CC BY
10
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No 3
Научная статья УДК 551.510.5
doi: 10.18522/1026-2237-2022-3 -79-90
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАВНОВЕСИЯ СТОЛБА СЖИМАЕМОЙ АТМОСФЕРЫ. ЧАСТЬ 1: СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
Анатолий Анатольевич Радионов
Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Республика Северная Осетия-Алания, Россия aar200772@mail.ru, ОЯСЮ: 0000-0002-6934-6873
Аннотация. Рассматривается упрощенная аэротермодинамическая модель, описывающая равновесие неограниченного сверху столба сжимаемой атмосферы. В рамках этой модели удается получить аналитические решения уравнений аэродинамики с учетом двух условий равновесия столба атмосферы: первое - это классическое условие гидростатики; второе - отсутствие движения вследствие изменений плотности атмосферы во времени. Для определения аналитического решения выбирались два граничных условия вблизи твердой поверхности: значения температуры и ее градиента. Такой выбор позволяет рассматривать столб без ограничительных условий на верхней границе. Решение для температуры может демонстрировать острый минимум на некоторой высоте, выше которого температура растет с высотой. При этом профиль температуры зависит от высоты почти линейно вблизи поверхности. Обсуждается физическая интерпретация решений с использованием экспериментальных измерений в атмосфере. Аналитическое решение для адиабатической температуры важно для некоторых приложений. Результаты исследования улучшают понимание протекающих в атмосфере процессов и могут использоваться в научных и образовательных целях.
Ключевые слова: математическая модель, столб сжимаемой атмосферы, равновесие столба атмосферы, нелинейные дифференциальные уравнения, климатическая модель
Для цитирования: Радионов А.А. Математическая модель равновесия столба сжимаемой атмосферы. Часть 1: Стационарные решения для температуры // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2022. № 3. С. 79-90.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY4.0).
Original article
MATHEMATICAL MODEL OF EQUILIBRIUM OF THE COLUMN OF COMPRESSIBLE ATMOSPHERE. PART 1: STATIONARY SOLUTION FOR TEMPERATURE
Anatoliy A. Radionoff
Southern Mathematical Institute - the Affiliate of Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia-Alania, Russia aar200772@mail.ru, ORCID: 0000-0002-6934-6873.
© Радионов А.А., 2022
Abstract. An analytical model of mathematical physics, which is implemented for an unbounded column of compressible atmosphere, is discussed. For the column, there are two equilibrium conditions, which are written in the form of a system of aerodynamic equations. The first condition is the classical condition of hydrostatic, which is derived from the equations of motion. The second one is derived from the con tinuity equation and arises due to temporal variations of air density. Two boundary conditions are selected near the solid surface: one is the magnitude of temperature and second condition is the magnitude of its vertical gradient. This allows us to consider the column without any restrictive conditions at some upper boundary. The analytical solution for adiabatic temperature can contain a sharp minimum at some height, above which the temperature rises with altitude. Herewith the temperature profile depends on the altitude linearly near the surface. The physical interpretation of the solutions based on the data of experimental measurements in the Earth's atmosphere is discussed. The analytical solution can be used to describe adiabatic atmospheric column, which is important for some applications. The research results improve understanding of processes in atmosphere and can be usedfor scientific and educational purposes.
Keywords: mathematical model, column of compressible fluid, equilibrium of the fluid column, nonlinear differential equations, climatic model.
For citation: Radionoff A.A. Mathematical Model of Equilibrium of the Column of Compressible Atmosphere. Part 1: Stationary Solution for Temperature. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2022;(3):79-90. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).
Введение
Задача о равновесии столба атмосферы в поле силы тяжести является одной из самых известных в физике атмосферы. Почти все монографии в этой области содержат имеющееся решение этой задачи [1-6]. Математическая модель равновесия столба атмосферы выводится с упрощающим условием - отсутствием скоростей движений в столбе. В этом случае уравнения движения упрощаются до гипсометрического уравнения йр/йг = —рд, которое интегрируется с граничным условием р(г = 0) = рь C учетом уравнения состояния получается барометрическая формула р = рь^хр = РьехР где Р - давление; р - плотность; г - вертикальная координата, отсчитываемая вверх от поверхности; Н = Кав0/д ~ 8,4 км - высота средней атмосферы; в0 - некоторая средняя по столбу температура; Ка - универсальная газовая постоянная атмосферного воздуха; д - ускорение свободного падения, принимаемое константой. Зависимость д и температуры от высоты несложно учесть. Эта формула удовлетворительно описывает распределение давления для интервала высот, представляющих практический интерес.
Заметные отличия от барометрической формулы наблюдаются в атмосфере уже выше 8 км. С увеличением высоты эти отличия возрастают. Недостатки решений гипсометрического уравнения обсуждаются в работах [4-7]. При выяснении причин неудовлетворительности гидростатического приближения на высоте более 8 км отмечается необходимость учета стратификации атмосферы [4, 5]. Анализ процессов выделения тепла на высоте стратосферы можно найти в [3, 6, 8].
Размышления о причинах некорректности решений гипсометрического уравнения для высоты выше 8 км приводят к выводу, что только этого уравнения недостаточно, чтобы действительно не возникало вертикального движения. Это лишь одно из необходимых условий равновесия, которое неявно предполагает, что плотность воздуха не меняется во времени, т.е. атмосфера принимается несжимаемой. При этом очевидно, что необходимым условием равновесного состояния атмосферы является условие, связанное с зависимостью плотности от времени. Действительно, если плотность столба меняется во времени, из уравнения неразрывности можно записать дw/дz ~ др/дЬ, где р - плотность; ш - вертикальная компонента скорости; £ - время. Следовательно, при изменении плотности во времени появляется движение воздуха и равновесие нарушается.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No 3
Изложенные аргументы показывают актуальность развития модельных представлений о столбе атмосферы. В настоящей работе представлена упрощенная математическая модель равновесного состояния столба сжимаемой атмосферы. При дополнительных допущениях удается получить аналитические решения для температуры столба сжимаемой атмосферы без ограничительных условий на верхней границе. Отметим, что использование граничных условий, задаваемых на определенной высоте внутри столба атмосферы, является одним из недостатков современных климатических моделей [8]. В приложениях адиабатические решения представляют самостоятельный интерес и важны как для прикладных задач, так и для фундаментальной науки об атмосфере.
Математическая модель
Введем неподвижную систему прямоугольных координат (х, у, г), начало которой на поверхности Земли. Ось г направим вертикально вверх, х,у - горизонтальные координаты. Уравнение неразрывности имеет вид
д/т + ро = °, (1)
где й = ди/дх + др/ду + дw/дz - дивергенция вектора скорости V = (и,р^); р - плотность; д/дт - оператор Стокса.
Уравнение неразрывности (1) показывает, что изменение во времени плотности элементарного объема воздуха определяется дивергенцией его скорости.
Уравнение сохранения импульса для горизонтальной компоненты скорости и, направленной вдоль оси Ох,
ди др , „ —т , дО ,„ч
р^ = -дтх+рГр+^2и+^Тх, (2)
где р - давление; f - параметр Кориолиса; р1 - турбулентная вязкость воздуха; р2 = ^ + р^^/3, где ^ - вторая вязкость. Для описания турбулентности используется подход Экмана [9]. Обе величины р.1 и р2 считаются далее не зависящими от координат (х, у, г) (в качестве некоторого приближения).
Уравнение сохранения импульса для горизонтальной компоненты скорости р, направленной вдоль оси О у,
ди др^ 2 дх .
рХГт = —ХХу — ^и + р^р + р2д°;. (3)
Уравнение для вертикальной компоненты скорости w
дш др —т дХ ,.ч
рИ^=-дР-рЗ + р1у^ + р2~хх. (4)
Преобразуем уравнения (2)-(4) с целью получения уравнения для дивергенции. Для этого уравнение (2) частно продифференцируем по координате х, (3) - по координате у, (4) - по координате . Полученные уравнения сложим. В результате имеем
ХХ + 1)2 _ 2 д(иу) 2 д(и^) 2 д(У,\У) _ + — I У-1+У-2 /54
дт д(х,у) д(х,г) д(у,г) р р2дг р '
где f принимается константой, ^ = ди/ду — др/дх. Использовано тождество 22
(ди\2 /дя\2 (дш\2 _ ^2 2 Хи др 2 ди дw ^ др дw
\дх) \ду) \дг ) дх ду дх дг ду дг'
Якобианы определены формулами:
д(и,р) _ ди ди диди д(и,ш) _ дидw ди дw д(р,\м) _ др дш др дш д(х,у) дх ду ду дх' д(х,г) дх дг дг дх ' д(у,г) ду дг дг ду'
Уравнение (5) используется в некоторых алгоритмах вычислительной гидродинамики [ 10] для определения поля давления и называется уравнением Пуассона.
При описании равновесия вертикального столба атмосферы считаем, что все искомые величины зависят только от вертикальной координаты и времени. Вблизи равновесия скорости течения пренебрежимо малы, и их можно считать равными нулю. В этом случае уравнение (5) упрощается. Действие оператора Стокса сводится к частному дифференцированию по времени, оператора V - к частному дифференцированию по вертикальной координате. Оператор Лапласа V2 эквивалентен второй частной производной по вертикальной координате, якобианы в (5) равняются нулю, = 0. Уравнение (5) принимает вид
3D I д2 _ 1д2Р I 1 дР дУ dg I ßi+ß2 d2D dt p dz2 p2 dz dz dz p dz2'
С учетом (1) уравнение (6) можно записать в виде
d2p 2 (dp\2 d2p do dg , л d2 (1 dp\
Если плотность представима в виде произведения р(t, z) = F(t)G(z), где F(t) - функция времени; G (z) - функция вертикальной координаты, то вязкие слагаемые в уравнении (7) исчезают. Это проверяется простой подстановкой: р-1 dp/dt = F-1 dF/dt. В результате д(р-1 dp/dt)/dz = 0.В работе рассматривается этот случай.
Для столба атмосферы уравнение сохранения полной энергии е = сув с учетом уравнения неразрывности (1) можно записать в виде [1]
™ = ±.Lд- + -L±(c —)+_Q_ (8)
dt cv p2 dt pcv dz\Q dz) pcv' ( )
где в, cv, Cq, Q - абсолютная температура, теплоемкость, теплопроводность, мощность источников/стоков тепла столба атмосферного воздуха соответственно. Уравнение состояния
Р = Ркав. (9)
Равновесие столба атмосферы полностью описывается системой трех уравнений (7)-(9) с заданными граничными и начальными условиями.
Адиабатические процессы. Уравнение состояния (9) для адиабатических процессов записывается в виде
р = АрУ, (10)
где А - константа; у = 1,4 - показатель адиабаты.
Для адиабатических атмосферных процессов уравнение (7) принимает вид
d2T У 1 idT\2 2(d2T , 1 1 fdT\2\ dT , , „^^dg ,11Ч
dF-^^ =c2(-^ + —11U ) + 9dTz + (y-1)TJg, (11)
где с2 = yRaT - квадрат скорости звука, вычисленный с использованием адиабатической температуры T. Уравнение (11) выражает два условия равновесия столба сжимаемой адиабатической атмосферы.
Граничные условия для уравнения (11) имеют вид
d T
EL(z = 0,t) = Tzb(t) , T(z = 0,t) = Tb(t), (12)
где TZb(t), Tb(t) - известные функции времени. В качестве начального условия примем некоторый профиль Ts(z), известный из данных эксперимента. Уравнение (8) можно переписать в виде
— = —+ -L-d(c из)
dt dt pcv dz\ Q dz) pcv' (
Граничными и начальными условиями для (13) являются соотношения
_(z = 0,t) = ezb(t) , в (z = 0,t) = вь(Ь), в (z, t = 0) = es(z).
Функции ezb(t), eb(t), es(z) определяются из данных наблюдений.
Адиабатическая температура T входит в уравнение (13) для абсолютной температуры в в качестве источника/стока тепла, мощность которого зависит от вертикальной координаты и от времени. Скорость звука, вычисленную с использованием абсолютной температуры, которая соответствует измеренной скорости звука, обозначим Cq = yRae.
Сравнение с данными наблюдений является важной частью любого исследования и позволяет интерпретировать полученные решения. Профили температуры и давления по сезону, географической широте или по всей атмосфере называются стандартными или справочными атмосферами и обсуждаются во множестве монографий [2, 3, 5, 6, 11, 12].
Предварительные оценки. Рассмотрим условия, при которых сжимаемость атмосферного воздуха необходимо учитывать. Запишем уравнение (5) в параметризованном виде. Для этого выделим масштабные множители (для примера дивергенция D = MdD') и обозначим штрихом безразмерные величины; величиной J ' - слагаемые, содержащие якобианы. Введем масштабы: MD -дивергенции; Mu - скорости; Mz - координаты; Mp - плотности; Mt - времени. Из (5) получим MzMBdD' , _ , ' mzm%d'2 = Ми ' с2 fVp'M'p' V'2p'\ ßiC2MD V2D'
MuMt dt' D Mu mJ MzMu ( p'2 p' ) MzMuMp p' .
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No 3
В стационарных случаях при малых скоростях движения левая часть этого уравнения мала, часто пренебрегается и вязкими слагаемыми. При условии Ми ^ с два первых слагаемых в правой части имеют одинаковый масштабный множитель с/Mz. Известно, что при условии Ми ^ с эффекты сжимаемости необходимо учитывать, другими словами, в этом случае важно учитывать левую часть этого уравнения. В случае больших пространственных размеров задачи Mz ^ от правая часть стремится к нулю. Это означает, что эффекты сжимаемости важно учитывать на больших пространственных масштабах. Для атмосферы расстояние, на котором проявляются эффекты сжимаемости, можно оценить из правой части этого уравнения Mz~c0 ^ 12 км.
Стационарные решения для температуры
Профиль адиабатической температуры столба несжимаемой атмосферы выражается из гипсометрического уравнения [4, 5] с учетом (12) в виде
T(z) = Tb + raz, (14)
где уа ~ 0,0098 K/м - сухоадиабатический градиент температуры. Зависимость (14) адекватно описывает наблюдаемые профили температуры от поверхности до высоты порядка 8 км. Выше 8 км выражение (14) занижает наблюдающуюся температуру, а выше 30 км показывает нефизи-чные отрицательные значения.
Решение уравнения (11) для стационарной сжимаемой атмосферы показывает профиль адиабатической температуры при граничных условиях (12). Отметим, что одним из частных решений уравнения (11) является произвольная константа.
Для нахождения аналитического решения примем упрощающие предположения: 1) независимость от высоты ускорения свободного падения: д = const и градиента: dg/dz = gz = const, что ограничивает применимость решения к относительно тонким слоям атмосферы (далее рассматривается атмосфера высотой до 100 км); 2) постоянство скорости звука с2 = справедливость и границы применимости этого приближения обсуждаются ниже. Уравнение (11) принимает вид
4£:+Ф-Ж)г)+д%+<у-1^т=о. (15)
у-17\dz)) dz
Решение уравнения (15)
,д(у-1)+Уд\ h2c4,
„2 }\ Х {-L—f \(у-1)с2,
где S = (у - l)(4ygzCQ + уд2 - д2),
У-1 2У
(16)
у ,- у
С = ту-1 (ЬЪ + еМ+Л) С2 = ТУ-! ГЪ + вЬу-г)-^) (17)
1 Ъ \тъ 2усЦ )' 2 Ъ \ть 2усЦ ) к '
Константы (17) с противоположным знаком также удовлетворяют (15).
Решение (16) положительно и непрерывно для любой высоты и существенно зависит от граничных условий. На некоторой высоте решение (16) может показывать острый минимум, в котором значение температуры близко к нулю. График такого случая приведен на рис. 1 сплошной кривой, которая показывает, что ниже некоторой точки решение убывает с высотой, а выше -возрастает и на больших высотах стремится к постоянному значению. Использовались граничные условия ТгЪ = —0,0098 К/м и ТЪ =297,15К.
Для сравнения на рис. 1 точечной линией показана линейная зависимость (14) с теми же граничными условиями. Из сравнения этих кривых видно, что решение (16) практически совпадает с линейным на высотах ниже 8 км. Выше 8 км расхождение с линейным профилем становится все более заметным. Кружками отмечены значения температуры для справочной атмосферы 30-й широты в июле.
Высота, на которой находится острый минимум температуры, составляет »15 км. Здесь йТ/й? меняет знак с —<х> на и имеет особую точку. На высоте ниже особой точки температура убывает с высотой, а выше особой точки - возрастает (рис. 1).
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No 3
Высота, на которой возникает особенность решения (16), зависит от величины поверхностной температуры Ть. Эта зависимость демонстрируется на рис. 1 пунктирной и штрихпунктирной
линиями. С ростом Ть при Т2ь = уа высота особой точки увеличивается. Пунктирной кривой показано решение (16) при Ть = 307,15 что на 10 К выше приземной температуры справочной атмосферы. С уменьшением Ть при Т2ь= уа высота особой точки уменьшается. Штрихпунктир-ной кривой показано решение (16) при Ть = 287,15 ^ что на 10 К ниже, чем приземная температура справочной атмосферы. Все показанные на рис. 1 кривые приблизительно совпадают на высоте ниже 7 км с линейным профилем (14), построенным с теми же граничными условиями.
Выше 7 км решение (16) показывает более низкие значения, чем (14), а выше 15 км - рост температуры, что не соответствует линейному профилю. Кривые на рис. 1 ограничены высотой 30 км, выше которой (14) показывает отрицательные значения. При неизменном ТгЬ = уа увеличение поверхностной температуры на 27 К (с 273 до 300 К) приводит к увеличению высоты особой точки приблизительно на 1400 м: с 13,8 до 15,2 км.
Отметим, что высота, на которой расположен минимум температуры в измерениях (рис. 1), соответствует высоте, на которой расположен минимум решения (16), при этом величина из (16) ниже температуры экспериментальных значений справочной атмосферы (рис. 1).
Высота, на которой расположена точка особенности решения (16), зависит от приповерхностного градиента температуры ТгЬ, а величина Ть имеет более слабое влияние на решение (16), чем значение градиента.
При неизменной температуре Ть с уменьшением ТгЬ высота особой точки решения (16) понижается. На рис. 2 сплошной кривой приведен профиль температуры, полученный из решения (16)
при Т2ь = уа , такой же, как на рис. 1. Точечной линией показан линейный профиль (14), вычисленный при тех же граничных условиях. Линией с длинным пунктиром - решение (16) с граничным условием Т2ь = -0,012 К/м. Пунктирной кривой - решение (16) для градиента Т2ь = -0,00705 К/м, соответствующего влажно-адиабатическому градиенту, при этом высота особой точки в (16) составляет к 52 км.
При Т2ь = -0,007 К/м изменение температуры поверхности Ть на 27 К приводит к изменению высоты особой точки на к 6 км: с 65,1 до 71,4 км.
При Т2ь = -0,006 К/м (величина среднего многолетнего градиента справочной атмосферы) особая точка решения (16) исчезает, также исчезает и рост температуры выше нее (штрихпунк-тирная кривая, рис. 2). Эта кривая положительна для всех высот, линейно уменьшается с высотой, выше 11 км стремится к постоянной величине к169 К. На рис. 2 кружками приведён профиль температуры справочной атмосферы 30-й широты в июле [12]. Кривые на рис. 2 ограничены высотой 80 км.
Из рис. 2 видно, что увеличение значения приземного градиента приводит не только к уменьшению высоты, на которой возникает особая точка, но также и к увеличению максимальной тем-
Рис. 1. Профили аналитического решения (16) при различных значениях приземной температуры Ть. По оси абсцисс отложена температура,
по оси ординат - высота. Для всех кривых использовалось одно граничное условие Tzb = уа / Fig. 1. Profiles of the analytical solution (16) at different values of the surface temperature Tb. The temperature is deposited along the abscissa axis, and the
height is deposited along the ordinate axis. One boundary condition Tzb = ya was used for all curves
пературы, которой достигает решение выше особой точки. Другими словами, более низкое положение особой точки соответствует большим температурам на высоте более 20 км. Несколько другой вывод можно сделать относительно влияния граничного условия Ть, что видно на кривых, изображенных на рис. 1, где большая температура поверхности приводит к возрастанию высоты особой точки и большим значениям температуры выше особой точки.
Скорость звука с0 является одним из важных параметров аналитического решения, как и температура в0 для гидростатической формулы. На рис. 3 показаны профили (16) до высот 80 км, вычисленные при различных значениях параметра с0. Сплошной кривой показано решение при с0 = (yRaTb)1/2, пунктирной с0 = 1,1(уЯаТь)1/2, пунктир с точкой с0 = 0,9(уЯаТь)1/2, точечной с0 = 0,8(уЯаТь)1/2. Значения, взятые на летней субтропической справочной атмосферы, изображены крупными точками.
Увеличение параметра с0 приводит к более низкой особой точке в решении (16) и более высокой температуре выше особой точки. Уменьшение параметра с0 - к более высокой особой точке в решении (16) и уменьшению роста температуры выше 30 км. При достаточно малом параметре с0 особая точка в решении (16) исчезает.
Минимум температуры (16), появляющийся на графиках рис. 1-3 в виде особой точки решения, и дальнейший рост температуры с высотой можно сопоставить с наблюдающимися в атмосфере явлениями тропопаузы и стратосферного роста температуры. Высота особой точки решения (16) при Tzb = уа близка измеренной высоте тропопаузы [3, 5, 12], при Tzb =-0,00705 К/м -наблюдающейся высоте стратопаузы. Кроме того, решение (16) демонстрирует постоянный градиент вблизи поверхности на высоте ниже 7 км [3, 12]. Высота, на которой начинается рост температуры (Tzb = уа), соответствует высоте ее стратосферного роста.
При малых значениях градиента Tzb или с0 особой точки в решении (16) и стратосферного роста температуры не наблюдается. Такое явление бывает в полярных регионах (слабовыражен-ная тропопауза или ее отсутствие).
Решения при непостоянной скорости звука. Аналитического решения стационарного уравнения (11) при непостоянной скорости звука с найти не удается. Его можно получить при помощи численного интегрирования стационарного уравнения (11), и результат отличается от (16). Использование величины отражает не вполне физическую ситуацию, когда скорость звука определяется адиабатической температурой. Такой случай может реализоваться в природе, если граничные условия (12) не меняются в течение длительного времени.
В процессе численного решения стационарного уравнения (11) возникает расходимость на высоте особой точки. Такая же расходимость наблюдается и для численного решения уравнения (15) с постоянной скоростью звука. Чтобы устранить ее, для алгоритма численного решения используется поведение аналитического решения при с = с0. В этом частном случае численное решение должно совпадать с (16).
Рис. 2. Профили температуры (16) при Ть = 297,15 К и различных значениях Tzb. По оси абсцисс отложена температура, по оси ординат - высота / Fig. 2. Temperature profiles (16) at Ть =297.15 K and various values of Tzb. The temperature is deposited along the abscissa axis, the height is deposited along the ordinate axis
Аналитическое решение (16) в особой точке меняет знак производной по высоте. Это свойство позволяет устранить расходимость в алгоритме численного решения уравнений (11), (15), который модифицируется следующим образом: на той высоте, где температура уменьшается до значения < 0,1 К, меняется знак первой производной температуры на противоположный. Численный расчет с такой модификацией алгоритма решения стационарного уравнения (11), в котором принято с2 = сq, показывает хорошее совпадение численного и аналитического решений (при прочих одинаковых параметрах).
На рис. 4 показаны численные решения стационарного уравнения (11) при Tb = 297,15 К и разных значениях градиента Tzfo, gz = -3,08бх10-6 с-2. Сплошная кривая построена для тех же граничных условий, что и сплошные кривые на рис. 1-3. Из сравнения кривых на этих рисунках видно, что сплошная кривая на рис. 4 гораздо дольше сохраняет линейный профиль с увеличением высоты. Точка особенности располагается выше, на высоте ~ 28 км, против к 15 км для аналитического решения (16). Кроме того, увеличение температуры выше точки особенности заметно слабее, чем для аналитического решения, с высотой мало меняется и составляет к 10 K. Как в численных решениях, так и в аналитическом решении (16) не возникает нефизичных отрицательных температур на больших высотах.
Сверхадиабатическим значениям приземного градиента Tzb = -0,011 К/м соответствует кривая, изображенная на рис. 4 пунктирной линией. Высота точки особенности этой кривой ниже и приблизительно соответствует высоте точки особенности аналитического решения, изображенного сплошной линией на рис. 1-3, хотя приземные градиенты различаются существенно. При этом рост температуры на больших высотах гораздо слабее по сравнению с аналитическим решением (16). Для граничного условия Tzb > -0,0096 К/м точка особенности численного решения уравнения (11) отсутствует. Максимальная высота, на которой может располагаться точка особенности, достигается при Tzb = -0,0097 К/м и составляет к 30 км.
Штрихпунктирная и точечная кривые построены для Tzb = -0,009 К/м и Tzb = -0,00705 К/м соответственно. Похожие кривые, не имеющие точки особенности, получаются для всех значений Tzb > -0,0096 К/м. Для этих кривых отсутствуют особые точки в численном решении, и кривые почти линейно меняются на высотах ниже 15 км, а выше 30 км мало отличаются от постоянного значения. Для сравнения на рис. 4 приведены данные измерений справочной атмосферы 30-й широты в июле [12].
На рис. 5 точками представлены данные о высотах тропопаузы в зависимости от широты для средних многолетних температур справочной летней (июнь-июль-август) атмосферы [12]. Каждая точка рис. 5 определялась по минимальным значениям температуры в столбе.
Сплошной кривой на рис. 5 представлена зависимость высоты особой точки решения (16) в зависимости от температуры поверхности в справочной атмосфере при неизменном Tzb = уа. Влияние изменения параметра с0 показывает точечная кривая, построенная при cQ = 0,91yRaTb и тех же граничных условиях. Такое значение параметра с0 позволяет точнее описать наблюдения.
Рис. 3. Профили решения (16) при разной скорости звука с0. По оси абсцисс отложена температурав Кельвинах, по оси ординат - высота в Ть = 297,15 К, Tzb = -0,0098К/м / Fig. 3. Solution profiles (16) at different sound speeds c0. On the abscissa axis the temperature in Kelvins is deposited, on the ordinate axis - the height in Tb =297.15 K, Tzh = -0.0098 K/m
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No 3
Вблизи экватора и на средних широтах точечная кривая располагается ближе к наблюдаемым высотам тропопаузы.
Летом в южных высоких широтах (ф > 50° ю.ш.), характеризующихся малой солнечной радиацией, высота тропопаузы выше, чем можно ожидать из аналитического решения (16) (рис. 5). В этот сезон долгое время сохраняются низкие температуры поверхности и суточные изменения граничных условий малы. В этих условиях предположение о постоянстве скорости звука может нарушаться. Для таких широт приемлемо решение уравнения (11) с непостоянной скоростью звука. Оно показывает более высокое положение особой точки. Для описания этого случая также можно использовать решение (16) при постоянной скорости звука, но при градиенте Tzb = -0,007 К/м (пунктирная кривая, рис. 2). При таком градиенте решение (16) не содержит особую точку (рис. 2), исчезает и стратосферный рост температуры. Освещенные солнцем точки вблизи полюса (рис. 5) показывают низкие значения тропопаузы при ф > 70° с.ш., которые могут соответствовать решению (16) при сверхадиабатическом градиенте температуры вблизи поверхности.
80
70
60
50
Z, км 40
30
20
10
» •
•
•
• •
• *
• •
_
\ • a
• •
) •
__
— - • è.
S Чч •
>
50 100
150
Т, К
200 250 300
Рис. 4. Численное решение стационарного уравнения (11), Ть = 297,15 К, с2 = YRaT. По оси абсцисс
отложена температура, по оси ординат - высота / Fig. 4. Numerical solution of the stationary equation (11), Ть = 297.15 K, c2=jRaT. The temperature is deposited along the abscissa axis, the height is deposited along the ordinate axis
Z, км
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
Ф
Рис. 5. Зависимость высоты особой точки решения (16) от широты. Широтное изменение высоты тропопаузы летом отмечено кружками. Отрицательные значения на оси абсцисс соответствуют южным, положительные - северным широтам / Fig. 5. The dependence of the height of the singular point of solution (16) on latitude. The latitudinal change in the height of the tropopause in summer is marked by circles. Negative values on the abscissa axis correspond to southern, positive values correspond to northern latitudes
Обсуждение результатов
Из (13) очевидно, что при Cq = 0 и Q = 0 решением уравнения (13) будет простое равенство 6(t,z) = T(t,z). В этом случае абсолютная и адиабатическая температуры совпадают. При малой теплопроводности столб воздуха будет иметь профиль абсолютной температуры, близкий к решению (16), за исключением, вероятно, области высот вблизи особой точки.
Профили, изображенные на рис. 1, 2, дают вклад в решение уравнения (13) и формируют наблюдающийся профиль в, зависящий от того, как долго соответствующие граничные условия существуют. Эти профили (рис. 1 -3) моделируют суточные изменения адиабаты как отклик на изменения граничных условий. При изменении граничных условий величина дТfdt является существенным фактором формирования профиля в, особенно на высоте порядка 14 км и выше, и зависит от точности задания граничных условий.
Решение (16) нелинейного уравнения (15) положительно и непрерывно по высоте. Оно может содержать подвижную особую точку, возникающую на некоторой высоте и зависящую от граничных условий. В такой особой точке не определена производная температуры по высоте, а само решение содержит острый минимум температуры, достигающий нуля. При помощи численного решения стационарного уравнения (11) показано, что учет непостоянства скорости звука изменяет свойства решений, при этом сохраняется возможность возникновения особых точек.
Аналитическое выражение (16) для адиабаты может быть полезно для осмысления причин возникновения некоторых явлений в атмосфере, например тропопаузы и стратопаузы, для оценки мощности источников тепла, действующих на разных высотах. В модели не заданы источники тепла (т.е. Q = 0 в (13)), действующие выше поверхности и связанные с разнообразными процессами, протекающими в атмосфере. Адиабатическое решение (16) является дополнительным источником/стоком тепла в (13), обусловленным сжимаемостью атмосферы.
При сравнении с экспериментальными данными видно, что построенные кривые решения (16) занижают значения температуры, особенно в области острого минимума решения. Прямое сравнение (16) с наблюдениями некорректно, поскольку температура столба в подчиняется уравнению теплопроводности (13), а (16) является только одним из источников/стоков тепла. Также решение (16) зависит от граничных условий (12), которые практически всегда не соответствуют своим многолетним средним. Наблюдаемый профиль температуры в формируется наиболее часто возникающими распределениями (16).
Вблизи поверхности наблюдаются различные градиенты температуры воздуха, но наиболее часто - сухоадиабатический уа или влажноадиабатический yw. Градиент уа участвует в формировании минимума температуры на высоте порядка 15 км, соответствующей тропопаузе (рис. 1, 2), и является стоком тепла на этой высоте. Рост температуры решения (16) на высоте 20-30 км (рис. 1, 2) является источником тепла на высотах стратосферного роста температуры. Уменьшение температуры, наблюдаемое в стратопаузе на высоте порядка 60 км, объясняется стоком тепла (16), соответствующим yw (рис. 2).
Поскольку уравнения (7), (11) описывают процессы, протекающие со скоростью звука, для их получения адиабатическое приближение является приемлемым и работоспособным. Измерения скорости звука на высоте до 100 км показывают, что скорость звука удовлетворяет формуле, характеризующей именно адиабатический процесс. Адиабатическое приближение в атмосфере применимо на временных промежутках порядка трех суток [6]. Определяемые сжимаемостью источники или стоки тепла в уравнении (13) могут формировать сложное распределение температуры по столбу атмосферы быстрее, чем действует теплопроводность. При получении уравнения (13) из (8) также использовалось уравнение адиабаты (10).
Действие множества профилей (16) при интегрировании уравнения (13) можно рассматривать как некоторую предысторию, приводящую к текущему профилю температуры в. Использованное при решении уравнения (11) упрощение с = с0 по крайней мере частично учитывает эту предысторию и ее влияние на наблюдающееся распределение температуры атмосферы по высоте.
Действительно, численное решение уравнения (11), изображенное сплошной кривой на рис. 4, показывает высоту точки минимума заметно выше, чем наблюдаемая высота минимума температуры. Выше точки особенности рост температуры очень мал, что не соответствует наблюдениям. При тех же граничных условиях аналитическое решение (16) с постоянной скоростью звука, изображенное сплошной кривой на рис. 1, точнее показывает высоту точки минимума при сравнении с
измерениями. Следовательно, для вычисления скорости звука лучше использовать константу Ть (или измеренную в(г)), а не адиабатическую температуру Т (кроме высоких широт).
Аналитическое решение (16) с постоянной скоростью звука показывает возникновение минимума на высоте порядка 60 км при yw вблизи поверхности (длинный пунктир на рис. 2). При тех же граничных условиях этот минимум не воспроизводится численным решением уравнения (11).
Кривые, приведенные на рис. 5, показывают, что в средних и умеренных широтах аналитическое решение (16) удовлетворительно воспроизводит высоты тропопаузы. Точность предсказания высоты тропопаузы становится хорошей, если при вычислении скорости звука использовать не поверхностную температуру, а некоторое среднее значение, характеризующее весь столб в целом, на 10 % ниже поверхностной температуры (cq = 0,91yRaTb).
Заключение
В предложенной модели используются два условия для описания равновесия столба сжимаемой атмосферы. Первое следует из уравнений движения, как и в классическом случае гидростатической формулы. Вторым является следующее из уравнения неразрывности условие отсутствия вертикального движения воздуха, возникающего при изменении во времени плотности. Совместный учет двух условий приводит к системе уравнений (7)-(9). При дополнительном предположении о постоянстве скорости звука записывается аналитическое решение (16).
Аналитическая модель столба сжимаемой атмосферы может являться полезным инструментом для оценки профиля адиабаты. В столбе сжимаемой атмосферы изменения адиабаты во времени определяют источники тепла, не связанные с выделением/поглощением тепла какими-либо примесями либо другими физическими процессами. Эта модель полезна также для понимания возможных причин, приводящих к возникновению на некоторых высотах минимумов и максимумов температуры столба атмосферы, что трудно заранее ожидать, основываясь только на известном принципе максимума и минимума для решений уравнения теплопроводности. Аналитическое исследование уравнений аэродинамики улучшает понимание сложных процессов, протекающих в атмосфере, позволяет сузить интервалы параметров, в которых необходимо строить подробное численное решение в тех случаях, когда недостаточно точности аналитического решения.
Список источников
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI: Гидродинамика: учеб. пособие. М.: Наука, 1988. 736 с.
2. Скорер Р. Аэрогидродинамика окружающей среды. М.: Мир, 1980. 551 с.
3. Моханкумар К. Взаимодействие стратосферы и тропосферы. М.: Физматлит, 2011. 452 с.
4. Эккарт К. Гидродинамика океана и атмосферы. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 238 с.
5. Гилл А. Динамика атмосферы и океана: в 2 т. М.: Мир, 1986. Т. 1. 396 с. Т. 2. 415 с.
6. Salby M.L. Fundamentals of Atmospheric Physics. San Diego, United States: Elsevier Science, Academic Press, 1996. 627 p.
7. Berberan-Santos M.N., Bodunov E.N., Pogliani L. On the barometric formula inside the Earth // J. Math. Chem. 2010. Vol. 47. P. 990-1004.
8. Randall D.A., WoodR.A., Bony S., Colman R., Fichefet T., Fyfe J., Kattsov V., Pitman A., Shukla J., Srini-vasan J., Stouffer R.J., Sumi A., Taylor K.E. Climate Models and Their Evaluation // Climate Change 2007: The Physical Science Basis. Contribution of Working Group I to the Fourth Assessment Report of the Intergovernmental Panel on Climate Change. Cambridge; New York: Cambridge University Press, 2007.
9. Ekman V. W. On the influence of the Earth's rotation on ocean currents // Arkiv. Matematik. Astron. Fysik. 1905. Vol. 2. P. 1-53.
10. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.
11. Госсард Э.Э., Хук У.Х. Волны в атмосфере. Инфразвук и гравитационные волны в атмосфере - их возникновение и распространение. М.: Мир, 1978. 532 с.
12. ГОСТ Р 53460-2009. Глобальная справочная атмосфера для высот от 0 до 120 км для аэрокосмической практики. Параметры. М., 2010.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No 3
References
1. Landau L.D., Lifshits E.M. Theoretical physics. Vol. VI: Hydrodynamics: textbook. Moscow: Nauka Publ.; 1988. 736 p. (In Russ.).
2. Skorer R. Aerohydrodynamics of the environment. Moscow: Mir Publ.; 1980. 551 p. (In Russ.).
3. Mohankumar K. Interaction of the stratosphere and troposphere. Moscow: Fizmatlit Publ.; 2011. 452 p. (In Russ.).
4. Eckart K. Hydrodynamics of the ocean and atmosphere. Moscow; Izhevsk: Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika Publ.; 2004. 238 p. (In Russ.).
5. Gill A. Dynamics of the atmosphere and ocean: in 2 vol. Moscow: Mir Publ.; 1986. Vol. 1. 396 p., vol. 2. 415 p. (In Russ.).
6. Salby M.L. Fundamentals of Atmospheric Physics. San Diego, United States: Elsevier Science, Academic Press; 1996. 627 p.
7. Berberan-Santos M. N., Bodunov E. N., Pogliani L. On the barometric formula inside the Earth. J. Math. Chem. 2010;47:990-1004.
8. Randall D.A., Wood R.A., Bony S., Colman R., Fichefet T., Fyfe J., Kattsov V., Pitman A., Shukla J., Srinivasan J., Stouffer R.J., Sumi A., Taylor K.E. Climate Models and Their Evaluation. Climate Change 2007: The Physical Science Basis. Contribution of Working Group I to the Fourth Assessment Report of the Intergovernmental Panel on Climate Change. Cambridge; New York: Cambridge University Press; 2007.
9. Ekman V. W. On the influence of the Earth's rotation on ocean currents. Arkiv. Matematik. Astron. Fysik. 1905;2:1-53.
10. Roach P. Computational fluid dynamics. Moscow: Mir Publ.; 1980. 616 p. (In Russ.).
11. Gossard E.E., Hook W.H. Waves in the atmosphere. Infrasound and gravitational waves in the atmosphere - their occurrence and propagation. Moscow: Mir Publ.; 1978. 532 p. (In Russ.).
12. GOST R 53460-2009. Global reference atmosphere for altitudes from 0 to 120 km for aerospace practice. Parameters. Moscow, 2010. (In Russ.).
Информация об авторе
А.А. Радионов - кандидат технических наук, научный сотрудник, лаборатория математического моделирования.
Information about the author
A.A. Radionoff - Candidate of Science (Technical Science), Researcher, Laboratory of the Mathematical Modeling.
Статья поступила в редакцию 06.05.2022; одобрена после рецензирования 15.06.2022; принята к публикации 30.08.2022. The article was submitted 06.05.2022; approved after reviewing 15.06.2022; accepted for publication 30.08.2022.
