CC BY
22УДК 621-52
М. С. Лысое''
Самарский государственный технический университет,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЦИФРОВОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПОВОРОТНЫМ СТОЛОМ
Рассмотрена структурная схема следящего электропривода прецизионного поворотного стала с учетом процесса квантования по времени. Определена дискретная передаточная функция непрерывного объекта управления с учетом экстраполятора нулевого порядка. Найдены передаточные функции цифровых регуляторов. Получены дискретные передаточные функции замкнутых контуров тока, скорости и положения.
Ключевые слова: поворотный стол, следящий электропривод, квантование по времени, дискретная передаточная функция, экстраполятор нулевого порядка.
Подавляющее большинство современных позиционно-следящих электроприводов, применяемых в прецизионном станкостроении, выполнено средствами цифровой микропроцессорной техники. Электропривод «БШОУЕЯТ МАЗТЕКОМУЕЗ МС», использующийся в поворотном столе модели СК36-1202, также является микропроцессорным, причем все сигналы управления формируются в цифровом виде вплоть до выдачи воздействий на транзисторы силового преобразователя. Очевидно, что в цифровом электроприводе будут наблюдаться процессы квантования по времени и по уровню. Явлением квантования по уровню в электроприводе «ЭШОУЕЯТ МАЗТЕИХЖГУЕЗ МС» можно пренебречь, поскольку в нем практически все промежуточные величины вычисляются в 32-разрядной двоичной сетке, и цена одной дискреты относительно максимальной величины операнда очень мала [1].
Влияние квантования по времени на работу цифровой системы управления можно учесть с помощью математического аппарата г-преобразований, который базируется на дискретном преобразовании Лапласа для решетчатой функции.
При переходе к г-преобразованиям и дискретным передаточным функциям структурная схема цифрового следящего электропривода принимает вид, приведенный на рис. 1.
Непрерывный объект управления (силовой преобразователь и синхронный электродвигатель с редуктором) с учетом экстраполятора нулевого порядка представлен двумя дискретными передаточными функциями 1У01 (г) и РГ02 (г). Следует отметить, что функцию экстраполятора нулевого порядка в рассматриваемом электроприводе * выполняет непосредственно силовой преобразователь. Цифровое управляющее устройство представлено дискретными передаточными функциями регуляторов тока Wjyj.Cz), скорости и положения \¥РП(г), сравнивающими устройствами, пе-
редаточными функциями цифровых апериодических фильтров \Уф(1) и ЦГфс(г)7 а
также дифференцирующим звеном 1¥дз (г), преобразующим сигнал датчика положения в цифровой код, пропорциональный скорости вращения. Датчики обратных связей по току и положению являются безынерционными звеньями с коэффициен-
1 Лысое Михаил Сергеевич, аспирант.
тами передачи кост и кдп соответственно. На структурной схеме также учтено, что исполнительный механизм можно представить в динамике абсолютно жестким звеном с коэффициентом передачи ким = -.
I
ДО
І
(-)
ГМ**
і
(-)
Ф
Ж0І(2
І ♦■
пост
X
дп
Рис. 1. Структурная схема цифрового следящего электропривода с учетом дискретных
передаточных функций
Первая передаточная функция 1У01(г) связывает между собой изображение 1]ч{г) составляющей тока статора синхронного электродвигателя с изображением NРТ (г) выходного сигнала регулятора тока. Дискретная передаточная функция W02 (г) определяет взаимосвязь между углом поворота вала двигателя (р^г) и током 11ч(г).
Процедуру определения дискретных передаточных функции И^іО) и і¥02(г) выполним в несколько этапов.
М*>
Вначале найдем непосредственно передаточную функцию І¥0І (г) -
МРГ(г)
, за-
Фл,(г)
тем определим общую передаточную функции объекта управления (г) - —— с
учетом экстраполятора нулевого порядка. Дискретная передаточная функция \¥02 (г) может быть найдена как отношение W(j (г) к 1¥0] (г).
Из структурной схемы (см. рис. 1) следует:
^01^) =
21кГ„ 2-І
ПРТ 00 тх2пц/в г
р2 +
2 Л,
р +1
(1)
™\їпЧ>\мЧ>в ' щ2„1//ш^вТи
где 2 - условное обозначение операции перехода к г-изображениям; г = ерТ; р -комплексная переменная; Т - период дискретизации, характеризующий процесс квантования по времени; тх - число фаз статора синхронного электродвигателя; 2„
- число пар полюсов; 3 — приведенный к валу электродвигателя момент инерции;
Цїв — потокосцепление возбуждения от постоянных магнитов ротора; Тп = —; и
к\
~ индуктивность и активное сопротивление обмотки статора; ц/ио — проекция потокосцепления статора на ось й? ортогональной системы координат сї-д, вращающейся вместе с ротором; ксп - коэффициент передачи силового преобразователя. Учтем, что
1 1 ЫЦ , , 2Лх _ , ~Тгр2 ~
_____р + 1 Тя‘р*+2?кР + 1
т\2*Ч'шЧ'а щ2,ФтЧ',Т\\
представляет собой колебательное звено, причем Тк -,'
Ти V 2т\2»¥шЧ/4
Из таблиц 2-преобразований [1] следует, что выражение (1) можно записать в виде
и/ М2) Кп¥ы О {2-\)йШ1рГ ^
NРТ (г) Ьф г -2^(1 соэДГ + <1
где Л = е~аТ> а = ^г, .
* К
Обращаясь к структурной схеме цифрового электропривода (см. рис. 1), несложно заметить, что общая дискретная передаточная функция объекта управления с учетом экстраполятора нулевого порядка
Ш0(г) = г! 1 } . (3)
Хрт(г) Уш г \рФ1р + 2£7> + 1),
Для определения /-преобразования разложим в (3) выражение в фигурных скобках на сумму элементарных дробей:
1 А В Ср + О
р2{Т?Р2+2£ГкР + \) рг р Т2 р + 2^Ткр +1 где А = 1, В = -2?ГК, С = 2£Г>, П = Т2(Ц2-\).
С помощью таблиц г-преобразований найдем передаточную функцию (3)
1Г (г) = ^(г) = *" ст2+Ьг + с
0 N„{1) уЫо{2-\Хг2-2г<}ьо%рГ + с1гУ
Х-2Е2
где а = 7-2^7;(1-(1соърГ)--------^-с/ятуЗГ;
Ь = 2
%ТК( 1 - (Iі) + 1 (і эт рТ - Та соб рт
с = Тс12 +2%ГК{<12 -</соз£Г)-—^-«/ип/ЭГ.
Найдем дискретную передаточную функцию №02 (г) = как результат де-
М7)
ления (4) на (2):
9>л(г) Іх{5 аг2 + йг + е
^и(г) = -
Л,<г> Кь (г-1)2</8т£Г
В состав цифрового управляющего устройства электропривода поворотного стола входят, прежде всего, регуляторы тока, скорости и положения. Дискретная передаточная функция пропорционально-интегрального регулятора тока при вычислении интеграла как полной суммы
{к і*-! Тру- + 7)
2 -кв
т РТ
ЦГрт(2) = — Гт
2-1
где кРТ — коэффициент передачи пропорциональной составляющей регулятора тока; Трт — постоянная времени интегральной составляющей регулятора тока.
Дискретная передаточная функция пропорционально-интегрального регулятора тока при вычислении интеграла как полной суммы
(крСТрС + Т) _
у, 2 Кгс
УрсЮ^-------- ^
г-1
где крс ~ коэффициент передачи пропорциональной составляющей регулятора скорости; ТРС - постоянная времени интегральной составляющей регулятора скорости.
Передаточная функция регулятора положения представляет собой пропорциональное звено с коэффициентом передачи
УУрп (2) = крп ■
При синтезе цифровых регуляторов методом непрерывного (аналогового) прототипа [1] параметры регуляторов будут иметь следующие значения:
, ________А____. ~ КжКкт_
РТ ~ 2Т к к ’ РТ ~ Л ’
/л\КспКост Л1
где - малая постоянная времени объекта управления контура тока, например, половина периода дискретизации;
и т ^щ2пц/нкдпкЖ1Т1г
Я-' “ / I г ’ К ~ л ’
где Т", = Гц] + 7^; Тф. - постоянная времени апериодического фильтра в цепи обратной связи по скорости;
£
К _ осс
К РГ7
™ «ГМ2
В состав цифрового управляющего устройства электропривода поворотного стола входят также цифровые апериодические фильтры в цепях задания и обратной связи по скорости с дискретными передаточными функциями:
1Гф(1) = —^(2)= 2
г-сі* г~<1фс
Т £_
где с!ф=е Тф ; <Зфс =е 1фс.
Тф - 47^2 •
Скорость вращения вала электродвигателя вычисляется дифференцирующим звеном на выходе датчика угла поворота
КдАг)=косЛ*~1\
12
где коп. - коэффициент передачи обратной связи по скорости.
Переход к дискретным передаточным функциям и структурному представлению в виде рис. 1 позволяет найти передаточные функции как отдельных контуров управления, так и всего замкнутого по угловому перемещению цифрового электропривода поворотного стола.
В соответствии со структурной схемой (рис. 2) дискретная передаточная функция замкнутого контура тока
IV (-)- ^(г) 00^01 (*) Ьй22 + ь,
™ N„{2) 1 + к'КЯШгГ(1уГ01(г) ^+а,22+а2’ ^
где а, ^-(2^05/77--^^.^° кгттп +Т с1з]п/л-у
Ь\Р тРТ И *
= с12 _косткспкРТ^0 а^прг кР
ь<> ^ ^ - изображе-
Ь}р 1рТ Ь\Р
ние задающего сигнала на входе контура тока.
Р и с. 2. Структурная схема для расчета дискретной передаточной функции замкнутого контура тока
Структурная схема для определения передаточной функции замкнутого по скорости электропривода приведена на рис. 3. В соответствии с ней получена передаточная функция, связывающая изображение выходной координаты с изображением сигнала задания контуру скорости;
^ } М„(ж) 1 + клрфе(гуГ»(*УГК(*У1Гш(*У1ГМ _
(6) _ £мг6 + б, ^ + Ь22г4 + Ъгъ2ъ + Ь^22 +
(г - 1)(г6 + аиг5 + а21г4 + а33г3 + аиг2 + аьъг + а66) ’ где Лц =Л[] 1 —<Яф1 0-11 ~атп ~ а\и^ф', й3 з = йззз ~&т&ф\ а4А = а444 — а333 ’
------►
Яф{2)
-И^
і
(-)
1¥02(г)
<Р<*(ї) -*■
&фс(2)
~~г~
1ГМ
'~дп
Р и с. 3. Структурная схема для расчета дискретной передаточной функции замкнутого контура скорости
а55 — а555 ~~ аШ^ф = а'
66 - ^555^!
аш — (2 + <^фс ах к]к2аЬ0');
а222 = 1 + (2 - а, )(1фс + а2- 2ах + кхк2 (ЬЬ0 + аЬх)~ к2крс аЬ0;
«зэз = -[о + а2 -2а,)е^с + 2аг -а,-кхк2(сЬй + ЬЬх) + кгкРС(ЬЬй+аЪ^-,
аА« =(2а2 -а, )<іфС + аг + кхк2сЬ{ -к2кРС(сЬ0 +ЪЬ{)\ а555 = ~[а2^фс + к2кРссЬ][,
^оо = кйкхаЬ$ ; £], = ка [/г, (ЬЬ0 + аЬ] — аЬ0с1фС) — кРСаЬ0];
Ъ12 = к0 [і] (сЬ0 + ЬЬ, - ЬЬ^фс - аЪх6фс) - кРС (ЬЬ0 + аЬх - аЬ0с!фс)];
*зз = ко & - (сЬ0 + ЪЬХ )(іфс \ - кРС [сЬй + ЬЬХ - (ЬЬВ + аЬ} )сіфс ]};
*44 = к{\к рсісЬ^сІфс + ЬЬ^фс — сЬх) — к^сЬ^сІф^’,
*55 — к<)крСсЬ]£Іфс;
к0 =■
кР
кргТпг + Т
. У _ "‘РС^РС ^ * , Ь. —1-1, »1 — , К2 — Л0А(
- к
О^осс дн '
(^о^іп рГ ірс
Для того чтобы получить передаточную функцию, связывающую скорость вала двигателя с задающим сигналом на входе контура скорости, необходимо 2 — 1
выражение (6) умножить на------. В результате получим:
1ГХ(?) =
0)^(2) Ь0025 + ЬпгА +Ь221Ъ + ЬЪ322 + й44 г + Ь55
(7)
2 +аиг +а12г + а33г +а^г +а55г + а66
Структурная схема, приведенная на рис. 4, позволяет найти передаточную функцию всего замкнутого по положению цифрового электропривода поворотного стола.
Р и с. 4. Структурная схема для расчета дискретной передаточной функции замкнутого контура положения
В соответствии с этой структурой
т (-Л W (VW (-7Л
z1 + (а,, + kpnkj}m -1У + (а,г + , - аи )z5 + (<г33 + кгпк(1пЬ22 - а22)г4 +
+ (а^ + kp/jk^b^ - ai3)z3 + (aiS + ктклЬ" - а4Л)г2 + («66 + кгпк^Ьъъ - a}i)z - аы
Дискретные передаточные функции (5), (7) и (8) позволяют анализировать динамические свойства как отдельных контуров, так и всего цифрового следящего привода поворотного стола. В связи со сложностью дискретных передаточных функций целесообразно применить компьютерное моделирование с привлечением программных сред «МаШСАБ» и «МАТЪАВ». Моделирование на компьютере и экспериментальные исследования поворотного стола модели СК36-1202 показывают хорошую сходимость результатов, что говорит об адекватности подученной дискретной математической модели. С целью повышения статической точности поворотного стола его оснащают дополнительным датчиком поворота планшайбы. Полученная модель легко адаптируется и для этого случая.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Микропроцессорные системы автоматического управления / В.А. Бесекерский, Н.Б, Ефимов, С.И.
Зиатдинов и др.; Под общ. ред. В.А. Бесекерского. - Л.: Машиностроение, 1988. - 365 с.
UDC 621-52
DISCREET MATHE.VIATIC MODEL OF DIGITAL SYSTEM CONTROLLING TURN-OVER TABLE
M.S. Lysov1
Samara Stale Technical University,
244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100.
The structural scheme of servo drive ofprecise turn-over table with time quantization was researched Pulse transfer-function co-efficient of non-interruptible object of control regarding the extrapolator of zero order was defined. Transmitting exsecants of digital regulators were found. Discreet transmitting exsecants of close circuit of current, speed and position were gained.
Key words: turn-over table, servo drive, time quantization, discreet transmitting exsecant, extrapoiator of zero order.
1 Mihail S. Lysov, Postgraduate student.
Статья поступила в редакцию 11 февраля 2009 г.
