Обобщенная математическая модель вибронагруженности мобильной машины при случайном кинематическом возбуждении Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Обобщенная математическая модель вибронагруженности мобильной машины при случайном кинематическом возбуждении

к.т.н. доц. Подрубалов В.К., к.т.н. доц. Никитенко А.Н., к.т.н. доц. Подрубалов М.В.

Университет машиностроения 8(495)965-9129, рос1гнЬа1оу'а Ьк.ги. ап-ткиепко®,таИ.ги. [email protected]

Аннотация. В статье изложены обоснование выбора метода и разработанная обобщенная математическая модель, описывающая стационарные пространственные колебания динамической системы мобильной колесной машины, включающей 12 твердых тел, соединенных 32 линейными упруго - диссипативными связями, имеющей 4 входа и 20 степеней свободы и учитывающей возможность установки подвесок континуального типа. Представлены алгоритмы расчета уровня вибрации на сиденье оператора и нагруженности элементов машины для различных вариантов корреляции возбуждений по входам ее системы.

Ключевые слова: вибронагруженностъ, динамическая система, математическая модель, случайное воздействие, спектральная характеристика.

Введение

Эксплуатация мобильных машин различного назначения показывает, что они имеют повышенную вибрацию на рабочем месте человека - оператора. Она обусловлена поступающими на вход их динамических систем интенсивными кинематическими воздействиями от неровностей профиля пути и тем обстоятельством, что в этом диапазоне лежат собственные частоты колебаний основных масс машин. Тенденция повышения транспортных скоростей до 50-60 км/ч, наблюдаемая в последнее время, только усугубляет сложность решения задачи улучшения условий труда.

Международные требования на уровень вибрации на сиденье оператора, обеспечивающий комфортные условия труда, весьма высоки [1, 2]. Поэтому проблема создания конкурентоспособных на мировом рынке машин, которые должны существенно повысить производительность труда в сферах их применения, определяет актуальность и необходимость разработки и использования современных методов проектирования систем виброзащиты. Этот путь заключается в проведении на стадии проектирования многовариантной расчетной оценки качества функционирования системы виброзащиты по разработанной математической модели и критериям, выбора ее рациональной структуры и оптимальных параметров ее отдельных ступеней в соответствии со стандартами [1, 2], регламентирующими, в свою очередь, применение искусственных треков с заданными эталонными случайными профилями пути и скоростями движения. Такой подход, несмотря на теоретическую сложность решения поставленной задачи, неизмеримо дешевле и быстрее приведет к результату по сравнению с обычно применяемыми до настоящего времени в машиностроении экспериментальными методами, которые требуют изготовления большого количества образцов и их испытаний.

Целью настоящей работы является разработка математической модели и методов оценки вибронагруженности колесной машины, а также рекомендаций по структуре ее виброзащиты с учетом обеспечения выполнения международного стандарта по уровню вибрации на сиденье оператора. При этом конструкция системы должна быть максимально простой и ее оптимальные параметры находиться в области практически достижимых значений для существующей элементной базы.

Кроме того, в расчетной схеме и модели целесообразно также учесть такое важное обстоятельство, как возможность создания различных модификаций машины, например, сельскохозяйственной, лесохозяйственной (с манипулятором, грузовой платформой), коммунального трактора, машины военного назначения и др. Поэтому введение в динамическую систему навесных переднего и заднего агрегатов, горизонтального шарнира остова, а также континуальных подвесок мостов и платформы (кабины) позволит существенно расширить границы применения теоретической разработки.

Анализ и обоснование основных принятых допущений

Основным вопросом при постановке задачи математического моделирования виброн-агруженности мобильной машины, от решения которого зависят методы, средства и в конечном счете стоимость и эффективность исследований, является выбор математического аппарата для описания поведения динамической системы и степени детализации ее расчетной схемы.

В общем случае колебания твердого тела в поле потенциальных и диссипативных сил описываются нелинейными дифференциальными уравнениями для обобщенных координат. Это обусловлено тем, что положение твердого тела в пространстве определяется с помощью перехода от инерциальной системы координат к подвижной системе координат, неизменно связанной с телом. Такой переход при точном подходе описывается матрицей, содержащей в себе члены с нелинейностями тригонометрического вида [3 с.16-21].

Оценим возможность линеаризации дифференциальных уравнений колебаний масс машины. Для этого достаточно разложить в степенной ряд тригонометрические функции для координаты продольного угла колебаний остова машины q с точностью до третьего члена, положить базу трактора 2,7 м и суммарные прогибы подвесок и шин передних и задних колес от положения статического равновесия 0,12 м. Рассматривая самый неблагоприятный случай при различных по знаку максимальных деформациях передней и задней систем амортизации, получим, что максимальный наклон остова будет равен 5,1° и уже вторые члены разложения составляют соответственно 0,13 и 0,39 % от первых. Практически такие же величины получаются и при поперечных колебаниях остова.

Сказанное выше говорит о том, что при теоретических расчетах стационарные колебания можно принять малыми. В этом случае тригонометрические функции углов колебаний масс динамической системы заменяются первыми членами их разложений в степенные ряды, т.е. sin q =q, cos q= 1.

Мобильные машины как реальные физические объекты имеют в общем случае динамические системы с нелинейными упруго - диссипативными связями. К таким нелинейностям относятся ограничители ходов подвесок, «сухое» трение как в направляющих устройствах, так и в упругих и демпфирующих элементах, которые, в свою очередь, имеют нелинейные характеристики. Линейные характеристики упругого или демпфирующего элемента - понятие чисто абстрактное, к которому на практике можно приблизиться только в той или иной степени.

Выбор линейной математической модели при решении поставленной задачи в нашем случае также обуславливается следующими причинами:

• упругие характеристики подвесок колес и, в частности, пневматических подвесок в зоне статического прогиба, где в основном происходит колебания, практически линейны [4]; при значительных величинах «сухого» трения в подвесках и их направляющих механизмах используются методы энергетической и статистической линеаризации [5 и др.];

• упругие и демпфирующие характеристики пневматических шин, подвесок сидений и кабин в области статических прогибов также имеют характер линейных зависимостей;

• при близком к нормальному закону распределения ординат профилей пути и их кинематических воздействий [5 с.110, 6] законы распределения выходных оценочных параметров мобильных машин (ускорения, напряжения, прогибы рессор) также близки к нормальному [5 с.110-114, 7 и др.], что подтверждает практическую линейность их динамических систем и малую степень влияния нелинейностей упруго - диссипативных связей на колебания при наличии таких мощных инерционных фильтров нижних частот в системе, какими являются подрессоренные и неподрессоренные массы;

• возможностью применения спектрального метода, позволяющего сводить задачу к решению на ЭВМ системы алгебраических уравнений высокого порядка, описывающих стационарные колебания различных масс динамической системы, который по сравнению с численными методами интегрирования систем дифференциальных уравнений требует меньших затрат машинного времени и обеспечивает получение значений целевой функ-

ции, не зависящих по точности от длины реализаций, интегрируемых на входе и статистически обрабатываемых на выходе системы.

Для обоснования степени детализации расчетной схемы динамической системы машины проведем дополнительно краткий анализ основных принципиальных положений, на базе которых в последующем формируются допущения при моделировании.

Как показали проведенные исследования, например [8], горизонтально - продольные и горизонтально - поперечные ускорения на остове трактора составляют небольшие величины (до 0,4) от значений вертикальных ускорений даже при переезде трактором искусственных неровностей с высотой 0,06 м при скорости 5,5 м/с. Для автомобилей среднеквадратические значения (СКЗ) горизонтально-продольных ускорений также незначительны и равны 0,1-0,3 от вертикальных [5 с.100]. Причем эти ускорения остова машины складываются из двух составляющих: во-первых, из ускорений, обусловленных продольными и поперечными реакциями при переезде неровностей профиля пути, и, во-вторых, ускорений, вызываемых продольно-угловыми и поперечно-угловыми колебаниями масс. Малый суммарный уровень этих ускорений дает основание исключить из рассмотрения их первую составляющую и принять при теоретических исследованиях скорость движения машины постоянной.

Подрессоренные массы оператора и сиденья существенно меньше массы кабины и остова (обычно их отношение достигает соответственно 10 и 40-50 раз). Поэтому ее влияние (и тем более влияние структуры биодинамической модели человека-оператора) на колебания остова и кабины мало, и в расчетах по оценке выходных характеристик вибронагруженности остова и кабины это влияние можно не учитывать.

В ряде работ [9, 10 и др.] установлено, что наибольший уровень колебаний колесных машин возникает при их движении на транспортных работах и в особенности на режимах движения холостым ходом и с навесными с.-х. орудиями в транспортном положении. Поэтому поскольку эти режимы являются лимитирующими, то именно их следует принимать для расчетной оценки вибрации и нагруженности машин. Правомочность этого вывода согласуется также и с тем, что принятыми стандартами [1, 2] испытания тракторов и самоходных машин по оценке уровня вибрации на сиденье оператора проводятся на искусственных треках на холостом ходу. Характеристики возбуждений от профилей этих треков представлены в [11].

Таким образом, в расчетной схеме динамической системы машины целесообразно предусмотреть оба упомянутых выше транспортных режима. Причем динамическая система, имея при этом обобщенную структуру, должна обладать возможностью трансформироваться из одного режима в другой, а также в наибольшей степени учитывать взаимное влияние колебаний различных масс трактора.

Расчетная схема и математическая модель

С учетом изложенного составим обобщенную расчетную схему динамической системы колесной машины в транспортном режиме эксплуатации (рисунок 1).

Данная схема интерпретирована в виде системы 12 твердых тел, соединенных 32 голо-номными линейными упруго-диссипативными связями, имеет 4 входа и 20 степеней свободы. Дополнительно к допущениям, анализ которых проведен выше, также принято [5 с. 98101]:

• машина симметрична относительно продольно - вертикальной плоскости, проходящей через середину колей передних и задних колес;

• связи считаются телами с бесконечно малой массой; при расчетах массы направляющего устройства, упругих и демпфирующего элементов подвесок прибавляются в половинном отношении к массам подрессоренных и неподрессоренных частей машины [5];

• машина движется прямолинейно с постоянной скоростью и кинематические воздействия от профиля пути являются непрерывными функциями времени;

• отсутствует влияние продольных и поперечных реакций профиля пути на колебания масс машины;

• неуравновешенность вращающихся масс машины и их гироскопические моменты равны нулю.

ч™ от

''Т4-

(¿= 1,4 ) - кинематические возбуждения;

(1=1,20) - обобщенные координаты; т1 (1=1,12) - массы твердых тел системы; с1 (1=1,32) - жесткости упругих элементов; к1 (1=1,32) - коэффициенты диссипации;

А1 и Ш (1=1,12) - точки крепления подвесок к остову и кабине;

Ш (¿= 1,4 ) - точки крепления подвесок колес к мостам;

Е1 и (¿= 1,6 ) - точки крепления подвесок и навесок к мостам и остову;

01 0=1,12) - центр инерции масс за исклю- т _ проекция центра масс навесного

чением 1-7 и 1-8, агрегата на горизонтальное плечо рычага;

Р1 - центр инерции массы ш7; ис _ точка крепления СИДенья оператора;

Р2 - центр инерции массы ш8; ^ п й _ система КОординат тел с мас-

сой ш1.

Рисунок 1. Обобщенная расчетная схема динамической системы машины

Для вывода уравнений движения масс динамической системы использовались уравнения Лагранжа второго рода, число которых равно числу обобщенных координат /=19, рассматриваемых нами сначала (без сиденья оператора). Установим: • радиус-векторы центров масс тел с массой т{.

г7 = (0,0, гР1)'

г8 = (0,0,

гг = (0,0,0) 7=1,6; 7=9,11;

• скорости ПОЛЮСОВ Ог (7=1,11):

= (0,0,Чг) > *'=1,5 ; = (0,0, д7) ; % = (0,0, д9) ; у8 = (0,0, - д10 • хРг), хРз в с.к. 07, Х7, У7,77; = (0,0, д13) ; у10 = (0,-417,416), гО10 в с.к. 07, Х7, Г7, 27; уп = (0,-г0пд19, д18), г011 в с.к. 08, Х8, У8, г8;

• угловые скорости масс:

3, = (0,0,0) 7=1,4; 35 =(0,0,ц6); 36 = (0,0,д8); 37 = (¿¡п,д10,0); 37 = (¿¡и,д10,0);

= (^15,; <»1о =щ\ = (0,0,0);

/=5,9.

Выражения для вычисления кинетической энергии системы имеет вид:

• тензоры инерции вращающихся масс:

Ixxl 0 Ixzi

Vi) = • 0 IYYi 0

" Izx, 0 Izzi _

1

Ii

т = - X mtvt + 2даг (V,. х ®t) • гг , (I,) ■аг

Z ,=1

(1)

ИЛИ

11

в

г=1

r x,-

+ V* + v* ) + 2даг 2 2 + ¡XX^x, +

" 2IXYi0Xi0yi ~ 2 /xz,®x, 2 lYZ®y®Zi ]•

ZZ,-

Матрица сил инерции рассматриваемой системы имеет вид:

M=diag{A\,А2,АЪ }, где: Al=diag{ml,m2,mз,m4,m5, 1Х_ ,да6, 1Х, };

(2)

(

А2 =

да7 + да8

- т9х

8Л р.

^ J

да8 хр2 1у7 + IYs + хР^ A3=diag{ IXi, Ix%, mg, IYg, даю, mw, mn, mn R^ };

Rw и R\\-радиусы инерции масс даю и дац относительно горизонтальной оси качания.

_»II и Т

Обозначим: q = Ц^,q2,...,- вектор обобщенных координат системы; Q = \Q\ з 62 з бз > 641Г " вектор кинематических воздействий;

4 =

qT, ßr

расширенный вектор кинематических перемещении;

Т - оператор транспонирования.

Выражение для вычисления потенциальной энергии системы представим в виде: П = -|г • Аг • сА-1, (3)

где: С =diag{Cj}, (/ = 1,31) - матрица коэффициентов жесткости связей;

31x23

f 4x4 04 <4 04x4 04x3 04 <4 E4 <4

— F 4x4 4> 4 04x4 04x3 04 <4 04 <4

ö6x4 4 4 ^6x4 06x3 06 <4 04 <4

0lx4 Ob 4 A4 Л1х4 06x3 Oi> 4 0Ъ 4

6äx4 <4 ^6x4 Л6хЗ 06 <4 06 <4

6äx4 <4 Л6 ^6x4 A9 Л6хЗ <4 06 <4

^4x4 04 <4 Л7 ^4x4 04X3 ^4 <4 04 <4

Отх„ - нуль-матрица размера дахл; Етхт - единичная матрица размера дахда;

матрица деформаций упругих элементов;

-1 - Ущ 0 0 1 — Хр. А 0

1 У К, 0 0 -1 - 0 0 УЕ2 0

А1 1 Уя 2 0 0 ■А' = -1 - Ув3 0 0 ■А' = 1 ~ ХЕ, Уез 0

4x4 0 0 1 У К, > 6x4 0 0 -1 - Уе4 > 6x4 0 Уе4 ?

0 0 1 Ук4 0 0 -1 - Уе5 ^ _ ХЕ5 0 Уе5

0 0 -1 - Ув6 ~ ХР6 0 У*

44х4 =1 |о 0 1 -1||

А5 -

6УА ~

А' -

4x4 ~

- 1 о -1 о

н ^

о

ся 2

о

-1

о

о

о о о -1

А8 -

- У А,

л2 - УА2

А3 - У А,

А4 - УА4

А5 - УА5

А6 - УА6

~ Хи1

~ Хи 2

~ хи з

~ Хи4

~ Хи 5

~ Хи 6

о о о о о о

Уи,

Уи 2 Уи з Уи 4 Уи з Уи «

А6 -

6уА -

А9 -

Л6хЗ -

хл7 0 - Уа7

ч 0 - Уа.

ХА л9 0 - у А,

ХА10 0 -

ХА 0 -

ХА л12 0 - Уа12

_ Хи 7 Уи 7

~ Хив Уи.

~ хи 9 Уи 9

~ Хи10

- хип Уи„

- хи12 Уи12

Выражение для вычисления диссипативной функции Релея представим в виде:

„ 1 (} Лт Ат ^ . Л

К =--а -А ■ к - А— а,

2 сИ сИ

(4)

где: к = (Иац{кг}, (/' = 1,31) - матрица коэффициентов сопротивления связей.

Дифференциальные уравнения малых колебаний масс динамической системы приводятся к матричной форме, которая имеет вид:

(В 2М + ВК + С )д = (ИВ1 + В2

(5)

где:

й

Б =--оператор дифференцирования;

М - матрица сил инерции, вычисляется по (1); К - матрица коэффициентов сопротивления; С - матрица коэффициентов жесткости;

В\ - матрица коэффициентов сопротивления при кинематических воздействиях; В2 - матрица коэффициентов жесткости при кинематических воздействиях. Используя соотношения (3)и (4), а также

Ат ■ с ■ А =

с - в2 К - В!

; и Аг • к ■ А = 1

- вт2 с - Аг к

(6)

где:

с - диагональная матрица коэффициентов жесткости при воздействиях (шин);

к - диагональная матрица коэффициентов сопротивления при воздействиях (шин), можно вычислить матричные коэффициенты К, С, В2 векторного дифференциального уравнения (5).

Реакция многомерной динамической системы на стационарное воздействие находится с помощью матрицы частотных характеристик системы, которая определяется путем преобразования Фурье векторного дифференциального уравнения (5) и решения полученного алгебраического уравнения:

(7)

(8)

[(у©)2 М + (у©) К + С ] • £ (у©) = [(у©) + в 2 ] • у©),

Ж (7®) 19x4 — А ую) • В( ую), где: Ж(/ю)19х4 - матрица частотных характеристик системы;

А'1 {¡а) - обратная матрица А(]а)= М(]а)2+ К(1т)+С',

Для количественной и качественной оценок выходных колебательных процессов масс динамической системы необходимо использовать спектральные характеристики компонент вектора обобщенных координат системы и их производных. Матрица спектральных плотностей п-ой производной компонент вектора обобщенных координат размерностью 19x19 вычисляется по формуле:

00 (У©) = (-У©)* • Пую) • (ую) • (ую)(ую)

где:

„ (9)

сопряженная и транспонированная матрицы частотных ха-

Ж(ую) и Ж 7 (ую) рактеристик;

(У®) " матрица спектральных плотностей компонент вектора Q кинематических воздействий размерностью 4x4. Матрицу спектральных плотностей п-ых производных деформаций упруго - диссипа-тивных связей вычислим, используя соотношение:

5дсо (ю) = (-ую)и • А • 5,(ую) • Аг • (ую)'

(10)

где:

5,

<? 23x23

5

919x19

5

5&9х

Я;

- матрица спектральных плотностей расширенного вектора кинематических перемещений.

!2ч 4x19 24x4

Элементы матрицы 5| (ую) вычислялись поформулам:

Я & (У©) = ^ (у©) • ^ (У©); (у®) = ^ (у-ю) • (ую).

Зная (10), можно вычислить матрицы спектральных плотностей сил в упругих и демпфирующих элементах (ю) и (ю) поформулам:

(ю) = с 5д(о (ю) с; (11)

БРк (ю) = £ 5д(1) (ш) к. (12)

Представим £^ (у©) в виде:

(ую) = хЯЬЬтЯт х, (13)

где: т,т - матрица оператора сдвига во времени входных кинематических возбуждений от профиля пути или матрица оператора «расстановки» колес по осям машины, ее сопряженная матрица,

' / ^ ( I^

т = diag \ 1,1, ехр

-усо-

V V у

-ую- ,ехр

V V ]

где: / - продольная база машины; V - скорость движения;

Я, Ят - матрица оператора «расстановки» входов (колес) по колеям дороги, ее транспонированная матрица;

В. =

1 0

0 1

1 0

0 1

- для четырехколесной машины, задние колеса которой идут по следу передних;

Ь , Ьт - сопряженный и транспонированный формирующие фильтры матрицы спектральных плотностей вектора кинематических возбуждений,

Ь = ||1 Я 12( уш)!7,

где: НиЦю) - частотная характеристика фильтра линейного преобразования воздействия от левой колеи в возбуждение, поступающее от правой колеи.

При независимых кинематических воздействиях на машину от правой и левой колей фазовый сдвиг 0=±л/2, а Нп(/ю)=±у Когда ординаты колей совпадают 0=0, #12(/^)=1. При @=п гармонические составляющие спектров воздействий находятся в противофазе и #12(/ю)= - 1.

Если координаты точки ис, в которой оценивается вибрация оператора на «абсолютно жестком» сиденье хс, ус, гс в системе координат 09, Х% У9, 2% то соотношение для определения вектора перемещений этой точки имеет вид:

г(хс,ус, гс) = и д,

(14)

где:

и =

О

3x12

и о

3x4

; 03x12; 03x4- нуль-матрицы; и =

0

-

0 о

1 - Ус

Соотношение для вычисления матриц спектральных плотностей п-ых производных компонент вектора г записывается аналогично (9). Так как и - матрица с действительными членами, то:

(и) (ую) = и ■ (я) (ую) • ит . (15)

Если сиденье имеет подвеску в вертикальном направлении с частотной характеристикой ЖгсЦ^), то спектральная плотность п-ой производной вертикальных колебаний оператора (точки ис) можно вычислить по формуле:

I 2

$ 1С (") (7®) = К (У©)| ' ^(-)(«)>

(16)

где:

5

столбца;

2(в) - элемент матрицы („), стоящей на пересечение третьей строки и третьего

(у©)Г =

с 32 + со 2к 22

(с32 -ю 2т12)2 + ю 2к32

5

т 12 - подрессоренная масса оператора и сиденья. Определив значения диагональных элементов матрицы (15) Бх(„)(ю), („)(ю),

2 („)(ю) и спектра вертикальных колебаний оператора на сиденье с подвеской (16), можно

провести качественный анализ выходных процессов колебаний (оценить резонансные частоты системы, характер распределения дисперсий процессов по частотному диапазону и др.).

Для оценок эффективности вибрационных свойств системы и собственно уровня вибрации по стандартам [1, 2] вычисляются СКЗ вторых производных перемещений сиденья оператора в октавных полосах частот и во всем рассматриваемом диапазоне по формуле:

а

X ,7,2,2С(2)

\

Ю/+1

^ ^ х у г гс (2)

(17)

гДе: /' - номер полосы частот, (/' = 1,5 );

и юг-+1 - нижняя и верхняя границы полосы частот. Этот же подход можно использовать для расчетной оценки деформаций элементов подвесок и нагруженности машины в точках их установки. При этом в подкоренном выражении формулы (17) будут интегрироваться спектры, вычисленные по выражениям (10)-(12).

Таким образом, разработанная математическая модель стационарных пространствен-

ных колебаний масс многомерной динамической системы колесной машины с навесным оборудованием, представленная в виде системы 12 твердых тел, соединенных 32 упруго-диссипативными связями, имеющая 4 входа и 20 степеней свободы, позволяет определить частотную и выходные спектральные характеристики по любой обобщенной координате, а также проводить оценку уровней вибрации на сиденье оператора на соответствие международным стандартам и нагруженности машины.

Представленная математическая модель является обобщенной и позволяет на стадии проектирования при расчетах на стандартных и лимитирующих по вибронагруженности режимах движения по случайным профилям пути учесть и оценивать влияние и эффективность таких факторов, как навеску на машину переднего и заднего агрегатов, места расположения кабины, кручения рамы машины или наличия горизонтального шарнира, присутствия различных ступеней системы виброзащиты (шины - подвеска остова - подвеска кабины или платформы с грузом- подвеска сиденья). Модель позволяет также исследовать свойства континуальных подвесок остова и кабины.

Литература

1. ГОСТ 31191.1-2004 (ИСО 2631-1:1997). Вибрация и удар. Измерение общей вибрации и оценка ее воздействия на человека. Часть 1. Общие требования. М. Стандартинформ. 2008. -37 с.

2. ГОСТ 31323-2006 (ИСО 5008:2002). Вибрация. Определение параметров вибрационной характеристики самоходных машин. Тракторы сельскохозяйственные колесные и машины для полевых работ. М.: 2008. - 19 с.

3. Ганиев Р.Ф. Колебания твердых тел / Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О./-М.: Наука,1976. 432 с.

4. Галашин В.А. Дорожные испытания автомобильных пневморессор с РКО / В.А. Галашин, В.А. Верещака, Я.Л. Фандеев, В.Н. Бородин/ТИзвестия ВУЗов. Машиностроение.-№11-М.: Издание МВТУ им. Баумана, 1978. - с. 94-98.

5. Хачатуров A.A. Динамика системы дорога-шина-автомобиль-водитель. / Хачатуров А.А, Афанасьев В.Л., Васильев B.C. и др.; Под ред. Хачатурова A.A. /- М.: Машиностроение, 1976, -535 с.

6. Подрубалов В.К. Анализ статистических оценок кинематических воздействий от типичных с.-х. профилей пути./В.К. Подрубалов, А.Н. Никитенко//Тракторы и сельхозмашины. -М.: -1984, № 8. с. 14-16.

7. Дмитриченко С.С. Методы оценки и повышения долговечности несущих систем тракторов и других машин. / Автореферат диссертации на соискание ученой степени д-ра техн. наук,- М.: НАТИ, 1971. - 36 с.

8. Подрубалов В.К. Исследование влияния параметров подвески на вибронагруженность колесного трактора класса 1,4 со всеми ведущими колесами одинакового размера./ В.К. Подрубалов, Ю.Л. Волошин// Труды НАТИ. Вопросы исследования динамики и прочности подвесок колесных тракторов. - М.: ООНТИ, 1977. - с. 10-25.

9. Волошин Ю.Л. Разработка и испытания регулируемой подвески универсально-пропашного трактора. / Ю.Л. Волошин, В.К. Подрубалов, A.C. Дурманов, Н.Е. Гусен-ко//Труды НПО НАТИ. Создание ходовых и несущих систем колесных тракторов с высоким техническим уровнем,- М.: ГОНТИ, 1987. - с. 20-30.

10. Маньшин Ю.П. Спектральный анализ эксплуатационной напряженности рамы прицепного стоговоза. / Ю.П. Маньшин, А.Н. Никитенко // Эксплуатационная нагруженность и прочность сельскохозяйственных машин. - Ростов н/Дону.: РИСХМ, 1977. - с. 28-35.

11. Подрубалов В.К. Методы получения и спектральный анализ вибрационных характеристик искусственных треков. / В.К. Подрубалов, М.В. Подрубалов // Известия МГТУ «МАМИ». -М.: 2012. -№2(14). Том 1.-е. 303-310.