Сравнительная оценка качества управления асинхронным электроприводом конденсатного насоса с подчиненными и модальными регуляторами Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.318.562.5

Вестник СибГАУ Том 17, № 2. С. 423-430

СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ АСИНХРОННЫМ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ КОНДЕНСАТНОГО НАСОСА С ПОДЧИНЕННЫМИ И МОДАЛЬНЫМИ РЕГУЛЯТОРАМИ

А. Н. Пахомов, М. Ф. Коротков*, А. А. Федоренко

Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 *E-mail: [email protected]

Предмет исследования включает динамические характеристики частотно-регулируемого асинхронного электропривода (АЭП) с модальным управлением.

Тема исследования - получившая наибольшее распространение система «преобразователь частоты (ПЧ) с автономным инвертором напряжения (АНН) с широтно-импульсной модуляцией - асинхронный двигатель (АД)».

Цель работы заключается в исследовании динамических свойств электропривода с модальным управлением, а также в рекомендациях к практическому использованию спроектированных систем управления.

Метод исследования: для решения поставленных задач использовалась современная теория электропривода, теория автоматического управления, непрерывное преобразование Лапласа, метод передаточных функций и пространства состояний, метод стандартных полиномиальных уравнений. Экспериментальные исследования полученных теоретических результатов проведены методом математического моделирования во временной области с применением персональной электронно-вычислительной машины.

В результате представлен анализ работы систем модального и подчиненного управлений асинхронным электродвигателем на примере конденсатного насоса. Дана оценка качества процессов регулирования координат путем анализа результатов имитационного моделирования системы в среде MatLab.

Область применения результатов - системы частотно-регулируемого АЭП с большим количеством контролируемых выходных координат, например, роботизированные агрегаты и устройства, электромеханические системы космических аппаратов и др.

Выполнен сравнительный анализ систем подчиненного и модального управлений. Установлено, что преимуществом применения модальных регуляторов в сравнении с аналогичными регуляторами, построенными на принципах подчиненного управления, является следующее:

а) рассмотренная система частотного управления АЭП с модальным регулятором обладает примерно вдвое большим быстродействием в сравнении с аналогичными системами с подчиненным управлением;

б) модальные регуляторы обладают большей помехоустойчивостью и менее чувствительны к изменениям внутренних параметров электродвигателя в сравнении с регуляторами, построенными по принципу подчиненного регулирования;

в) жесткость механической характеристики замкнутой системы электропривода с модальным управлением значительно выше, чем в системе с подчиненным управлением.

Ключевые слова: модальный регулятор, электропривод переменного тока, векторная система, конденсат-ный насос.

Sibirskii Gosudarstvennyi Aerokosmicheskii Universitet imeni Akademika M. F. Reshetneva. Vestnik Vol. 17, No. 2, P. 423-430

COMPARATIVE EVALUATION OF QUALITY OF CONTROL OF ASYNCHRONOUS ELECTRIC CONDENSATE PUMPS WITH SUBORDINATE AND MODAL CONTROLLERS

A. N. Pakhomov, M. F. Korotkov*, A. A. Fedorenko

Siberian Federal University 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation E-mail: [email protected]

The subject of the study includes dynamic characteristics of variable frequency induction motor with a modal control.

The topic of research that received the greatest distribution system transmitter frequency with independent voltage inverter with pulse-width modulation is an asynchronous motor.

The purpose of the work is to study the dynamic properties of the actuator with a modal control, as well as recommendations for the practical use of engineered control systems.

In our research work we used the following methods. To solve the given problem the modern theory of electric, the theory of automatic control, the continuous Laplace transform, the method of transfer functions and state space by standard polynomial equations were used. Experimental study of the results obtained theoretically was held by mathematical modeling in time field using personal electronic computer.

As a result, the analysis of the work of the modal systems and slave control of asynchronous electric motor as an example of the condensate pump is given. The estimation of the quality control processes of coordinates by analyzing the results of simulation system in the medium MatLab is given.

The results can be applied in the system of variable frequency drive with more controlled output coordinates, for example, robotic machines and devices, electromechanical systems and other space vehicles.

In the work the comparative analysis of systems and subordinate modal control is given. It was found that the benefits of the use of modal regulators compared to the same regulators built on the principle of subsidiarity control, is that:

a) consideration of the frequency control system with induction motormodal regulator has approximately twice the speed compared with those of a subordinate authority;

b) the modal regulators have greater noise immunity and are less sensitive to changes in the internal parameters of the motor, compared with controls built on the principle subordinate regulation;

c) the stiffness of the mechanical characteristics of the drive system with a closed modal control is significantly higher than in the system with the slave control.

Keywords: a modal regulator, the alternating current electric drive, vector system, condensate pump.

Введение. Теория систем векторного подчиненного управления частотно-регулируемого асинхронного электропривода (АЭП) разработана достаточно полно [1-9]. Однако вопросы синтеза модальных регуляторов рассматриваются, как правило, для электроприводов постоянного тока. В связи со сложившейся тенденцией в различных отраслях промышленности, в том числе ракетно-космической отрасли, повсеместного перехода на АЭП, целесообразно рассмотреть применение модального управления для повышения грубости системы электропривода переменного тока к вариациям параметров. В работе проведен сравнительный анализ систем модального и подчиненного управлений асинхронным электроприводом. В литературе [10] отражены результаты экспериментальных исследований, подтверждающие достоверность результатов математического моделирования [11-13] систем подчиненного управления асинхронным электроприводом. Основываясь на этом, при моделировании системы с модальным регулятором в качестве базовой используется модель частотно-управляемого

асинхронного электропривода [8; 9] с подчиненным регулированием переменных, в которой регуляторы подчиненного управления заменены модальным регулятором. Очевидно, что результаты математического моделирования такой системы будут соответствовать результатам физического эксперимента.

В работе проведено исследование переходных процессов в замкнутых системах асинхронного электропривода при подчиненном и модальном управлении. Нагрузку на двигатель формирует конденсатный насос.

Математическое описание объекта управления.

На рис. 1 приведена функциональная схема замкнутой системы асинхронного электропривода конденсатного насоса. Она состоит из блока регуляторов (БР), блока компенсаций (БК), прямого и обратного преобразователя координат (ПКП, ПКО), ПЧ, блока вычисления модуля потокосцепления (МП) [14], электродвигателя и насоса. Назначение и реализация блоков БК, ПКП, ПКО приведены в [8; 9; 15].

Рис. 1. Структурная схема системы электропривода

Преобразователь частоты с автономным инвертором с широтно-импульсной модуляцией формирует не только частоту, но и амплитуду выходного напряжения, влияние звена постоянного тока на динамические свойства системы при синтезе можно не учитывать. Кроме того, частота модуляции современных преобразователей весьма высока, что позволяет пренебречь также его дискретными свойствами. Изложенное позволяет представить в первом приближении преобразователь частоты безынерционным линейным звеном с коэффициентом передачи кп.

Математическая модель АД в форме Коши с учетом общепринятых допущений в декартовой системе координат и—у, вращающейся с произвольной скоростью юк, имеет вид [9; 16]

Ль

Л

<К

Л Л ¥

1 _ .

^^^т 1й т Чи

1 _

Ш ~ тг ^

2и

Т ^Т

'^2у -

к2 Рп

ятэ

к2 Ри

ятэ

2у

-ад

к 1у'

- ;

2и

Лг Л ¥

2у

Лг

= К2кЛи ~ — Ч2и + К - Рпю)^2у; т2

= К2к2Чу - :1 ^2у - к - РПЮ)^2и ;

Лг

23

3Рпк2

23

^ - ^РА . у _ 3Рлк2; у М

Чу* 2и _ т Пи* 2у ТМС,

1

3

электромагнитной связи ротора АД. Выражения для расчета параметров двигателя можно найти в [8; 9].

Синтез регуляторов производится отдельно для двух каналов управления: канала регулирования по-токосцепления ротора АД и канала регулирования скорости АД.

Быстродействующие токовые контуры реализованы во вращающейся синхронно с магнитным полем машины системе координат х—у. Переход от системы координат и—у к системе х-у осуществляется с помощью ПКП и ПКО.

Настройка токовых контуров производится без учета влияния перекрестных связей. Некомпенсируе-мая постоянная времени, определяемая инерционностью и временем чистого запаздывания ПЧ, наличием фильтров в каналах регулирования и дискретностью АПН, принята равной = 3,5 мс.

Настройка каналов регулирования потокосцепле-ния и скорости ротора осуществлена на модульный оптимум и биномиальное разложение соответственно. Согласно [8], при Тц = 3,5 мс время переходного

процесса подсистемы стабилизации ¥2 при наст-

ройке на модульный оптимум равно

ппУ

2 = 4,14гц = 14,49 мс,

(1)

где И1и, И1у, ¡1и, Ьу, ^2и, ^2у — проекции на оси и и у декартовой системы координат результирующих

векторов напряжения статора и1 , тока статора 11, потокосцепления ротора ¥2 соответственно; ю — угловая скорость вращения ротора; юк — скорость вращения системы координат и—у; Мс — момент статического сопротивления на валу двигателя; рп — число пар полюсов; 3 — момент инерции механической части привода; Тэ и Яэ — эквивалентные электромагнитная постоянная времени и активное сопротивление цепи статора АД; Г2 и Я2 — активное сопротивление и электромагнитная постоянная времени цепи ротора АД; к2 — коэффициент

а подсистемы стабилизации скорости при биномиальной настройке:

(2)

гпПю = 4,74ГЦ = 16,59 мс.

Синтез регуляторов. Расчет коэффициентов передаточных функций регуляторов для системы с подчиненным управлением осуществляется по методике, приведенной в [9]. Функциональная схема СУ для системы с подчиненным управлением представлена на рис. 2, где ЖПт(р) — передаточная функция регулятора потокосцепления; Жс(р) — передаточная функция регулятора скорости; иу1х — управляющее воздействие на выходе канала управления потокосцеплением; иу1у — управляющее воздействие на выходе канала управления скорости; 1х — проекция тока статора на ось х; 1у — проекция тока статора на ось у.

Я-пт (Р)

к

д.пг

к

д.с

ТГ?-,(р)

Рис. 2. Функциональная схема СУ системы с подчиненным управлением

Передаточная функция разомкнутого контура тока статора по оси х будет иметь вид

WIx (Р) = WPTx (p)

кп кД.Тх

R (T Р +1)'

где Жртх(р) - передаточная функция регулятора тока; кд.тх = 1 Ом - коэффициент обратной связи по току ¿х.

Так как объект управления представляет собой апериодическое звено, то настройку канала регулирования ¿х на модульный оптимум можно обеспечить, используя пропорционально-интегральный (ПИ) регулятор с передаточной функцией:

W (Р) =

Рр (Тр Р +1)

РрТх _

RX

2Т К кДТх

; ТРТх _ Тэ .

^ (Р) = WPnT (p)-

т2 r2 к2 кд.пт

7 р + 1)(Т^ р+1)кд.Тх

где Жрпт(р) - передаточная функция регулятора пото-косцепления; Тиу = 2 Тц - некомпенсируемая постоянная времени контура потокосцепления ротора; кд.пт = = 1 В/Вб - коэффициент обратной связи по потокос-цеплению ротора.

Для реализации ПИ-регулятора потокосцепления используются следующие параметры:

Рр

кд.тхт2

2АикД.ПТТц¥

грпт _ т2 >

где Ьт - индуктивность намагничивания.

Передаточная функция разомкнутого контура скорости:

3 Рп к2 ^ 2 кд.с

W (Р) = Wpc (Р)

МТм, Р + 1)кД.Ту

где Тт - некомпенсируемая постоянная времени контура регулирования скорости; кд.Ту = 1 Ом - коэффициент обратной связи по току гу; кд.с = 1 В-с/рад -коэффициент обратной связи по скорости.

Для реализации регулятора скорости используется ПИ-регулятор с коэффициентом передачи

Ррпт _'

кД.Ту J

где РР - динамический коэффициент регулятора; хр -постоянная времени интегрирующей части регулятора.

Применительно к контуру тока 1х параметры ПИ регулятора имеют вид

Аналогично выполняется расчет для контура тока по оси у.

Передаточная функция разомкнутого контура потокосцепления:

3 Рп к2 Ч 22Тт кД.С

Определение коэффициентов модального регулятора выполняется методом стандартных уравнений в нормированной форме [8]. Функциональная схема СУ для системы с модальным управлением представлена на рис. 3.

Матрицы динамики и входа разбиты на две пары для синтеза модальных регуляторов по каждому из каналов регулирования [15].

Матрицы канала регулирования потокосцепления ротора равны

( 1

A =

л

B =

21

Т э Т2 R3T3

R2 к2 1 ~ Т2

( кП л

RJ3 о

и матрицы канала регулирования скорости вращения ротора АД:

(

A =

Т

к2 Рп

КэТэ

\

3Рп к2 2 J

(

и B2 =

Л

КэТэ

Рис. 3. Функциональная схема СУ системы с модальным управлением

Методика расчета коэффициентов модального регулятора (Кп; К12) и (К21; К22) для обоих каналов регулирования приведена в [17; 18]. Общий вид вектора коэффициентов модального регулятора для обоих каналов регулирования:

(

' К

12

а22 + С0

\

Ъп

а22 + с1 ' а22 + с0 + а1'.

а21 ■ Ь11

где С0, С1 - коэффициенты типовых нормированных уравнений [8].

Моделирование переходных процессов в среде МЛТЬЛБ. На рис. 4 изображена структурная схема конденсатного насоса.

Статический момент, создаваемый конденсатным насосом, зависит от частоты вращения ротора машины и в общем виде описывается следующим уравнением:

Мс = Мс0 + (Мсн - Мс0 )

( гл \а ю

где Мс0 - момент, обусловленный силами трения в механизме; Мсн - статический момент при номинальной скорости юн; а - коэффициент пропорциональности (в данном случае а = 2).

Перекачивание жидкости конденсатным насосом представляет собой сложный динамический процесс, включающий гидромеханические процессы в насосе и гидродинамические явления в трубопроводе. При рассмотрении его математического описания используются следующие допущения:

- параметры насоса имеют постоянные значения;

- режимы теплообмена - установившиеся;

- насос перекачивает несжимаемую невязкую жидкость;

- течение рабочей жидкости через насос изменяется в соответствии с линейным законом гидродинамики.

При моделировании переходных процессов были выделены два этапа:

- первый этап - формирование заданного

значения 2|;

- второй этап - разгон двигателя с воздействием статической нагрузки.

На рис. 5 представлены графики изменения выходных координат системы электропривода с подчиненным управлением: модуля вектора потокосцепления ротора 2|, скорости вращения ротора ю и электромагнитного момента М совместно со статическим моментом Мс.

На графиках видно, что при выбранном значении некомпенсируемой постоянной времени Тц = 3,5 мс время переходного процесса подсистемы стабилизации 2| равно гпп^2 = 42,2 мс, а подсистемы регулирования ю = 44,1 мс. Отличие длительности переходных процессов в большую сторону в сравнении с заданными настройками объясняется наличием в каждом канале регулирования вложенного токового контура.

Электромагнитный момент двигателя при разгоне до установившейся скорости превышает статический, что обеспечивает требуемый темп разгона электропривода. Угловая скорость привода достигает всего 69 % от заданной. Повышенное значение статической ошибки регулирования скорости электродвигателя характерна для электропривода с «мягкой» механической характеристикой. В случае насосов, имеющих вентиляторную нагрузку, где момент статический представляет собой квадратичную зависимость от угловой скорости привода, незначительное изменение сопротивления транспортируемой жидкости вызовет значительные изменения скорости и повышенную колебательность переходного процесса замкнутой системы.

На рис. 6 представлены графики переходных процессов в замкнутой системе асинхронного электропривода с модальным управлением. Из графиков видно, что время переходного процесса подсистемы ста-

билизации ¥ 2

равно гпп^ = 15,2 мс,

а подсистемы

регулирования ю tnn(й = 16,7 мс, что достаточно близко к заданным настройкам в выражениях (1) и (2). В установившемся режиме работы угловая скорость привода составляет 87 % от заданной, что значительно выше, чем в случае с подчиненным управлением. В канале стабилизации потокосцепления ротора наблюдается меньшее значение перерегулирования.

Согласно теоретическим исследованиям модальный регулятор позволяет построить грубую систему электропривода. Для исследования обоих систем управления на грубость в модели электропривода было увеличено сопротивление ротора двигателя Я2 в двадцать раз.

На рис. 7 представлены результаты моделирования. Слева - переходные процессы системы с подчиненным управлением, справа - с модальными регуляторами. Отчетливо видно, что первая система неустойчива, в то время как вторая остается устойчивой и успешно отрабатывает заданные уставки по обоим каналам, изменение сопротивления привело лишь более длительному и колебательному переходному процессу по потокосцеплению.

мг,

Рис. 4. Структурная схема конденсатного насоса

0.9

«а

4?

ее

«L5

Oí Cl 01

и

120 1М 90

m Л) Л п

¥2|.вб Модуль потокосцепления ротора

i 1 l__II i i i i i i

1

1 /

1 1

-.....!......ti....... .............1.............].............т.............!.............i............

i i /

-^

i i i

О№ С. 08 01 012 014

Частота вращения ротора двигателя

Пш ни, С® ui ыг Ali

Электромагнитный и статический момент

Ü1&

Air

01 012 0.14 0 16

.Во

Рис. 5. Графики переходных процессов Модуль потокосцепления ротора

i i i ! i

■

! f

A

/ í ■ ■ 'ппсо

i i i У : :

Ü1Í

й г.с

i 'ппЧ'л

f 1 ' 0 0.02 tt 04 i i i i i G.0Е O.0B 0.1 0.12 ou 1 0.1 Б » ois 0.2

а.сГ" Частота вращения ротора двигателя

НО 130 1»

90

60

Щ

20

0

1

1200 1000 «в п МО

яв о

1 о Ш ■ 1 Г ■ 1 1 1 <Ш 0 (В (1 ftiï lu i (if ■ »i* g

Л/.Н.м Электромагнитный и статический момент

С t.с

■ i 1 д...................................................................

* \.......!..............;.............:...........¡ .........................

...I......¡.............i..............j.............:..........................

А1с I :..........................i..............í.........................

.........:............, V !

, . 1 >".....

Рис. 6. Графики переходных процессов

Заключение. Сравнивая переходные процессы обоих систем, можно отметить, что в случае с модальным управлением:

- обеспечивается более точное соответствие параметров переходных процессов заданным настройкам;

- достигается большая жесткость механической характеристики замкнутой системы электропривода.

Имитационное моделирование подтвердило, что модальные регуляторы обладают большей помехоустойчивостью и в меньшей степени зависят от изменения внутренних параметров электродвигателя, чем регуляторы, построенные по принципу подчиненного регулирования.

Последнее имеет большую практическую ценность в промышленности. Использование модальных регуляторов частично снимет необходимость подстройки параметров систем регулирования, что связано со старением оборудования, в результате которого параметры объекта управления претерпевают изменения.

При выходе из строя электродвигателя и отсутствии для замены оригинального запасного в системе электропривода с модальным управлением возможно использование электродвигателя с близкими паспортными данными.

Рис. 7. Графики переходных процессов

Библиографические ссылки

1. Duco W. J. Advanced electrical drives. Pulle Springer Science+Business Media B. V., 2011. P. 455.

2. Hughes A. Electric motors and drives. Newnes is an imprint of Elsevier. 2006. P. 410.

3. Ключев В. И. Теория электропривода. М. : Энергоатомиздат, 2001. 704 с.

4. Козлов В. Н., Куприянов В. Е., Шашихин В. Н. Управление энергетическими системами. Теория автоматического управления. СПб. : Изд-во Политехи. ун-та, 2008. 255 c.

5. Усольцев А. А. Векторное управление асинхронными двигателями. СПб. : СПбГУ ИТМО, 2002. 43 с.

6. Основы автоматизированного электропривода / М. Г. Чиликин [и др.]. М. : Энергия, 1974. 568 с.

7. Толочко О. И., Тищенко А. А. Система модального управления приводом постоянного тока с узлом токоограничения. Донецк, 1999. № 4. С. 42-45.

8. Терехов В. М., Осипов О. И. Системы управления электроприводов. М. : Академия, 2005. 304 с.

9. Соколовский Г. Г. Электроприводы переменного тока с частотным регулированием. М. : Академия, 2006. 272 с.

10. Белов М. П., Новиков В. А., Рассудов Л. Н. Автоматизированный электропривод типовых производственных механизмов и технологических комплексов. М. : Академия, 2004. 576 с.

11. Герман-Галкин С. Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем в MatLab 6.0. СПб. : Корона принт, 2001. 320 с.

12. Герман-Галкин С. Г. Силовая электроника: лабораторные работы на ПК. СПб. : Учитель и ученик : Корона принт, 2002. 304 с.

13. Герман-Галкин С. Г. Электрические машины: лабораторные работы на ПК. СПб. : Корона принт, 2003. 256 с.

14. Коротков, М. Ф., Пахомов А. Н., Федорен-ко А. А. Модальное управление асинхронным электроприводом // Известия Томского политехнического университета. Техника и технологии в энергетике. 2014. Т. 324, № 4. С. 69-75.

15. Коротков, М. Ф., Пахомов А. Н., Федорен-ко А. А. Модальное управление электроприводом переменного тока // Вестник СибГАУ. 2011. № 3(36). С. 70-74.

16. Карагодин М. С., Федоренко А. А. Уравнения динамики частотно-управляемых электроприводов. Красноярск : КрПИ, 1985. 92 с.

17. Коротков, М. Ф., Пахомов А. Н. Методика проектирования модального регулятора векторной системы асинхронного электропривода // Современные техника и технологии : сб. тр. XVII Междунар. науч.-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск, 2011. Т. 1. С. 484-485 с.

18. Коротков, М. Ф., Пахомов А. Н., Федоренко А. А. Астатическая система асинхронного электропривода с модальным управлением // Изв. вузов. Электромеханика. 2011. № 5. С. 50-54.

References

1. Duco W. J. Advanced electrical drives. Pulle Springer Science+Business Media B.V. 2011. P. 455.

2. Hughes A. Electric motors and drives. Newnes is an imprint of Elsevier 2006. P. 410.

3. Klyuchev, V. I. Teoriya elektroprivoda. [Theory of electric drive]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 2001. 704 p.

4. Kozlov V. N., Kupriyanov V. E., Shashikhin V. N. Upravlenie energeticheskimi sistemami. Teoriya avtoma-ticheskogo upravleniya. [Power system management. Automatic control theory]. St. Petersburg, Politekhniches-kogo universiteta Publ., 2008, 255 p.

5. Usol'tsev A. A. Vektornoe upravlenie asinkhron-nymi dvigatelyami. [Vector control AC motors]. St. Petersburg, SPbGU ITMO Publ., 2002, 43 p.

6. Chilikin M. G., Sokolov V. M., Terekhov A. V. Osnovy avtomatizirovannogo elektroprivoda. [Fundamentals of the automated electric drive]. Moscow, Energiya Publ., 1974, 568 p.

7. Tolochko O. I., Tishchenko A. A. [System of modal control DC drives with the node current limit]. Trudy DonGTU. 1999, No. 4, P. 42-45 (In Russ.).

8. Terekhov V. M., Osipov O. I. Sistemy upravleniya elektroprivodov. [Control systems of electric drives]. Moscow, Izdatel'skii tsentr "Akademiya" Publ., 2005, 304 p.

9. Sokolovskii G. G. Elektroprivody peremennogo toka s chastotnym regulirovaniem. [AC drives with frequency regulation]. Moscow, Izdatel'skii tsentr "Akademiya" Publ., 2006, 272 p.

10. Belov M. P. Avtomatizirovannyi elektroprivod tipovykh proizvodstvennykh mekhanizmov i tekhnologi-cheskikh kompleksov. [Automatic electric model of industrial machinery and technological complexes]. Moscow, Izdatel'skii tsentr "Akademiya" Publ., 2004, 576 p.

11. German-Galkin S. G. Komp'yuternoe modeliro-vanie poluprovodnikovykh sistem v MatLab 6.0. [Computer simulation of semiconductor systems in MatLab 6.0]. St. Petersburg, Korona print Publ., 2001, 320 p.

12. German-Galkin S. G. Silovaya elektronika: Laboratornye raboty na PK. [Power Electronics: Laboratory work on the PC]. St. Petersburg, Uchitel' i uchenik, Korona print Publ., 2002, 304 p.

13. German-Galkin S. G. Elektricheskie mashiny: Laboratornye raboty na PK. [Electric machines: Laboratory work on the PC]. St. Petersburg Korona print Publ., 2003, 256 p.

14. Korotkov M. F., Pakhomov A. N., Fedorenko A. A. [Modal control of asynchronous electric drives]. Izvestiya Tomskogo politekhnicheskogo universiteta. Tekhnika i tekhnologii v energetike. 2014, Vol. 324, No. 4, P. 69-75 (In Russ.).

15. Korotkov M. F., Pakhomov A. N., Fedorenko A. A. [Modal management of the alternating current electric drive]. Vestnik SibGAU. 2011, No. 3 (36), P. 70-74 (In Russ.).

16. Karagodin M. S., Fedorenko A. A. Uravneniya dinamiki chastotno-upravlyaemykh elektroprivodov. [The equations of the dynamics of the frequency-controlled electric drives]. Krasnoyarsk, KrPI Publ., 1985, 92 p.

17. Korotkov M. F., Pakhomov A. N. [Design methodologies modal controller three-phase asynchronous electric drive]. Sovremennye tekhnika i tekhnologii: sbornik trudov XVII Mezhdunarodnoi nauchno-prakti-cheskoi konferentsii studentov, aspirantov i molodykh uchenykh. [Modern equipment and technology: Proceedings of the XVII International scientific and practical conference of students, graduate students and young scientists]. 2011, Vol. 1, P. 484-485 (In Russ.).

18. Korotkov M. F., Pakhomov A. N., Fedorenko A. A. [Astatic system of the asynchronous electric drive with modal control]. Izv. vuzov. Elektromekhanika. 2011, No. 5, P. 50-54 (In Russ.).

© Пахомов A. H., Коротков M. Ф., Федоренко A. A., 2016