МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СЛУЧАЙНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ТОКОВ ДУГОВОЙ СТАЛЕПЛАВИЛЬНОЙ ПЕЧИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Энергетика. Автоматика

УДК 669.187.2

Козлов Александр Николаевич

Амурский государственный университет, г. Благовещенск, Россия E-mail: kozlov 1951@yandex.ru Козлова Татьяна Сергеевна ПАО «Дальневосточная энергетическая компания», г. Благовещенск, Россия E-mail: omed2@amur.dvec.ru Kozlov Alexander Nikolaevich Amur State University, Blagoveshchensk, Russia E-mail: kozlov 1951@yandex.ru Kozlova Tatyana Sergeevna Far Eastern Energy Company PJSC, Blagoveshchensk, Russia E-mail: omed2@amur.dvec.ru

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СЛУЧАЙНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ТОКОВ ДУГОВОЙ СТАЛЕПЛАВИЛЬНОЙ ПЕЧИ

MATHEMATICAL MODEL OF RANDOM COMPONENT OF CURRENTS OF ARC STEEL-MELTING FURNACE

Аннотация. Рассмотрено моделирование случайного стационарного процесса, спектральная плотность которого постоянна на всех частотах (т.н. «белый шум»).

Abstract. The simulation of a random stationary process, the spectral density of which is constant at all frequencies (the so-called "white noise"), is considered.

Ключевые слова: дуговая сталеплавильная печь, генератор псевдослучайных чисел, белый шум. Key words: arc steel furnace, pseudorandom number generator, white noise.

DOI: 10.22250/20730268_2023_101_78

Чтобы получить реализацию какого-либо случайного процесса с заданной спектральной плотностью (или с заданной корреляционной функцией), применяют преобразование сигнала «белый шум» с помощью фильтра, имеющего дробно-рациональную передаточную функцию (спектральная плотность сигнала «белый шум» постоянна для всего интервала угловых частот от нуля до бесконеч-

ности). Зависимость квадрата амплитуды частотной характеристики от частоты у такого фильтра должна быть близка к заданной спектральной плотности [1, 3]. Дробно-рациональное выражение спектральной плотности случайного процесса позволяет дать математическое описание этого процесса в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений и тем самым непосредственно получать временные характеристики. Этот способ в полной мере относится и к моделированию во временной области случайной составляющей токов дуговой сталеплавильной печи.

Моделирование «белого шума». Белым шумом называют случайный стационарный процесс, спектральная плотность которого постоянна на всех частотах [1, 2]. В несовпадающие моменты времени значения такого процесса некоррелированы - как бы ни был мал интервал между этими моментами времени, белый шум за это время может измениться на любую величину. Белый шум является абстракцией и физически существовать не может, так как его дисперсия бесконечно велика (она пропорциональна интегралу с бесконечными пределами от спектральной плотности) [3].

Программы компьютерной математики генерируют сигнал, близкий к дискретному белому шуму, в виде дискретного случайного процесса, отсчеты которого не коррелированы друг с другом [3, 4]. Верхняя граница спектра этого сигнала в отличие от случая аналогового белого шума конечна. Она равна так называемой частоте Найквиста [1]. Круговая частота Найквиста определяется выражением, юN = п/Т, где Т - период дискретизации. Эта частота в два раза меньше круговой частоты дискретизации юД =2п/Т. Дисперсия дискретного белого шума не является бесконечной. Она равна начальному отсчету корреляционной функции, все остальные отсчеты которой для идеального дискретного белого шума равны нулю [3].

Можно создавать численные последовательности (векторы) с равномерным законом распределения случайных величин, а также с нормальным и другими законами распределения, которые получаются из последовательности с равномерным распределением (для получения случайной величины с заданным распределением преобразуют случайную величину с равномерным распределением, используя соответствующее нелинейное преобразование) [3].

Для моделирования случайного процесса удобнее генерировать сигнал с равномерным распределением, так как, во-первых, эту операцию способны выполнять все наиболее распространенные программы компьютерной математики. Во-вторых, гистограммы, соответствующие равномерному распределению, позволяют наглядным образом получить ответы на следующие вопросы: насколько равномерно распределены компоненты вектора при избранном способе его генерации, правильно ли выбраны границы интервала генерации, достаточно ли количество отсчетов, являющихся компонентами вектора? И, в-третьих, распределение, полученное в результате такого моделирования, оказывается достаточно близким к нормальному закону [3].

Программы компьютерной математики имеют генераторы псевдослучайных чисел с равномерным распределением. Генерируемые числа не являются строго случайными, но их количество в повторяющейся последовательности очень велико.

Дисперсия бесконечной последовательности равномерно распределенных в диапазоне от а до Ь чисел (идеального белого шума) определяется выражением [1, 3]:

D

(b - а)2 12

(1)

Так как математическое ожидание случайного процесса равно нулю, то для моделирования этого процесса следует использовать центрированную последовательность (с нулевым значением математического ожидания при бесконечном числе отсчетов и идеальном равномерном распределении). При этом абсолютные значения границ диапазона одинаковы. Программы компьютерной математики

в качестве границ используют целые числа. Примем, что Ь = ыг , а а = — Ыг. Тогда [1, 3]:

2

D =

N

_r

3

(2)

В качестве примера приведем команду генерирования такой последовательности в системе компьютерной математики Maple с применением пакета Statistics

rn := random[discreteuniform[-Nr,Nr]](N), (3)

где N - число членов последовательности (объем выборки); Nr - граница распределения.

О равномерности распределения чисел в генерируемой последовательности можно судить по виду гистограммы. На рис. 1 построены гистограммы относительных частот [3, 5] трех псевдослучайных последовательностей, созданных системой Maple при одинаковом объеме выборки -N=100000 и разных границах равномерного распределения Nr: 10, 100 и 1000.

Следует отметить, что вид гистограмм при одних и тех же значениях Nr и N не одинаков, он зависит от выбора первого числа последовательности. В системе Maple после каждой очистки внутренней памяти создается одно и то же первое число, зависящее от Nr, и одна и та же последовательность. При каждом новом обращении к команде (3), без очистки внутренней памяти, генерируется новая последовательность цифр [3].

о

а

□ оо:

□ оо:

-100 -50 о П 50 100 -1000 -500 О п. 500

б В

Рис. 1. Гистограммы относительных частот псевдослучайных последовательностей с равномерным распределением при одинаковом объеме выборки, N=100000 и границах распределения Ыг:

а - 10; б - 100; в - 1000.

Очевидно, что с увеличением границы Ыг распределение становится более равномерным. Исходя из максимального значения абсолютной величины относительного значения отклонения момента второго порядка от 01мпп [3], можно остановить выбор на Ыг = 1000. Дальнейшее увеличение Ыг не-оправдано. График реализации, соответствующий белому шуму с Ыг = 1000, представлен на рис. 2.

Рис. 2. График реализации белого шума, соответствующий Nr = 1000.

На рис. 3а приведен график корреляционной функции последовательности, полученной с помощью системы Maple при T = 1 / 5 C,Nr = 1000, N = 50000 и Nk = 100, рассчитанной по приведенной ниже формуле (4) [3]:

1 N-k

R(kT) = —— Xr(nT)r((n + k)T), k = 0,1,2...nk,

N k n=1

(4)

где N - число сдвигов по времени. Корреляционная функция Я(КТ), как и исходный цифровой

сигнал г ( пт ), является суммой произведений вида Якд( Т — пТ ).

Для указанного значения периода дискретизации Т частота Найквиста больше верхней границы диапазона случайной составляющей токов дуговой сталеплавильной печи и больше верхней границы диапазона частот соответствующего кажущегося спектра.

4: 3\ 2~ 1

0J

R(kT)

1,43 1,2 1

0,8 0,6: 0,4: 0,2:

l*f+ t1 I n^l 0'

SfmAco)

1111111111111111111111111

0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 к m а б

Рис. 3. Графики корреляционной функции (а) и спектральной плотности (б) псевдослучайной последовательности, полученной с применением системы Maple.

Начальное значение корреляционной функции R = 5,0037, оно всего на 0,07% отличается от начального значения корреляционной функции идеального дискретного белого шума, которое равно 1/Т. Остальные значения корреляционной функции очень малы, они не превосходят 1% от начального значения. Но их отличие от нуля приводит к пульсациям спектральной плотности, полученной по формулам [3]:

Re (kT) = aeR(kT),

(5)

e

Nk

Se (mAœ) = TRe(0) + 2£Re (kT)cos(AœkmT), m = 0...Nm,

e

к=1

Частота этих пульсаций и их размах тем выше, чем больше членов корреляционной функции использовано для расчета. Применяя стандартный прием усечения корреляционной функции [6], можно уменьшить проявление этих пульсаций [3].

На рис. 3б показан график спектральной плотности, полученной при Nm = 100 и

Аю = 0,06 С на основании корреляционной функции, график которой приведен на рис. 1, а при

усечении Nk до 10. Видно, что среднее значение спектральной плотности близко к единице, как у

идеального дискретного белого шума с Я0 = 1 / Т [3].

Таким образом, предложенные рекомендации позволяют получить сигнал, близкий к идеальному дискретному белому шуму со спектральной плотностью, равной единице [3].

1. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов. - СПб.: Питер, 2003. - 604 с.: ил.

2. Теория автоматического управления: В 2-х ч. - Ч. II. Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления / под ред. А.А. Воронова. - М.: Высшая школа, 1986. - 504 с.: ил.

3. Кувшинов, Г.Е., Наумов, Л.А., Чупина, К.В. Системы управления глубиной погружения буксируемых объектов: монография. - Владивосток: Дальнаука, 2005. - 285 с.

4. Дьяконов, В.П. Maple 9,5/10 в математике, физике и образовании. - М.: СОЛОН-Пресс, 2006. - 720 с.

5. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высшая школа, 2003. - 480 с.

6. Ортюзи, Ж. Теория электронных цепей. - Т. II. Синтез.- М.: Мир, 1971. - 548 с.