготовление большого количества макетных образцов с учётом зависимости устойчивости от:
• конструктивно-технологических параметров МТ - габаритных размеров и материала подложки, взаимного пространственного размещения нагревателя и датчика, габаритных разме-
ров и мощности нагревателя, материала заполнения камеры МТ и т. д.;
• природы дестабилизирующего воздействия -нестабильности питающих напряжений, изменения температуры внешней среды, сбоев в работе и пр.
Поэтому представляет собой особый интерес применение математического моделирования теплофизических процессов регулирования температуры в рассматриваемых системах МТ.
С учётом вышесказанного, автором рассматривается математическая модель учёта изменения мощности нагревателя, вызванного нестабильностью питающих напряжений, для пропорционального регулятора температуры в системе гибридноплёночного МТ.
Под устойчивостью работы обозначенного регулятора будем понимать сходимость процесса регулирования температуры термостатируемой подложки.
Математическая формулировка задачи
Обобщенная физическая модель исследуемого класса МТ представлена в [1. С. 227]. На рис. 1 приводится геометрия области решения.
Основные допущения, используемые при постановке задачи:
1. Тепловыделениями термостатируемых элементов на подложке по сравнению с мощностью нагревателя можно пренебречь.
2. Подложка представляет собой однородное изотропное тело, теплофизические параметры которого не зависят от координат и температуры.
3. Тепловой контакт на границах между телами (областями) считается идеальным.
4. Сток тепла с верхней и нижней поверхностей термостатируемой подложки во внешнюю среду за счёт радиационного теплообмена (подложка находится в вакууме) учитывается в уравнении теплопроводности дополнительными источниками тепловыделения.
5. Теплообмен с боковых граней учитывается в уравнении теплопроводности за счет увеличения мощности дополнительных источников тепловыделения (см. допущение 4).
Задача в такой постановке сводится к решению двумерного нестационарного нелинейного уравнения теплопроводности термостатируемой подложки (с соответствующими начальными и граничными условиями) совместно с уравнением пропорционального регулятора температуры, модель работы которого представлена на рис. 2, и уравнением изменения мощности нагревательного элемента с течением времени. В граничных условиях учитывается радиационный теплообмен с поверхности подложки по закону Стефана-Больцмана. Сток тепла во внешнюю среду за счёт конвекции отсутствует, это допущение обусловлено расстоянием до поверхности корпуса МТ менее 5 мм.
ЗТ (д2Т д2т) Рн(х,у,ТД)
-к(х,у)
5НА
еПр ^(Г4-С).
Ря(ТД)=Ря
РЛТп)=Ря
при Т
а'/;.
-СГд -Ты),
ст.з.
при Гст < Тд < ТСТМАКС,
Рн СГД ) = 0, при Тд > ГСТ МАКС; Ря(х,у)=Ря(ТдХ прих,у е^и]; ^н<Х>0=о, прих,^г[5н];
■^возм СХ,у)
■^возм (О, при х,у £[5^];
■^возм
(х,у) = 0, прих. У<£\.4и\.
(*)
гревателя; Рвозм - мощность возмущения; АТстз -заданный диапазон температуры статирования; Тд, Тст - температура датчика и температура статирования; Г0 - начальная температура подложки; Ь„ Ьу -размеры подложки по осям хи у, соответственно.
Рис. 1. Гэометрия области решения (вид сверху): 1) нагреватель; 2) датчик температуры; 3) термостатируемая подложка
^[О^макД хе[0;4], уе[0;4]; Т\1=0= Т0(х, у)\ дТ
х = 0,уе[0;1]: -А — = ешо(Г-ГВ4Н);
ох
л т
х = 1х,уе[0-1у\. - А—- = £пр<т(Г4 -ГВ4Н); ох
дТ
у = 0,хе[0;4]: -А — = ешо(Г -ГВ4НХ
ду
дТ
у = 4, X е [0; 4 ]: - А — = епрСТ (Г* - ГВ4Н),
ду
где х, у - пространственные координаты; ср, р, А -удельная теплоёмкость, плотность и коэффициент теплопроводности материала подложки, соответственно; /, /жкс - текущее и максимальное время расчёта, соответственно; - площадь нагревателя; /г - толщина подложки; Т, Тш - температура подложки и внешней среды; ст - постоянная Стефана-Больцмана; еПР - приведенный коэффициент черноты поверхности и внешней среды; к - коэффициент, учитывающий теплообмен с боковых граней; Ри, Ри макс _ текущая и максимальная мощности на-
Рис. 2. Модель работы пропорционального регулятора температуры
С помощью третьего слагаемого в правой части дифференциального уравнения теплопроводности (*) моделируются возникающие в области нагревателя возмущения (РВ03м)> вызванные нестабильностью питающих напряжений; четвёртое слагаемое
- учитывает сток тепловой энергии во внешнюю среду за счёт теплового излучения [2].
Графики функции соответствующих изменений представлены на рис. 3.
Сформулированная таким образом краевая задача решена методом конечных разностей [2-6] с применением схемы расщепления по координатам (локально-одномерной) и метода прогонки, хорошо себя зарекомендовавшим при решении задач теплообмена [2, 5-7]. На каждом шаге по времени строится итерационный процесс для уточнения значений коэффициентов зависящих от решения. В этом случае контролируется устойчивость вычислительного процесса по числу итераций, необходимых для получения требуемой точности [6].
20-
16-
н
И 12-
I 8-
о
О®
1-1
1-2
0 °>4 0.8 1,2 1,6 2,0 о од 08 12 1;б 2,0
?1°3,с МО3, С
Рис. 3. Гоафики функции возмущающего воздействия РЮж=и0 для температуры внешней среды: 223 К (1~1, 2~1); 323 К (1~2, 2~2); Рвозм=0,1-Рн.уст
МО3, С
МО3, С
МО3, с
МО3, с
Рис. 4. Изменение мощности нагревателя при величине возмущающего воздействия 0, ?■ Рн уст для значений температуры внешней среды: 223 К (М, 2~1); 323 К (1~2, 2~2)
Обсуждение результатов
Адекватность реализованной математической модели и метода решения проверена тестовым экспериментом [8]. Получено хорошее (в пределах погрешности метода измерения и погрешности, заложенных в математическую модель эмпирических формул) согласование с экспериментальными данными, что может свидетельствовать о достоверности результатов численного моделирования температурных полей в таких конструкциях.
Основные численные результаты работы (рис. 4, 5) приведены при следующих значениях исходных данных и параметров:
• габаритные размеры термостатируемой подложки: 12x16x1 мм;
• материал подложки - керамика марки ВК-94 [10]: ^,=1888 ДжДкгК), р=3800 кг/м3, А=13,4 Вт/(м-К);
• нагреватель: размерами 5х5 х 1 мм и мощностью
- 0,5 Вт:
НО3, С
МО3, С б
Рис. 5. Изменение температуры подложки при различной величине возмущающего воздействия для значений температуры внешней среды: а) 223 К; б) 323 К
• диапазон изменения температуры внешней среды лежит в пределах 223...323 К;
• температура статирования - 333 К;
• величина возмущающего воздействия - в пределах 0,1...15,7 от мощности нагревателя в установившемся режиме (Рйусг);
• датчик температуры имеет размеры: 1x1x1 мм (см. рис. 1);
• приведенный коэффициент черноты поверхности и окружающей среды - 0,8;
• точность вычислений составляет 0,1 К;
• заданный диапазон температуры статирования
- 0,7 К.
Выбранное значение Д Гстз лежит на границе устойчивости регулирования температуры термо-статируемой подложки.
Анализ полученных результатов (рис. 4, 5) показал, что при единичном изменении мощности нагревателя величиной 0,ГРнуст (рис. 5, кривая 2), вызванном нестабильностью питающих напряжений, система пропорционального регулирования температуры подложки является устойчивой. Скачок величины мощности возмущения:
2.
в положительную сторону более чем на величину Рнуст (рис. 5, кривая 1);
в отрицательную сторону на величину 1,5-РаУст (рис. 5, а, кривая 3), и 16,0-Рнуст (рис. 5, б, кривая 3), приведёт к тому, что система не выйдет на режим термостатирования.
Выводы
Выполнено численное моделирование двухмерных нестационарных температурных полей тер-мостатируемой подложки с учётом изменения мощности нагревателя, вызванного нестабильностью питающих напряжений, для пропорционального регулятора температуры гибрид-но-плёночного микротермостата.
Предложена математическая модель определения уровней изменения мощности нагревателя для пропорционального регулятора температуры гибридно-интегральных схем, позволяющая обеспечить устойчивость работы системы автоматического регулирования температуры.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Алексеев В.П. Системное проектирование термоустойчивых радиотехнических устройств и систем. - Томск: Изд-во ИОА СО РАН, 2004.- 316 с.
Алексеев В.П., Кузнецов Г.В., Шлома С.В. Прогностическое моделирование надежности элементов радиоаппаратуры // Труды III Росс, национальной конф. по теплообмену. В 8 томах. Т. 7. Теплопроводность, теплоизоляция. - М.: Изд-во МЭИ, 2002. - С. 33-36.
Самарский А.А. Вычислительная теплопередача. - М.: Едито-риалУРСС, 2003.-784 с.
Самарский A.A., Тихонов А.Н. Уравнения математической физики. - М.: Изд-во МГУ, 2004. - 798 с.
Chapra S.C., Canale R.P. Numerical Methods for Engineers: With Programming and Software Applications - 3“1 ed. - USA: WCB/McGraw-Hill, 1998. - 916 p.
6. Дорохов A.P., Заворин A.C., Казанов A.M., Логинов B.C. Моделирование тепловыделяющих систем. - Томск: Изд-во НТЛ, 2000. - 233 с.
7. Берковский Б.М., Ноготов Е.Ф. Разностные методы исследования задач теплообмена. - Минск: Наука и техника, 1976. - 154 с.
8. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов JI.A. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. - М.: Наука, 1984. - 288 с.
9. Карабан В.М. Моделирование нестационарных температурных полей подложки гибридных толстоплёночных ИМС // Научная сессия ТУСУР-2006: Тезисы Всеросс. научно-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых учёных. - Томск, 2006. - С. 179-182.
10. Гольдин В.В., Журавский В.Г., Коваленок В.И. и др. Исследование тепловых характеристик РЭС методами математического моделирования / Под ред. A.B. Сарафанова. - М.: Радио и связь, 2003. - 456 с.
Поступила 24.09.2007 г.
