Математическая модель пространственных колебаний масс динамической системы транспортного агрегата мотоблока при стационарном кинематическом воздействии Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МАСС ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ТРАНСПОРТНОГО АГРЕГАТА МОТОБЛОКА ПРИ СТАЦИОНАРНОМ КИНЕМАТИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

М.В. ПОДРУБАЛОВ, инж. МГУЛ

При проведении расчетных исследований вибрации мобильной машины основным вопросом (решение которого в значительной мере определяет выбор математического аппарата, эффективность вычислительных алгоритмов и корректность результатов) является разработка расчетной схемы с достаточной для решения поставленных задач степенью детализации и математической модели, описывающей колебания масс машины в заданных режимах нагружения.

Основным фактором, обуславливающим возникновение динамических нагрузок, является кинематическое воздействие на колеса машины, возникающие от неровностей пути.

Для проведения исследований вибро-нагруженности на сидении оператора и руле в транспортном режиме работы мотоблока агрегат с оператором будем интерпретировать в виде системы твердых тел, соединенных упругодиссипа-тивными связями.

При использовании в дальнейшем спектрального метода анализа выходных характеристик вибронагруженности необходимо привести линеаризацию уравнений твердых тел в области положения статического равновесия системы.

В общем случае колебания твердых тел, соединенных упругодиссипативными связями, в поле потенциальных сил описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений.

Учитывая это, оценим возможность линеаризации дифференциальных уравнений, описывающих колебания масс мотоблока М-3 с тележкой. Разложим в степенной ряд тригонометрические функции синуса и косинуса для координаты продольного угла колебаний остова транспортного агрегата мотоблока. Тогда при заданной продольной базе агрегата и суммарных прогибах передних (мод. Ф-106) и задних (мод. К-82) шин максимальный наклон остова будет равен 4,2°, и уже вторые члены разложения составят менее 0,5 % от первых. Чуть большие величины получаются и при поперечных колебаниях остова.

Сказанное выше говорит о том, что при теоретических расчетах колебания мотоблока можно считать малыми. В этом случае тригоно-

метрические функции углов колебаний масс динамической системы заменяются первыми членами их разложений в степенные ряды, т.е.

sin q = q tos q = 1

Мобильные машины вообще являются динамическими системами с нелинейными упругими и диссипативными связями. К таким нелинейнос-тям относятся ограничители ходов подвесок, «сухое» трение как в направляющих устройствах, так и в упругих и демпфирующих элементах, которые также имеют нелинейные характеристики и др.

Вместе с тем следует отметить, что:

- упругие характеристики подвески сидения и руля в зоне статического прогиба, где в основном происходят колебания, практически линейны;

- упругие и демпфирующие характеристики пневматических шин в области статических прогибов также имеют характер линейных зависимостей;

- при близком к нормальному закону распределения ординат профилей пути и их кинематических воздействий [1, 2] законы распределения выходных оценочных параметров мобильных машин (ускорения, напряжения, прогибы в подвесках) также близки к нормальному [1, 2], что свидетельствует о практической линейности их динамических систем и малом влиянии нелинейности характеристик упругодиссипативных связей при наличии таких мощных фильтров низких частот, какими являются подрессоренные и не-подрессоренные массы.

Существующие конструкции мобильных машин являются устойчивыми динамическими системами с большой диссипацией. Как показали экспериментальные исследования, нелинейности связей в реальных конструкциях не вызывают изменения собственных частот колебаний масс системы при изменении интенсивности кинематического воздействия [2].

На основании вышесказанного при построении математической модели колебаний масс динамической системы транспортного агрегата с мотоблоком и оператором считаем, что все упругие и демпфирующие связи между массами системы имеют линейные зависимости.

В дополнение к вышесказанному при построении расчетной схемы и математической модели колебаний агрегата при движении в транспортном режиме принимаем следующие общепринятые допущения:

1) агрегат симметричен относительно продольно-вертикальной плоскости, проходящей через центральный шарнир;

2) связи считаются телами с бесконечно малой массой;

3) агрегат движется прямолинейно с постоянной скоростью, а кинематические воздействия являются непрерывными функциями времени;

4) отсутствует влияние продольных и поперечных реакций профиля пути на колебания масс мотоблока;

5) неуравновешенность вращающихся масс и их гироскопические моменты равны нулю.

Составим расчетную схему транспортного агрегата мотоблока с оператором при его движении с постоянной скоростью (рисунок).

На схеме агрегат с оператором интерпретируется в виде системы 4 твердых тел, соединенных упругодиссипативными связями и шарниром, имеющей 4 входа и 7 степеней свободы. Малые колебания масс системы около положения равно-

весия описываются системой обыкновенных линейных уравнений 14 порядка.

На схеме введены следующие обозначения:

Q. - (г = 1,4) - кинематические воздействия

от профиля пути; qk - (к = 1,7) - обобщенные координаты; Р1 - центр инерции мотоблока; Р2 - центр инерции тележки; О - проекция точки Р на ось горизонтального шарнира;

02 - проекция точки Р на ось горизонтально-

го шарнира;

03 - центр инерции оператора и сидения;

04 - центр инерции руля;

А, В - точки регистрации ускорений;

- точки крепления колес; £/ ис2 - точки крепления подвески сидения;

Е Е2 - точки крепления подвески руля; Е Е4 - точки соприкосновения руля с руками

и рук с туловищем ; с ( = 1,8) - жесткости упругих элементов; к (г = 1,8) - коэффициенты диссипации.

Для вывода уравнений движения воспользуемся следующими обозначениями:

Радиус-вектор центра масс тела с массой т. (г = 1,4 ) Скорости полюсов Угловые скорости масс

Г = (0, 0, V = (0,0, 9,) « = (9з, 92,0)

г =(Х, 0 22) V = (0,0,94) « = ( 94 , 92,0)

г =(0, 0, 0) V = (0,0,95) « = ( 94 , 96,0)

г, =(0, 0, 0) V4 = (0,0,97) «4 = (93 , 9,,0)

Тензоры инерции

а)=

J . XX!. 0 - Jxii

0 J . 0 7

УУi

-J 0 J

I = 1,4

Выражение для вычисления кинетической энергии системы имеет вид

1 4 _ _ ^ _ _ Т = — ^(т. • У1. + 2m¡(у. хю.)г + ю.((.) -ю.). (1)

2 ,=1

Кинетическая энергия является квадратичной_формой от обобщенных скоростей

Чк (к = 1,7). Запишем матрицу коэффициентов этой квадратичной формы

М =

т1 + т2 -2 - т2 0 0 0 0 0

-х,2- т2 J . + J 2 + J 3 УУ1 УУ2 УУ3 0 0 0 0 0

0 0 хх 1 + хх 2 0 0 0 0

0 0 0 хх1 + ^^ хх 2 0 0 0

0 0 0 0 т3 0 0

0 0 0 0 0 J 3 УУ 3 0

0 0 0 0 0 0 т4

Введем обозначения: Ч = 1\Ч\, Ч2,... ,Ч7|| - вектор обобщенных координат системы; б = ||б1, б2, б3, б4|| - вектор кинематических воздействий;

= | |чт , Qт| щений;

расширенный вектор переме-

Т - оператор транспонирования.

Выражение для вычисления потенциальной энергии системы представим в виде

1 ^т т ~ ^

П = -2 -Ат-с-А-, (2)

где с = diag {с. }, . = 1,8 - матрица деформаций упругих элементов;

А =

-1 О К -О1А1У 0 0 0 0 1 0 0 0

-1 ОА х ОА у 0 0 0 0 0 1 0 0

-1 -О,А3 1 3х 0 О2 А3 У 0 0 0 0 0 1 0

-1 1 4х 0 О2 А у 0 0 0 0 0 0 1

0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0

1 О1^ С1х 0 0 -1 -О3и С 2х 0 0 0 0 0

1 ОА* 0 0 0 0 -1 0 0 0 0

0 0 0 0 -1 О3 Е 34 1 0 0 0 0

Выражение для вычисления диссипатив-ной функции Релея представим в виде

Используя соотношения (2) и (3), а также

1 d ^т т ~ d ^

Я =--б -Ат-к-А — б,

2 dt dt

(3)

где

к = diaq{k7}, . = 1,8 Дифференциальное уравнение малых колебаний масс динамической системы агрегата с оператором в матричной форме имеет вид

(В1Ы + + С)Ч = (DB1 + В2)(, (4)

где В = d/dt - оператор дифференцирования; А" - матрица коэффициентов сопротивления; С - матрица коэффициентов жесткости; В1 - матрица коэффициентов сопротивления

при кинематических воздействиях; В2 - матрица коэффициентов жесткости при кинематических воздействиях.

А т-с - А =

Ат-к - А =

С -Б.

- ВТ

Г

- В,

С

-Б £

где С - диагональная матрица жесткости;

^ - диагональная матрица коэффициентов диссипации шин.

Можно вычислить матричные коэффициенты А, С, В В2 векторного дифференциального уравнения (4).

Для исследования вынужденных колебаний масс мотоблока и оператора в транспортном режиме работы воспользуемся методами теории автоматического управления, в терминах которой

рассматриваемая система интерпретируется как многомерная, непрерывная, линейная стационарная система управления с разомкнутым контуром управления [3].Динамическая система такого типа описывается дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Вектор обобщенных координат 9 является вектором выхода динамической системы, вектор кинематических воздействий Q - вектором входа, а элементы матриц М, К, С, В В2 - параметрами системы.

Определение реакции динамической системы на показательное воздействие может быть выполнено с помощью матрицы передаточных функций динамической системы, которая находится с помощью интегрального преобразования Лапласа дифференциального уравнения движения (4) при нулевых начальных условиях

9()

й -

= 0 и —9(0

= 0.

(5)

В результате преобразования получим алгебраическое уравнение

р • м+р • к+с) • 9(р)=(р • в1 + в2) • е (Р) (6)

или

а( р) • 9( р)=в( р) • е( р),

где Р - параметр преобразования Лапласа, А(Р) = РМ + РГ + С, В(Р) = РВ1 + В2 В рассматриваемом многомерном случае выражение для вычисления матрицы передаточных функций имеет вид Ж(Р) = ЛЛ(Р)В(Р).

Для физически осуществимых устойчивых многомерных систем матрицу передаточных функций можно заменить без потери информации матрицей частотных характеристик, которая является исчерпывающей характеристикой многомерной динамической системы [3].

При исследовании установившегося процесса колебаний при I ^ да получаем чисто мнимое значение для комплексной переменной Р = у'*ш, где у = V-! . Матрица частотных характеристик обобщенных координат системы может выть получена с помощью соотношения

Ж (Р)| ^ =у« = Ж (у«). (7)

Элементы матрицы частотных характеристик характеризуют в мнимой и действительной областях реакцию динамической системы на каждом выходе системы по каждому входу при гармоническом возмущении на входе системы. Для рассмотренной динамической системы агрегата с оператором размерность матрицы частотных характеристик - 7 х 4.

Матрицу спектральных плотностей п-й производной компонент вектора выхода линейной динамической системы 9 легко вычислить, используя предварительно рассчитанные матрицу спектральных плотностей компонент вектора кинематических воздействий SQ и матрицу частотных характеристик системы Ж(/ю), если воспользоваться известным соотношением (у«) = (-у«)п • Ж(у«) х 9 , (8) х5з (у«)(«•Ж т (у«)

где Ж (у«) и Жт (у«) - сопряженная и транспонированная матрицы частотных характеристик;

5го-ш) - матрица спектральных плотностей компонент вектора кинематических воздействий.

Матрицу спектральных плотностей п-х производных деформаций упругих элементов вычислим, используя соотношение

5 ,(у«) = (у«)п • А^• Ат • (у«)п, (9)

~ А 9

где 9 = 1191,92 ... 97, Ц, £>2,63,641|т - расширенный вектор кинематических перемещений;

(у«) =

(у«)

Б--(у«)

(у'ю) (у«

- расширенная матрица спектральных плотностей расширенного вектора кинематических перемещений.

Элементы матрицы вычисляются по формулам

(у«) = Ж (у«) • ^ (у«), (10)

(у«) = ^ (у«) •Жт (у«). (11)

Зная матрицу (8) , можно вычислить матрицу спектральных плотностей сил в упругодиссипативных связях динамической системы и матрицу спектральных плотностей дисси-пативных сил в упругодемпфирующих связях.

Соответственно

Sí («) = с • SА(o) (у«) • с, 5- («) = к • 5 (у«) • к .

(12) (13)

Таким образом, разработанная математическая модель стационарных пространственных колебаний масс многомерной динамической системы транспортного агрегата мотоблока М-3 и оператора, представленной в виде системы четырех твердых тел, соединенных восемью упру-годиссипативными связями, имеющей четыре

г=0

I=0

входа и семь степеней свободы, позволяет определить частотные и выходные спектральные характеристики по любой обобщенной координате и проводить оценку уровня вибрации.

Библиографический список

1. Динамика системы дорога-шина-автомобиль-водитель / А.А. Хачатуров, В.Л. Афанасьев, В.С. Васильев и др.

Под редакцией А.А. Хачатурова. - М.: Машиностроение, 1976. - С. 110-114.

2. Никитенко, А.Н. Теоретические и экспериментальные исследования эксплуатационной нагруженности несущих металлоконструкций, полуприцепных сеноуборочных агрегатов в транспортном режиме: дисс. ... канд. техн. наук /

A.Н. Никитенко. - Ростов-на-Дону: РИСХМ, 1981. - 175 с.

3. Пугачев, В.С. Основы автоматического управления /

B.С. Пугачев. - М.: Наука, 1971. - 395 с.