CC BY
57
УДК 629.463.3:51
Лавренко Д. Т., инженер (ООО «ГСКБВ»)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ВАГОНОВ-ЦИСТЕРН
Известны математические модели для изучения динамической нагруженности рельсовых экипажей [1 - 14], в том числе для грузовых вагонов [15 - 29] и цистерн в частности [21 - 29].
При этом исследователями рассматриваются колебания грузовых вагонов, как в плоской, так и в пространственной постановке задач.
Рассмотрим наиболее полную математическую модель пространственных колебаний грузового четырехосного вагона с трехэлементными двухосными тележками, в основу которой положена математическая модель, предложенная академиком Всеволодом Арутюновичем Лазаряном [7] и затем развитая в трудах профессоров Блохина Е.П., Богомаза Г.И., Дановича В.Д., Коротенко М.Л., Пшинько А.Н., Радченко Н.А., Ушкалова В.Ф., Редько С.Ф., Савчука О.М., Мямлина С.В., Хачапуридзе Н.М., а также представителями других научных школ Челноковым И.И., Бороненко Ю.П., Соколовым М.М., Бубновым В.М., Филипповым В.Н. и др.
Для формирования математических моделей пространственных колебаний грузового вагона вначале выполним описание расчетной схемы.
Математическая модель пространственных колебаний четырехосного грузового вагона [7] предполагает рассмотрение колебаний этого вагона, возникающих вследствие его движения по изолированной неровности пути. При этом считаем, что на обеих нитях рельсовой колеи имеются одинаковые неровности, и поэтому рассматриваем колебания вагона в его продольной плоскости симметрии. Кузов вагона будем считать твердым телом. Силу трения в демпферах примем пропорциональной скорости сжатия рессорных комплектов. Вагон движется по упруго-вязкому пути так, что реакция пути пропорциональна как его деформации, так и скорости этой деформации. При сделанных допущениях рассмотрим колебания механической системы в виде четырехосной цистерны, расчетная схема которой изображена на рисунке 1.
В соответствие с [7] введем обозначения для линейных и угловых перемещений тел системы:
- х, XI и х2 поступательные перемещения центров масс кузова и необрессоренных частей тележек вдоль оси пути;
- 2, и 22 вертикальные перемещения центров масс кузова и необрессоренных частей тележек;
- ф, ф1 и ф2 углы поворота кузова и необрессоренных частей тележек относительно оси У.
Рисунок 1 - Расчетная схема цистерны
Допустим, что х = х1, и х = х2, при этом система будет иметь 9 - 2 = 7 степеней свободы и координата х окажется циклической. При этом перемещение центра масс обрессоренной части вагона вдоль оси пути равно х+х* =х+Нф, а дополнительное перемещение в вертикальном
*= ^^ Далее введем следующие обозначения:
направлении
2
в - коэффициент вязкого трения в демпферах; р1 - коэффициент вязкого трения в пути; к1 - жесткость пути; 1у1 = 1у2 - моменты инерции тележек относительно их главных центральных осей, перпендикулярных продольной плоскости симметрии.
Введем обобщенные координаты:
2 = ql, ф = q2, 21 = д3 + q4, Z2 = д3 - q4,
или
Ф1 = ^ Ф2 = <6 х = 47. Кинетическая энергия системы будет равна
Т = 2 т<&1 + 2 т{<&7 + к< 2)2 + 21у<& 2 + 2 т1 (< + <&4)2 +
1 /. .\2 1 т • 2 1 т • 2 1 -2 1 -2 1 10 -2
+ Тт1(<3 - <<4) +Т1 у1<&5 + Т7у1<&6 + Тт1<&7 + Тт1<&7 +Т- 2 "<<7 =
2 2 2 2 2 2 г2
гт! 1 -2 1 -2 1 -2 1 -2 1 -2
Т = 2 °11<<1 + 2 °22 <<2 + 2 а33<<3 + 2 а44 < 4 + 2 °55<&5 +
1 .2 1 .2
+ 2 а66 <6 + 2 а77 <<7 + а27 <&2 <<7 ,
где
Л
а11 = т, а22 = 1у + тк , а33 = а44 = 2т:;
410
а55 = а66 = I у1, а77 = т + 2т1 +—2-, а27 = тк.
Потенциальную энергию системы найдем по теореме Клапейрона,
при этом величиной Ок— пренебрежем:
г
1 2 П = 21 к А2,
где к, жесткость (¿=1 - для пути, ¿=2 - для рессорных комплектов); А, - сжатия рессорных комплектов, рассчитанные от положения равновесия системы.
Выразим сжатия пружин А, через обобщенные координаты. Пусть Д1
н
и Д1 - прогибы пути под первой и второй колесными парами первой
I н
тележки, Д2 и Д2 - прогибы пути под первой и второй колесными парами второй тележки, а Д3 и Д4 - сжатия пружинных комплектов рессорного подвешивания вагона. Допустим, что цистерна движется по единичной неровности и Пь П2, П3 и П4 - вертикальные перемещения колесных пар при
движении по этой неровности. За положительные примем перемещения вниз и повороты по часовой стрелке. Представим кинематическую схему перемещения тел системы (рисунок 2) для описания выражения потенциальной энергии, из которого следует:
а3 = 2 - 1ф - 21 = q1 - - q3 - q4; а 4 = 2 - 1ф - 22 = q1 - ^2 - q3 - q4,
а; = 21- аф1 -п1 = qз + q4- щь -п1; а;' = 21- аф1 -п2 = qз + q4- ачь а2 =2 2- аф 2- пз = qз + q4- аq6-пз; а2 =2 2- аф 2- п 4 = qз + q4- aq6
Таким образом, выражение потенциальной энергии примет следующий вид:
п = 2 к (а2з + а24 ) + ) к1 (а;2 + а12 + а22 + а22 )= = 2 2kq12 + 2 2к12 q2 + 2 2(к + 2к1 )q32 + 2 2(к + 2к1) +
+ 2 + ^22а2 +1 к1 (л? +П2 +Л? +п4 )- 2kqlqз +
+ 2кЩ2q4 - klqз(Л1 +Л2 + Лз +Л4)-klq4(П1 + П2 +Лз +Л4) + + к1Щь (л1 -л2)+ктб (лз -л4).
Скорость сжатия рессорных комплектов равна А3 и А 4 для первой и второй тележки соответственно, а скорость прогиба рельсов под колесными парами - А', Ai, А 2, А 2. Функция рассеивания примет следующий вид:
ф = 2р( + А24)+ 2Pi (А'2 + А'2 + А'2 + А?).
Из данного выражения видно, что функцию Ф можно получить из выражения потенциальной энергии П, заменив в нем жесткости к и к коэффициентами вязкости в и в', а обобщенные координаты qt - обобщенными скоростями qt. При этом выражение функции рассеивания будет:
ф = ^2Pqi2 + ±2р/2 q2 + ^2(р + 2Pi )2 + ^2(р + 2Pi )q42 +
i 2 2 i 2 2 W 2 2 2 2 \ + 2la "Ms + 2la 'Pq + 2 (ni + П2 + П + Щ)- 2Pqiq3 +
+ 2p/q2q4 - Piq3 (ni + n2 + n3 + n4 )-Pi q4 (ni - n2 - П - n4 ) + + Piaq5 (ni - n2 )+Piaq6 (n3 - n4 ).
Далее составим дифференциальные уравнения пространственных колебаний цистерны.
Запишем выражение уравнения Лагранжа второго рода [7]:
d dT дФ дП л +-+-= 0
ж д^ д^ ^
Это уравнение перепишем в виде системы дифференциальных уравнений с использованием обобщенных координат и обобщенных скоростей:
aiiqi + 2pqi - 2pq3 + 2kqi - 2kq3 = 0;
a33q3 - 2pqi + 2(p + 2P' )q3 - 2kqi + 2(( + 2ki )q3
= ki (ni +П2 + Пз +П4 )+Pi (ni + n2 +n3 +n4).
(i)
i30
2 2 а22q2 + а27q7 + 2р/ q2 + 2р/(4 + 2к1 q2 + 2к/(4
0;
а44 q 4 + 2р/(2 + 2(р + 2р1 )q4 + 2к/(2 + 2(( + 2к1 )q4 = = к1 (Л1 +Л2 -Лз -Л4 )+р1 (1 +Л2 -Л4); а27 (¡2 + а77 ¡7 = 0.
(2)
а55( 5 + 2а2Р1(5 + 2а2klq5 = -к1а(Л1 - Л2 ) - р1а(л1 - л2 );
а66¡6 + 2а^б + 2а2klq6 = -к1а(Лз - Л4 )- р1а(л1з - Л4 ).
(з)
Выполним исключение из системы дифференциальных уравнений (2) вторую производную циклической координаты ¡у по времени. Из третьего уравнения этой системы получим:
а27
¡7 =--— ¡2.
а77
Подставим выражение для ( 7 в первое уравнение системы, которая примет вид:
а^2 ( 2 + 2Д2 (2 + 2РЩА + 2к/2 (2 + 2к/(4 = 0;
а44 (4 + 2Д(2 + 2( + 2в ) + 2к/(2 + 2(к + 2к,)4 =, (4)
= к1 (Л1 + Л2 - Лз - Л 4 )+ Д (Л1 + Л2 - Лз - Л4 ),
где
а22 = а22
^ 2 N 1 а27
ч а22 а77 у
= а221 1 -&27
Таким образом, малые колебания относительно установившегося поступательного движения вагона при движении по неровности пути описываются системами дифференциальных уравнений (1), (4) и двумя уравнениями, не связанными с остальными (з).
Рассмотрим выражение для описания неровности п (1 = 1, 2, з, 4). Для этого совместим начало координат с началом неровности (рисунок з) и примем следующее выражение для ее описания [7]:
при х < 0
п = 0;
d Л 2тсхл
при 0 <х< x п = — 1 -с°8 при х > x п = 0.
x
(5)
где d - наибольшая глубина; X -длина неровности.
Рисунок 3 - Вид неровности
Пусть цистерна движется со скоростью и, тогда, если отсчитать t от момента, когда первая колесная пара проходит через начало неровности, то х=vt. Чтобы получить аналитическое выражение п приемлемое для любых х или t, рассмотрим п как функцию, тождественно равную нулю при отрицательных значениях аргумента.
В выражение п вместо х поставим Ы и обозначим 2пи через ш, тогда
x
в соответствие с [7]:
п1 = \ Ш - с°8 И-
/
1 - С°Б Ю
x t —
v
x
где — время, в течение которого колесная пара проходит длину и
неровности.
^ x 2п Так как —=—, то: и ю
^ л d
п1 = -[1 - с°э юt ]- -
1 - С°Б Ю
2п
t--
v юу
Это выражение для n допустимо при любом значении выражения t, которое отсчитывается от момента, когда первая колесная пара по ходу движения проходит начало неровности, то есть при t <0 n1=0; при
0 < t < —, n1(t) = — (l - cos rot), а второе слагаемое равно нулю, так как го 2
аргумент
2п
ю
отрицателен;
при
t >
2п
ю
П1 (() = — (l - cos rot)- |[l - cos(cot - 2n)] = 0.
Выражения для неровностей n2, Пз и n4 получаем таким же образом, принимая во внимание запаздывание колесных пар на следующие
2a ^ l - a ^ l + a
промежутки времени: т2 =
и
тз = 2"
и
т 4 = 2-
и
Поэтому выражение для неровности примет вид:
П = d [l- cos ю(()]- ]
1 - cos ю
t-Ti--
2пл ю J
причем ii = 0. Подставив эти выражения п в правые части дифференциальных уравнений (1), (3) и (4), получим дифференциальные уравнения колебаний вагона-цистерны при движении по неровности пути, описываемой выражениями (5).
Данная модель является основной для выполнения моделирования пространственных колебаний вагонов-цистерн на упруго-вязком и инерционном железнодорожном пути. При этом единичные неровности под колесами имитируют процесс сбрасывания с клиньев при определении собственных частот различных видов колебаний. Четыре одинаковые неровности под колесами с одной стороны вагона возбуждают угловые колебания относительно продольной оси, т.е. боковой качки, и четыре единичные неровности под колесами одной тележки возбуждают собственные угловые колебания кузова относительно горизонтальной поперечной оси симметрии - галопирование.
Таким образом, описана математическая модель пространственных колебаний грузового вагона, которая является основной для выполнения моделирования пространственных колебаний вагонов-цистерн на упруго-вязком и инерционном железнодорожном пути, возникающих вследствие его движения по изолированной неровности пути. Описаны дифференциальные уравнения пространственных колебаний вагона-
цистерны. Предложенная математическая модель является основой для проведения теоретических исследований по определению динамических характеристик вагонов-цистерн предлагаемой конструкции.
Список литературы
1. Блохин Е.П. К вопросу о взаимодействии экипажей при соударениях / Е.П.Блохин, Г.И.Богомаз, Ю.Г.Черномашинцева // Межвуз сб. науч. тр. -Днепропетровск: ДИИТ, 1987. - Вып. 252/34. - С. 71-82.
2. Блохин Е.П., Манашкин Л.А. Динамика поезда (нестационарные продольные колебания). - М.: Транспорт, 1982. - 222 с.
3. Блохин Е.П. К вопросу о понижении порядка систем дифференциальных уравнений движения поезда при оценке статических характеристик сил, действующих на вагон в случаях движения через переломы продольного профиля пути / Е.П.Блохин, Л.А. Манашкин, Л.Г. Маслеева // Межвуз сб. науч. тр. - Днепропетровск: ДИИТ, 1977. - Вып. 195/24. - С. 48-54.
4. Блохин Е.П., Маслеева Л.Г. О возможности понижении порядка системы дифференциальных уравнений движения поезда при возмущениях, распространяющихся вдоль его длины // Межвуз сб. науч. тр. - Днепропетровск: ДИИТ, 1978. - Вып. 199/25.- С. 47 - 54.
5. Бороненко Ю.П. Исследование субгармонических колебаний жидкого груза в цистерне // Тр. ЛИИЖТ. - 1977. - Вып. 417. - С. 21 - 27.
6. Бороненко Ю.П. Программирование нагруженности и прочности вагонов с гибкими конструктивными элементами изменяемой формы: Автореф. дис. д-ра тех. наук. - Ленинград, 1986. - 42 с.
7. Лазарян В.А. Динамика вагонов: Устойчивость движения и колебания. - М.: Транспорт, 1964. - 256 с.
8. Лазарян В.А. Продольные колебания нелинейных одномерных систем при возмущениях, распространяющихся вдоль их длины / В.А.Лазарян, Е.П.Блохин, Л.В.Белик // Прикладная механика. - 1973. - 9, № 6. - С.89-94.
9. Лазарян В.А., Длугач Л.А., Коротенко М.Л. Устойчивость движения рельсовых экипажей. - К.: Наук. думка, 1972. - 198 с.
10. Лазарян В.А., Конашенко С.И. Обобщенные функции в задачах механики. -К.: Наук. думка, 1974. - 191 с.
11. Манашкин Л.А. Динамика вагонов, сцепов и поездов при продольных ударах: Автореф. дис. ... д-ра техн. наук. - Л., 1980. - 42 с.
12. Оценка продольных усилий в наливном поезде массой 10000 тонн / Ю.М. Черкашин, Г.И. Богомаз, Г.И. Костин, Ю.П. Кривовязюк // Вестник ВНИИЖТ. -
1982. - № 4. - С. 32-36.
13. Рыжов А.В. Исследование нагруженности восьмиосных цистерн при соударениях / А.В.Рыжов, Ю.М.Черкашин, Н.Я.Гаркави // Вестник ВНИИЖТ. -
1982. - № 6. - С. 37-40.
14. Черкашин Ю.М. Динамика наливного поезда. - М.: Транспорт, 1975. - 136 с.
15. Исследование с помощью ЦВМ нагрузок, действующих на вагоны и амортизированные грузы при соударениях сцепов и пуске в ход грузовых поездов /
Л.А. Манашкин, Б.С. Ратнер, А. В. Юрченко и др. // Межвуз. сб. науч. тр. -Днепропетровск: ДИИТ, 1978. - Вып. 199/25. - С. 87 - 93.
16. Лазарян В.А., Блохин Е.П. О математическом моделировании движения поезда по переломам продольного профиля пути // Совершенствование норм проектирования. - М.: МИИТ, 1974. - Вып. 444. - С. 83-123.
17. Манашкин Л.А., Грановская Н.И. Математическая модель поезда для исследования нагруженности вагона // Межвуз. сб. науч. тр. - Днепропетровск: ДИИТ. 1984. - Вып.232/31. - С.24-28.
18. Манашкин Л.А. Математическая модель для исследования нагруженности пятникового узла грузового вагона при колебаниях в вертикально-продольной плоскости / Л.А.Манашкин, Н.И.Грановская, А.Д.Жаковский, Е.А.Калениченко // Динамическая нагруженность железнодорожного подвижного состава. -Днепропетровск: ДИИТ, 1988. - С. 59-69.
19. Математическое моделирование рельсовых транспортных средств / В.Ф. Ушкалов, Л.М. Резников, В.С. Иккол, Е.Ю. Трубицкая и др. - К.: Наук. думка, 1989. -240 с.
20. Соколов М.М., Хусидов В.Д., Минкин Ю.Г. Динамическая нагруженность вагона. -М.: Транспорт, 1981. - 206 с.
21. Богомаз Г.И. Динамика железнодорожных вагонов-цистерн. - К.: Наук. думка, 2004. - 223 с.
22. Богомаз Г.И. Оценка динамической нагруженности элементов конструкций четырехосных цистерн при различной плотности жидких грузов / Г.И.Богомаз, М.Б.Кельрих, Ю.П.Кривовязюк // Межвуз. сб. науч. тр. - Днепропетровск: ДИИТ, 1984. - Вып. 232/31. - С. 72-77.
23. Богомаз Г.И. Особенности колебаний вагона-цистерны при движении по кривым в предварительных ситуациях, вызванных действием продольных сжимающих сил / Г.И. Богомаз, Н.Е. Науменко, Е.В. Пискунова // Техническая механика. - 1999. -Вып. 2. - С. 84-90.
24. Богомаз Г.И. Математическое моделирование движения цистерны в кривых с учетом действия продольных сжимающих сил / Г.И. Богомаз, Н.Е. Науменко, Е.В. Пискунова, Ю.Г. Черномашенцева // Математичне моделювання шженерних i фiнансово-економiчних задач: Зб. наук. праць. - Дншропетровськ: Оч, 1998. - С. 123132.
25. Богомаз Г.И. Конечно-элементный подход к исследованию динамики конструкций, содержащих емкости с жидкостью / Г. И. Богомаз, Н. Е. Науменко, И. Хижа // Зб. наук. праць. - Дншропетровськ: РВВ ДНУ, 2002. - С. 14-21.
26. Оценка нагруженности железнодорожной цистерны с жидкостью при соударениях / Г.И. Богомаз, Н.Я. Гаркави, М.Б. Кельрих и др. // Динамика механических систем. - К.: Наук. думка, 1983. - С. 121-128.
27. Оценка нагруженности цистерны, частично заполненной жидкостью при ударных нагружениях / Г.И. Богомаз, Ю.П. Кривовязюк, А.А. Манашкин и др. // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью. - Томск: Томский университет, 1981. - С. 28-33.
28. Соколов М.М. Исследование колебаний жидких грузов в вагонах методом конечных элементов / М.М. Соколов, О.Н. Петров, Ю.П. Бороненко // Проблемы
механики железнодорожного транспорта: Тез. докл. Всесоюз. науч. конф. -Днепропетровск, 1984. - С. 45-46.
29. Экспериментальное и теоретическое исследования динамики четырехосной цистерны при ударных нагружениях / Г. И. Богомаз, М. Б. Кельрих, Ю. П. Кривовязюк и др. // Межвуз сб. науч. тр. - Днепропетровск: ДИИТ, 1985. - Вып. 240/32.
УДК 331.103.3
Пугачев Г. С., доцент (ДонИЖТ)
НОРМИРОВАНИЕ ТРУДОЕМКОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ С ВЕРОЯТНОСТНЫМИ СОСТАВЛЯЮЩИМИ
Постановка проблемы. Вопрос о состоянии нормативной базы трудоемкости технологических процессов актуален для каждого предприятия, но особую значимость он приобретает для предприятий ремонтного профиля, что вызвано двумя обстоятельствами.
Первое связано с вероятностным характером состояния ремонтируемых объектов, ввиду различия их конструкций и фактического состояния.
Второе связано с изменением качественного состояния парка ремонтируемых объектов из-за пополнения парка новыми конструкциями, а так же вследствие изменения условий их работы и обслуживания.
Анализ состояния проблемы. Нормативная база на каждом предприятии с одной стороны регламентируется типовыми нормами, например [4], а с другой - нормами собственными. Расхождение между первыми и вторыми существенное. Объясняется это тем, что показатель трудоемкости типовых норм не связан с организацией работы конкретного предприятия, а вероятностный характер ремонтных работ учитывается типовыми нормами как сомножитель при трудоемкости в виде учтенного объема или коэффициента повторяемости. Обе эти величины были получены путем обработки статистик хронометража трудозатрат и учтенных объемов. Не имея оснований подвергать сомнению объем статистических наблюдений и способ его математической обработки, отметим, что эти нормативы практически не применяются и, в лучшем случае, служат лишь базой для сравнения с более высокими
