CC BY
13ВЕСТН. САМАР. ГОС. ТЕХН. УН-ТА. СЕР. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2016. № 2 (50)
УДК 621.3.078
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЦИФРОВОГО СЛЕДЯЩЕГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА С АСИНХРОННЫМ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫМ ДВИГАТЕЛЕМ
А.В. Стариков, Д.Н. Джабасова, Д.Ю. Рокало
Самарский государственный технический университет Россия, 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244
Рассмотрен цифровой следящий электропривод с асинхронным исполнительным двигателем, структурное построение которого отличается от традиционных систем подчиненного регулирования. Приведена структурная схема электропривода при переходе к дискретным передаточным функциям. Определены передаточные функции цифровых регуляторов с учетом предполагаемого алгоритма их работы. Получены передаточные функции асинхронного электродвигателя совместно с силовым преобразователем и экстраполятором нулевого порядка. Найдена дискретная передаточная функция замкнутого следящего электропривода для случая, когда в контуре тока применен пропорционально-интегральный регулятор.
Ключевые слова: следящий электропривод, асинхронный электродвигатель, дискретная передаточная функция, экстраполятор нулевого порядка.
Перспективным направлением в разработке быстродействующих следящих электроприводов с асинхронными исполнительными двигателями является поиск новых способов их структурного построения. При этом необходимо помнить, что техническая реализация всех современных электроприводов осуществляется на базе специализированных цифровых микроконтроллеров. Поэтому актуальной является разработка математических моделей новых следящих электроприводов, учитывающих цифровой характер передачи управляющих воздействий.
Цель настоящей статьи заключается в создании математической модели цифрового следящего электропривода, использующего отличный от систем подчиненного регулирования принцип построения.
Упрощенная структурная схема аналогового прототипа предлагаемого следящего электропривода с асинхронным исполнительным двигателем приведена на рис. 1. Она предполагает, что в электроприводе применено векторное управление с компенсацией ЭДС вращения [1] и система управления поддерживает потокосцепление ротора постоянным.
Система управления положением исполнительного механизма содержит внутренний контур регулирования составляющей тока I1q статора с регулятором WRT(p). Контур тока замкнут с помощью соответствующего датчика (преобразователя координат) с коэффициентом передачи £ост. Следящий электропривод имеет также два контура положения. Во внутреннем контуре положения применен пропорционально-дифференциальный регулятор WPD(p), а во внешнем - интегральный WI(p). Обратная связь этих контуров организуется с помощью безынерционного датчика положения с коэффициентом передачи kdp.
Александр Владимирович Стариков (д.т.н., доц.), заведующий кафедрой «Электропривод и промышленная автоматика».
Дарья Назымбековна Джабасова, аспирант. Даниил Юрьевич Рокало, аспирант.
х* (р) —из»
(-)
к
(-)
Щв (р)
*8»кг (р) (-)
к,„
ТрР +1
1
Я (Т1.Р +1)
31 Ьпк.
р О 1Ш
2 JXpг
х( р)
к
йр
Рис. 1. Упрощенная структурная схема аналогового прототипа следящего электропривода с асинхронным исполнительным двигателем
На структурной схеме приняты следующие обозначения: кр и Тр - коэффициент передачи и постоянная времени силового преобразователя (инвертора); Я1е и Т1е - эквивалентные активное сопротивление и электромагнитная постоянная времени цепи статора асинхронного электродвигателя [1]; Ь0 - взаимная индуктивность обмоток статора и ротора; 1!2 - индуктивность обмотки ротора, приведенная к цепи статора; 2р - число пар полюсов двигателя; кш - коэффициент передачи исполнительного механизма; Jpr - приведенный к валу двигателя момент инерции; х - перемещение исполнительного механизма; х* - заданное значение перемещения; р - комплексная переменная.
Следует обратить внимание, что предлагаемый электропривод отличается от известного [2] отсутствием контура регулирования скорости.
Для получения математической модели рассматриваемого следящего электропривода, учитывающей его цифровую техническую реализацию, перейдем к структурному представлению, выраженному через дискретные передаточные функции (рис. 2).
Рис. 2. Упрощенная структурная схема цифрового следящего электропривода с асинхронным исполнительным двигателем
Вид дискретных передаточных функций цифровых регуляторов зависит от алгоритма функционирования. Поэтому предположим, что вычисление интеграла осуществляется по формуле полной суммы, а дифференцирование производится как определение первой обратной разности [3]. Тогда дискретная передаточная функция интегрального регулятора будет выглядеть следующим обра-
Щ (*) = - Т*
Т (* -О
к
рТ
где Т - постоянная времени интегрирования; Т - период дискретизации; г = е
В то же время пропорционально-дифференциальный регулятор будет иметь дискретную передаточную функцию вида
кри (ТРВ + Т)
(г) = ■
г --
Т
Т + Т
Тг
где кРи и ТРи - коэффициент передачи и постоянная времени пропорционально-дифференциального регулятора соответственно.
В системах векторного управления применяют либо пропорционально-интегральный [1], либо пропорциональный регулятор тока [4, 5]. В первом случае дискретная передаточная функция регулятора тока будет равна
{ 1 гп л
( кЯТТЯТ + Т )
ЖКГ (г) = ■
г --
кТ к Т + Т
кКТ1КТ
Тяг ( г - !)
где кРТ и ТРТ - коэффициент передачи и постоянная времени регулятора тока.
В рассматриваемом следящем электроприводе выходной сигнал цифрового регулятора тока поступает на вход силового инвертора, запоминается в нем на период дискретизации Т и преобразуется в систему напряжений, подаваемую на статорные обмотки асинхронного электродвигателя. Следовательно, силовой преобразователь играет также роль экстраполятора нулевого порядка.
Математическая модель объекта управления (силового преобразователя, асинхронного электродвигателя и исполнительного механизма) представлена на структурной схеме в виде двух дискретных передаточных функций Ж01(г) и Ж02(г). Они находятся с учетом экстраполятора нулевого порядка по известным правилам [3]. В частности дискретную передаточную функцию Ж01(г) можно определить по формуле
г) =
^ (г) = кр ( г - 1) ЫКТ (г)
Кг
Z
1
(ТрР + 1)(ТеР + 1) р
(1)
где Z - условное обозначение операции перехода от преобразований Лапласа к 2-преобразованиям; 11д - проекция тока статора, определяющая момент электродвигателя; ЫРТ - выходной сигнал регулятора тока.
Для нахождения Ж01(г) выражение в фигурных скобках формулы (1) необходимо разложить на сумму элементарных дробей:
1
А
■ = —ь-
В
С
(ТрР + 1)(ТеР + 1)Р Р ' (ТрР + 1) + (Т!еР + 1) ' (2)
Неизвестные коэффициенты А, В и С можно определить, приведя правую часть (2) к общему знаменателю и приравняв числитель полученной дроби к 1. В результате получается выражение
(ТЛА + Т1еВ + Т^С) Р2 ++[(Тр + Те) А + В + С ] Р + А = 1. (3)
Из формулы (3) следует, что для обеспечения равенства необходимо выполнение условий: А=1 и
Т^А + Т1еВ + Т^С = 0; Т + Т1е) А + В + С = 0.
Решение системы уравнений (4) позволяет найти коэффициенты В и С:
Т
В _ хр
Т - Т
С _-
Т
1е
Т - Т
Т1е Т р
Подставляя коэффициенты А, В и С формулу (2) и далее в (1) , можно запи-
сать:
Щох( *) =
к (* -1)
Я\е*
7
1
—+ ■
Т2
яр
Т
1е
р ^ + 1 Т1ер + 1
(5)
Пользуясь свойством линейности и таблицами 2-преобразований [3], получим из (5) дискретную передаточную функцию Щ01(г):
2 + Ълл* + Ъ
Що1( *) =
21
(* - )(* - й2 ) '
(6)
к„
где 4 = е ; ^ = е Т1е; Ъи = (1 + Тр - Т1е);
Я
1е
к к Ъц = тр [4+¿2 + Тр (1+) - Т1е (1 - 41)]; Ъ21 = (+ ^ - ^).
Для определения Щ02(г) необходимо прежде всего найти дискретную передаточную функцию Щ0(*), связывающую изображение х(г) с ККТ(*):
кои (* -1)
7
1
ТР + 1)(Т1яр+1) р3
(7)
где
37 к к Ьп
к _ р ¡р ¡т О
Разложим выражение в фигурных скобках (7) на элементарные дроби:
1 А В, С Я К
-__ —- \—- \—- \--1--\--1-
(Трр+1)(Тьр+1)р3 р3 р2 р (Трр+1) (Т1^р+1)'
(8)
Проводя с формулой (8) действия по тому же алгоритму, что и с выражением (2), найдем коэффициенты Аь Вь Сь и К1:
А _ 1; В _-(Тр + Т1е); С1 _Т?р + ТрТе + Т2; д _
Т
хр
Т - Т
31е 3 ¡р
; К _-
гр4
1е . (9)
Т - Т
31е 3 ¡р
Подставляя Аь Вь Сь и К1 в (8) и далее в (7), после несложных алгебраических преобразований получим
Що(*)_
х( *)
Ъ0 *3 + Ъ^2 + Ъ2 * + Ъ3
(*) (* - 1)2 (* - ¿1)(*-¿2 )'
(10)
к.
где Ъ0 _ ■
[ ВТ3 - В3Т3 - 2 Т - Т£) Т+(Т1е - Т^) Т2 ]
¿1 _■
2 (37. - Тхр)
В^Тхе - В5Т; - Вб (Т2 - )т+В7 Т - Тр )Т 2
2 (Те - Тр )
; В2 _ 2 (1 - ¿2) ; В3 _ 2 (1 - ¿1);
; В4 _ 2 (2 + - 242 - 4142);
2
2
г
4
к
В5 = 2(2-2^1 + С2 -йхй2); В6 = 2(1 + + С2); В7 =(+ С2 -1);
2"
К =
ВК - В9ТР - Вю - ТР )Т - Вп Т - Тр )Т
; В8 = 2(1 + 2^1 - С2 - ) ;
2 Т - Т?Р)
В9 = 2 (1 - + 2С2 - 2йхй2); В10 = 2 (йх + й2 + ); В11 = (йх + С2 - ) ;
К =
В12Т13е - ВТ - В14 (Т2 - ТР )Т - В, (Те - ^ )Т
2 (Тк - Тр )
В13 = 2^2 (1 - С ); В14 = 2^; В^ = .
; В12 = 2с1 (1 - с2);
С учетом (10) дискретная передаточная функция Ж02(г) будет равна
г) =
х( г) г)
11, (г) ^(г)
Ь02г + Ь12 г + Ь22 г + Ь32
4 3 2
г + а12 г + а22 г + а32 г + а42
где а12 =
2- Ьи
К
01
л Ь21 - 2К ; а22 = 1 +-21-К
'11 . „ 2К21 К11 . ^ К21
К
; а22 = '
К
; а22 =
К
^01 ^01 "01 После перехода к дискретным передаточным функциям правила преобразования структурных схем цифровых систем управления становятся аналогичными правилам, разработанным для непрерывных систем. Поэтому структурная схема, приведенная на рис. 2, позволяет найти дискретные передаточные функции отдельных замкнутых контуров и следящего электропривода в целом:
^ (г) =
11, ( г)
ЖЯТ (*( г)
Мри (г) 1 + к^Т (*(г) ж = = Жрр (г)Ж, (г)ЖИ( г)
гР1( ) М(г) 1 + к,рШри(г)ЦГЙ(г)ЖИ(г)
2 ( г ) =
х( г) Щ ( г)^ г)
х (г) 1 + к^ (г)Ж2Р1( г)
В случае, когда в контуре тока применен пропорционально-интегральный регулятор, дискретная передаточная функция замкнутого следящего электропривода с асинхронным исполнительным двигателем равна
К 2(г) =
К05 г + К15 г + К25 г + К35 г + К45 г + ¿>55 г + К65 г г8 + а15 г7 + а25 г6 + а35 г5 + а45 г4 + а55 г3 + а65 г2 + а75 г + а85
, (11)
Т
где К05 = к1Ъ04; к1 = —; К15 = к1К14; К25 = к1Ъ24; К35 = к1К34; К45 = к1К44; К55 = к1К54; Т1
К65 = к1К64 ; а15 = а14 - 1 + к1кСрК04 ; а25 = а24 - а14 + к1кс1рЬ14 ; а35 = а34 - а24 + к1кс1рК24 ; а45 = а44 - а34 + к1кс1рК34 ; а55 = а54 - а44 + к1кс1рК44 ; а65 = а64 - а54 + к1кс1рК54 ;
а = а - а + кк к ■ а =-а ■ Ь = к Ь Ь ■ к = кри (Ти +Т) С = Тр° ■
а75 а74 а64 т к1кари64 ; а85 а74 ; К04 _ к/и02и03 ; ~ т и3 ~
Т
Т + Т
Три -I- Т
к
2
к
Ь14 = kf (b12b03 + b02b13 d3b02b03 ) ; Ь24 = kf [b22b03 + b12b13 - d3 (b12b03 + b02b13 )] ; b34 = kf [b32b03 + Ь22Ь13 + Ь12Ь23 — d3 (b22b03 + b12b13 + b02b23 )] ; b64 = —d3b02b03 ;
b44 = kf [b32b13 + Ь22Ь23 - d3 (Ь32Ь03 + Ь22Ь13 + Ь12Ь23 )] ; Ь54 = kf [b32b23 — d3 (Ь32Ь13 + Ь22Ь23 )] ; a14 = a12 + a13 + kf b02b03 ; ö24 = ö22 + + ö23 + kf (b12b03 + b02b13 — d3b02b03 ) ;
+ ^12^23 + kf [b22b03 + b12b13 + b02b23 - d3 (b12b03 + b02b13 )] ; + ^22^23 + kf [b32b03 + b22b13 + b12b23 - d3 (b22b03 + b12b13 + b02b23 )] ; + a32a23 + kf [b32b13 + b22b23 - d3 (b32b03 + b22b13 + b12b23 )] ; : a42a23 + kf [b32b23 — d3 (b32b13 + b22b23 )] ; a74 = ~kfd3b32b23 .
^34 ^32 i a22^13 i ^^ ^
o?44 42 i a3 2 3 i ^^ ^ a^
a54 = a42 a13 i a a
a64 a Aia-i
Ь _ (кКТТКТ + Т) Ь01 ; ь _ (кктТкт + Т) Ь11 ;
+(кКтТКт + Т ) кошЬ01 Ткт + (кятТят + Т) ко.хЬ01
Ь _ (кКТТКТ + Т)Ь21 ; д _ (1 + d1 )ТЙТ ~ (кКТТКТ + Т)ко.А ;
ТЙТ +( кЯТТЯТ + Т ) ко.ХЬ01 ТКТ +( кКТТКТ + Т ) ко.ХЬ01
а _ ^ТЙТ ~(кКТТКТ + Т) ко.^21 ТКТ +(кЯТТЯТ + Т) ко.ХЬ01
Формула (11) получена в предположении, что настройки регулятора тока выбраны из условий технического оптимума и с учетом обеспечения равенства
к Т
кКТ1КТ _ d
k T + T
kRT1 RT 1
Полученные математические выражения позволяют на этапе проектирования найти оптимальное значение периода дискретизации, обеспечивающее максимальное быстродействие, и сформулировать необходимые требования к вычислительному ядру (микроконтроллеру), на котором будет реализован следящий электропривод с асинхронным исполнительным двигателем.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Терехов В.М. Системы управления электроприводов: Учебник для студ. вузов / В.М. Терехов, О.И. Осипов; Под ред. В.М Терехова. - М.: Академик, 2005. - 304 с.
2. Стариков А.В., Джабасова Д.Н. Следящий электропривод с асинхронным исполнительным двигателем // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2014. - № 5. - С. 7275.
3. Микропроцессорные системы автоматического управления / В.А. Бесекерский, Н.Б. Ефимов, С.И. Зиатдинов и др.; Под общ. Ред. В.А. Бесекерского. - Л.: Машиностроение, 1988. - 365 с.
4. Simovert Masterdrives Motion Control: Compendium. - Germany: Siemens AG, 2006. - 1498 p.
5. Simovert Masterdrives Vector Control: Компендиум. - Siemens: издание AG, 2006. - 960 с.
Статья поступила в редакцию 21 марта 2016 г.
MATHEMATICAL MODEL OF THE DIGITAL SERVO DRIVE WITH THE ASYNCHRONOUS EXECUTIVE ENGINE
A. V. Starikov, D.N. Jabasova, D. Yu. Rokalo
Samara State Technical University
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
In the paper the digital servo electric drive with the asynchronous executive engine the structural construction of which differs from traditional systems of the subordinated regulation is considered. The electric drive block diagram in passing to discrete transfer functions is given. Transfer functions of digital regulators taking into account the given algorithm of their work are defined. Transfer functions of the asynchronous electric motor together with the power converter and a zero order hold device are received. Discrete transfer function of the closed servo drive is found when in a current contour the proportional-integrated regulator is applied.
Keywords: servo drive, asynchronous motor, discrete transfer function, zero order hold device.
Alexander V. Starikov (Dr. Sci. (Techn.)), Professor. Darya N. Jabasova, Postgraduate Student. Daniil Yu. Rokalo, Postgraduate Student.
