Математическая модель процесса экстрагирования жидким диоксидом углерода из растительного сырья в форме неограниченной пластины Текст научной статьи по специальности «Математика»

66.011

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ЭКСТРАГИРОВАНИЯ ЖИДКИМ ДИОКСИДОМ УГЛЕРОДА ИЗ РАСТИТЕЛЬНОГО СЫРЬЯ В ФОРМЕ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАСТИНЫ

Ю.И. П1ИП1АПКИИ, С.Ю. ПЛЮХА, С.С. ИВАНОВ

Воронежский государственный университет инженерных технологий,

394036, г. Воронеж, пр-т Революции, 19; факс: (473) 255-42-67, электронная почта: [email protected]

Построена математическая модель процесса экстрагирования жидким диоксидом углерода из растительного сырья в форме неограниченной пластины. Выполнена проверка на адекватность экспериментальным данным.

Ключевые слова: объект экстрагирования, неограниченная пластина, поле концентраций.

Объектом процесса экстрагирования являлись зерна ячменя, желуди и корни цикория, предварительно высушенные, обжаренные и измельченные в «лепесток». Такую форму частиц правомерно рассматривать как неограниченную пластину, под которой обычно понимают пластину, ширина и длина которой бесконечно велики по сравнению с толщиной. Таким образом, неограниченная пластина представляет собой тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями.

Покажем, что влиянием концевых эффектов на распределение полей концентраций целевых компонентов можно пренебречь при условии, что их поверхностная доля более чем на порядок меньше общей поверхности частицы.

Обозначим 51, 52 - площади поверхности торцов частицы по длине и по ширине, 53 - площадь боковой поверхности. Тогда (251 + 252)/(251 + 252 + 253) = 0,1. Соотношение между толщиной и длиной частицы составляет 0,05 мм.

Поэтому размерность области решения задачи может быть понижена.

Запишем дифференциальное уравнение молекулярной диффузии для одномерной задачи в применении к пористому телу [1]

дС_

дх

D

д 2С дх2

(1)

осуществляется при постоянном во времени коэффициенте массоотдачи Р = const. Отсчет концентрации пластины для любого момента времени будем вести от концентрации окружающей среды плоской неограниченной пластины согласно схеме, представленной на рисунке (при х = 0, задано С0 = const и С0 = const).

Изменение концентрации будет происходить только в направлении оси Ох. В результате дифференциальное уравнение (1) примет вид

дС' дх

D

дС

дх2 '

(2)

Начальные условия при т = 0:

С' = С0= С0 -Сж; ц(х 0) = Ц0, (3)

где СС0 - текущий и начальный концентрационные напоры, кг/м3; ц - вязкость жидкости в капилляре, Па - с; ц0 - химический потенциал, соответствующий концентрации С0.

При заданных условиях процесса экстрагирования задача становится симметричной и начало координат удобнее поместить на оси пластины (рисунок). При этом граничные условия на оси и на поверхности пластины запишутся

где С — текущая концентрация диффундирующего вещества, кг/м3; х - время, с; D — коэффициент диффузии, м2/с; x - координата.

Введем обозначения: Сж - концентрация окружающей среды, кг/м3; С0 - концентрация в начальный момент времени, кг/м3; = С'/С0 - безразмерная избы-

точная концентрация, равная отношению текущего концентрационного напора С' = С — Сж к начальному концентрационному напору С0 = С0 — Сж.

Обозначим толщину пластины через 2R (рисунок). В начальный момент (х = 0) концентрация в пластине распределена равномерно и равна С = С0 = const. Концентрация окружающей среды постоянна Сж = const. На обеих поверхностях отвод экстрактивных веществ

х = О; х = R ;

dC'

dx dC '

dx

отсутствие концентрационного потока^ массотдача с поверхности I

=------------С'

(4)

где р - коэффициент массоотдачи; ёт - коэффициент массопровод-ности.

Дифференциальное уравнение (2) совместно с начальными (3) и граничными условиями (4) однозначно формулирует поставленную задачу. Решение дифференциального уравнения (2) с учетом начальных и граничных условий дает искомое распределение концентрации в плоской пластине.

Решение дифференциального уравнения (2) ищем в виде произведения двух функций, из которых одна является функцией только т, а другая - только х (метод разделения переменных): С' = С;(т,х) = (т) (х).

После подстановки и разделения переменных получим два уравнения

'(т)+ Бк2 (т) = 0; "(х)+ к2 (х) = 0, которые легко интегрируются, тогда частные решения запишутся в виде

(т)=С le

-Dk2 т

(x) = С2 sink)+ C3 cosk).

Общее решение уравнения (2)

C'(х,т) = [С2 sink)+ C3 cos(k*)]Сle—

(5)

теристическое уравнение ctg

=-, где kR = и, полу-

Bi

чим систему уравнений, в которой каждому найденному значению корня ц будет соответствовать свое частное распределение концентрации:

C' = A l cos

C' = A 2 cos

x l R

x

R

2 Dz_

„2

(б)

C'= A' cos

R

Полученные частные решения (6) будут удовлетворять дифференциальному уравнению при любых зна-

чениях постоянных А1, А2,..., Ап, но ни одно из этих решений не будет соответствовать действительному распределению концентрации в начальный момент времени. Однако путем наложения бесконечного числа таких распределений при соответствующем выборе величин Ап можно воспроизвести любую действительную концентрационную зависимость в начальный момент времени. На основании этого общее решение можно представить суммой бесконечного ряда всех частных решений

C ' = £ A'

cos

R

Постоянную Ап определим из начальных условий (3), применяя разложение частной функции в ряд Фурье:

A' = C '-

2sin

)

(7)

Из уравнения (7) следует, что Ап является только функцией корней характеристического уравнения, которые, в свою очередь, являются функцией массообменного критерия Био.

Окончательно выражение для поля концентраций при экстрагировании плоской пластины, позволяющее получить значение концентрации в любой точке пластины для любого момента времени, будет иметь вид

Распределение концентрации должно быть симметричным относительно оси ординат, следовательно, должно описываться четной функцией Дх) = Д-х). Такой функцией является cos(kx), а sin(kx) есть нечетная функция х (она должна быть опущена из решения) [2].

Выражение (5) удовлетворяет исходному уравнению (2) при любых значениях постоянных С1, С2, С3 и к.

Подставляя граничные условия (4) и решая харак-

:Е

2sin

cos( )exp(— 2Fom И8)

Анализ полученного решения. Так как ц1, ц2, ..., цп представляет собой ряд возрастающих чисел, то чем больше ц, тем меньше роль последующего члена ряда по сравнению с предыдущим. Кроме того, чем больше число Бо т, тем члены ряда будут убывать быстрее с увеличением номера п.

Многочисленные исследования [2-4] показали, что уже при Бо т > 0,3 ряд становится настолько быстрос-ходящимся, что распределение концентрации достаточно точно описывается первым членом ряда:

2sin j

( l + sin l cos l)

cos( lХ)exp(— 2Fom ). (9)

2sin

-. Величина Dl

Обозначим Dl = —

( l + sin l cos l)

является только функцией числа Bim и заранее может быть рассчитана и табулирована. Кроме того, если рассматривать концентрацию для определенных значений безразмерной координаты, например, для центра и поверхности пластины (Х = 0 и Х = l соответственно), то второй множитель уравнения (9) тоже зависит только от числа Bim, поэтому решение может быть представлено в виде

= N(Bim )exp(— lFom );

(l0)

О

х= О

х= R

x

R

e

a

'= 0

n

n

'= 0

e

R

e

x

n R 2

e

n

Х = 0

P(Bim )exp(_ 2Fom )'

(11)

Функции Л^Віи) и Р(Віт) заранее рассчитаны и представлены в таблицах в зависимости от числа Віт, а безразмерные избыточные температуры для центра и поверхности пластины могут быть построены в виде номограмм [3]. Для этого необходимо прологарифмировать уравнения (10) и (11), тогда они будут представлять собой семейство прямых линий

ln

ln

Х= 0 = lnN(Bim )_ jFom ); (12)

х= і = lnP(Bim )_ 2Fom ). (13)

С' А х R ІС1

=

C' C 0 / R, х= R ^ m Cf C o J

В безразмерных переменных будем иметь >d(

d( Х )J Х =1

В результате получим id(

Bi

d( Х )J Х = 1

Х

tg , Х0 = —. (14)

Bi „

т. е. когда имеет место очень большая интенсивность отвода экстрактивных веществ от поверхности. В этих случаях процесс экстрагирования определяется физическими свойствами и размерами тела. При этом цп = (2п - 1)(л/2), тогда коэффициент ряда описывается уравнением (9):

D

2sin

, + sin ' cos

4(_1)'+1 (2' _1).

Общее решение для рассматриваемого случая принимает вид

Из уравнения (9) следует, что для любого момента времени при заданных граничных условиях поле концентрации имеет вид симметричной кривой с максимумом на оси пластины (X = 0). Для каждого последующего момента времени будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхности пластины. При этом для любого момента времени касательные к кривым в точках поверхности (X = ±1) проходят через две направляющие точки +А и -А, расположенные на расстоянии ±Х0 от поверхности пластины, Х0 = 1/Шт.

С целью доказательства этого важного свойства рассмотрим поле концентраций для произвольного момента времени Бо т > 0. Умножив граничное условие (4) при х = ±Я на Я / С0', получим

4 (_і)' +1

= — У-cosi (2' _1)—ХI exp

у(2' _1) Г 2 J Р

і 2' _lJ 2f

і 2 J °”

(l5)

Тогда концентрация экстрактивных веществ на оси пластины (Х = 0)

4 ^ (_1)и+1 Х= 0 =- ----77exp

-І (2' _1)

2' _1

2

(1б)

(2' _1)-Х

- 0, следовательно,

При (X =1) cos

0х = i = 0.

Заметим, что при Fo m > 0,3ряд (15) быстро сходится и ошибка не превышает 1%, если отбросить все члены ряда, кроме первого. При этих условиях уравнение

(16) принимает вид

4

exp

2

(17)

Прологарифмировав уравнение (17) и записав его относительно критерия Фурье, получим

4l

(l8)

Следовательно, касательные ко всем концентрационным кривым в точке пересечения с поверхностью пластины и при неизменных граничных условиях всегда будут проходить через точку А. Доказанное свойство концентрационных кривых дает возможность определить характер изменения концентрации в теле при заданном значении массообменного числа Вт

Поскольку число В^ стремится к бесконечности (практически В^ > 100), то концентрация поверхности пластины сразу становится равной концентрации окружающей среды, в которую помещена пластина. Последнее видно из уравнения (14): при В^, стремящемся к бесконечности, Х0 = 1/В^ = 0. Это означает, что точка пересечения касательных к концентрационным кривым находится на поверхности пластины. Из В^ = (Я/ёт)(1/р) следует: В^ стремится к бесконечности при заданных физических параметрах и толщине пластины тогда, когда р стремится к бесконечности,

Выразим из (18) время, необходимое для полного извлечения экстрактивных веществ из плоской неограниченной пластины:

2R

Aln

D

4l

(19)

Результаты верификации модели с экспериментальными данными по водному экстрагированию в псевдо-ожиженном слое шрота ячменя, желудей и цикория, образующегося после СО2-экстрагирования, также свидетельствуют о ее адекватности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шишацкий Ю.И., Плюха С.Ю. Определение коэффициента диффузии экстрактивных веществ в сырье растительного происхождения при экстрагировании диоксидом углерода // Вопр. современ. науки и практики / Ун-т им.В.И. Вернадского (Тамбов). -2011. - № 4. - С. 95-101.

2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высш. шк., 1967. - 600 с.

Х= l

п

п

2

2

х

Х = 0

Х = 0

к

Х = 0

3. Тепломассообмен [Электронный ресурс]: Курс лекций / 4. Аксельруд Г.А., Лысянский В.М. Экстрагирование

М.С. Лобасова, К.А. Финников, Т.А. Миловидова и др. - Красно- (система твердое теёо -жидкость). - Л.: Химия, 1974. - 256 с.

ярск: ИПК СФУ, 2009. - 295 с. Поступила 25.01.12 г.

MATHEMATICAL MODEL OF EXTRACTION PROCESS BY A LIQUID DIOXIDE CARBON FROM VEGETATIVE RAW MATERIALS IN THE FORM OF AN UNLIMITED PLATE

YU.I. SHISHATSKY, S.YU. PLYUKHA, S.S. IVANOV

Voronezh State University of Engineering Technologies,

19, Revolution av., Voronezh, 394036; fax: (473) 255-42-67, e-mail: [email protected]

The mathematical model of extraction process is constructed by a liquid dioxide carbon from vegetative raw materials in the form of an unlimited plate. Check on adequacy to experimental data is executed.

Key words: object of extraction, unlimited plate, field of concentration.

635.621.637.5.04/07.637.524.5

РАСЧЕТ ВРЕМЕНИ ВЫПЕЧКИ ХЛЕБОБУЛОЧНЫХ ИЗДЕЛИЙ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ РАЗМЕРОВ И ТОЛЩИНЫ ОБРАЗОВАННОЙ КОРКИ

В.Е. КУЦАКОВА, С.В. ФРОЛОВ, Т.В. ШКОТОВА

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, 197101, г. Санкт-Петербург, Кронверкский пр-т, 49; электронная почта: [email protected]

Предложены методы расчета кинетики процесса образования корки при выпечке хлебобулочных изделий и проанализированы связанные с ними закономерности, позволяющие рассчитывать собственно время выпечки. Разработанные методы обладают свойством общности и могут быть использованы для всех видов выпекаемых изделий.

Ключевые слова: продолжительность выпечки хлебобулочных изделий, образование корки хлебобулочных изделий, теплопроводность.

Длительность выпечки хлебобулочных изделий зависит от ряда факторов: массы и формы изделия, методов теплопровода, свойств теста и др. В настоящее время длительность процесса выпечки определяется в основном экспериментальным путем, наличие же методов расчета позволяет оптимизировать не только процесс выпечки, но и качество готового изделия. Значительную роль в процессе выпечки и формировании качества изделия играет образование корки.

Цель настоящего исследования - разработать методы расчета кинетики процесса образования корки при выпечке хлебобулочных изделий и рассмотреть связанные с ними закономерности, позволяющие рассчитывать собственно время выпечки. Предложенные методы обладают свойством общности и могут быть использованы для всех видов изделий.

Образование корки при выпечке хлеба происходит, на наш взгляд, следующим образом. По достижении поверхностью выпекаемой тестовой заготовки (ВТЗ) температуры испарения влаги £исп = 100°С появляется и начинает двигаться вглубь ВТЗ фронт испарения влаги. Теплота испарения влаги подводится к фронту теплопроводностью через образовавшуюся корку. В момент окончания процесса выпечки толщина корки равна А, м. Поскольку теплота, отводимая от уже образовавшейся корки, мала по сравнению с теплотой испарения влаги, мы можем ею пренебречь и считать распределение температуры в корке квазистационарным. Это означает, что зависимость температуры от координаты

является решением стационарного уравнения теплопроводности, при этом константы интегрирования полагаются функциями времени. Поскольку толщина корки мала по сравнению с размерами ВТЗ, мы можем считать ее бесконечной пластиной. Решением стационарного уравнения теплопроводности для бесконечной пластины является линейная функция. Пусть х - координата, направленная вглубь ВТЗ, м (на поверхности х = 0), введем безразмерную координату £, = х/А. Пусть на момент времени т безразмерная толщина корки равна 5(т) (в начале процесса образования корки 5 = 0, в конце процесса выпечки 5 = 1). Коэффициенты линейного распределения температуры зависят от времени, при этом время можно выразить через толщину корки т(5), тогда коэффициенты будут зависеть от толщины корки 5. В этом случае распределение температуры в корке £(^) определяется двумя граничными условиями: на границе испарения температура равна £исп, а на поверхности ВТЗ имеем стандартное краевое условие третьего рода [1]:

t (5) = t ; —

V / исп ’ jy

ас

Bi(t (0)— t кам); Bi =

С=0

= —, (1)

где Bi - безразмерное число Био; а - коэффициент теплоотдачи с поверхности ВТЗ, Вт/(м2 ■ °С); X - коэффициент теплопроводности корки, Вт/(м ■ °С); ?кам - температура воздуха в камере, которую мы считаем постоянной (что как правило не так).

Подставляя линейную функцию в условия (1), получим