Алгоритм аналитического расчета вероятностей состояний нестационарных систем обслуживания Текст научной статьи по специальности «Математика»

90

Общетехнические задачи и пути их решения

Общетехнические задачи и пути их решения

УДК 681.142.2 В. П. Бубнов

Петербургский государственный университет путей сообщения

АЛГОРИТМ АНАЛИТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ

Предлагается алгоритм расчёта вероятностей состояний модели нестационарной системы обслуживания. В качестве базовой взята модель с конечным источником заявок, с экспоненциальным распределением временных интервалов между поступлениями заявок и двухэтапным неоднородно-эрланговским распределением временных интервалов обслуживания. Интенсивность поступления и обслуживания зависит от номера заявки. Приводится граф переходов между состояниями системы. Записывается система дифференциальных уравнений, соответствующая данной нестационарной системе.

Алгоритм основан на нумерации вероятностей состояний, позволяющей привести матрицу коэффициентов системы обыкновенных дифференциальных уравнений Чэпмена-Колмогорова к нижнетреугольному виду. Обсуждаются результаты сравнения эффективности предлагаемого алгоритма с численными решениями по временным затратам и точности.

аналитический метод расчёта, нестационарная модель обслуживания, вероятности состояний.

Введение

Нестационарные модели обслуживания нашли широкое применение при анализе качества функционирования вычислительных систем и сетей, находящихся в контуре управления подвижными объектами и технологическими процессами [1], [2], функциональной безопасности средств железнодорожной автоматики [3], а также при оценке надежности программного обеспечения [4], [5].

На основе нестационарной системы обслуживания (НСО) и метода планирования испытаний программных средств разработан комплекс программ расчёта надежности и планирования испытаний программных средств [6].

Однако желание учёта большего числа факторов реальных процессов, подлежащих моделированию, приводит к увеличению числа дифференциальных уравнений Чэпмена-Колмогорова относительно вероятностей со-

2011/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

91

стояний. Время численного решения такой системы дифференциальных уравнений, как показали эксперименты, экспоненциально зависит от числа состояний НСО, что накладывает значительные ограничения на вновь разрабатываемые модели нестационарных систем.

В связи с изложенным актуальность разработки аналитического метода расчёта НСО не вызывает сомнения.

1 Модель одноканальной нестационарной системы обслуживания

На вход одноканальной нестационарной системы обслуживания последовательно поступает N заявок на обслуживание. Распределения временных интервалов между поступлениями заявок описываются экспоненциальными законами с интенсивностями (Х1, Х2, ..., XN}, зависящими от номера заявки. Считается, что система обслуживания - без потерь. Закон распределения времени обслуживания двухэтапный, неоднородно-эрланговский с интенсивностями ц■, Ц обслуживанияj-й заявки.

Такая НСО представима в виде вложенной марковской цепи с дискретным множеством состояний и непрерывным временем. Состояние НСО в каждый момент времени характеризуется числом находящихся в ней заявок i = 0, N, числом обслуженных заявок j = 0, N и номером этапа неоднородно-эрланговского распределения временных интервалов обслуживания к = 0,1. Переход из состояния (i, к, j) в состояние (i + 1, к, j) означает, что в НСО поступила (i + J + 1) заявка. Переход из состояния (i, 0, j) в состояние (i - 1 ° j + 1) означает, что была обслужена (j + 1)-я заявка. Граф переходов между состояниями НСО представлен на рисунке 1.

Рi, к,j (t) есть вероятность пребывания НСО в состоянии (i, к, j). Общее число состояний Т = (N + 1)2. Приведенная НСО описывается системой из Т дифференциальных уравнений Чэпмена-Колмогорова, каждое из которых выглядит следующим образом:

Pihj (t) = H(i - к)PM,к,J (t)Xi+j - H(i)H(1 - к)P,к,J (t)ц j+1 -

-H(к)P к,J (t)ц'+! - H(N - i - j)P,к,j (t)X+J+! + (1)

+H(1 - к)H( j)P+U,J4(t)Ц + H(к)P,0,j(t)цJ-!.

Здесь Н(х) - функция Хэвисайда, заданная как

1, х > 0,

0, х < 0.

Для каждого момента времени t должно соблюдаться условие нормировки вида

N-i

Z-I i=0^t j=0

'H (N-i - j ) < к=0

P к (t) = L

i ,к, J

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2011/4

92

Общетехнические задачи и пути их решения

Рис. 1. Граф переходов между состояниями НСО

Задав начальные условия к системе, например

P,, (0)

'О,

А

i + k + j — О, i + k + j Ф О,

(2)

можно найти численное решение соответствующей задачи Коши для произвольного значения t. В векторно-матричном виде систему уравнений (1) можно записать:

dP(t) dt

AP(t),

(3)

где P(t) — {р. (t)}, n — \T;

А - переходная матрица, имеющая размерность T*T, функция от интенсивности поступления заявок и интенсивностей обслуживания.

2011/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

93

2 Метод аналитического расчета НСО

Для решения задачи (1) традиционно используются численные методы

[7]. Однако увеличение размерности системы влечёт за собой многократный рост вычислительных затрат и в силу большего числа действий, совершаемых на каждом шаге решения, и в силу роста погрешностей, приводящих к необходимости увеличения общего числа шагов на заданном интервале.

Система (1) является линейной однородной системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Её аналитическое решение легко выписывается через собственные числа и собственные векторы матрицы А [8]. Соответственно, если удастся их найти, то нахождение численных значений решений в конкретные моменты времени не составит труда. Покажем, что для рассматриваемой модели НСО построение фундаментальной системы решений не требует дополнительных затрат, связанных с поиском собственных значений матрицы А.

Все состояния НСО являются невозвратными. Разбив все состояния на группы так, что в первую группу входят состояния, у которых j = 0, во вторую j = 1 и т. д. до j = N. Каждую группу в свою очередь разобьем на подгруппы в порядке возрастания i, где i = 0, N - j. В каждой подгруппе каждой группы, за исключением группы j = N, два состояния: (i, 0, j) и (i, 1, j). Состояние (0, 0, N) является поглощающим.

Невозможны переходы:

1) из состояния группы h в состояние группы l, если h > l;

2) из состояния подгруппы h группы j в состояние подгруппы l группы j, если h > l;

3) из состояния группы j в состояние группы l, если l > j +1;

4) из состояния подгруппы h группы j в состояние подгруппы l этой же группы, если l > h + 1;

5) из состояния подгруппы i группы j, к = 1 в состояние группы j подгруппы i, к = 0.

Если ввести сквозную нумерацию всех состояний НСО в порядке возрастания номеров групп, внутри групп в порядке возрастания номеров подгрупп, а внутри подгрупп от состояния, в котором к = 0, до к = 1, то система дифференциальных уравнений (1) преобразуется к виду:

P(t) = a11P1(t)

P2(t) = «21 P1(t) + a22 P(t)

n

(3)

m=1

PT (t) = aT 1P1 (t) + aT 2 P2 (t) +... + aTTPT (t),

T

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2011/4

94

Общетехнические задачи и пути их решения

где апт - интенсивность перехода из состояния с номером т в состояние с номером п.

Так как матрица коэффициентов А системы (3) нижнетреугольная, то очевидно, что характеристическое уравнение для определения собственных чисел будет иметь вид:

T

П (атт - а) = 0. (4)

т=1

Заметим: состояние с номером Т является поглощающим, что влечёт за собой атт = 0. Остальные диагональные элементы матрицы в данном случае будут выражаться следующим образом:

атт = -{H(i)H(1 - к)ц,+1 + H(к)ц' +1 + H(N - i - j)Х 1+м } (5)

с соответствующим пересчётом состояния (i, к, j) в состояние с номером т.

Соответственно, если среди собственных чисел а т = атт (т = 1, T) нет кратных, то фундаментальное решение системы (3), а значит и равнозначной ей системы (1) имеет вид:

P(t) = е, ... , Р(t) = e°-', ... , Pt(t) = 1. (6)

В случае, если ат - корень кратности г, то есть для некоторых т1, ..., тг выполняется ат1т1 = атт2 = ... = ат^тг, соответствующие этому

собственному числу фундаментальные решения запишутся как

Рт (t) = еат1т1, Рт (t) = te

т V / 5 тЛ /

ат\пг1

Р„. С) = 'г-1е

(7)

Решение (3) в общем виде, при начальных условиях Рт (0) = Рот, т = 0, T, следующее.

Решение первого уравнения системы (3) P1(t) = Р0теа11, и ему соответствует фундаментальное решение P(t) = e 11 .

Предположим, что решение первых т-1 уравнений найдено в форме

р„ w=£ клс), п=гтд, (8)

ю=1

причём

Рп (t) = tUn ~xea””n,

где un - кратность собственного числа апп в системе первых п уравнений, которую назовём промежуточной кратностью. Тогда после подстановки (8) в т-е уравнение системы (3) последнее можно записать в виде:

т-1

Рт (t) = аттРт (t) + X ЬтпРп (t) , (9)

п=1

2011/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

коэффициенты bmn в котором находятся как

m-1

b = V a K

mn mm m

co=n

95

Решение (9) будет иметь вид:

m-1

Pm (') = V K^ Pn (t) + Kmm'"", J5,, (t) = '''в“~' > ( 1 0)

n=1

и весь вопрос заключается в определении значений Kmn. Пусть amm - собственное число промежуточной кратности um, собственные числа

“mm, = “mm = ... = “mvmv , mvm = m, пронумерованы в порядке возраста-

11 22 \)т \)т III

ния промежуточной кратности, то есть и

K

mmw

Ъ

m-1

оо

mro = ю, a = 1, vm . Тогда

® = 2, Vm .

(11)

Коэффициенты при всех остальных фундаментальных решениях Pn ('),

для которых ann ф amm, находятся следующим образом. Если ann - собственное число промежуточной кратности un, то

K =

b - K (v -1)

mn mm V n J

a - a

nn mm

b

a - a

nnmm

vn > 1,

vn = 1,

(12)

где аюю = ann и пю = Un-1.

Когда найдены все коэффициенты (11) и (12), находим

m-1

Kmm-1 = P0m V Kmn , (13)

n=1

vn = 0

что позволяет выписать решение (10) в явном виде. Полученный алгоритм решения системы (1) требует на каждом шаге 0(m ) арифметических операций и не более m сравнений. Общая сложность алгоритма оценивается как О(Т^).

Заключение

В таблице приведены результаты расчёта численным и аналитическим методами. Шаг интегрирования численным методом составляет А' = 0,5 с.

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2011/4

96 Общетехнические задачи и пути их решения

ТАБЛИЦА. Сравнительный анализ расчёта численным и аналитическим методами

Вероятность решения задачи

t, с N = 5 N= 10

численным аналитическим численным аналитическим

методом методом методом методом

40 0,0183 0,0246 0,0 0,0

80 0,4023 0,4008 0,0033 0,0054

120 0,8071 0,7967 0,1019 0,1103

160 0,9532 0,9481 0,3935 0,3934

200 0,9899 0,9883 0,6932 0,6853

240 0,9979 0,9975 0,8752 0,8676

280 0,9995 0,9995 0,9567 0,9523

320 - - 0,9866 0,9845

360 - - 0,9962 0,9955

400 - - 0,999 0,9988

На рисунке 2 показаны графики зависимости времени расчёта вероятностей состояний НСО от числа задач в потоке. Кривая 1 демонстрирует зависимость времени расчёта модели численным методом при шаге интегрирования At = 0,5 с, кривая 2 - при At = 1. Кривая 3 показывает зависимость времени расчёта модели предложенным аналитическим методом.

Использование предложенного аналитического метода позволяет победить так называемое «проклятие размерности» при учете различного числа факторов в моделях нестационарных систем обслуживания.

1200.0 -1000.0 --BOO.О --

Рис. 2. Зависимость времени расчёта модели от числа задач в потоке

Библиографический список

1. О загрузке вычислительной системы с изменяющейся интенсивностью поступления заданий / В. П. Бубнов, В. И. Сафонов, В. Л. Смагин // Автоматика и вычислительная техника. - 1987. - № 6. - С. 19-22.

2011/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

97

2. Разработка динамических моделей нестационарных систем обслуживания / В. П. Бубнов, В. И. Сафонов. - СПб. : Лань, 1999. - С. 64.

3. Нестационарная модель оценки функциональной безопасности средств железнодорожной автоматики / В. П. Бубнов, К. И. Бурцева // Труды Международной научно-методической конференции, 11-12 ноября 2010 г. - СПб. : Петербургский государственный университет путей сообщения, 2011. - С. 269.

4. Обоснование стратегии отладки программ на основе нестационарной модели надёжности / В. П. Бубнов, А. В. Тырва, А. Д. Хомоненко // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. -2010. - № 2 (97). - С. 85-92.

5. Model of reliability of the software Coxian distribution of length of intervals between the moments of detection of errors / Bubnov V. P., Tyrva A. V., Khomonenko A. D. // In proceedings of 34th Annual IEEE Computer Software and Applications Conference (COMPSAC 2010). - Seoul, Korea, 19-23 Jule 2010. - РР. 238-243.

6. Комплекс программ расчета надежности и планирования испытаний программных средств / А. В. Тырва, А. Д. Хомоненко, В. П. Бубнов // Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2010615617. - М., 2010.

7. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи / Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер ; пер. с англ. - М. : Мир, 1990. - 436 с.

8. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями / А. И. Егоров. - 2-е изд., испр. - М. : Физматлит, 2005. - 324 с.

УДК 624.042.7

В. В. Егоров, П. Н. Григорьев, А. Н. Судаков

Петербургский государственный университет путей сообщения В. М. Круглов

Московский государственный университет путей сообщения

АНАЛИЗ ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ КОМБИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ ШПРЕНГЕЛЬНОГО ТИПА

Одним из перспективных и многообещающих направлений развития строительных конструкций является применение в качестве плоских и пространственных несущих конструкций комбинированных систем шпренгельного типа.

В данной статье осуществлен анализ некоторых аспектов изгибных и изгибно-крутильных колебаний пространственно-шпренгельных систем.

Исследование показало, что при пространственных поперечных колебаниях усиливается влияние конструктивной нелинейности. Пространственные изгибные и изгиб-но-крутильные колебания шпренгельных конструкций в режиме конструктивной нели-

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2011/4