Математическая модель процесса плавления высоковязкого нефтепродукта при выгрузке из котла вагона-цистерны Текст научной статьи по специальности «Физика»

DOI: 10.24412/2413-2527-2022-230-10-18

Математическая модель процесса плавления высоковязкого нефтепродукта при выгрузке из котла вагона-цистерны

д.т.н. В. И. Моисеев, В. А. Ксенофонтова Петербургский университет путей сообщения Императора Александра I Санкт-Петербург, Россия moiseev_v_i@list.ru, koc-vera@yandex.ru

Аннотация. В статье предлагается математическая модель процесса решения тепловой задачи, связанной с плавлением высоковязких нефтепродуктов при их сливе и очистке котла вагона-цистерны от их остатков. Застывший нефтепродукт имеет форму выпукло-вогнутого сегмента. Для построения общей модели тепловых процессов внутри цистерны область размыва максимально упрощается с использованием метода конформных отображений. Процесс определения границ фазового перехода разбивается на две подзадачи: внутри области размыва распределение температур описывается стационарными решениями, на границе — нелинейная стационарная задача, решаемая с использованием численных методов.

Ключевые слова: математическая модель, распределение температуры, фазовый переход, плавление затвердевшего слоя, метод конформных отображений, метод прямых, вязкие нефтепродукты.

Введение

Одним из актуальных направлений современной математики и численных методов решения различных прикладных задач является изучение нелинейных математических моделей физических явлений. К ним относятся и разнообразные тепловые задачи о фазовых превращениях. В классической постановке задача о замерзании воды (таяния льда) была решена Йозефом Стефаном (Jozef Stefan) в 1889 году и с тех пор носит его имя [1, 2].

Задача Стефана

Простейший вариант математической модели одномерной задачи Стефана поясняет рисунок 1 [3]. Обозначая индексами «1» и «2» величины, относящиеся к твердой и жидкой фазам, отметим, что коэффициенты теплопроводности X, Bт/(мx°C), удельной теплоемкости С, Дж/(кгx°C), и плотности р, кг/м3, а также объединяющий их коэффициент температуропроводности а, м2/с,

X

а = 7^ , Ср

у твердой и жидкой фаз различны, но не меняются с температурой: Xl Ф X2; С1 Ф С2; рх Ф р2; а1 Ф а2.

B начальный момент времени твердая фаза отсутствует, а в жидкой фазе имеется некоторое исходное распределение температур:

Т2(х,0) = Тн 0 <х<1 .

(1)

к.т.н. Т. А. Комарова Научно-внедренческий центр «Дисперсные системы» Санкт-Петербург, Россия komarova_tanusha@mail. т

vl Я; С; /)

/у /vw/ Я» /

I 1 I 1 Я; С; р v2 Г 1 -j I X

Рис. 1. Схема тепловой задачи Стефана для плавления кристалла

На поверхности (х = 0) поддерживается постоянная отрицательная температура, обеспечивающая отток теплоты от фронта кристаллизации через затвердевший слой:

Tl(0, т) = ^(т); 0 <х<1 .

(2)

На фронте кристаллизации жидкая и твердая фазы считаются в идеальном тепловом контакте, их температуры одинаковы и равны температуре фазового перехода, и здесь же выделяется скрытая теплота фазового перехода д*, которая отводится через обе фазы:

X-

- X (^

V дх /r=i(T) 2\дх.

>Х=ф)

=¿т;

(3)

/х=^(т)

Г2Й(т), т) = Т^(т), т) = Ткр . (4)

Вдали от фронта кристаллизации жидкая фаза сохраняет свою исходную температуру:

Т2 (/, т)= У2(т). (5)

Плотность теплового потока д*, Вт/(м2х°С), задается постоянной и описывается законом теплопроводности Фурье:

д = -X х grad Т. (6)

Распределение температур можно найти, решая систему из двух уравнений теплопроводности в частных производных:

дТ1 д2Т1

~дт' = а1 0X2 ;

дТ2 д2Т2

дт = 32 0X2

0 < х < f (т); ((т) < х < I .

(7)

1п1е11гс1ыа1 Technologies оп ТтитроН. 2022. N0 2

Система уравнений (2)-(7) позволяет найти распределение температур в твердой и жидкой фазах Т\(х, т), Т2(х, т), а также закон движения фронта кристаллизации £(г).

Для одномерного варианта задачи известно решение [4-6], записанное с использованием безразмерных температурных параметров 01 и ©2:

01 =

Т- - Тс

02 =■

Т2- Т

Н

гр ГГ1 ' 2 ГТ! гр

ТКР — ТС ТКР — ТН

и функции, называемой «интегралом ошибок» [4-6]:

(8)

е^ х

0

Решение имеет вид:

01 =

= -[ в

\2Уа1т/

Р"1

42%/

е ь сИ ; erfc х = 1 — е^ х.

е^с

1

02 =■

erfc

(9)

Здесь в — постоянная величина, определяемая из трансцендентного уравнения, которое получается подстановкой (8) и (9) в равенство (7):

2(ТКр — Тс)

X

ехр(—р2/2ах)

+

+

ег^р/^^) ] Х2 ехр(—р2/2а2)

У^ егй(р/72^).

= <?*РР. (10)

Тепловая задача о плавлении затвердевших

нефтепродуктов при их выгрузке и очистке котла

вагона-цистерны Модель Стефана описывает плавление кристаллов или затвердевание жидкости. Но она требует пересмотра при описании затвердевания или разжижения вязких нефтепродуктов (ВНП) — мазутов, парафинов, битумов и других коллоидных, бесструктурных систем без четких границ раздела между маловязкой и высоковязкой областями (рис. 2) [7, 8]. Для них вместо термина «фаза» более оправданным является термин «фракция». У нефтепродуктов в отличие от классических двухфазных систем теплопроводность X и теплоемкость С и плотность р не изменяются при плавлении и затвердевании, приходится вводить такой параметр как вязкость V, которая резко возрастает при охлаждении.

Рис. 2. Схема тепловой задачи по разжижению ВНП

Вместо фронта кристаллизации, определенного координатой х, для ВНП надо ввести понятие «участка затвердевания» конечной длины Ах, вместо температуры фазового перехода Ткр — некоторое распределение температур Ткр(х) по этому участку. При этом в равенствах (8) и (10) вместо Ткр следует ввести усредненную температуру затвердевания Т. Температура Т зависит и от состава нефтей, из которых был получен нефтепродукт, и от особенностей процесса, в ходе которого он был получен.

Поэтому тепловая задача о плавлении загустевшей фракции ВНП является нелинейной задачей теплопроводности, относящейся к классу Стефана.

Возьмем за направление исследований прикладную задачу выгрузки из вагона-цистерны таких ВНП, как мазуты, крекинг-остатки, парафины и др. Их заливают в котел вагона-цистерны при температуре +100 °С, когда они имеют малую вязкость. При этом во время налива изначально обеспечивается перевод жидкого нефтегруза в стратифицированное состояние.

Плотность ВНП в верхней части котла при этом создается существенно меньшей, чем в нижней его части. Мероприятие блокирует возникновение естественной конвекции горячего ВНП на холодных стенках котла, что резко снижает скорость его охлаждения при перевозках.

На рисунке 3 показано расчетное распределение температур в котельном мазуте М100 по сечению котла вагона-цистерны через 10 суток транспортирования при температуре воздуха = -20 °С. Результаты получены при математическом моделировании тепловых процессов с привлечением пакета программ А№У8 18.2 [8].

Рис. 3. Распределение температур в массе мазута котельного М100, находящегося в стратифицированном состоянии по сечению котла вагона-цистерны через 10 суток транспортирования при температуре воздуха -20 °С

По нормативам выгрузку мазута М100 проводят самотеком при его температуре +40...45 °С. Из рисунка 2 видно, что за время перевозки свыше 50 % продукта (выделена красным цветом) сохранила высокую температуру и текучесть, достаточные для нормативных условий выгрузки. Около 25.30 % (выделена оранжевым цветом) охладилась до температуры +37 °С, около 10 % (выделено желтым цветом) до температуры +21 °С и находится в вязко-текучем состоянии. Оставшаяся часть 3.5 % (выделена голубым и фиолетовым цветом) охладилась до отри-

цательных температур и, следовательно, затвердела. Модель позволяет видеть и область перехода в высоковязкое состояние толщиной 0,05.0,1 м, она выделена зеленым цветом.

Размыв при выгрузке нужно проводить для массы ВНП, составляющей около 15.20 % всей массы доставленного нефтегруза (выделено фиолетовым, голубым и зеленым цветом). Область размыва в плане чертежа имеет форму выпукло-вогнутого сегмента. Одной его стороной является окружность с радиусом котла Я = 1,5 м, а другой — парабола, являющаяся границей затвердевшего слоя мазута. В оптике объекты с такой формой называют «чечевицами», а в теории функций комплексного переменного — «лунками» [9]. Второй термин и будет использоваться ниже.

Решение стационарной задачи о размыве затвердевшего слоя ВНП

Форма и толщина лунок не однозначны, они зависят от вида ВНП, от температуры окружающего воздуха, от продолжительности роста затвердевшего слоя и т. д. Поэтому для построения общей модели тепловых процессов при плавлении высоковязких слоев ВНП необходимо максимально упростить форму области Б, где они происходят. Здесь наиболее удобным представляется метод конформных отображений (МКО) [4, 9], применимый для решения стационарных тепловых задач, описываемых уравнением Лапласа:

д2Т д2Т

а* + ^ = °. (11)

Известно, что любая аналитическая функция комплексного переменного удовлетворяет уравнению Лапласа (11) и поэтому в основе МКО лежит сведение заданной сложной области (лунки) к простейшей классической области, для которой решение известно. При этом и уравнение (11) и краевые условия к нему сохраняют свой вид. Поэтому основным преимуществом МКО является возможность получения решений уравнения (11) для практически любой фигуры, заданной на плоскости, в частности для лунки, включающей уже затвердевший, затвердевающий на различной стадии процесс, которые на рисунке 3 выделены бирюзовым, зеленым и желтым цветами.

Решение задачи определения границ областей Б фазового перехода внутри котла вагона-цистерны разобьем на две подзадачи. В каждый момент времени область имеет несколько зон различной температуры. Так, одна лунка состоит из внутренней части области

Б = (х: и0 < Т(х, £) < щ}

и границ 1г = (х: Т(х, £) = и0} и 12 = (х: Т(х, £) = щ}.

В области Б распределение температуры можно описывать стационарными решениями, а на границах 11 и 12 — как нелинейную нестационарную задачу, решаемую с использованием численных методов [10, 11].

Для верхней полуплоскости аналитическая функция, описывающая распределение температур и удовлетворяющая краевым условиям, известна [4, 9]. Поэтому и задачу математического описания температурного поля в лунке можно считать решенной.

Введем понятие комплексного потенциала для переноса теплоты. Известно, что плотность теплового потока в среде без тепловых источников определяется уравнением (1). Это

уравнение справедливо как для уже застывшего слоя, так и еще не застывающего слоя. Но дивергенция градиента дает оператор Лапласа, а из уравнения теплопроводности (11) следует, что он равен нулю. Тогда

dqx dqy div q = — + —= 0,

ox dy

а так как X = const, то (12) выполняется, когда dqy = dqx дх ду '

(12)

(13)

Комплексным потенциалом теплового потока называется функция комплексного переменного г = х + 1у следующего вида:

у(г) = 7(х, у) + I х и(х, у).

Ее составляющими являются функции двух переменных, связанные условиями Коши — Римана:

дУ ди „

(14)

дх 3V ду

ду ди дх

Яу ,

Чх_

(15)

Дифференцируем обе части равенства (14) по у, а равенства (15) по х. Приравнивая друг другу смешанные производные второго порядка, мы приходим к равенству (13):

и(х, у) = /ш|ф(г)| .

Найдем общий вид функции, проводящей отображение лунки I={z: R<\z\<r} (рис. 4) на верхнее полупространство. Граница области I состоит из двух дуг окружностей

h = BOA и I2 = BCA.

Рис. 4. Выгнуто-вогнутый сегмент, дополнительные построения

Здесь 01А = г и 010 = г. Тогда треугольник А010 — равнобедренный. Касательные к окружностям (с радиусом Я и г) в точке А обозначим как Т1 и Т2 соответственно, а угол между ними — как а.

Пусть координаты точек А и В есть А (Ь, с[), В (-Ь, с[). Тогда = Ь + СИ, гв = —Ь + СИ.

Рассмотрим дробно-линейную функцию

г — (Ъ + (И)

мл =-.

1 г +(Ь-й1)

При этом ук1(2а ) = 0, а к1(гв) = го.

Возьмем точку, лежащую на прямой, проходящей через точки А и В, х+й1. В этом случае

w1 (х + di) =

х — b х + b

(16)

является вещественным числом.

Так как х может иметь любое числовое значение, то прямая, проходящая через точки А и В, переходит в вещественную ось.

Найдем отображение контуров I\ = BOA и h = BCA. В силу конформности дробно-линейного отображения контуры I и I2 переходят в лучи L\ и L2 соответственно, исходящие из начала координат. Угол между этими лучами будет равен а.

Возьмем точку О Е 11 и вычислим значение комплексной функции w1(0):

Ъ + di b2-d2 2bd Wi(0) = -b-di = -vTd2i = *i- (17)

Мнимая и действительная части этой функции равны

2bd d2 — b2 Im(z1) = — , Re(z1) = ■

b2 + d2'

d2 + b2

(18)

Обозначим через в угол между лучом Ь\ и вещественной осью. Рассмотрим два случая:

\. d2 — Ь2 < 0 ^ луч лежит в третьем квадранте при этом угол между Ь1 и вещественной осью равен

2bd

arg-

+ п ;

'd2-b2

2. d2 — b2 > 0 ^ луч лежит в четвертом квадранте при этом угол между L1 и вещественной осью равен

2bd

arg + 2п .

Отсюда следует, что лунка I отображается функцией wl на угол М = {wl: ß < argw1 < ß + а}. Преобразование w2 = w1e-ßl переводит угол L2OL1 на угол Ml = {w2: 0 < argw2 < а}.

При этом отображение w3 = w2n/a согласно свойству степенной функции комплексной переменной [4, 9] отображает угол Ml на верхнее полупространство. Окончательное выражение для функции, отображающей лунку на полупространство:

w

=С

^ — (b +di) e-ßAa

z + (b — di) )

(19)

Из формулы (19) легко видеть, что нижняя граница лунки I\ = BOA переходит в положительную часть оси Ox, а I2 = BCA — в отрицательную часть оси Ox.

Подберем аналитическую в верхней полуплоскости функцию

4>(z) = V(x,у) + iu(x,у) ,

где г = х + ¡у, мнимая часть которой 1ш(^(г)) = и(х, у) на интервале (—<*>, 0) принимает значение и\, а на интервале (0, +го) — значение и0 (начальные условия). Такую функцию естественно искать в виде

= Ci arg(—w) + С2 и arg(w) =

У > 0,

, у < о .

Постоянные C1 и C2 находим из граничных условий:

(20)

Í

и0 = пС1 + С2 , Ul = С1 х 0 + С2

Тогда

j С2 = Щ '

jC1 = (u0 — щ)/п .

Из (20) и (21) получаем:

щ — щ

и = ■

л

arg(—w) + u1

(21)

(22)

Теперь построим сам комплексный потенциал, это будет аналитическая функция с мнимой частью вида (22). В качестве такой функции можно выбрать

щ — иЛ

= —-11п(-ы) + и1.

л

При этом получаем окончательное выражение для искомой функции:

и(ж) = 1т (-0——11п(—w)) + м1.

Конформные преобразования используют при рассмотрении стационарного распределения температур [3], но когда температура и градиент температуры за расчетный интервал времени на границе среды остаются неизменными, то эта граница называется пассивной. Источники теплоты на ней исключаются из рассмотрения и уравнение теплопроводности принимает форму равенства (11). Допущение о пассивности границ размываемого нефтепродукта оправдывается малыми значениями его теплопроводности X и сравнительно узкой шириной зоны затвердевания Ах, отмеченной на рисунке 2. Только внутри этой зоны и происходит выделение (поглощение) теплоты д* фазового перехода парафинов, являющихся одной из компонент ВНП.

Нестационарная часть тепловой задачи

плавления ВНП Рассмотрим вторую часть задачи, а именно границы рассматриваемой лунки. В результате преобразования, описываемого формулой (19) границы лунки перешли в ось Ох, что позволяет рассмотреть задачу как одномерную. Одномерная задача нестационарной теплопроводности имеет следующую математическую модель:

дТ д2Т

Тт = 01X2 + f(x'т); Т\т=0 = ФСО; о <х<1;

Т(0, т) = ¥1 (т); ТО, т) = ^(т).

(23)

(24)

Intellectыal Technologies on Transport. 2022. No 2

Вторую производную заменяем конечной разностью по координате х [12]:

д2Т 'дх2

=хк

Т(хк+-, т) — 2Т(хк, т) + Т(хк-1, т)

к2

(25)

При этом задается набор прямых

х = хк = кИ , (к = 0,1,2,____, п + 1); к =

I

п + 1

Уравнение (23) вместе с краевыми условиями (24) преобразуется в систему уравнений:

Тк (т) — [Тк+-(т) — 2Тк (т) +

к

+ Тк--(т)]= /(хк,т) , к = 1,2,...,п;

То(Г) = ¥1(т); Тп+-(т) = у2(г)

Конечно-разностное уравнение (25) аппроксимирует вторую производную с точностью до к2, но эту точность можно поднять, раскладывая функцию Т(х, т) в окрестностях точки хк в ряд Тейлора. После аналогичных преобразований конечно-разностный аналог уравнения (23) приводится к виду [12]:

6 Тк (т) +-2 К+1 (т) + Тк--(т)] —

— ^Ч) — 2 + =

к2

= 5Гк(т) + 12 [/к-1 (т) + Гк+-(т)] , к = 1,2,...

В последнем варианте точность аппроксимации составляет уже к4.

Более общую математическую модель нестационарных одномерных процессов с фазовыми переходами выражают уравнением теплопроводности, записанным так:

д2Т идТ

+ f(x,т) , г < х < I (26)

дТ

дт

■ = а

дх2 х дх

Сюда же включают начальное условие (27) и три краевых условия (16)-(18):

Т\т=о = ФСО ,

дТ

дх

0 <х<1 ; = /(Г, т) , т >0 ;

Х=1

Т\х=с = ТЛл = сошГ , т > 0.

(27)

(28) (29)

Скорость движения участка затвердевания Ах будет некоторой функцией температуры, координаты и времени:

ах ( дт \

Тт = Х Л, * т) при Х = Я , Т >0. (30)

В уравнении теплопроводности (26) число и имеет значения и =0, и =1 и и=2 в зависимости от того, в какой системе координат (прямоугольной, цилиндрической или сферической) оно рассматривается. Функции ф, х и / могут быть произвольными, так как метод прямых не наклады-

вает ограничений на характер этих зависимостей. При рассмотрении системы уравнений (26)-(30) применяют подстановку Ландау:

I — х

(31)

(32)

у = т—Я.

у\х=1 = 0; у\х=г = 1.

После перехода к новой переменной (37) получаем равенства:

дТ _ д2Т дТ дт = Рду2—Чду

— = — , 0< У <1 , т >0 ;

(I — Я)2'

ад

+

¿Я

УТт

(I — д)х[1—у(1 — я)] I — я '

(33)

дТ

— = —(I — я)/(Г,т) , у = 0, т >0. (34)

Источники теплоты д* в ВНП, как отмечалось выше, проявит себя только тогда, когда к данной точке среды подойдет участок затвердевания Ах; вне этого участка объемная плотность тепловыделения равна нулю:

Т = Тпл (у) , 0 <у< 1 , т = 0.

В соответствии с методом прямых плоскость (у, т) разбивается на (т +1) участков прямыми линиями:

у = ]'Ау , ] = 1,2,... т.

Частные производные первого и второго порядка дТ /ду и д2Т/ду2 заменяются разностями

дТ Т(у1+-) — Т(у1) ду *

д2Т ду2

2Ау

Т(у1+-) — 2Т(у1) + Т(уу--) Ау2

(35)

(36)

а производная по времени дТ /дт заменяется той же производной, рассчитываемой вдоль 1-й прямой дТ^/дт. После подстановки (35) и (36) в (32) получаем конечно-разностный аналог уравнения теплопроводности (24), построенный в соответствии с методом прямых:

6Т:

Ъ =

(Т+1 — 27, + Т—

Ау2

Ъ+г—П-2Ау

( = 1,2,...т — 1. (37)

Здесь р и д по равенству (25) для соответствующих значений у и г [12]. Разностное уравнение (37) считается справедливым на прямой г = 0. Температура Т.\ относится уже к области внешней по отношению к рассматриваемой ее находят подстановкой (35) в граничное условие (33):

Т-1 = Т.-

2Ау(1 — г)Г(То, т).

(38)

Итак, задача свелась к нахождению решения системы (т+1) уравнений, из которых (т-1) образует подсистему (37), еще одно уравнение (38) следует из этой же системы для г = 0, и последнее получается из (34) после разрешения его относительно

х

Функция, описывающая распределение температур в лунке, аналогична функции (9):

erf

(—) =

V2VÖT/

Т(х, т) -Тс

В комплексной форме ее можно записать следующим образом:

w(x) = е

~х2 erfc (■

-ix\ 2е~

Vn

Г+Ю

I ix

-,-t'

2VÖX

dt =

Т(х, т) — Тс

Отметим, что z из (17) не выражается в явном виде через w (19), и при расчетах для заданного z надо найти значение w по формуле (20), чтобы получить соответствующее значение потенциала переноса в рассматриваемой плоскости.

На основе этого алгоритма была построена программа для ЭВМ «STEFAN» написанная на языке FORTRAN стандарт 77 (оболочка FPS-1.0) [13-15]. Результаты выполненных расчетов показаны на рисунках 5-7.

На рисунке 5 внутренняя поверхность затвердевшего слоя обозначена позицией 1, наружная поверхность слоя — позицией 21.

При выполнении расчетов принято, что:

• температура мазута внутри цистерны (кривая 1) — +25 °С;

• температура окружающей среды и, следовательно, слоя мазута на стенках котла (кривая 21) равна минус 40 °С;

• начальная толщина застывшего слоя мазута — 100 мм;

• коэффициент теплоотдачи с внутренней стороны слоя авн = 10 Вт/(м2хК);

• теплоотдача с наружной стороны анар=15 Вт/(м2хК).

Рис. 5. Изменение распределения температур в затвердевшем слое мазута при его разогреве и плавлении с учетом фазового перехода (расчет кривых отвечает шагу 1/20 толщины слоя)

Кривая 2 определяет разогрев внутреннего слоя мазута толщиной около 5 мм. Она показывает, что температура плавления мазута, равная +15оС достигается приблизительно через один час. Прогрев и плавление более глубоких слоев (кривые 3 и 4) завершится через 4 и 6 часов соответственно. К этому времени толщина затвердевшего слоя окажется приблизительно равной 50...60 мм. Дальше процесс разогрева и плавления резко ускоряется за счет уменьшения термического сопротивления затвердевшего слоя. Затвердевший слой будет полностью размыт через 9 часов и это при очень низкой температуре атмосферного воздуха.

Т

JL мм

6

'30

-30

-I- -1 —- 1 |

Y -

h-p, ---2——— :

-

—

Г. 1 ■

0,2

0,4

0,6

0.8

Рис. 6. Изменение во времени толщины застывшего разжижающегося слоя мазута и температуры его внутренней поверхности в зависимости от времени с учетом фазовых превращений

При выполнении расчетов принято, что:

• температура окружающей среды и, следовательно, слоя мазута на стенках котла равна 0°С;

• температура внутри котла вагона-цистерны — +63 °С;

• начальная толщина застывшего слоя мазута — 17 мм;

• теплопроводность слоя — 0,1 Вт/(мхК);

• коэффициент теплоотдачи с внутренней стороны слоя авн =36 Вт/(м2хК);

• теплоотдача с наружной стороны анар=15 Вт/(м2хК).

На рисунке 6 кривая 1 определяет скорость толщины застывшего разжижающегося слоя мазута. Она показывает, что в первые часы (моменты времени) процесс проходит достаточно активно (кривая резко идет вверх), далее, по мере уменьшения затвердевшего слоя (кривая 2) скорость становится меньше. Процесс разжижения прекращается через 0,8 часа, когда кривая 2 приближается к нулю. При этом внутренняя и внешняя температуры (кривые 3 и 4) уменьшаются и увеличиваются соответственно. И принимают через 0,8 часа значение 45°С, достаточное для выгрузки мазута самотеком.

На рисунке 7 внутренняя поверхность затвердевшего слоя обозначена кривой 1, наружная поверхность слоя — кривой 21.

При выполнении расчетов принято, что:

• температура мазута внутри цистерны (кривая 1) — +65 °С;

• температура окружающей среды и, следовательно, слоя мазута на стенках котла (кривая 21) равна минус 40 °С;

а)

б)

Рис. 7. Распределение температур через 1/20 толщины пленки а — для застывшего слоя толщиной 10 мм; б — для застывшего слоя толщиной 100 мм

• коэффициент внутренней теплоотдачи Овн = 50 Вт/(м2хК) для рисунка 7, а и Ош = 10 Вт/(м2хК) для рисунка 7, б;

• коэффициент внешней теплоотдачи анар = 50 Вт/(м2хК) для рисунка 7, а и анар = 15 Вт/(м2хК) для рисунка 7, б.

Из рисунка 7, а видно, что кривая 21, показывающая изменение температуры наружного слоя застывшего нефтепродукта, меняется от минус 40 °С до приблизительно минус 21 °С через 12 часов, в то время как кривая 1, показывающая изменение температуры внутреннего слоя застывшего нефтепродукта, меняется от минус 40 °С до приблизительно плюс 10 °С через такое же время. В то же время из рисунка 6, б видно, что кривая 21, показывающая изменение температуры наружного слоя застывшего нефтепродукта, меняется от минус 40 °С до приблизительно минус 35 °С, в то время как кривая 1, показывающая изменение температуры внутреннего слоя застывшего нефтепродукта, меняется от минус 40 °С до приблизительно плюс 41 °С за те же 12 часов. Разница в температуре внутренних и внешних слоев объясняется разницей в толщине затвердевшего слоя и горячим нефтепродуктом в центре котла вагона-цистерны.

Суммарные потери теплоты для процесса, отмеченного на рисунке 7, а, составляют 4,7х 109 Вт, а для процесса, отмеченного на рисунке 7, б, — 1,55х 109 Вт.

Такие значения времени разогрева и размыва приблизительно соответствуют практике эксплуатации сливных площадок.

Заключение

Построена нелинейная математическая модель процесса плавления вязких нефтепродуктов при их выгрузке с разогревом из котла вагона-цистерны.

Построенная модель позволяет решать технологические задачи разогрева до разжижения вязких нефтепродуктов при их сливе и очистке котла вагона-цистерны от их высоковязких остатков, а также оценить потребные затраты времени и тепловой энергии.

Литература

1. Данилюк, И. И. О задаче Стефана // Успехи математических наук. 1985. Т. 40, Вып. 5 (245). С. 133-185.

2. Мейрманов, А. М. Задача Стефана / А. М. Мейрма-нов; АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т гидродинамики. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1986. — 239 с.

3. Назинцев, Ю. Л. Теплофизические свойства морского льда / Ю. Л. Назинцев, Ж. А. Дмитраш, В. И. Моисеев. — Ленинград [Санкт-Петербург]: Изд-во Лен. Гос. ун-та, 1988. — 259 с.

4. Лыков, А. В. Тепломассообмен: Справочник. —

2-е изд., перераб. и доп. — Москва: Энергия, 1978. — 480 с.

5. Лыков, А. В. Теория теплопроводности. — Москва: Высшая школа, 1967. — 600 с.

6. Гребер, Г. Основы учения о теплообмене = Die Grundgesetze der Wärmeübertragung. Dritte völlig neubearbeitete auflage / Г. Гребер, С. Эрк, У. Григулль; пер. с нем. под общ. ред. А. А. Гухмана. — Москва: Издательство иностранной литературы, 1958. — 566 с.

7. Кладов, A. B. Вязкостно-температурные свойства нефтепродуктов / А. В. Кладов, В. П. Коваленко, В. В. Шлячков // Сборник рефератов депонированных рукописей. Серия Б, инв. № Б5591, Выпуск № 69. — Москва: ЦВНИ МО РФ, 2004.

8. Моисеев, В. И. Математические модели и численные методы тепло- и массопереноса при естественной конвекции горячих жидких нефтепродуктов в котле вагона-цистерны / В. И. Моисеев, В. А. Ксенофонтова, Т. А. Комарова // Интеллектуальные технологии на транспорте. 2022. № 1 (29). С. 5-15. DOI: 10.24412/2413-2527-2022-129-5-15.

9. Фукс, Б. А. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения / Б. А. Фукс, Б. В. Шабат. —

3-е изд. — Москва: Наука, 1964. — 388 с. — (Физико-математическая библиотека инженера).

10. Пехович, А. И. Расчеты теплового режима твердых тел / А. И. Пехович, В. М. Жидких. — 2-е изд., перераб. и доп. — Ленинград [Санкт-Петербург]: Энергия. Ленингр. отд-ние, 1976. — 352 с.

11. Пестов, К. Н. Об одном численном методе решения задач типа Стефана / К. Н. Пестов, О. Н. Любимова, М. В. Останин // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия:

Механика предельного состояния. 2019. № 3 (41). С. 51-60. DOI: 10.26293/chgpu.2019.41.3.002.

12. Кузнецов, Г. В. Разностные методы решения задач теплопроводности: Учебное пособие / Г. В. Кузнецов, М. А. Шеремет. — Томск: Изд-во Томского политехн. ун-та, 2007. — 172 с.

13. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012619613 Российская Федерация. Программа для расчета тепловых процессов при разогреве и размыве вязких нефтепродуктов, сливаемых из железнодорожной цистерны «STEFAN 1»: опубл. 13.09.2012 / В. И. Моисеев, Д. В. Елисеев.

14. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012618250 Российская Федерация. Программа расчета скорости движения границы расплава вязких нефтепродуктов, разогреваемых перед сливом в железнодорожной цистерне: опубл. 12.09.2012 / В. И. Моисеев.

15. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012616057 Российская Федерация. Программа для расчета распределения температур в темных нефтепродуктах при их выгрузке из ж.-д. цистерны в зимних условиях: опубл. 03.07.2012 / В. И. Моисеев, Д. В. Елисеев.

DOI: 10.24412/2413-2527-2022-230-10-18

Mathematical Model of Melting Process of High Viscosity Oil Product Upon Discharge

from of Tank Wagon

Grand PhD V. I. Moiseev, V. A. Ksenofontova Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University Saint Petersburg, Russia moiseev_v_i@list. ru, koc-vera@yandex. ru

Abstract. The article offers a mathematical model of the thermal problem connected with melting of highly viscous oil products at their discharge and cleaning of the boiler of the tank wagon from their residues. The frozen petroleum product is in the form of a convex-concave segment. In order to construct a general model of thermal processes inside the tank, the blur area is simplified as much as possible using conformal mapping. The phase transition delimitation process is divided into two subtasks: inside the blur area, the temperature distribution is described by stationary solutions, at the border — a nonlinear stationary problem solved using numerical methods.

Keywords: mathematical model, temperature distribution, phase transition, melting of the solidified layer, conformal mapping method, method of straight lines, viscous oil products.

References

1. Danilyuk I. I. On the Stefan Problem [O zadache Stef-ana], Russian Mathematical Surveys [Uspekhi matematich-eskikh nauk], 1985, Vol. 40, Is. 5, Pp. 157-223.

DOI: 10.1070/RM1985v040n05ABEH003684.

2. Meyrmanov A. M. The Stefan's Problem [Zadacha Stef-ana]. Novosibirsk, Nauka Publishers, 1986, 239 p.

3. Nazintsev Yu. L., Dmitrash Zh. A., Moiseev V. I. Ther-mophysical properties of sea ice [Teplofizicheskie svoystva morskogo lda]. Leningrad [Saint Petersburg], Pushkin Leningrad State University, 1988, 259 p.

4. Lykov A. V. Heat and mass transfer: Reference book [Teplomassoobmen: Spravochnik]. Moscow, Energia Publishing House, 1978, 480 p.

5. Lykov A. V. Theory of thermal conductivity [Teoriya teploprovodnosti]. Moscow, Vysshaya Shkola Publishers, 1967, 600 p.

6. Gröber H., Erk S., Grigull U. Die Grundgesetze der Wärmeübertragung. Dritte völlig neubearbeitete auflage [Os-novy ucheniya o teploobmene]. Moscow, Foreign Literature Publishing House, 1958, 566 p.

7. Kladov A. V., Kovalenko V. P., Shlyachkov V. V. Viscosity-Temperature Properties of Petroleum Products [Vyaz-kostno-temperaturnye svoystva nefteproduktov], Collection of abstracts of deposited manuscripts [Sbornik referatov deponi-rovannykh rukopisey], Series B, No. B5591, Is. 69. Moscow, Center for Military Scientific Information of the Ministry of Defense of the Russian Federation, 2004.

8. Moiseev V. I., Ksenofontova V. A., Komarova T. A. Mathematical Models and Numerical Methods of Heat and Mass Transfer During Natural Convection of Hot Liquid Petroleum Products in Boiler of Tank Wagon [Matematicheskie

PhD T. A. Komarova Research and Implementation Center «Dispersed Systems» Saint Petersburg, Russia komarova_tanusha@mail.ru

modeli i chislennye metody teplo- i massoperenosa pri estestvennoy konvektsii goryachikh zhidkikh nefteproduktov v kotle vagona-tsisterny], Intellectual Technologies on Transport [Intellektualnye tekhnologii na transporte], 2022, No. 1 (29), Pp. 5-15. DOI: 10.24412/2413-2527-2022-129-5-15.

9. Fuks B. A., Shabat B. V. Functions of a complex variable and some of their applications [Funktsii kompleksnogo peremennogo i nekotorye ikh prilozheniya]. Moscow, Nauka Publishers, 1964, 388 p.

10. Pekhovich A. I., Zhidkikh V. M. Calculations of the thermal regime of solids [Raschety teplovogo rezhima tverdykh tel]. Leningrad [Saint Petersburg], Energia Publishing House, 1976, 352 p.

11. Pestov K. N., Lyubimova O. N., Ostanin M. V. The Method of Solving Problems Type of Stefan with Phase Transitions of the First Kind [Ob odnom chislennom metode resh-eniya zadach tipa Stefana], Bulletin of the Yakovlev Chuvash State Pedagogical University. Series: Mechanics of Limit State [Vestnik Chuvashskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta imeni I. Ya. Yakovleva. Seriya: Mekhanika pre-delnogo sostoyaniya], 2019, No. 3 (41), Pp. 51-60.

DOI: 10.26293/chgpu.2019.41.3.002.

12. Kuznetsov G. V., Sheremet M. A. Difference methods for solving heat conduction problems: Study guide [Raznostnye metody resheniya zadach teploprovodnosti: Uchebnoe posobie]. Tomsk, Tomsk Polytechnic University, 2007, 172 p.

13. Moiseev V. I., Eliseev D. V. A Program for Calculating Thermal Processes During Heating and Washing Out of Viscous Oil Products Drained from the «STEFAN 1» Railway Tank [Programma dlya rascheta teplovykh protsessov pri ra-zogreve i razmyve vyazkikh nefteproduktov, slivaemykh iz zheleznodorozhnoy tsisterny «STEFAN 1»]. Certificate of State registration of a computer program RU No. 2012619613, published at September 13, 2012.

14. Moiseev V. I. A Program for Calculating the Speed of Movement of the Melt Boundary of Viscous Petroleum Products Heated Before Discharge in the Same Road Tank [Programma rascheta skorosti dvizheniya granitsy rasplava vyazkikh nefteproduktov, razogrevaemykh pered slivom v zheleznodorozhnoy tsisterne]. Certificate of State registration of a computer program RU No. 2012618250, published at September 12, 2012.

15. Moiseev V. I., Eliseev D. V. A Program for Calculating the Temperature Distribution in Dark Oil Products During Their Unloading from the Railway Tanks in Winter [Programma dlya rascheta raspredeleniya temperatur v temnykh nefteproduktakh pri ikh vygruzke iz zheleznodorozhnoy tsisterny v zimnikh usloviyakh]. Certificate of State registration of a computer program RU No. 2012616057, published at July 03, 2012.

HHmenneKmyaMbHue техноnогии Ha mpaHcnopme. 2022. № 2

18