CC BY
23
УДК 004.272.2 Данеев Алексей Васильевич,
д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Информатика» ИрГУПС, тел. (3952) 410-112
Басыров Александр Геннадьевич, к.т.н., доцент, преподаватель кафедры электронной вычислительной техники, Военно-космическая академия имени А.Ф. Можайского (г. Санкт-Петербург), e-mail: alexanderbas@mail.ru
Мастин Александр Борисович, к.т.н., зам. начальника отдела. НИЦ БТС 12 ЦНИИ МО РФ (г. Санкт-Петербург)
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ РЕМОНТА СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ КАК СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
А. V. Daneev, A.G. Basyrov, A.B Mastin
THE INVESTIGATION OF MEANS OF MEASUREMENTS REPAIR SYSTEM AS A SYSTEM OF MASS SERVICE
Аннотация. Рассматривается функционирование рабочих мест ремонта средств измерений с точки зрения системы массового обслуживания в условиях возрастания интенсивности поступления заявок на ремонт. Приведены рекомендации по увеличению их пропускной способности.
Ключевые слова: система массового обслуживания, поток заявок, метрология, средства измерения.
Abstract. Functioning of workplaces means of measurements repair from the system of mass service point of view in conditions of applications for repair delivery intensity increase is considered. Recommendations on increase of their throughput are resulted.
Keywords: system of mass service, a stream of applications, metrology, means of measurement.
Современные лаборатории контрольно-измерительных приборов (ЛКИП), осуществляющие поверку средств измерений (СИ), в обязательном порядке оснащены рабочими местами (РМ) по ремонту этих средств. РМ представляют собой совокупность эксплуатационного оборудования, инструментов, методик ремонта, рабочих средств измерений для проведения ремонта СИ различных типов измерений - механических, электрических, радиоизмерительных, теплотехнических и др. Обычно за каждым РМ закреплён один специалист-метролог, производящий ремонт СИ данного типа. В целом систему функционирования РМ по ремонту СИ, как и других сложных технических систем (например, систем приёма
поступающих звонков телефонной станции, обработки входных сигналов бортовыми вычислительными модулями космического аппарата и др.) целесообразно представить в виде системы массового обслуживания (СМО) [1-3].
Процессы, описываемые теорией СМО, часто встречаются при исследовании сложных технических систем в различных областях науки и техники. При этом в большинстве случаев технические системы рассматриваются при постоянных значениях интенсивности потока заявок на обслуживание. Вместе с тем, на практике имеет место периодическое резкое возрастание интенсивности потока заявок на обслуживание в силу различных причин. Исследованию СМО в условиях существенной неоднородности потока заявок в известной литературе до настоящего времени уделялось недостаточно внимания. Данное обстоятельство определяет актуальность и практическую значимость изучения системы ремонта СИ как СМО с вариационной интенсивностью потока заявок.
Рассмотрим процессы и потоки событий, происходящих в процессе функционирования системы ремонта СИ. Поскольку заявки на ремонт появляются поочередно (последовательно), поток входных событий является ординарным. Наряду с этим, значения количества заявок в различные интервалы времени независимы. Для исследования состояний СМО в условиях неоднородности потока заявок разобьём время наблюдения СМО на достаточно малые промежутки времени Дл При этом можно считать, что интенсивность потока
Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
внутри такого промежутка будет постоянной (Xi (At) = const), а поток заявок является простейшим или стационарным пуассоновским потоком в интервале времени At. Такой подход можно проиллюстрировать рис. 1, где момент возникновения заявки обозначен точкой, а время разбито на равные промежутки, внутри которых интенсивность поступления заявок можно считать постоянной.
Кроме того, система ремонта СИ является дискретной, потому что ее состояние зависит от количества заявок на ремонт. Поскольку для любого момента времени вероятность нахождения системы в каком-либо состоянии в будущем зависит только от ее состояния в настоящем, систему ремонта СИ можно представить как СМО, описываемую марковскими процессами.
Рассмотрим систему ремонта СИ типа i как одноканальную СМО. Пусть СИ будет находиться в очереди на ремонт со средним временем ожидания tox. Время ожидания заявки в очереди будем считать основным показателем пропускной способности системы ремонта СИ. За рассматриваемый интервал времени в систему ремонта поступает поток неисправных СИ с интенсивностью Xi. Если РМ в это время уже заняты, то неисправное СИ становится, как невыполненная заявка, в очередь длиной m мест. Длительность ремонта СИ определена руководством по ремонту и составляет tpi, следовательно, интенсивность обслуживания заявки по ремонту СИ типа i будет равна ¡¡i=1/tpi. На рис. 2 представлен граф состояний РМ ремонта СИ с одним каналом.
Для расчета вероятности нахождения системы в каждом состоянии необходимо предварительно сформировать перечень состояний системы. Для определённости будем нумеровать со-
стояния СМО по числу заявок, находящихся в системе (как обслуживаемых, так и ожидающих обслуживания):
80 - канал свободен;
81 - канал занят, очереди нет;
82 - канал занят, одна заявка стоит в очереди; 8к - канал занят, к - 1 заявок стоят в очереди; 8т+1 - канал занят, т заявок стоят в очереди.
Зададим выражения для предельных вероятностей состояний с использованием числа обслуженных заявок в единицу временив виде
pk =р
Р0 =■
• Р0;(k = 1, 2..., m +1); _1_
(1)
где
1 + р + р+ ... + р р0 - вероятность того, что канал свободен; рк - вероятность нахождения системы в других состояниях;
р - количество обслуженных заявок в единицу времени;
к - количество заявок в очереди; т - длина очереди.
Среднее время ожидания заявки в очереди рассчитаем следующим образом: если заявка приходит в систему в некоторый момент времени, то с вероятностью р0 канал обслуживания не будет занят. Тогда заявка не будет стоять в очереди, время ожидания равно нулю. С вероятностью р1 заявка на ремонт СИ придет в систему во время обслуживания другой заявки, но перед ней не будет очереди. Тогда заявка будет ждать начала своего обслуживания в течение времени 1/^, - среднего времени обслуживания одной заявки. С вероятностью р2 в очереди перед рассматриваемой заявкой будет стоять еще одна заявка. Тогда время ожидания в среднем будет равно 2/иъ и т. д.
иркутским государственный университет путей сообщения
о
0
1
н
к
о ф
ш
1
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
Р0 Р2
□ 0,9-1
□ 0,8-0,9
□ 0,7-0,8
□ 0,6-0,7
□ 0,5-0,6
□ 0,4-0,5
□ 0,3-0,4
□ 0,2-0,3
□ 0,1-0,2 □ 0-0,1
Среднее время возникновения заявок, ч
Р8 Р10
Предельные вероятности состояния системы
Рис. 3. Закономерность изменения предельных вероятностей состояний системы ремонта СИ при изменении среднего времени поступления заявок
В случае, когда вновь поступившая заявка застает канал обслуживания занятым, а в очереди уже находятся m заявок (т. е. очередь заполнена, вероятность этого события обозначим pm+1, количество заявок в очереди k = m + 1), новая заявка не становится в очередь и не обслуживается. При этом время ожидания обслуживания равно нулю. С учетом этого, среднее время ожидания будет равно
^ _ р (1 - (т +1 - т • р) • рт)
(1 -р) • (1 -рт+ 2)
(2)
где tож - время ожидания заявки в очереди;
р - количество число обслуженных заявок в единицу времени;
- интенсивность восстановления (ремонта) СИ;
m - длина очереди.
В качестве примера рассчитаем значения предельных вероятностей состояний системы для следующих исходных данных: число заявок в очереди m = 9, среднее время ремонта р = 5 часов, равно от 0,01 до 1 заявок в час. Результаты расчёта приведены на рис. 3 и демонстрируют зависимости значений предельных вероятностей состояний системы ремонта от среднего времени поступления заявок ^=ИХ1.
Можно предположить, что увеличение пропускной способности СМО связано с увеличением количества каналов, а именно РМ ремонта СИ для
одного данного типа. Для этого рассмотрим п-канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью интенсивностью обслуживания (для одного канала) цг-; числом мест в очереди m.
Состояния системы нумеруются по числу заявок, связанных с системой: а) нет очереди:
80 - все каналы свободны;
81 - занят один канал, остальные свободны;
- заняты k каналов, (п - к) каналов свободны; 8п - заняты все п каналов, свободных нет; б) очередь существует:
8п+1 - заняты все п каналов, одна заявка стоит в очереди;
8п+Г - заняты все п каналов, г заявок находятся в очереди;
8п+т - заняты все п каналов, m заявок находятся в очереди.
Определим граф состояния системы. Граф состояния такой многоканальной системы с ожиданием представлен на рис. 4.
Таким образом, если при поступлении заявки есть свободные каналы, то обслуживание происходит немедленно. Если заявка приходит в момент времени, когда заняты все п каналов, а очереди нет, то время ожидания составит 1/п^ (так как интенсивность «освобождения» каналов равна пу). Если заявка застанет все каналы занятыми, а в очереди уже будет находиться одна заявка, то
Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
Эо х_ _ _ X %
4- «------
1 2| к|
X [ X [
Эп
(к+1)| п|
X
пц
Эп+1
, х_ [_ _х_»-я X
4----
п| п|
'п+г
'п+ш
П| П|
Очереди нет
Рис. 4. Граф состояния многоканальной СМО с ожиданием
время ожидания составит 2/п^. Если поступившая на ремонт СИ заявка застанет все каналы занятыми и в очереди перед собой к заявок, то время ожидания составит к/пц. При заполнении очереди вновь поступающие заявки не будут обслуживаться. В соответствии с этим, составим выражения для предельных вероятностей состояний системы
ремонта СИ, используя обозначение р = —:
Рк =Т7 Ро,(к =1'2'-'п); к!
Рп+1 =-
п] ■ п
рА! = 1,2,->т);
(3)
Лп+2
_2 п п+\
Ро = (1 + Р + Рг + - + Рт + Р-7 + - 2 ,
п! п ■ п! п ■ п!
Р
1! 2!
где р0 - вероятность того, что канал свободен;
рк - вероятность нахождения системы в других состояниях;
п - количество каналов; к - счётчик заявок при отсутствии очереди; j - счётчик заявок в очереди; т - длина очереди.
Таким образом, все вероятности состояний найдены.
Определим среднее время ожидания. Найдём его, умножая каждое из этих значений на со-
ответствующие вероятности:
11 1
г ож =--Рп +--Рп+1 + ••• +--Рп+т-1 , (4)
п п п
где 1ож - время ожидания заявки в очереди;
рп, рп+1, рп+т-1 - предельные вероятности состояний системы;
п - количество каналов;
- интенсивность восстановления (ремонта) СИ;
т - длина очереди.
Для принятия решения об увеличении количества каналов СМО, а именно числа РМ ремонта СИ для данного типа необходимо определить, насколько пропускная способность многоканальной СМО будет больше, чем одноканальной. Для этого рассчитаем время ожидания заявки на ремонт СИ для различного количества РМ (п = 1, 2, 3), используя следующие исходные данные: ^ = 5 часов, X = 0,05 - 1 заявок в час. На основе результата расчёта построен график зависимости времени ожидания от среднего времени возникновения заявок при различном количестве каналов (рис. 5).
Анализ рис. 5 позволяет сделать вывод, что при развёрнутом одном РМ ремонта СИ (п = 1) резкое возрастание времени ожидания ремонта происходит при приближении значения величины к значению величины ^ , что в нашем примере
к
к
р
р
-1
)
т
п ■ п
Рис. 5. График зависимости времени ожидания от среднего времени поступления заявок
иркутский государственный университет путей сообщения
наступает при tрi = 5 часов (такое состояние отмечено на рис. 4 пунктирной линией). При > ^ заявки становятся в очередь, которая превышает значение m. Приведенные данные иллюстрируют хорошо известный факт относительно большой чувствительности систем обслуживания, уже достаточно сильно загруженных, к возрастанию загрузки. При этом сразу ощущается значительное возрастание длительности ожидания. Этот факт обязательно следует учитывать при расчете загрузки РМ в СМО [3]. При развёрнутых двух РМ (п = 2) возрастание времени ожидания ремонта происходит значительно медленнее - 11.. .20 % относительно п = 1 в интервале tзi = 20.10 часов. При развёрнутых трёх РМ (п = 3) возрастание времени ожидания ремонта незначительно во всём интервале ^. Поэтому в условиях возрастания интенсивности заявок на ремонт XI целесообразно определить такой показатель для принятия решения о развёртывании дополнительных РМ ремонта СИ, применяя который, можно будет достичь минимального времени ожидания ремонта.
Таким показателем является число обслу-
^ г
женных заявок в единицу времени р = ——. Сле-
ПЦ
довательно, рекомендации для принятия решения о введении дополнительных РМ ремонта будут выглядеть следующим образом:
- при р < 0,95 целесообразно использовать первоначальное количество РМ ремонта, в этом случае длина очереди т не будет расти бесконечно;
- при р^-1 целесообразно увеличить количество РМ ремонта на одно.
Вторым вариантом принятия решения об увеличении каналов является возможность определения критической величины времени ожидания заявки на ремонт в очереди, при превышении которой необходимо увеличение числа каналов. В этом случае длина очереди тоже не будет расти бесконечно.
Поскольку количество РМ для ремонта СИ типа I определяется наличием определённого перечня инструментов и приспособлений для проведения ремонта, а также подготовленных специалистов-метрологов, то следует идти по пути их увеличения. Количество специалистов метрологов определено штатно-должностной структурой, но, тем не менее, есть возможность увеличить количество специалистов по ремонту определённых типов СИ следующим образом. Подготовка специалистов-метрологов в качестве специалистов по
ремонту СИ проводится в высших военных учебных заведениях, учебных организациях, имеющих соответствующую лицензию на осуществление образовательной деятельности, или самостоятельно по учебным программам. В то же время аттестация специалистов по ремонту СИ не предусматривается. На предприятиях и в организациях, занимающихся ремонтом СИ, возможна аттестация специалистов установленным на предприятии (в организации) порядком. Поэтому для одного специалиста-метролога необходимо предусмотреть возможно большее количество программ обучения по ремонту СИ различных типов. Такой подход создаст условия для развёртывания резервных РМ ремонта СИ определённого типа с уже обученными и аттестованными специалистами-ремонтниками в условиях возрастания интенсивности потока заявок на ремонт СИ данного типа.
Практическое применение предлагаемых авторами результатов приводит к достижению эффекта предотвращения бесконечного роста очереди ожидания заявок на ремонт. При этом становится возможным преодоление известных недостатков системы массового обслуживания при резком возрастании интенсивности поступления заявок.
Стоит отметить, что широта применения методов теории массового обслуживания обуславливает возможность использования полученных результатов во многих других областях научно -технической деятельности. Примером может служить параллельная обработка потока заявок на решение целевых задач в многопроцессорных вычислительных системах различного назначения. В частности, рассмотренный подход обеспечивает также возможность анализа влияния архитектуры вычислительной системы на показатели качества решения целевых задач.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вентцель Е.С. Теория случайных процессов / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров— М.: Высшая школа, 2000. - 383 с.
2. Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания / И.Н. Коваленко, Г.И. Ивченко, В.А. Каштанов - М. : Наука, 1982. - 256 с.
3. Гнеденко Б.В. Введение в теорию массового обслуживания / Б.В. Гнеденко, И.Н. Коваленко — М. : Наука, 1987. - 336 с.
4. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения / Т.Л. Саати— М., 1971.
