CC BY
1The scientific heritage No 34 (2019) 37
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПОЗНАВАНИЯ ПОЖАРОВ АВИАДВИГАТЕЛЕЙ
Дегтярева А. О.
аспирантка кафедры информационно-аналитической деятельности и информационной
безопасности,
Национального транспортного университета, Киев, Украина MATHEMATICAL MODEL OF AIRCRAFT FIRE RECOGNITION
Degtiarova A. O.
postgraduate student, Department of Information Analysis and Information Security,
National Transport University, Kyiv, Ukraine
Аннотация
В статьи предложена методика выбора и обоснования оптимальной структуры параллельного информационного резервирования с помощью мажоритарной логики. Как правило, устройство с высокими функциональными возможностями имеет сложную техническую конструкцию и, как следствие этого, низкую техническую надежность при высокой его стоимости изготовления и эксплуатации.
Решение такой сложной проблемы может быть достигнуто методом создания параллельных структур информационного резервирования, которые могут состоять из простых по конструкции, технически надежных контролирующих датчиков информации, но имеющих низкие функциональные характеристики, то есть немалые вероятности ложной тревоги и необнаружения. Как показывают расчеты, получаются достаточно эффективные функциональные возможности таких систем параллельного информационного резервирования с мажоритарным принципом принятия решения, в которых решение о наличии контролируемого явления принимается тогда, когда контролирующие датчики информации заявляют о его наличии. При этом вероятности ложной тревоги и необнаружения получаются достаточно низкие и удовлетворяют поставленным требованиям, хотя эти же характеристики для каждого отдельного контролирующего датчика информации могут быть не удовлетворительными.
Abstract
The article proposes a method for selecting and justifying the optimal structure of parallel information redundancy by using majority logic. As a rule, a device with high functionality has a complex technical design and, as a result, low technical reliability at a high cost of its manufacture and operation.
Solving such a complex problem can be achieved by creating parallel information redundancy structures, which may consist of simple in design, technically reliable information sensors, but with low functional characteristics, that is, with considerable probabilities of false alarm and non-detection. As the calculations show, quite effective functional capabilities of such systems of parallel information redundancy with a majority decision-making principle are obtained, in which the decision on the presence of a controlled phenomenon is made when monitoring information sensors declare its presence. At the same time, the probability of false alarm and non-detection is quite low and satisfies the requirements set, although this characteristics for each individual monitoring sensor of information may not be satisfactory.
Ключевые слова: пожар авиадвигателя, достоверность информации, параллельное резервирование, источник информации.
Keywords: aircraft engine fire, accuracy of information, parallel redundancy, source of information.
Введение. Реальные датчики обладают конечной точностью представления, контролируемой ими информации. При этом точность и достоверность информации определяется как конструктивными особенностями, так и технической надежностью датчиков и, как правило, не удовлетворяет или слабо удовлетворяет требованиям на точность и достоверность информации, подаваемой на входы информационно-управляющих систем.
В соответствии с физическим представлении работы источников информации (ИИ), реальный ИИ может находиться в одном из трех несовместных случайных состояний: правильного обнаружения, ложной тревоги и необнаружения, определяемых, соответственно вероятностями й , b и d . Такую систему можно представить с помощью триномиального распределения вероятностей [1,2,3], согласно которому вероятность
p(n — m, m—к, к) того, что из n ИИ к вообще не обнаружит контролируемые явления, m — к ИИ сработают с ложной тревогой, и П — m ИИ подадут правильную информацию о контролируемом явлении. Вероятность p(n — m, m—к, к) описывается следующим выражением:
jj _ n—m n—m.^m—к^m—к1к ....
P(n—mm—к ,к) Cn a Cm b d
причем a + b + d = 1.
Применение приведенных общих теоретических посылок можно показать на конкретных примерах реализации систем распознавания пожаров внутри авиационных двигателей [3,4] .
Пусть система сбора информации состоит из двух ИИ и организована так, что на выходе этой системы появится сигнал тогда, когда сработает хотя бы один из ИИ. Такая система имеет вид, изображенный на рис.1.
Через FQ?n обозначена функция реакции системы из П ИИ на поступающие сигналы х. х> Q - индекс мажоритарности, который показывает
сколько ИИ П голосует "за".
Достоверность информации, получаемой с помощью такой системы, можно также оценить тремя вероятностными характеристиками.
Р
Рис. 1. Система сбора информации при Q = 1
второй не обнаружит необходимую информацию.
включает в себя
а именно,
по1,2
вероятность правильного обнаружения;
■ ве-
Р -вероятность ложной тревоги и Р
роятность необнаружения. Разумеется, здесь и всегда выполняется условие
РпоО.п ^ РлтО.п ^ = 1
Аналогично вероятность 2,
вероятность р(Ь) того, что оба ИИ дадут ложную информацию и вероятность p(bd) того, что один ИИ сработает ложно, а второй вообще не сработает. Наконец, вероятность Р ^ ^ для данной схемы
оценивается вероятностью р(d ) того, что оба ИИ не сработают.
Если все ИИ одинаковы по своим характеристикам, то можно получить следующие зависимости:
ноО.П = 1. Легко показать, определяется следующими
= a2 + 2ab + 2ad;
что вероятность Р
вероятностями: р(д') - вероятность того, что оба ИИ сработают правильно, р(аЪ) - вероятность того, что один ИИ сработает правильно, а второй ИИ даст ложную информацию и p(ad) - вероятность того, что один ИИ сработает правильно, а
Рпо1,2
P vol,2
P лт1,2 = Ь2 + 2bd -
= d2;
(2)
Система сбора информации, состоящая из двух ИИ, может быть организована так, что сигнал на выходе будет только тогда, когда на входе срабатывают оба ИИ. Такая система изображена на рис. 2.
Х\ & F2, 2
Х2
Рис. 2. Система сбора информации при Q = 2
Вероятностные характеристики Рпо2 2' Рно2 2
, Рпт2 2 такой системы, для одинаковых по характеристикам ИИ можно описать следующими выражениями:
P по2,2 = a2 + 2ab; P vo2,2 = d2 + 2ad + 2bd;
P
лт2,2
= b2.
(3)
На основе математической модели формул (2) и (3) можно построить графические зависимости
вероятностных характеристик Рио, Рно, р , которые изображены на рис.3.
Рис. 3. Графические зависимости информационной системи Q = 2
>
>
Рассмотрим теперь систему, состоящую из трех ИИ. Пусть эта информационная система будет организована так, что на ее выходе появится сигнал F1,3, когда на выходе срабатывает хотя бы один ИИ. Такая система изображена на рис.4.
x\ 1 Fi, 3
x2
x3
Рис. 4. Система сбора информации при Q = 1
С учетом изложенного для одинаковых ИИ выражения, определяющие характеристики р ^ $, р
по1, 3' Гно1,3
Р
лт1,3
для системы из трех ИИ (рис.4) будет иметь вид:
Рпо 1,3 = a + 3a2 b + 3ü2 d + 3ab2 + 3ad2 + 6abd;
P,
но1,3
= d3;
P лт 1,3 = b3+3db2+3bd2-
(4)
Пусть информационная система, состоящая из трех ИИ будет выполнена так, что на ее выходе появиться сигнал р 2 3, когда на входе по мажоритарному принципу срабатывает не менее двух ИИ. Такая система изображена на рис.5.
Рис. 5. Система сбора информации при Q = 2
Если в системе (рис.5) все ИИ одинаковы по своим характеристикам, то формулы для определения
вер0ятн0стей Рпо2,3 > Рно2,3
Р
лт2,3
будут иметь вид:
P по2,3 = a3 + 3a2 b + 3a2 d + 3ab2 + 6abd; P,
' но2,3 = d3+3ad2+3bd2;
P лт 2,3 = b3 + 3db2-
(5)
Пусть, система, состоящая из трех ИИ, будет выполнена так, что на ее выходе появиться сигнал р2,з
только тогда, когда на входе срабатывает не менее трех ИИ одновременно. Здесь принцип мажоритарности заключается в единогласии. Такая система изображена на рис.6.
x1 &
x2 F3, 3
x3
Рис. 6. Система сбора информации при Q = 3
Если же в системе (рис.6) применяются одинаковые по своим характеристикам ИИ, то получаются следующие расчетные формулы:
Pnoз,з = a3+3a2 b+3ab2;
Pнoз 3 = d3 + 3ad + 3bdz + 3db + 3az d + 6abd;
(6)
Рлт3.3 = Ь •
На основе математической модели формул (4), (5) и (6) можно построить графические зависимости вероятностных характеристик р , Рно , р , которые изображены на рис.7.
Рис. 7. Графические зависимости информационной системи Q = 3
Рассмотрим теперь информационную систему, состоящую из 4-х датчиков. Пусть эта система будет выполнена так, что на ее выходе появиться сигнал, когда на выходе сработает хотя бы один датчик. Такая система изображена на рис.8.
Xi 1 Fi, 4
Х2
Хз
X4
Рис. 8. Система сбора информации при Q = 1
Вероятностные характеристики Р ^ 4, Рко^ 4, Р4 информационной системы изображены на рис.6., описываются следующими зависимостями:
PnoXA = a4 + 4 a d + 4ad3 + 4 a3 b + + 6 a2 d2 + 6 az bz +12 az bd + + 12a b2 d + 12ab d2;
4
2, 2
(7)
Рно1.4 d ;
Рлт 1.4 = Ь4 + 4 dbъ + 4 bdъ + 6 ь2 d2■
Пусть информационная система из 4-х датчиков будет организована так, что на ее выходе появиться сигнал F2 , когда на входе сработает одновременно по мажоритарному принципу не менее 2-х датчиков. Такая система изображена на рис.9.
Вероятностные характеристики Р ^ 4, Рко2 4' Рлт2 4 информационной системы, изображенной на
рис.7, можно описать следующими формулами:
Pno2,4 = a4 + 4 a3 d + 4 a3 b + 4atf + 6 a2 d2 + 6 az bz +12 az bd + + 12a b2 d + 12ab d2;
^ 2
Pvo2,4 = d4 + 4 bd3 + 4a d3;
лт 2,4
P лтт 2,4 = b + 4 dtf + 6 b'd
Рис. 9. Система сбора информации при Q = 2
Пусть информационная система из 4-х датчиков будет организована так, что на ее выходе появиться сигнал F3,4, когда на входе сработают не менее 3-х датчиков одновременно по мажоритарному принципу. Такая информационная система будет иметь вид, изображенный на рис.10.
*2
x3
&
*1
x2
x4
&
x4
&
1
x2_
*3_
x4
&
F
3, 4
Рис.10. Система сбора информации при Q = 3
информационной системы, изображенной на
Вероятностные характеристики рпо3,4 , рноЗА, рЛт3,4
рис.8, могут быть описаны следующими выражениями:
Pno3,4 = a4 + 4 a3 d + 4 a3 b + 4a b + 6 a2 b2 +12 a2 bd + + 12a b2 d;
?но3,4
Pvo3 4 = d4 + 4bdß + 6b2 d2 + 4a d3 + 6 a2 d2 + 12abd2;
Pлт3,4 = b4 + 4 db3-
(9)
Информационная система из 4 - х датчиков может быть организована и так, что на выходе появиться сигнал F4 лишь тогда, когда на входе сработают не менее 4-х датчиков. Такая информационная система изображена на рис. 11
Xi & F4, 4
Х2
Х3
Х4
Рис.11. Система сбора информации при Q = 4
Вероятностные характеристики Рпо4 4, Рно4 4, Р пт4 4 информационной системы, изображенной на рис.9 , описываются следующими зависимостями:
P по4,4 = a4 + 4 a3 b + 4a b + 6 a2 b2;
Pvo4,4 = d4 + 4 bd3 + 4 a3 d + 4 db3 + 6 b d' + 4ad3 + 6 a'd2 + +12 a2 bd + 12a b2 d + 12ab d2;
4
(10)
Рлт4.4 Ь •
На основе математической модели формул (7), (8) и (9) можно построить графические зависимости
вероятностных характеристик Р , Р , Р , которые изображены на рис.12.
^ г г г по' г но' г лт' г г г
Рис. 12 Графические зависимости информационной системи Q=4
Исходя из практически несложно реализуемых структур систем с мажоритарной логикой, например, структуры рис.8. и при повышении требования к датчикам (порогу срабатывания за счет использования компараторов и "восстановления" уровня параметрического резервирования в эксплуатации) можно значительно повысить вероятность правильного обнаружения Р и ложной тревоги Р .
г по г г лт
Так, при а = 0.9; Ь = 0.05 ; d = 0.05 получаем:
Р = 0.994, р = 0.003; р = 0.003, а при
Г по ' г но ' г лт ' г
а = 0.95; Ь = d = 0.0025 вероятность правильного обнаружения пожара имеет три девятки, при
дальнейшем снижении Р и Р .
Анализ графиков, приведенных на рис. 3, рис.7, рис. 12 позволяет сделать следующие выводи. При повышении требований к надёжности информационных систем, а именно, когда Р - максимально, то вероятность Рно становиться выше чем вероятность Рлт. То есть такая система успешно подавляет вероятность Рлт и при этом несущественно влияет на Рно. При Р - минимально, то информационная система успешно подавляет вероятность Рно и несущественно влияет на вероятность Рлт. При Рт.п, где т лежит между 1 и п информационная система будет успешно подавлять одновременно и Рно и Рлт. Таким образом в зависимости от технико-экономических требований можно выбрать необходимую структуру системы распознавания опасных полетных событий.
Выводы:
1. Способ параллельного резервирования информации существенно снижает вероятность необнаружения ситуации и мало влияет на снижение вероятности ложной тревоги.
2. Применение принципов мажоритарной логики, позволяет снижать вероятность ложной тревоги, но при этом необходимо увеличивать число параллельных каналов, что связано с экономическими ограничениями.
3. Вероятность ложной тревоги можно снизить способом "загрубления" (снижения чувствительности путем повышения порога срабатывания) отдельных источников информации, при этом увеличение их числа компенсирует недостатка этого метода.
Список литературы
1. Al-Ammouri A., Kasyanenko A.O., Al-Am-mouri H. A., Degtiarova A.O., "Optimization structure of onboard aircraft navigation systems ". Proceedings of the IEEE-2016 4th International conference "Methods and Systems of Navigation and Motion Control (MSNMC)", October, 18-20, 2016, Kyiv, Ukraine. -K., 2016. - P. 288 - 290.
2. Al-Ammouri A., Degtiarova A.O., Klochan A.E., Al-Ammouri H. A., "Estimation the Efficiency of Information-Control System of UAV". Proceedings of the IEEE-2017 4th International conference "Actual problems of unmanned aerial vehicles develop-ments(APUAVD)", October, 17-19, 2017, Kyiv, Ukraine. - K., 2017. - P. 200 - 203.
3. Абезгаус Т.Т., Тронь А.П. и др. Справочник по вероятностным расчетам. М.: Воениздат, 1989, 656 с.
4. Logic-Mathematical Model for Recognition the Dangerous Flight Events. Al-Ammouri, A., Klochan, A., Al-Ammori, H., Degtiarova, A / Proceedings of the IEEE-2018 2nd International Conference on Data Stream Mining and Processing, DSMP 2018.
