CC BY
23
УДК 628.16
Ю.Л. Сколубович, О.А. Бойко, С.М. Зеркаль, С.В. Рогазинский, Н.В. Синеева
ФГБОУВПО «НГАСУ» (Сибстрин)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ФИЛЬТРОВАНИЯ ВО ВЗВЕШЕННОМ СЛОЕ КОНТАКТНОЙ МАССЫ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЯ ЕГО РАЗМЕРОВ ПО ГОРИЗОНТАЛИ
Рассмотрено новое предположение траектории движения частицы примеси внутри взвешенного слоя (движение только вверх). Учтено влияние горизонтальной границы взвешенного слоя на траекторию движения частицы примеси. Представлены формулы для вычисления новой координаты частицы примеси в пространственной области.
Ключевые слова: фильтрование, взвешенный слой, контактная масса, математическая модель.
Проблема фильтрации в условиях взвешенной контактной массы возникает не только при осуществлении очистки (осветления) природных вод, но и в других областях человеческой деятельности. Например, математически достаточно близкой является математическая модель переноса твердых частиц двухфазным фильтрационным потоком в условиях заводнения нефтяного пласта при разработке нефтяных месторождений [1]. Также схожей задачей является исследование течения в газодинамическом фильтре, где происходит очищение газа от твердых частиц встречным потоком крупных частиц воды с целью предотвращения их выброса в атмосферу [2].
Рассмотрим взвешенный слой контактной массы цилиндрической формы высотой H и радиусом R. Слой заполнен средой в виде дробленого кварца (горелой породы) с различным средним радиусом зерен загрузки. В [3] установлено, что при взвешивании слоя его начальная пористость устанавливается равной m0 = 0,53, а высота возрастает до Нвзв = 1,4 м.
После установившегося «взвешивания» начинается процесс фильтрования, т.е. через нижнюю границу слоя с постоянной скоростью v = 8м/ч подается предварительно подготовленная очищаемая жидкость, которая при прохождении через указанный слой подвергается очистке от частиц примеси.
Ранее исследовался случай неограниченного по горизонтали фильтрующего слоя [4, 5]. Теперь моделирование выполняется с учетом ограничений по горизонтали. При этом область взвешенного слоя уже необходимо рассматривать как пространственную область. Моделирование учета ограничения слоя по горизонтали проводилось как остановка движения частицы примеси на горизонтальной границе при дополнительном моделировании прилипания частицы примеси к граничному слою. В случае если частица примеси не прилипла, то от ее текущей координаты моделируется новое движение. Также добавлено предположение, что в силу приближения ламинарности движения [3], частица движется только по направлению движения потока жидкости, т.е. вверх относительно высоты взвешенного слоя, а также добавлен масштабирующий коэффициент в формулу вероятности прилипания.
ВЕСТНИК
ю/2013
Наличие границы влияет на траекторию движения частиц примеси: происходит взаимодействие частицы примеси с границей — отражение или диффузионное взаимодействие частиц со стенкой (как правило, используется симбиоз зеркального и диффузионного отражения), что естественным образом влияет на пространственное распределение задержанных частиц примеси во взвешенном слое.
В связи с этим становится необходимым рассмотрение задачи о выборе размерности и системы координат.
В общей постановке задача является трехмерной. При более детальном рассмотрении геометрии установки реактора-осветлителя очевидно, что задача симметрична относительно угла в цилиндрической системе координат, а значит, задачу можно рассматривать на прямоугольнике со сторонами: высота взвешенного слоя H и радиус взвешенного слоя г.
В свою очередь, при моделировании направление движения частицы следует рассматривать в локальных сферических координатах, центр осей будет расположен в точке нахождения частицы примеси.
Моделирование направления движения частицы примеси
Рассмотрим траекторию движения частицы примеси в восходящем потоке. В силу того что рассматриваемая частица примеси имеет плотность, сопоставимую с плотностью воды, влияние силы тяжести и броуновского движения мало влияет на изменение вектора и скорости движения частицы примеси, а значит, вектор скорости частицы примеси будет совпадать с вектором скорости движения очищаемой жидкости, пропускаемой через взвешенный фильтрующий слой.
В свою очередь в силу приближения ламинарности течения [3] случайное направление вектора можно брать при угле 0 < ф < п/2 (рис. 1, А).
Рис. 1. Цилиндрические координаты для взвешенного слоя: А — моделирование направления движения частицы внутри области; Б — моделирование движения частицы на границе области
Тогда случайный вектор направления движения соответствует случайной точке, равномерно распределенной по поверхности единичной полусферы. Со-
А
г
вместная плотность распределения случайной точки на единичной полусфере в сферических координатах (ф, 0) : 0 < ф < п/2 , 0 < 0 < 2п — составит
Р (ф, 0)йфй 0 = 51П ^0 .
Плотность распределения по ф определяется интегрированием Р (ф, 0) по 0 :
2п
Рф(ф)= | Р (ф, 0) й0 = 8Шф.
1
2/
i
0
В свою очередь, Pq (0) = —.
2/
Так как P (ф, 0) = Рф(ф)- Pq(0), то ф и 0 независимы.
Определим угол ф:
Ф Ф
J P ф(ф) d ф= J sin фSф = Rф, -cos ф ф =1 -cos ф = R,, т.е. cos ф = 1 -Лф,
0 0
что равносильно cos ф = Rp, где Лф — равномерно распределенное на отрезке [0, 1] случайное число.
Определим угол 0 :
0 0
JPq(0)d0 = J£ = Л0, 2- = Rq , т.е. 0 = 2/Rq ,
0 0 2/ 2/ где Rq — равномерно распределенное на отрезке [0, 1] случайное число.
Моделирование учета границы области фильтрования
При перерасчете новой координаты частицы примеси в случае, если частица примеси выходит за пределы моделируемой области, считаем, что на границе ее движение прекращается, моделируется вероятность прилипания к стенке с заданной вероятностью РГ , и в случае, если частица не прилипла, от текущей координаты вычисляется новое ее направление движения с учетом движения внутрь области.
Тогда случайный вектор направления движения будет соответствовать случайной точке, равномерно распределенной по поверхности единичной сферы, с учетом наличия границы и его преимущественного движения вверх (см. рис. 1, Б). Совместная плотность распределения случайной точки на единичной сфере в сферических координатах (ф, 0) с учетом ограничений по углам: 0 < ф < п/2 , п/2 < 0 < 3п/2 составит
P(ф,0)dфd0 = ^Пф».
/
Плотность распределения по ф будет равна 3п/2
Рф(ф)= J P (ф, 0) d 0 = sin ф.
п/2
В свою очередь, Pq (0) =1.
/
Определим угол ф:
ВЕСТНИК
МГСУ-
10/2013
J^ф(ф)dq=Jsinф5ф = ^ф, -cosф ф=1 -cosQ = Rq, т.е. cosф = 1 -Rq,
0 0
что равносильно cos ф = Rф, где Rq — равномерно распределенное на отрезке [0, 1] случайное число.
Определим угол 0:
9 0
J i0(0) d 0 = J d-— = R0, -П = Rq , т.е. 9 = nR0,
0 0 n n где Rq — равномерно распределенное на отрезке [0, 1] случайное число.
Вычисление новой координаты частицы примеси
Перед тем как выписывать формулу для координаты очередного взаимодействия, необходимо выбрать направление и центр полярной и локальной сферической систем координат.
Для полярной системы координат (H, r) выберем ось высоты H, направленную вдоль взвешенного слоя и совпадающую по направлению с движением очищаемой жидкости. Ось радиуса r будет расположена на плоскости поперечного сечения фильтрующего взвешенного слоя, расположенного на нижней границе фильтрующего слоя через нижнюю границу (расположена на нижней границе фильтрующего слоя), центр координат будет располагаться в центре (точка 0) (рис. 2).
Н'
х,г
Рис. 2. Геометрия для моделирования движения примеси в реакторе-осветлителе
Пусть частица примеси расположена в точке (И 0, г0) в цилиндрической системе (И, г). Тогда при моделировании направления движения частицы примеси направление декартовых осей для правой сферической системы координат выберем таким образом, чтобы плоскость 0XY совпадала с плоскостью перпендикулярного сечения цилиндра взвешенного слоя и содержала точку расположения текущей координаты пробной частицы. При этом ось X будет совпадать с осью радиуса цилиндрической системы координат. Ось Z возьмем таким образом, чтобы она совпадала с направлением оси И цилиндрической системы координат (см. рис. 2).
Информационные системы и логистика в строительстве VESTNIK
_MGSU
Тогда новая высота Hj очередного взаимодействия пробной частицы будет вычисляться по формуле H = H0 + Xs cos ф,
где A s — среднестатистическая длина пробега с учетом соответствующих параметров взвешенного слоя.
Для вычисления нового радиуса r1 достаточно воспользоваться формулой треугольника (рис. 3)
rj = -Jr02 + (As sin ф)2 + 2r0As sin фcos 0.
Методика вычисления длины свободного пробега в неоднородной области Вышеописанные формулы вычисления новой координаты частицы примеси, а именно, высоты и радиуса, используются для однородной области, когда считается, что во взвешенном слое присутствует полное перемешивание и все параметры модели при их динамических изменениях перевычисляются с усреднением по всей области взвешенного слоя.
На данном этапе исследования (двумерность области взвешенного слоя) масштабируемый коэффициент длины зависит одновременно и от высоты взвешенного слоя, и от его радиуса. В предположении дискретизации рассматриваемой задачи считается, что внутри каждой ячейки дискретизации взвешенного слоя масштабируемый коэффициент длины свободного пробега А является однородным. Тогда алгоритм вычисления новой координаты частицы примеси будет заключаться в последовательном определении ячеек дискретизации, по которым проходит безразмерный вектор направления движения частицы примеси с последующим учетом коэффициентов А из выбранных ячеек.
Заключение. Таким образом, в данной статье составленная математическая модель функционирования фильтра реактора-осветлителя очищения от примеси водной массы может быть использована для исследования особенностей фильтрования и в перспективе положена в основу планирования эксперимента. Дальнейшее уточнение этой модели допускается при разработке методики вычисления длины свободного пробега в пространственном случае.
ВЕСТНИК AmiMt.
10/2013
Библиографический список
1. Никифоров А.И., Никаньшин Д.П. Перенос частиц двухфазным фильтрационным потоком // Математическое моделирование. 1998. Т. 10. № 6. С. 42—52.
2. Численный анализ двухфазного течения в газодинамическом фильтре / УГ. Пи-румов, В.Ю. Гидаспов, А.А. Даниелян, И.Э. Иванов, И.А. Крюков, А.В. Муслаев // Математическое моделирование. 1998. Т. 10. № 11. С. 19—28.
3. Войтов Е.Л., Сколубович Ю.Л. Подготовка питьевой воды из поверхностных источников с повышенным природным и антропогенным загрязнением : монография. Новосибирск : НГАСУ (Сибстрин), 2010. 217 с.
4. Численное моделирование процесса очистки водных растворов в псевдоо-жиженном слое контактной массы / Ю.Л. Сколубович, О.А. Бойко, С.М. Зеркаль, С.В. Рогазинский, Е.Л. Войтов, А.Ю. Сколубович // Известия вузов. Строительство. 2012. № 7—8. С. 38—44.
5. Численное исследование влияния ошибок измерения физических параметров реактора-осветлителя на устойчивость его статистической модели / Ю.Л. Сколубович, О.А. Бойко, С.М. Зеркаль, С.В. Рогазинский, Е.Л. Войтов, А.Ю. Сколубович // Известия вузов. Строительство. 2012. № 9. С. 60—65.
Поступила в редакцию в октябре 2013 г.
Об авторах: Сколубович Юрий Леонидович — доктор технических наук, профессор, ректор, ФГБОУ ВПО «Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет» (ФГБОУ ВПО «НГАСУ» (Сибстрин)), 630008, г. Новосибирск, ул. Ленинградская, д. 113, 8(383)266-41-25, [email protected];
Бойко Ольга Александровна — старший преподаватель кафедры информационных технологий, ФГБОУ ВПО «Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет» (ФГБОУ ВПО «НГАСУ» (Сибстрин)), 630008, г. Новосибирск, ул. Ленинградская, д. 113, 8(383)266-42-60, [email protected];
Зеркаль Сергей Михайлович — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет» (ФГБОУ ВПО «НГАСУ» (Сибстрин)), 630008, г. Новосибирск, ул. Ленинградская, д. 113, 8(383)266-41-25, [email protected];
Рогазинский Сергей Валентинович — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет» (ФГБОУ ВПО «НГАСУ» (Сибстрин)), 630008, г. Новосибирск, ул. Ленинградская, д. 113, 8(383)266-41-25, [email protected];
Синеева Наталья Валерьевна — кандидат технических наук, декан инженерно-экологического факультета, ФГБОУ ВПО «Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет» (ФГБОУ ВПО «НГАСУ» (Сибстрин)), 630008, г. Новосибирск, ул. Ленинградская, д. 113, 8(383)266-75-20, [email protected].
Для цитирования: Математическая модель процесса фильтрования во взвешенном слое контактной массы с учетом ограничения его размеров по горизонтали / Ю.Л. Сколубович, О.А. Бойко, С.М. Зеркаль, С.В. Рогазинский, Н.В. Синеева // Вестник МГСУ 2013. № 10. С. 309—316.
Yu.L. Skolubovich, O.A. Boyko, S.M. Zerkal', S.V. Rogazinskiy, N.V. Sineeva
MATHEMATICAL MODEL OF THE FILTRATION PROCESS IN SUSPENDED FLOC LAYER OF THE CONTACT MASS WITH ACCOUNT FOR ITS HORIZONTAL SIZE LIMIT
The problem of filtration in the conditions of suspended contact mass appears not only in the process of water purification, but also in other spheres of human activity.
New theory on foreign particle motion inside suspended floc layer is observed (only their upward motion). The influence of horizontal limit of the suspended floc layer on foreign particle motion is considered. The co-authors present equations for calculating new space coordinates of a foreign particle.
Therefore, the authors form mathematical model of the water purifying filter reactor functioning, which can be used in the process of studying the peculiarities of filtration and in prospect can be taken as the basis for experiment planning. Further specification of this model may be made in case of developing the method of calculating the free path length in space case.
Key words: filtration, suspended floc layer, contact mass, mathematical model.
References
1. Nikiforov A.I., Nikan'shin D.P. Perenos chastits dvukhfaznym fil'tratsionnym potokom [Transportation of Particles in Two-phase Filtration Flow]. Matematicheskoe modelirovanie [Mathematical Modeling]. 1998, vol. 10, no. 6, pp. 42—52.
2. Pirumov U.G., Gidaspov V.Yu., Danielyan A.A., Ivanov I.E., Kryukov I.A., Muslaev A.V. Chislennyy analiz dvukhfaznogo techeniya v gazodinamicheskom fil'tre [Numerical Analysis of Two-Phase Flow in Gasdynamic Filter]. Matematicheskoe modelirovanie [Mathematical Modeling]. 1998, vol. 10, no. 11, pp. 19—28.
3. Voytov E.L., Skolubovich Yu.L. Podgotovka pit'evoy vody iz poverkhnostnykh istoch-nikov s povyshennym prirodnym i antropogennym zagryazneniem: monografiya [Advancing of Drinking Water from Surface Sources with Elevated Natural and Man-made Pollution]. Novosibirsk, NGASU (Sibstrin) Publ., 2010, 217 p.
4. Skolubovich Yu.L., Boyko O.A., Zerkal' S.M., Rogazinskiy S.V., Voytov E.L., Skolubovich A.Yu. Chislennoe modelirovanie protsessa ochistki vodnykh rastvorov v psevdoozhizhen-nom sloe kontaktnoy massy [Numerical Modelling of the Aqueous Solution Purification Process in Fluidized Contact Mass Layer]. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo [News of Institutions of Higher Education. Engineering]. 2012, no. 7—8, pp. 38—44.
5. Skolubovich Yu.L., Boyko O.A., Zerkal' S.M., Rogazinskiy S.V., Voytov E.L., Skolubovich A.Yu. Chislennoe issledovanie vliyaniya oshibok izmereniya fizicheskikh parametrov reaktora-osvetlitelya na ustoychivost' ego statisticheskoy modeli [Numerical Investigation of the Influence of Physical Measurements Errors of the Clarifying Reactor on its Statistical Model Stability]. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo [News of Institutions of Higher Education. Engineering]. 2012, no. 9, pp. 60—65.
About the authors: Skolubovich Yuriy Leonidovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Rector, The Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering (NGASU), 113 Leningradskaya street, Novosibirsk, 630008, Russian Federation; +7 (383) 266-41-25; [email protected];
BECTHMK ,n;on<n
10/2013
Boyko Ol'ga Aleksandrovna — Senior Lecturer, Department of Information tehnology, The Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering (NGASU), 113
Leningradskaya street, Novosibirsk, 630008, Russian Federation; +7 (383) 266-42-60; [email protected];
Zerkal' Sergey Mikhaylovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Applied Mathematics, The Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering (NGASU), 113 Leningradskaya street, Novosibirsk, 630008, Russian Federation; +7 (383) 266-41-25; [email protected];
Rogazinskiy Sergey Valentinovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Applied Mathematics, The Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering (NGASU), 113 Leningradskaya street, Novosibirsk, 630008, Russian Federation; +7 (383) 266-41-25; [email protected];
Sineeva Natal'ya Valer'evna — Candidate of Technical Sciences, Dean, Faculty of Engineering and Ecology, The Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering (NGASU), 113 Leningradskaya street, Novosibirsk, 630008, Russian Federation; +7 (383) 266-75-20; [email protected].
For citation: Skolubovich Yu.L., Boyko O.A., Zerkal' S.M., Rogazinskiy S.V., Sineeva N.V. Matematicheskaya model' protsessa fil'trovaniya vo vzveshennom sloe kontaktnoy massy s uchetom ogranicheniya ego razmerov po gorizontali [Mathematical Model of the Filtration Process in Suspended Floc Layer of the Contact Mass with Account for its Horizontal Size Limit]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 10, pp. 309—316.
