CC BY
18
УДК 536.2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО НУЛЬ-ТЕРМОСТАТА
© 2008 г. Т.А. Исмаилов, О.В. Евдулов, Г.И. Аминов, А.А. Губа
In the present article subjects of thermoelectric zero- thermostat development intended for heat setting of thermocouples reference junction, used in research tasks of thermal fields are considered. Embodiment of device is proposed, mathematical model describing heat exchange processes is developed, and thermoelectric module's calculation and choice are accomplished.
Важным элементом любой системы измерения температуры является температурный преобразователь - датчик, параметры и схема включения которого во многом определяют точность всей системы. Из датчиков температуры на практике чаще всего применяются дифференциальные термопары, позволяющие обеспечить высокую точность проводимых измерений [1]. К их недостаткам относится необходимость в термостабилизации опорных спаев при определенном значении температуры (чаще всего при 0 °С).
Эта необходимость определяет большой интерес к проектированию приборов и комплексов, позволяющих поддерживать температуру помещенных в них объектов на определенном уровне с высокой точностью, для чего авторами была спроектирована система термостатирования опорных спаев дифференциальных термопар - термоэлектрический нуль-термостат. Он отличается простотой, надежностью функционирования, высокой точностью стабилизации температуры, улучшенными массогабаритными показателями.
Структурная схема термоэлектрического нуль-термостата приведена на рис. 1.
Система состоит из внешней цилиндрической камеры 1, выполненной из материала с высокой теплопроводностью, к верхнему основанию которой с внутренней стороны горячим спаем присоединен термоэлектрический модуль 2. Холодный спай модуля 2 находится в тепловом контакте с внутренней цилиндрической камерой 3, боковая стенка которой эластична. Внутри камеры 3 находится рабочее вещество (дистиллированная вода) 4, в рабочем состоянии разделенное границей раздела фаз 5 на твердую и жидкую фазы, где в жидкой фазе свободно плавает кольцеобразный поплавок 6, изготовленный из материала, не смачиваемого жидкостью. В центре поплавка расположен опорный спай дифференциальной термопары 7, температура которого подлежит стабилизации. Выводы опорного спая термопары 7 через уплотнение 8 выведены из системы.
Крепление опорного спая термопары 7 в центре поплавка 6 осуществляется посредством двух тонких капроновых ниток 9, закрепленных своими концами на самом поплавке и пересекающихся в его центре (рис. 2).
Принцип работы данной системы основан на неизменности температуры на границе раздела жидкой и твердой фазы вещества при его плавлении. В указанном конструктивном решении использование кольцеобразного поплавка с закрепленным на нем опорным спаем дифференциальной термопары позволяет фиксировать последний в течение всего времени
проплавления вещества (льда) в зоне фазового перехода (на границе раздела твердой и жидкой фазы).
При этом температура опорного спая дифференциальной термопары остается неизменной и равной температуре фазового перехода (лед-вода - О °С).
8 \
Рис. 1. Структурная схема термоэлектрического нуль-термостата
Рис. 2. Опорный слой дифференциальной термопары
Для исследования процессов теплообмена в рассматриваемой конструкции необходимо рассмотреть задачу Стефана о сопряжении температурных полей в соприкасающихся фазах при наличии особого граничного условия на движущейся поверхности раздела. Это условие характеризуется равенством температур в соприкасающихся фазах и неравенством тепловых потоков слева и справа от границы раздела, связанных с тепловым эффектом фазового превращения. Вследствие специфики конструкторского исполнения системы термостатирования (использование вещества
5
4
7
малой плотности, осуществление подвода тепла к объему с веществом снизу, а отвода тепла сверху) в жидкой фазе вещества (в воде) возникает развитая естественная конвекция, которая в значительной степени влияет на процесс теплообмена. Наличие конвективных токов тепла в фазовых превращениях на границе раздела твердой - жидкой фаз в ограниченном объеме значительно усложняет физическую картину процесса теплообмена и приводит к необходимости корректировки классической постановки задачи Стефана.
Учитывая результаты работы [2] и приняв коэффициенты теплоотдачи со стороны оболочки внутренней цилиндрической камеры и поверхности раздела фаз постоянными до конца процесса, можно приближенно сформулировать математическую постановку задачи в следующем виде (расчетная схема процесса представлена на рис. 3):
Об2
tttttttttttf
об 1
^ТЭБг
Рис. 3. Расчетная схема процесса
dr =?™+ ~Ttäl j atä ^ ~°tä 1
n\P\^~r = alä VM1 -°\j-aed \ёд dr
dl2 , d2T2 „
dr dx
W-- =Тёд '
dT2
dx
= 0 •
, dT2 rP2~r = h—r~
(1) (2)
(3)
(4)
(5)
(6)
, , +»16 (1 - дед
dт с!х х=с
Здесь а^ акр - коэффициенты теплоотдачи от оболочки внутренней цилиндрической камеры к жидкости и от поверхности раздела фаз к жидкости; Т1 - средняя температура жидкой фазы; (с,р,д)об - теплоемкость, плотность и толщина оболочки внутренней цилиндрической камеры; т - время; кср - коэффициент теплоотдачи в окружающую среду; Тоб1 - среднемассовая температура оболочки 1 внутренней цилиндрической камеры; Тср - температура окружающей среды; ЧтэБг - удельное количество тепла (приведенное к единице площади), выделяемого в единицу времени на горячем спае термоэлектрического модуля; с, р„ Si -теплоемкость, плотность и теплопроводность жидкой (воды) и твердой (льда) фазы рабочего вещества, где индекс 1 соответствует жидкой фазе, а индекс 2 - твердой фазе; г - теплота плавления рабочего вещества;
Ткр - температура плавления (кристаллизации) рабочего вещества; Я - толщина слоя рабочего вещества; £ - граница раздела фаз.
Предполагается, что температура на границе раздела соответствует устойчивому сосуществованию твердой и жидкой фаз; интервал температур плавления (затвердевания) мал по сравнению с соответствующими температурами плавления (затвердевания), которые принимаются постоянными в течение всего процесса; площадь основания внутренней цилиндрической камеры значительно больше ее высоты; термоэлектрический модуль устанавливается на плоской поверхности, причем поглощаемая и выделяемая мощность термоэлектрического модуля равномерно распределена по поверхности контакта с оболочкой внутренней цилиндрической камеры.
Решение системы дифференциальных уравнений (1) - (6) точным образом затруднительно. Более приемлемым является использование приближенных методов расчета.
Одним из весьма эффективных методов расчета подобных задач является приближенный метод Л.С. Лей-бензона, имеющий широкое применение в инженерной практике и неоднократно подтвержденный экспериментально [3]. Этот метод решения заключается в том, что функции Т](х,т), Т2(х,т) подбираются таким образом, чтобы они удовлетворяли начальным и граничным условиям. Подобранные функции подставляются в условие сопряжения на границе раздела фаз, полученное дифференциальное уравнение решается относительно
Применим указанный метод для решения системы (1) - (6), предварительно учитывая следующее. При подводе тепла к оболочке внутренней цилиндрической камеры, соприкасающейся с веществом, после достижения определенной толщины расплава возникают конвективные потоки тепла, обусловленные наличием гравитационных сил и градиента плотности жидкости по толщине. До того момента конвекция в жидкой фазе отсутствует или достаточно слаба, поэтому по толщине ее слоя существует поле температур. После достижения определенной толщины слоя расплава начинается интенсивное перемешивание горячих и холодных слоев, и полем температур по жидкой фазе можно пренебречь. В большинстве случаев процессы конвекции в жидкой фазе возникают по истечении достаточно небольшого промежутка времени, поэтому можно ввести понятие средней температуры жидкой фазы Т}, остающейся постоянной на протяжении всего процесса плавления рабочего вещества. Для твердой же фазы рабочего вещества Т2 можно представить в виде
Т2 ~ ТдгАх + <Т«3 ~ ОдгАвА
(7)
где ТТЭБх - температура при х=Я, численно равная температуре холодного спая термоэлектрического модуля; п - параметр, определяемый экспериментально [4]. Условие постоянства температуры верхнего основания внутренней цилиндрической камеры и равенства ее значения температуре холодного спая термоэлектрического модуля справедливо в связи с малой теплоемкостью оболочки внутренней цилиндри-
Т
2
x
0
x=R
ческой камеры, малым значением коэффициента теплопроводности рабочего вещества и высокой интенсивностью теплообмена с холодным спаем термоэлектрического модуля.
В соответствии с [3], проинтегрируем уравнение (3) по х и, воспользовавшись соотношением (6) и условием (5), исключим из уравнения потоки тепла на границе раздела фаз:
" (8)
Л ^ А >
сгРг J —г"х = аёд\\~°ёд > ГР2 — • : Л ат
кёд
А > Щ i
Тёд >
V И + 1
С\Р\Ъ-у- = аш $ÖYÄa-Ö\ Э" «ёд - А > dT
(iPdjti —ГГ" = IÖiÄa+кпд Qnd -ÖöYÄäj~ aiä ~OfjYÄä
d Г
• (9)
4ÖYA3+ knPnö + °ёд
Tiä 1 - "
^u'i ^ ёд ^tä ^ аёд
(10)
кпд '
~аёд
, Jlö -ÖfJYÄö= n +1 dr
'аёд
aiä + knö
1iÖY4a+ kfidöfid 3~аёд0ёд
--T
ед
«и + «ёд
aiä + knö
(11)
В результате решения уравнения (11) получим следующее алгебраическое соотношение для определения толщины расплава при наличии конвективных потоков в жидкой фазе:
- аёд
Принимая в рассматриваемом интервале времени показатель степени п постоянным, после подстановки соотношения для Т2 в интегральное уравнение (8) и интегрирования полученного выражения получим следующую систему дифференциальных уравнений, описывающую теплообмен в комплексе для термоста-тирования опорного спая дифференциальной термопары:
(ПС2Р2 л ) d¿l д >
кпд
' qÖYÄä+ кпд0пд^аёд0ёд
-~TS,
ёд
ata +аёд '
- (12)
ч + кпд /
Результаты численного эксперимента по предложенной модели приведены на рис. 4 - 6.
ОВЗб-
Решение системы уравнений (9) численным образом позволит определить графические зависимости изменения температуры в твердой и жидкой фазе рабочего вещества, координаты границы раздела твердой и жидкой фазы во времени, а также длительность полного проплавлении рабочего вещества при различных параметрах термоэлектрического модуля и окружающей среды. Полученная информация позволит судить о продолжительности стабильной работы дифференциальной термопары с опорным спаем, размещенным в рассматриваемой системе термостатиро-вания, эффективности использования того или иного типа термоэлектрического модуля при меняющихся условиях окружающей среды.
Выражение (9) может быть существенно упрощено, если учесть, что после определенной толщины расплава, равной ¿0=0,003 - 0,005 м, температура Тоб1 быстро стабилизируется и остается постоянной до тех пор, пока не расплавится все вещество. Эта особенность (после достижения толщины ¿0) позволяет считать процесс теплообмена горячего спая термоэлектрического модуля с жидкой фазой рабочего вещества стационарным.
В этом случае, основываясь на выражении (9), можно записать
0D09-
.V -••
/ /
У
' / /
/
-у-
qx3Br=4000 Вт
qr^Br=3000 В' /
У
У
т
збг=2000 Вт
/
/
/
/
X, мин
Рис. 4. Зависимость координаты границы раздела фаз от времени
Рассмотрены зависимости координаты границы раздела фаз от времени при различных удельных мощностях на горячем спае термоэлектрического модуля (рис. 4), длительности полного проплавления рабочего вещества от удельной мощности на горячем спае термоэлектрического модуля при различной толщине рабочего вещества (рис. 5), длительности полного про-плавления рабочего вещества от температуры окружающей среды при различной толщине рабочего вещества (рис. 6). Расчеты произведены при следующих исходных данных: Тгр 273 К; г=335-103 Дж/кг; с, с, 4200 Дж/(кг-К); р, р2 1000 кг/м3; /1=0,615 Вт/(м-К); /7=1; ао6=500 Вт/(К-м2); 0^=500 Вт/(К-м2), #0=0,003 м; г0=0,3 мин; ТТЭБх=26Ъ К; кср=30 Вт/(К-м2). Для графиков, изображенных на рис. 4 - 5, значение Тср=293 К, а для графиков, приведенных на рис. 6, значение дТЭБ г = 2000 Вт/м2
Расчетные зависимости определяют, что длительность полного проплавления рабочего вещества, соответствующая длительности стабильной работы дифференциальной термопары, лежит в необходимых
о
2
=1000 Вт
2
2
пределах при использовании незначительного количества рабочего агента (согласно расчетным графикам его значение лежит в пределах 30-120 мин при толщине рабочего вещества 0,025-0,04 м). Данное обстоятельство указывает на возможность проектирования малогабаритной термостатирующей системы, в
которой в качестве рабочего может быть использован термоэлектрический модуль стандартного типа.
На рис. 7 в качестве примера приведены данные о термоэлектрическом модуле ТВ-63-1.0-2.0, производимом инженерно-производственной фирмой КРИОТЕРМ (г. Санкт-Петербург), который может быть использован в рассмотренной термостатирующей системе [5].
, мин
т, мин
10
88
66
44
22
\ \ \ \
\ \ \ ч \
\ .=0,04 м ч V, ч
К 0,03 м 0,025 м
120
102
84
66
48
qТЭБг, Вт
* 's _
К=0,04 м
"V 3 м
К=0,02 5 м
2 м Т
Тсо, К
2000 3000 4000 5000 6000 7000
283 291 299 307 315 323
Рис. 5. Зависимость длительности полного проплавления рабочего вещества от удельной мощности
Рис. 6. Зависимость длительности полного проплавления от температуры окружающей среды
На рис. 7 представлены зависимости температуры горячего спая термоэлектрического модуля ТТЭБг от теплопроизводительности QТЭБг; а также холодопроиз-водительности ОТЭБх,. теплопроизводительности ОТЭБг и холодильного коэффициента е от величины электрического тока питания I при фиксированном значении температуры холодного спая (ТТЭБх=263 К) и потребляемой электрической мощности (^=10 Вт). Основываясь на указанных данных, можно сделать вывод о минимальных значениях энергопотребления термоста-тирующей системы и вполне приемлемых величинах тока питания, не превышающих в данном случае 2 А. В заключение необходимо отметить непосредственную зависимость длительности стабильной работы диффе-
ренциальной термопары, для статирования температуры опорного спая которой используется рассмотренная система термостатирования, от температуры окружающей среды и условий теплообмена с ней. Из приведенных данных на рис. 6 длительность поддержания температуры опорного спая дифференциальной термопары при 273 К монотонно убывает при увеличении температуры окружающей среды. Поэтому при разработке системы термостатирования опорного спая дифференциальной термопары необходимо предварительно оговаривать температурный диапазон ее работы. При этом расчет параметров системы тер-мостатирования должен осуществляться для наиболее критического значения температуры окружающей среды и соответствующих условий теплообмена.
1,95
I, A
1,90
I, A
Рис. 7. Данные о термоэлектрическом модуле ТВ-63-1.0-2.0 Литература
3.
4.
2.
Анатычук Л.И. Термоэлементы и термоэлектрические устройства. Киев, 1979. Волков В.Н., Рыбакова Г.И., Смирнова Г.М. // Исследования по теплопроводности. Минск, 1967.
Лыков А.В. Теория теплопроводности. М., 1967. Алексеев В.А. Охлаждение радиоэлектронной аппаратуры с использованием плавящихся веществ. М., 1975. http://www.kryotherm. spb.ru.
Дагестанский государственный технический университет, г. Махачкала
25 мая 2007 г.
