CC BY
17
УДК 534.222
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ЗАРЯДОВ ВЫБРОСА
© 2013 г. Р.З. Камалян, С.Р. Камалян
Камалян Рубен Завенович - доктор технических наук, профессор, кафедра математики и вычислительных систем, Академия маркетинга и социально-информационных технологий, ул. Зиповская, 5, г. Краснодар, 350010, e-mail: imsit@imsit.ru.
Kamalian Ruben Zavenovich - Doctor of Technical Science, Professor, Department of Mathematics and Computer Systems, Academy of Marketing and Social and Information Technologies, Zipovskaya St., 5, Krasnodar, 350010, Russia, e-mail: imsit@imsit.ru.
Камалян Самвел Рубенович - кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математики и прикладной информатики, Краснодарский филиал Российского государственного торгово-экономического университета, ул. Садовая, 17, г. Краснодар, 350002, e-mail: info@kfgteu.ru.
Kamalian Samvel Rubenovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Head of Department of Mathematics and Applied Informatics, Krasnodar Branch of the Russian State University of Economics and Trade, Sadovaya St., 17, Krasnodar, 350002, Russia, e-mail: info@kfgteu.ru.
Рассмотрены модели расчета параметров вертикальных цилиндрических зарядов выброса. К ним относятся вертикальные цилиндрические и щелевые заряды. В обоих случаях для расчета зарядов использована гидроимпульсная модель взрыва в мягких грунтах. Особое внимание уделено щелевым зарядам. Показана возможность практической реализации зарядов такой формы с помощью системы скважинных зарядов. Для этого случая получена расчетная формула, объединяющая всю совокупность параметров буровзрывных работ.
Ключевые слова: щелевой заряд, потенциал скорости, функция тока, заряд выброса.
There are discussed the models of calculation parameters of vertical cylindrical ejection charges. These include vertical cylindrical and slotted charges. In both cases, for calculation of the charge, the hydroimpulsive explosion model in soft soil is used. Particular attention is given to slotted charges. There is shown the possibility ofpractical realization of such a form of charges with the help of the system of deep-hole charges. For this case also received design formula that unites the entire set ofparameters of drilling and blasting.
Keywords: slotted charge, velocity potential, stream function, charge ejection.
Под вертикальными понимаются цилиндрические и щелевые заряды выброса. Вертикальные цилиндрические заряды на практике реализуются с помощью бурения скважин и их заполнения взрывчатым веществом. При этом для получения достаточно строгого цилиндрического профиля ударной волны (волны сжатия) необходимо зарядку осуществлять так, чтобы коэффициент удлинения h/d был оптимальным. Наличие оптимального значения коэффициента удлинения установлено экспериментально в [1-3]. В частности, график зависимости площади сечения воронки выброса в лессовидных суглинках от коэффициента удлинения h/d имеет вид (рис. 1), из которого убедительно следует существование оптимального значения h/d.
Расчет массы скважинного заряда выброса вызывает определенные затруднения. В [4] на основе гидроимпульсной модели предложена формула
Q =
Kh0 n 2
3/ 2/2
-i-i
1 + к
1 - к
V(l + к )2 + n2 V(l - к У
22 +n2
• h, (1)
где n - показатель выброса; h0 - линия наименьшего
h
сопротивления; к =
2hn
В эмпирическом множителе K собраны все числовые коэффициенты и параметры, зависящие от свойств грунта и взрывчатых веществ (ВВ), К = 4л/2я/с^¡в-%, где р - плотность среды; c - некоторая постоянная с размерностью скорости; V» - критическая скорость, характеризующая прочностные свойства данного грунта; е -удельная энергия ВВ; % - КПД взрыва.
Другая формула, полученная в импульсной гидродинамической постановке [5, 6], имеет вид
q = кк¿
n 2 + (1+ Р)2 2
3/2
n 2 + (1+ P)2 2
n 2 + (1 -P)2 2
3/2
-1
(2)
, Ря8тлх Г „ I ,
где к =-; п = —; р= — ; п - расстояние от цен-
2аС П П
тра заряда до свободной поверхности; l - длина заряда; Р - среднее давление, действующее в течение эффективного времени т; C - удельная энергия ВВ; £тах -предельно допустимый сдвиг; а - доля энергии ВВ, идущая на сообщение кинетической энергии грунту.
n
S. м1
У * _ • • \
/■ » \ • 1
/
• / / • •
hfi
ной поверхности до верхней границы заряда \, до нижней - й2. Требуется определить размер зоны разрушения на свободной поверхности, образующейся в результате взрыва, в предположении, что разрушение среды описывается критерием В.М. Кузнецова [8].
Физическая область задана в плоскости комплексного переменного г = х + 1у (в силу симметрии рассматривается половина области движения) (рис. 2). Для решения задачи необходимо найти комплексный потенциал скорости и = ф + гщ, где ф - потенциал скорости; щ - функция тока, с краевыми условиями
= О, =-Фо>
Рис. 1. Зависимость площади поперечного сечения S от коэффициента удлинения заряда к/Л; к - высота заряда, Л - диаметр заряда (скважины)
Однако практическое применение формул (1) и (2) вызывает некоторые затруднения, так как они содержат много величин, определяемых не из расчетной модели, а чисто физическими и механическими процессами, сопровождающими взрыв. Поэтому для упрощения задачи целесообразно к определить экспериментально как некоторую интегральную характеристику, называемую удельным расходом ВВ [7].
Под щелевым зарядом выброса понимается непрерывный горизонтальный заряд, у которого высота Ь существенно превышает его толщину й , т.е. Ь > й. Необходимость в изучении действия щелевых зарядов обусловлена возможностью применения цепочки скважинных зарядов выброса для получения протяженных выемок различного назначения.
Для расчета щелевых зарядов возможны по крайней мере два подхода. Первый основан на сложении потенциалов отдельных скважин [8]. Второй может быть обоснован следующим образом. При расстояниях между зарядами, сравнимыми с параметрами расположения, взрыв серии скважин по своему характеру и по масштабному эффекту мало отличается от взрыва эквивалентного горизонтального непрерывного заряда. Соответствие будет еще лучшим, если систему скважин сравнивать со щелевым зарядом с теми же характеристическими размерами.
Рассмотрим второй подход, так как в этом случае связь между параметрами буровзрывных работ оказывается наглядной и удобной для дальнейшего применения. Заметим, что идея щелевого заряда не нова. Такая форма заряда, например, рассмотрена в работах [9 -11]. Однако в [9] постановка задачи и метод -ф решения принципиально неверны. В [10] на базе модели грунта, предложенного М.А. Лаврентьевым, получен результат достаточно строгий, но в виде, затрудняющем его практическое использование. В [11] рассмотрен не встречающийся в практике случай, когда вся полость щели заполнена ВВ.
Пусть в грунт помещен бесконечный щелевой заряд шириной й и высотой Ь . Расстояние от свобод-
Рис. 2. Физическая область движения грунта
Постоянные ф0 и щ являются параметрами задачи. Область движения в плоскости комплексного потенциала указана на рис. 3. Соответствующие точки обозначены одинаково.
W
2 0>о)
Рис. 3. Область комплексного потенциала
Отобразим функцией о = -г2 физическую область на вспомогательную верхнюю полуплоскость. Соответствие точек в области со приведено на рис. 4.
О
A,
A,
A
Ai
h) (Ä22)
Рис. 4. Вспомогательная полуплоскость
Далее, отобразив вспомогательную полуплоскость на область W формулой Кристоффеля-Шварца [12], получим потенциал скорости
т йт
№ = С| , йт „ + />с, (4)
h2)(®- hl)
где С - некоторая постоянная.
Возвратившись в (4) к переменной z, получим
i 2С
W = i\—F (ф, к) + фо
(5)
где F (ф, к) - эллиптический интеграл первого рода с
2 А2 — п2
аргументом ф = arctg(—) и модулем к =-.
к1 П2 Выразим постоянные C, ц/0 через ф0, учитывая соответствие точек W=0 при г ^ <» ; № = —ф0 при г = . Тогда из (5)
W — йф F (ф, к) + K
(6)
где К, К' - полные эллиптические интегралы 1-го
рода с модулями к , к' = V1 — к2 соответственно.
Граница зоны разрушения на свободной поверхности определяется из условия [8]
/* —
d 2W
dz2
С учетом (6) выражение (7) принимает вид
= 2Ур г
//* — -x
K'
x2 + (hl + h12)/2 [( x 2 + hi2)( x 2 + h22 )]3/2
(7)
(8)
Итак, рассмотренная модель действия щелевых зарядов позволила получить формулу (9) для определения массы заряда.
Практическая реализация зарядов, близких к щелевым, возможна, как уже было отмечено выше, с помощью скважинных зарядов (рис. 5).
Покажем, как можно перейти от формулы (9) к формуле для системы скважинных зарядов. Пусть a -расстояние между скважинами (рис. 5). Очевидно, что протяженность системы скважин L будет равна (N-1^.
Разделив число зарядов N на длину L, получим количество зарядов, приходящихся на единицу длины N
m — -
(N - 1)a
Рис. 5. Система скважинных зарядов
Пусть длина заряда в скважине равна Ь. Тогда суммарный заряд m скважин составит
т
Q = тд»Ь =-д», (10)
(т — 1)а
где д» - заряд ВВ, приходящийся на единицу длины скважины.
Представим (10) в виде
r> b i, 1
Q = - q* I1 + т—-
a ^ N -1 Если N велико, то из (11) получим n b
Q q* — yq*, a
(11)
(12)
где х - полураствор взрывной выемки.
Определим постоянную ф0. Пусть к - расстояние от свободной поверхности до середины заряда. Тогда к1 = к — Ь/2 , к2 = к + Ь/2 .
Рассмотрим эквипотенциальную поверхность, охватывающую заряд настолько тесно, что ее можно принять за поверхность эллиптического цилиндра. Положим в (6) г = —¡к + х, х < к, и выделим действительную часть. Приближенно получаем ф « /(х/к,к).
Повторяя в точности последовательность рассуждений [6], получим формулу для расчета щелевых зарядов
д = кк 2(п2 +1)2/ п(1 + р/2), (9)
где р = Ь / п, к - постоянная, учитывающая свойства грунта и ВВ.
где у = Ь / а .
Подберем параметры заложения h и Ь для системы скважин так, чтобы заряд, приходящийся на единицу длины в формуле (12), совпал с зарядом, определяемым по формуле (9).
Сравнивая (9) с (12), получим yq* — kh
2 («2 +1)2
2 (П2 +1)2 «(1+^/2)
или
а» = кк2 У '-. (13)
пу(1 + р/2)
Соотношение (13) объединяет всю совокупность параметров буровзрывных работ [7].
Результаты настоящей работы были доложены на всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике, тезисы которых опубликованы в [13, 14].
0
z— x
Авторы благодарят академика РАН С.С. Григоряна за внимание и поддержку при работе над статьей.
Авторы искренне признательны доктору физико-математических наук заведующему лабораторией региональной геодинамики ИДГ РАН А.А. Спиваку за полезный отзыв и рекомендации по отдельным положениям работы.
Литература
1. Адушкин В.В., Зыков В.Я., Либин В.Я. Об эффективности скважинных зарядов выброса в песчаном грунте // ФТПРПИ. 1988. № 4. С. 35 - 39.
2. Камалян Р.З. О действии скважинных зарядов выброса // ФТПРПИ. 1990. № 4. С. 84 - 89.
3. Адушкин В.В., Камалян Р.З. Об оптимальных параметрах скважинных зарядов выброса // ФГВ. 1992. № 4. С. 127 - 129.
4. Кузнецов В.М., Труфанов Н.В. О взрыве на выброс удлиненных вертикальных зарядов ВВ // ФТПРПИ. 1984. № 1. С. 16 - 20.
5. Камалян С.Р. Гидроимпульсная модель расчета действия вертикального цилиндрического заряда выброса //
Поступила в редакцию
Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. Т. 12, вып. 2. С. 382 - 384.
6. Камалян Р.З., Камалян С.Р. Об одной схеме расчета действия вертикального цилиндрического заряда выброса // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2006. Приложение. № 2. С. 22 - 26.
7. Проектирование взрывных работ в промышленности / под ред. Б.Н. Кутузова. М., 1983. 359 с.
8. Кузнецов В.М. Математические модели взрывного дела. Новосибирск, 1977. 260 с.
9. Ткачук К.Н. Разрушение горных пород взрывом. Киев, 1974. 204 с.
10. Вовк А.А. Основы прикладной геодинамики взрыва. Киев, 1976. 273 с.
11. Поляк Э.Б. О форме воронки выброса при взрыве вертикальных зарядов // ФТПРПИ. 1974. № 3. С. 118 - 122.
12. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М., 1965. 716 с.
13. Камалян Р.З., Камалян С.Р. К расчету щелевых зарядов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. Т. 13, вып. 6. С. 1081 - 1084.
14. Камалян С.Р. О системе вертикальных цилиндрических зарядов выброса // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. Т. 14, вып. 4. С. 714 - 715.
9 сентября 2013 г.
