CC BY
10
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И СИСТЕМЫ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА
INFORMATION TECHNOLOGIES AND SYSTEMS, COMPUTER TECHNIQUE
УДК 78.21.35
DOI: 10.17586/0021-3454-2022-65-10-701-711
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАБОЧЕГО МЕСТА ПОВЕРКИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ КАК НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ
Д. С. Ершов1, 3*, Р. З. Хайруллин2, 3
1 Московский политехнический университет, Москва, Россия 2Московский государственный строительный университет, Москва, Россия
3Главный научный метрологический центр, Мытищи, Россия *
eгshov.metгolog@mail. ги
Аннотация. Представлена модель рабочего места поверки средств измерений как нестационарной системы обслуживания с относительными приоритетами поступающего потока заявок. Модель основывается на построении многомерного графа и соответствующей системы уравнений Чепмена—Колмогорова. Модель позволяет выявить и на качественном уровне объяснить основные закономерности и технологические параметры функционирования рабочего места. Представленную модель возможно использовать для расчета пропускной способности поступающих на поверку средств измерений, функционирующих в условиях изменяющейся рабочей нагрузки на определенном временном интервале. Также модель возможно применять для обоснования технических требований при проектировании рабочих мест, которые предполагается использовать в условиях изменяющейся рабочей нагрузки.
Ключевые слова: математическое моделирование, нестационарная система обслуживания, поверка, средство измерений, приоритетность обслуживания
Ссылка для цитирования: Ершов Д. С., Хайруллин Р. З. Математическая модель рабочего места поверки средств измерений как нестационарная система обслуживания // Изв. вузов. Приборостроение. 2022. Т. 65, № 10. С. 701—711. Б01: 10.17586/0021-3454-2022-65-10-701-711.
MATHEMATICAL MODEL OF THE WORKPLACE OF MEASURING INSTRUMENTS VERIFICATION AS A NON-STATIONARY SERVICE SYSTEM
D. S. Ershov1,3*, R. Z. Khayrullin2,3
1 Moscow Polytechnic University, Moscow, Russia 2Moscow State University of Civil Engineering, Moscow, Russia 3Main Scientific Metrological Center, Mytischi, Russia ershov.metrolog@mail.ru
Abstract. A model of the workplace for measuring instruments verification as a non-stationary service system with relative priorities of the incoming flow of applications is presented. The model is based on a multidimensional graph construction and corresponding system of Chapman—Kolmogorov equations. The model makes it possible to identify and explain the main patterns and technological parameters of workplace functioning at a qualitative level. The presented model can be used to calculate the throughput of incoming measuring instruments operating under conditions of varying workload over a certain time interval. It is also possible to use the model to substantiate technical requirements when designing workplaces that are supposed to be used in conditions of changing workload.
© Ершов Д. С., Хайруллин Р. З., 2022 JOURNAL OF INSTRUMENT ENGINEERING. 2022. VOL. 65, N 10
Keywords: mathematical modelling, non-stationary service system, verification, measuring instrument, service
priority
For citation: Ershov D. S., Khayrullin R. Z. Mathematical model of the workplace of measuring instruments verification as a non-stationary service system. Journal of Instrument Engineering. 2022. Vol. 65, N 10. P. 701—711 (in Russian). DOI: 10.17586/0021-3454-2022-65-10-701-711.
Введение. В настоящее время в исследованиях различных проблем, задач и актуальных вопросов обеспечения единства измерений (ОЕИ) широко применяются методы математического моделирования. Вместе с тем большинство авторов в качестве инструмента моделирования используют теорию массового обслуживания (ТМО), достаточно широко применяют марковские и полумарковские модели для решения задач оценки и повышения эффективности процессов, функционирования различных систем и средств ОЕИ [1—8]. В этих работах авторы, применяя ТМО для моделирования, предполагают наличие такого режима функционирования системы, при котором коэффициент загрузки принимает значение <1. Режим справедлив, когда средняя интенсивность поступления заявок ниже интенсивности их обслуживания.
Например, в работе [3] представлены результаты стохастического Р-бифуркационного анализа класса нелинейных марковских скачкообразных систем при комбинированных гармонических и случайных возбуждениях.
Пример использования метода регенеративных точек на основе полумарковской модели представлен в работе [4]. Рассмотрены два случая: с техническим обслуживанием основного блока и без него.
Система массового обслуживания с оптимальной политикой обработки приоритетных заявок рассмотрена в работе [7]. Обслуживается именно та заявка, которая системе приносит наилучший эффект (наибольший выигрыш) от ее обслуживания.
В работе [8] представлен подход к моделированию отказов и восстановлению серверов как системы массового обслуживания типа М/М/2, на вход которой поступает простейший поток событий, при этом имеются два канала обслуживания, один из которых доступен постоянно, а второй — с некоторыми перерывами.
Однако при моделировании процесса функционирования рабочего места (РМ) поверки средств измерений (СИ) в метрологическом подразделении наибольший практический интерес вызывают модели ТМО, позволяющие оценивать эффективность функционирования РМ в условиях перегрузки на некотором заранее заданном интервале времени — модели нестационарных систем обслуживания (НСО).
Основы теории НСО широко представлены в работах [9, 10]. В монографии [11] рассмотрены одноканальные и многоканальные НСО, описаны подходы к разработке динамических моделей НСО, а также приведены примеры некоторых элементарных моделей НСО.
В работе [12] представлены подходы к моделированию НСО с фиксированным количеством, поступающим на обслуживание в систему заявок на заранее заданных временных интервалах, с учетом некоторых предположений о законах распределения значений интенсивности поступления и обслуживания заявок.
В основу модели одноканальной НСО [13] положено преобразование Лапласа, также в этой работе представлен способ реализации принципа вероятностного баланса при составлении системы уравнений, описывающих состояния НСО.
Систематизации, а также анализу различных моделей НСО с конечными заявками, методам их расчета и правилам построения вероятностных и временных характеристик посвящена статья [14].
Программная реализация моделей НСО и анализ проблемных вопросов рассмотрены в [15].
Модели ТМО, которые относятся к классическим, не позволяют в случае совместных плановых и приоритетных поверок моделировать процесс функционирования РМ поверки СИ. Также возникновение пиковых нагрузок на рассматриваемом временном интервале указывает, что в данном случае требуется применение моделей НСО.
Таким образом, потребность в решении задач анализа, прогнозирования и оценки эффективности РМ поверки СИ в условиях реальных рабочих нагрузок, с одной стороны, и ограниченные теоретические возможности существующих методов и подходов к моделированию на основе классических моделей ТМО, с другой стороны, создают противоречие.
Постановка задачи. РМ поверки СИ, как правило, функционирует в плановом режиме на основании годовых, месячных, недельных планов. Однако на РМ зачастую поступают СИ, которые необходимо поверить в оперативном порядке, отодвинув плановые работы. Будем считать, что известно число образцов СИ, поступающих за определенный интервал времени для плановых и приоритетных поверок (при этом заявки второго типа имеют приоритет в обслуживании по отношению к плановым). РМ поверки СИ представим в виде одноканальной системы массового обслуживания с приоритетностью в обслуживании заявок и без потерь последних.
Приоритетные СИ поверяются в первую очередь, но при этом уже начатая поверка плановых СИ не прерывается. Предполагается, что используется экспоненциальный закон распределения поступления на поверку и самой поверки для каждой группы (типа) СИ, обладающих разной интенсивностью.
С целью определения наиболее важных характеристик функционирования РМ поверки СИ (таких как среднее время поверки всех или некоторых плановых и приоритетных СИ, вероятность срыва выполнения поверочных работ на РМ в установленные сроки и т.д.) необходимо разработать математическую модель РМ как одноканальную НСО с относительными приоритетами (НСО с ОП) и конечным числом СИ на определенном временном интервале.
Базовая модель. Для описания базовой модели [11—14] используется граф верхнетреугольной формы, на основании которого строится система уравнений Чепмена— Колмогорова. В любой момент времени состояние системы характеризуется парой целых чисел (г, у) , где г — число поступивших на поверку, но еще не поверенных СИ (г = 0, N ), ау —
число поступивших и поверенных к данному моменту времени СИ ( у = 0, N - г). Суммарное количество состояний такой системы будет равно ^ум =( N +1)( N + 22. Система из ^ум уравнений для нахождения вероятностей состояний имеет следующий вид [11—14]:
йРу (г)
—^-и г-1, +1 - 1 у+и ТЛ ,1 г +1, у-1V» у (1)
= н(г)(Р-1,у (г)\+1 - Ру (г)|Ду+1)+н(у)Р+1,у-1(г)|у -н (N - г - 3)Ру (г)\+у+1,
[1, к > 0; [1, г + у = 0;
где Н (к) = •! ' Ру (0) = •!
[0, к < 0, [0, г+у * 0.
НСО с относительными приоритетами. Для описания РМ поверки СИ как НСО с ОП
введем следующие обозначения: р — число приоритетов обслуживания потоков (групп) СИ;
N = (N1,..., Nр ) — множество СИ, где Np — подмножество СИ р-го приоритета; I = (г1,..., гр) — множество СИ, которые поступили на поверку, но еще не поверены, где ¡р — подмножество СИ, поступивших, но не поверенных, р-го приоритета; 3 = (у'1,..., ]р) — множество СИ, которые поверены, где ]р — подмножество поверенных СИ р-го приоритета; Л = (Аь..., Ар) — множество значений интенсивности поступления на поверку СИ, где Ар — подмножество значений интенсивности поступления СИ р-го приоритета, Аг = (X Г1,..., А^);
М = (Дх,..., Д р) — множество значений интенсивности поверки СИ, где д р — подмножество значений интенсивности поверки СИ р-го приоритета, дг = (дгх,..., дг^ ); 4 — приоритет СИ, которое поверяется в текущий момент времени (4 = 0 при i = (0,...,0)); к(г,у,4) — функция, отображающая параметры (порядковый номер) состояния системы. С учетом замен:
л Р
к(ц, j,4,г) = к^ -1,...,ip,Уъ..^]р,4хНц -Щ
I=1
k(i, j,4) = к(il,...,К +цр,jl,...,Уг-Ур,
а также введенных обозначений система уравнений (1) будет иметь следующий общий вид:
4Рк (г, у 4)(г)
4г
= ЦН(цг) хХгц + уг хРк(ц,у,4,г)(г) г=1
+Н(ё-тах(г) +х)х2 Н(уг)х Дг,уг хРщ,уР)(г)
V >0 г=х
' р г 1 I
Н (Ыг - цг - уг ) +уг +1 ]+ Н (4) • Дё у +1 х ^^ ^^^^ ^^ ^^ )(г).
(2)
г
V г=1
В начальный момент времени РМ поверки СИ находится в „нулевом состоянии" — количество всех СИ, поступивших на поверку, а также всех поверенных СИ, равно нулю. Вероятность нулевого состояния принимается равной единице, а вероятности всех остальных состояний принимаются равными нулю. После окончания всех поверок на РМ как НСО с ОП система должна прийти в конечное финальное состояние (0, Ыр, рг) длярг=1, 2,..., р, и дальнейшие переходы состояний невозможны.
Модели, пригодные для практического решения задач анализа, прогнозирования и оценки эффективности РМ поверки СИ в условиях реальных нестационарных нагрузок, могут включать до нескольких десятков тысяч различных состояний. Поэтому необходимо применение алгоритмов формирования множества различных состояний, алгоритмов формирования множества переходов между состояниями и методов автоматизированного вывода уравнений [15]. Отметим, что учет относительных приоритетов в предлагаемой модели осуществляется за счет задания строгой и однозначной последовательности переходов, обеспечивающих выполнение заявок с более высоким приоритетом, в первую очередь. Из состояния, в котором количество поступивших на поверку приоритетных, но не поверенных СИ, отлично от нуля, возможны только переходы состояний, связанные с обслуживанием исключительно приоритетных заявок на поверку.
Рассмотрен простой пример, позволяющий выявить и проанализировать многие характерные закономерности функционирования НСО с ОП.
Пусть на плановую поверку поступает два СИ, а на приоритетную — одно СИ, которое имеет относительный приоритет в поверке. На рис. 1 приведен граф состояния РМ.
Предполагается, что интервалы времени поступления и поверки СИ описываются экспоненциальным законом распределения с интенсивностью {Хх, X 2} и {дх, д 2} для плановых и
приоритетных СИ соответственно. Обозначения в вершинах означают следующее: в первой строке — число поступивших плановых СИ, но не поверенных, через запятую — число поверенных; во второй строке — число подлежащих приоритетной поверке СИ, через запятую — число поверенных. Из данного примера видно, что состояния НСО с ОП различаются числом как плановых, так и приоритетных СИ. Эта особенность приводит к увеличению количества возможных состояний НСО с ОП до 18 (рис. 2), по сравнению с базовой моделью (шесть состояний).
®
Рис. 1
С учетом выражения (2) для нахождения вероятностных состояний необходимо решить систему дифференциальных уравнений:
'р (г) = ( -X2 -X3 ) Р0 С) + Цх Р С) + Ц2р2 (') + ЦзР> (0; р (г) = (( - X2 -Хз -ц) Рх (г) + ХхРо (г) + цР4 (г) + ц2Р7 (г) + ЦзР10 (г); р2 (г) = (-Хх -X2 - Хз -ц2) Рг(0 + X2Ро (г) + ЦхР, (г) + ц2Рв (О + ЦзРх х (0;
р3 (г) = (( -X 2 -X з - Цз) Рз(г) + Xз Ро (г) + цр (г) + Ц2 Р9 (г) + Цз Рп (г);
Р^) = (-X2 ^ -цх) Р4 (г) + X!Рх (г);
р5(г) = (х -Xз - цх)) + X2Рх(г) + ЦlPlз(f) + ц2Р^С) + ЦзР^); Рб (г) = ( -X2 - цх) Р6 (г) + XзРх (г) + цр (г) + ц2Р^г) + цзР2о (г); Р7 (г) = (-X2 -Xз -ц2)Р7 (г) + XlР2 (г); Р8 (г) = (-Xl -Xз -ц2) Р8 (г) + X2Р2 (г);
Р9С) = (-Xl -X2 -ц2)) + XзР2(г) + ЦхРхз(г) + Ц2Р^) + ЦзРг^);
Рхо (г) = (-X2 -Xз - Цз) Рхо(г) + ^Р, (г); Рп(г) = (-Xl -X з - цз )Рц (г) + X 2 Рз (г); ' Рх2(0 = (-Xl -X2 - Цз ))(') + XзРз(г);
Рх'з(г) = (-Xз - Цх)Рхз(г) + X2Р4« + XlР5(г); Рх4(г) = (-X2 - Цх )Рх4(г) + XзР4(г) + ^(г);
Р\5 (г) = (-Xl - Цх)Рх5(г) + XзР5 (г) + X2Рб (г) + цхРю (г) + ц2Р2з (г) + ЦзР24 (г);
Рх'б(г) = (-X з - Ц 2 )Рхб(г) + X 2 Р/(г) + ^(г);
р!7 (г) = (-X 2 -Ц 2) Рх7(г) + X з Р7 (г) + XlP9 (г);
Рх'в (г) = (^ - Ц2 )Рхв(г) + XзРв (г) + X2Р9 (г);
Рх9(0 = (-X з - Ц з )Рх9(г) + X 2 Рхо(г) + XlPll(í);
Р^о ( г) = (-X2 - цз)р2о ( О + XзРш( 0 + XlPl2(г);
р2х(г) = (-Xl - цз)Р2х(г) + XзРх х ( 0 + X2Р^0;
Р^2( г) = -цхР22( О + X з Рхз( 0 + X 2Рх4( г) + XlPl5( 0;
Р^з ( г) = -ц 2 р2з ( О + XзPl6( о + X2 Рх7( г) + ^р^ 0; Р24( 0 = -ц з Р24 ( г) + X зР'9( г) + X 2 р2о ( 0 + ^Р^ О
с начальными условиями:
и условием нормирования:
t = 0; Po(0) = 1; Pk (0) = 0, к = (1,17)
2 рг = 1, г = (0,17).
г=0
Результаты численного моделирования. Рассматриваемый временной интервал 30 дней. Основные исходные данные, использовавшиеся в расчетах, приведены в табл. 1.
Таблица 1
Интенсивность поступления СИ на поверку и поверки СИ,
Вариант Ц1 ^2 Ц2 k1 k2
1 0,65 0,7 0,65 0,7 0,929 0,929
2 0,65 0,7 0,5 0,8 0,929 0,625
3 0,65 0,7 0,4 0,9 0,929 0,444
4 0,45 0,7 0,4 0,9 0,643 0,444
Вероятность различных состояний НСО рассчитана в математической инженерной программе Mathcad Prime 4.0.
На рис. 2 и 3 представлены результаты для вариантов 1 и 2 из табл. 1 сравнительного анализа вероятностей нахождения в различных состояниях для моделей, учитывающих только приоритетные заявки — S_10 и S_01, только обычные заявки — S_10 и S_01, а также для НСО с ОП — S 2010 и S 0201.
P, о.е.
0,3
P, о.е. 1
0,8 0,6 0,4 0,2
0
15
Рис. 2
5
10
20
25 t, дней
15 Рис. 3
Видно, что значения вероятности, полученные моделью НСО, не являются суммой моделей с приоритетными и плановыми заявками. Таким образом, модель НСО позволяет получать качественно новые результаты.
С целью оценки времени выхода на финальное состояние Б_0201 (свободное состояние) было проведено сравнение вариантов 1, 2 и 3 (рис. 4).
Р, о.е.
0,97 0,96 0,95 0,94 0,93
11 11,5 12 12,5 г, дней
Рис. 4
Время перехода в свободное состояние характеризует степень загруженности РМ: время вхождения графика функции Р)2/01(г) в 5 %-ную область финального значения (кривая 0,95 на рис. 4). Видно, что для варианта 1 оценка момента времени перехода в свободное состояние меньше, чем для других вариантов. Описанный эффект зависит от собственных значений матрицы системы уравнений (2). Проведенный анализ показал, что для варианта 1 матрица системы (2) имеет одно нулевое собственное значение и семнадцать отрицательных: -0,65; -0,65; -0,65; -0,7; -0,7; -0,7; -0,7; -0,7; -1,30; -1,30; -1,35; -1,35; -1,35; -1,35; -1,35; -1,35; -2 (равных линейным комбинациям значений интенсивности {А1, А 2, |1,12} с отрицательными коэффициентами). Известно, что скорость увеличения вероятности Р02/01(г) до единицы определяется наименьшим по модулю отрицательным собственным значением. Отметим, что наименьшее по модулю отрицательное собственное значение имеет матрица для варианта 1.
С целью оценки влияния загруженности РМ на своевременность проведения поверок на рис. 5 представлены вероятности состояний 8_2010 для разных вариантов. Параметр загруженности (согласованности входящего и исходящего потоков) равен отношению интенсивности поступающего потока к интенсивности потока. Для рассмотренных вариантов параметры загруженности приведены в последних двух столбцах табл. 1.
Р, о.е. 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02
0 5 10 15 20 25 г, дней
Рис. 5
Видно, что наибольшее значение вероятности достигается для исходных данных варианта 1, который характеризуется наибольшей загруженностью как по плановым, так и по приоритетным поверкам. Наименьшее значение вероятности достигается для исходных данных варианта 4 с наименьшей загруженностью. Отметим также, что максимальное значение вероятности для варианта 4 достигается раньше, чем для вариантов 3, 2 и 1, т.е. среднее время ожидания поверок для исходных данных варианта 4 меньше, чем для других вариантов.
Во всех рассмотренных выше случаях с целью выявления общих закономерностей изменения вероятностей состояний за начальное принималось „нулевое состояние": его вероятность принималась равной единице, а вероятность остальных состояний принималась равной
нулю. Как показали расчеты, при таких условиях система достаточно быстро переходит в свободное состояние и остается недозагруженной.
В действительности при планировании поверок СИ стремятся загружать РМ относительно равномерно. Если выбрать интервал времени в один месяц и предположить, что состояние системы „обнуляется" в начале каждой календарной недели, то зависимость вероятности ожидания поверки (сумма вероятностей состояний 8_2010 и Б_1110) на рассматриваемом интервале
времени имеет вид, представленный на рис. 6.
Рис. 6
Видно, что загрузка РМ становится более равномерной в течение всего месяца, по сравнению с вариантами, изображенными на рис. 3 и 6. Если „обнуление состояний" производить чаще одного раза в неделю, то равномерность загрузки РМ будет только увеличиваться. Однако при этом момент время выхода вероятности свободного состояния в 5 %-ную область финального значения будет возрастать (момент времени, когда все поступившие на поверку приоритетные и плановые СИ будут поверены к концу заданного интервала времени).
Отметим, что в табл. 1 значения интенсивности поступления СИ на поверку меньше значений интенсивности поверки СИ. Такие режимы, как было отмечено во введении, характерны для классических систем ТМО. Рассмотрим для примера несколько других вариантов исходных данных по значениям интенсивности поступления на поверку СИ и интенсивности их поверки на РМ (табл. 2).
Таблица 2
Значения интенсивности поступления и поверки СИ_
Вариант Xi X2 И Ц2
1 0,8 0,75 0,65 0,48
2 0,4 0,8 0,5 0,75
3 0,5 0,5 0,5 0,5
В первом варианте (см. табл. 2) интенсивность поверки плановых и приоритетных СИ ниже интенсивности поступления на поверку, что говорит о высокой вероятности возникновения в системе в данном случае пиковой загруженности. Во втором варианте интенсивность поступления плановых СИ на поверку ниже интенсивности поверки плановых СИ; а интенсивность поступления приоритетных СИ выше интенсивности их поверки. В третьем варианте интенсивность поступления на поверку плановых и приоритетных СИ равна интенсивности их поверки.
Расчет вероятностных состояний НСО для значений интенсивности поступления на поверку и поверки СИ, представленных в табл. 2, выполнен в программе Mathcad Prime 4.0.
Так, например, зависимость значения вероятности поверки всех СИ, которые поступили в систему, от времени для варианта 1 (см. табл. 2) представлена на рис. 7; для варианта 2 — на рис. 8; для варианта 3 — на рис. 9.
Р, о.е. 0,9 0,72 0,54 0,36 0,18
Р, о.е. 1
0,8 0,6 0,4 0,2
0
/
>18(г)
0 3 6 9 12 15 г, у.е. Рис. 7
/
*Р18(г)
3 6 9 12 15 г, у.е. Рис. 8
Р, о.е. 1
0,8 0,6 0,4 0,2
0
■Р18(г)
3 6 9 12 15 г, у.е.
Рис. 9
Заключение. В работе представлена модель РМ поверки СИ как НСО с ОП поступающего потока заявок на поверку. Модель основывается на построении многомерного графа и соответствующей системы уравнений Чепмена—Колмогорова. В работе реализована простая модель РМ поверки СИ как НСО с ОП, позволяющая выявить и на качественном уровне объяснить основные закономерности функционирования РМ и оценить технологические параметры функционирования.
Представленную модель возможно использовать для расчета характеристик рабочего места по пропускной способности поступающих на поверку СИ, функционирующих в условиях изменяющейся рабочей нагрузки на директивно определенном временном интервале. Также данную модель возможно применять для обоснования технических требований при проектировании перспективных РМ, которые предполагается использовать в условиях изменяющейся рабочей нагрузки на определенном интервале времени.
Возможность задавать разные значения интенсивности при переходах состояний системы позволяет в разработанной модели рассматривать интенсивность как управляющее воздействие. Управление интенсивностью поверок может быть использовано для обеспечения тех или иных технических и технологических требований к РМ поверки СИ.
Результаты анализа возможностей и особенностей программной реализации [15] моделей НСО из других предметных областей позволяют сделать вывод о перспективности применения разработанной в статье модели для моделирования процесса реального функционирования РМ как НСО с ОП.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kampen J. K. Reflections on and test of the metrological properties of summated rating, Likert, and other scales based on sums of ordinal variables // Measurement. 2019. Vol. 137. P. 428—434. https://doi.org/10.10167j.measurement.2019.01.083.
2. Chen H. B., Zhuang H. L. A new highly anti-interference regularization method for ill-posed problems // Vibroengineering PROCEDIA. 2017. Vol. 15. P. 128—133. http://dx.doi.org/10.21595/vp.2017.19358.
3. Wei W., Wei X., Jiankang L. Stochastic P-bifurcation analysis of a class of nonlinear Markov jump systems under combined harmonic and random excitations // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2021. Vol. 582. Р. 126246. https://doi.org/10.1016/j.physa.2021.126246.
4. Neama S., Youssef T. Comparison of fuzzy semi-Markov models for one unit with mixed stand by units with and without preventive maintenance using regenerative point method // Heliyon. 2021. Vol. 7, N 8. Р. e07717. https://doi.org/10.1016/j.heliyon.2021.e07717.
5. Khayrullin R. Z., Zakutin A. A. Application of the Bayesian Approach to the Construction of Statistical Estimates of Parameters of Distribution Laws of Random Variables // Measurement Techniques. 2021. Vol. 63. P. 862—869. https://doi.org/10.1007/s11018-021-01872-x.
6. Bessiere P., Mazer E., Ahuactzin J. M., Mekhnacha K. Bayesian Programming. Boca Raton: CRC Press, 2014. https://doi.org/10.1201/b16111.
7. Yan Su, Junping Li. Bias optimality of admission control in a non-stationary repairable queue // Operations Research Letters. 2020. Vol. 48, is. 3. P. 317—322. https://doi.org/10.1016/j.orl.2020.04.002.
8. Seenivasana M., Senthilkumara R., Subasrib K. S. M/M/2 heterogeneous queueing system having unreliable server with catastrophes and restoration // Intern. Conf. on Advances in Materials Science. 2022. Vol. 51, Part 8. P. 2332— 2338. https://doi.org/10.1016/j .matpr.2021.11.567.
9. Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1963. 236 с.
10. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966. 432 с.
11. Бубнов В. П., Сафонов В. И. Разработка динамических моделей нестационарных систем обслуживания. СПб: Лань, 1999. 64 с.
12. Бубнов В. П., Тырва А. В., Еремин А. С. Комплекс моделей нестационарных систем обслуживания с распределением фазового типа // Труды СПИИРАН. 2014. Вып. 37. С. 61—71.
13. Смагин В. А., Гусеница Я. Н. К вопросу моделирования одноканальных нестационарных систем с произвольным распределением моментов времени поступления заявок и длительностей их обслуживания // Труды Военно-космической академии им. А.Ф. Можайского. 2015. № 649. С. 56—53.
14. Бубнов В. П., Сафонов В. И., Шардаков К. С. Обзор существующих моделей нестационарных систем обслуживания и методов их расчета // Системы управления, связи и безопасности. 2020. № 3. С. 65—121.
15. Бубнов В. П., Еремин А . С., Сергеев С. А. Особенности программной реализации численно-аналитического метода расчета моделей нестационарных систем обслуживания // Труды СПИИРАН. 2015. № 1(38). С. 218—228.
Денис Сергеевич Ершов
Сведения об авторах
канд. техн. наук; Московский политехнический университет, кафедра стандартизации, метрологии и сертификации; Главный научный метрологический центр, научно-исследовательский отдел; E-mail: ershov.metrolog@mail.ru
Рустам Зиннатуллович Хайруллин — д-р физ.-мат. наук; Главный научный метрологический центр, научно-исследовательский отдел; Московский государственный строительный университет, кафедра фундаментального образования; E-mail: zrkzrk@list.ru
Поступила в редакцию 29.06.2022; одобрена после рецензирования 19.07.2022; принята к публикации 31.08.2022.
REFERENCES
1. Kampen J.K. Measurement, 2019, vol. 137, pp. 428-434, https://doi.Org/10.1016/j.measurement.2019.01.083.
2. Chen H.B., Zhuang H.L. Vibroengineering PROCEDIA, 2017, vol. 15, рр. 128-133, http://dx.doi.org/10.21595/vp.2017.19358.
3. Wei W., Wei X., Jiankang L. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2021, vol. 582, рр. 126246, https://doi.org/10.1016/j.physa.2021.126246.
4. Neama S., Youssef T. Heliyon, 2021, vol. 7, рр. e07717, https://doi.org/10.1016/j.heliyon.2021.e07717.
5. Khayrullin R.Z., Zakutin A.A. Measurement Techniques, 2021, vol. 63, pр. 862-869, https://doi.org/10.1007/s11018-021-01872-x.
6. Bessiere P., Mazer E., Ahuactzin J.M., Mekhnacha K. Bayesian Programming, CRC Press, Boca Raton, 2014, https://doi.org/10.1201/b16111.
7. Yan Su, Junping Li, Operations Research Letters, 2020, no. 3(48), pp. 317-322, https://doi.org/10.1016Zj.orl.2020.04.002.
8. Seenivasana M., Senthilkumara R., Subasrib K.S. International Conference on Advances in Materials Science, 2022, no. 8(51), pp. 2332-2338, https://doi.org/10.1016/j.matpr.2021.11.567.
9. Khinchin A.Ya. Raboty po matematicheskoy teorii massovogo obsluzhivaniya (Works on the Mathematical Theory of Queuing), Moscow, 1963, 236 р. (in Russ.)
10. Gnedenko B.V., Kovalenko I.N. Vvedeniye v teoriyu massovogo obsluzhivaniya (Introduction to Queuing Theory), Moscow, 1966, 432 р. (in Russ.)
11. Bubnov V.P., Safonov V.I. Razrabotka dinamicheskikh modeley nestatsionarnykh sistem obsluzhivaniya (Development of Dynamic Models of Non-Stationary Service Systems), St. Petersburg, 1999, 64 р. (in Russ.)
12. Bubnov V., Tyrva A., Eremin A. Informatics and Automation (SPIIRAS Proceedings), 2014, no. 37, pp. 61-71. (in Russ.)
13. Smagin V.A., Gusenitsa Ya.N. Proceedings of the Mozhaisky Military Space Academy, 2015, no. 649, pp. 56-53. (in Russ.)
14. Bubnov V.P., Safonov V.I., Shardakov K.S. Systems of Control, Communication and Security, 2020, no. 3, pp. 65-121. (in Russ.)
15. Bubnov V.P., Eremin A.S., Sergeev S.A. Informatics and Automation (SPIIRAS Proceedings), 2015, no. 1(38), pp. 218-228. (in Russ.)
Data on authors
Denis S. Ershov — PhD; Moscow Polytechnic University, Department of Standardization, Metrolo-
gy, and Certification; Main Scientific Metrological Center, Research Department; E-mail: ershov.metrolog@mail.ru
Rustam Z. Khayrullin — Dr. Sci.; Main Scientific Metrological Center, Research Department; Moscow
State University of Civil Engineering, Department of Fundamental Education; E-mail: zrkzrk@list.ru
Received 29.06.2022; approved after reviewing 19.07.2022; accepted for publication 31.08.2022.
