Математическая модель пространственно-частотной передаточной функции фовеальной области человеческого глаза Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.784.22:519.87 А.Н. Поликанин СГГ А, Новосибирск

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВЕННО-ЧАСТОТНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ФОВЕАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО ГЛАЗА

Многочисленные гипотезы работы пространственно-частотных (ПЧ) фильтров сетчатки предполагают одновременное действие обоих видов рецепторов (палочек и колбочек). Однако еще в 1936 г. на первой конференции по физиологической оптике в Москве было представлено доказательство того, что палочковое зрение, практически, не функционирует при достаточно высоких уровнях освещенности и широком угле поля зрения. С другой стороны, колбочковое зрение наоборот отсутствует при низких уровнях освещенности. Это явление возникает в результате взаимосвязи аппаратов колбочкового и палочкового зрения, имеющих взаимотормозящее действие. В условиях средних освещенностей и углов поля зрения трудно с достаточной достоверностью определить точную степень взаимного торможения и, соответственно, оценить степень активности в передаче сигнала одного вида рецепторов относительно другого. Но даже если это возможно, то следующим шагом станет необходимость учитывать в математической модели сетчатки глаза топологию взаиморасположения палочек и колбочек. Такая сепарация трудноосуществима, если еще учесть и различие размеров рецепторов в зависимости от их расположения в пределах глазного дна.

Задача упрощается, если рассматривать математические модели ПЧ-фильтров сетчатки, имея в виду только один вид рецепторов, локализованных в четко определенном месте. Очевидно, что такой расчет возможен либо для периферической части сетчатки, где полностью отсутствуют колбочки, либо для центральной части fovea centralis, где отсутствует аппарат палочкового зрения и, кроме того, каждая клетка-рецептор является независимым приемником информации, т.е. имеет свое, отдельное, нервное волокно, приобретая в этом сходство с матрицей приемных элементов оптикоэлектронных приборов.

Структура fovea играет исключительную роль в механизме раннего этапа обработки информации в зрительной системе. Число фоторецепторов глаза приблизительно 130 млн., на которые приходится всего около 1 млн. волокон в оптическом нерве. Такое уменьшение пропускания информационного тракта обусловлено отбрасыванием высоких пространственных частот на периферии поля зрения. Эволюция создала область повышенного разрешения в центре сетчатки. Для того, чтобы это разрешение охватывало каждый участок наблюдаемой сцены, глазодвигательная система осуществляет фовеацию - наведение области fovea на цель. Таким образом, развитие знания о механизме первичной обработки оптического сигнала фовеальной областью сетчатки представляет большой интерес.

Существующие офтальмологические данные о взаиморасположении отдельных клеток чувствительных рецепторов fovea позволяют определить ее топологию как гексагональную решетку с равномерным периодом и распределением одноразмерных рецепторов (колбочек) в ее узлах (т. н. сотовое расположение) [1]. Геометрическая модель области чувствительности фовеальной части сетчатки человеческого глаза приведена на рис. 1.

Рис. 1. Геометрическая модель fovea

Заштрихованные и пустые элементы на рисунке можно представить в виде двух массивов (две прямоугольных решетки) чувствительных рецепторов, как бы вложенных один в другой. Такое обозначение необходимо в дальнейшем для упрощения математических расчетов. Согласно [2] область центральной ямки, свободная от палочек (собственно fovea), имеет размер 0,6мм по горизонтали и 0.4мм по вертикали, что составляет соответственно 1,5° и 1° поля зрения при аккомодации глаза на бесконечность (f'ra = 22,8 мм). В фовеальной области находятся 25 000 колбочек диаметром 2 мкм,

Л

плотность колбочек составляет 100 000 на мм .

Исходя из этих данных, нетрудно определить число рецепторов (период решетки) по двум осям координат X и Y (см. рис. 1) для каждого массива. Период одной из прямоугольных решеток по оси OX составляет 1,56b, где b -размер рецептора по горизонтали. По оси OY период равен 3,12a, где a -размер рецептора по вертикали. Смещение каждого следующего ряда рецепторов относительно предыдущего (смещение заштрихованной решетки относительно пустой) составляет 0,78b по оси OX и 1,56a по оси OY В дальнейшем можно принять, что a равен b, то есть рецептор имеет округлую форму.

Число рецепторов, использованных в модели, выбрано с таким расчетом, чтобы размер решетки как по одной, так и по другой оси координат соответствовал размеру центральной ямки. Пусть M - число элементов по

оси ОХ, N - число элементов по оси ОY, соответственно равные 200 и 100 для того и другого массива рецепторов.

Найдем пространственно-частотную передаточную функцию (ПЧПФ) области чувствительности. Начало системы координат будет расположено в центре фовеальной области. Преобразование Фурье функции одного чувствительного элемента радиусом R, расположенного в начале системы координат YОX, можно представить формулой [3]:

W0(лу) = 2 -ж- Я2

/]_ • (2 - ж - Я - д/Л + V2 ) 2-ж - Я-Л+^

(1)

где I1 - функция Бесселя первого порядка; ц, и - пространственные частоты по осям ОY и ОX соответственно.

Выражение (1) представляет собой модуль комплексной передаточной функции данного чувствительного элемента. Каждый последующий элемент смещен относительно предыдущего по оси ОХ на расстояние 1,56mb, где m = 0, 1, 2, ..., М.

На основании теоремы смещения преобразование Фурье функции для ряда чувствительных элементов с координатами центров у = 0, х = ±1,56тЬ (на рис. 1 - незаштрихованный ряд в начале системы координат по оси ОY) выполняется по формуле [3]:

Wl(л,v) = Wo(л,v)■

(2)

1 + е' - 1

і - (-2-ж-у-1,56 - Ь)

+ е

і -(2-ж-у-1,56 - Ь)

+

+е

і-(-2-ж-у-3,12 - Ь)

+ е'- (2 -ж-у- 3,12 - Ь) + ...

і-(2ж-у(М-1)1,56-Ь)

... + е + е

і - (-2-ж-у-М-1,56 - Ь)

где выражение в скобках представляет собой две геометрические прогрессии, суммы членов которых определяются по формуле.

Щ(Л,у)

1

?і - (2 - ж - у -т-1,56 -Ь )

М

і-(2- ж-у-т - 1,56-Ь)

+

-(-2-ж-у-т- 1,56-Ь) _ і-(-2-ж-у-т-1,56-Ь)

+

М-1

1

і- (-2- ж-у-т- 1,56-Ь)

(3)

Чувствительные элементы второго ряда (на рис. 1 это следующий заштрихованный ряд) смещены относительно первого по оси OХ на величину 0,78Ь, а по оси OY на величину 1,56a. Преобразование Фурье функции для двух рядов решетки запишется в виде формулы:

I-(2 • п-(/л • 1,56 • а+у • 0,79 • Ь))

W2(Л,у) = W1(Л,у)

1 + е

(4)

Центральные два ряда элементов чувствительной фовеальной области по оси OY повторяются с периодом ±3,12а в обе стороны от центра. Следовательно, ПЧПФ решетки в целом можно записать в виде формулы:

1

е

е

е

Ж (и,у) = Ж2(и,^)-

(5)

1 + в‘ ' 1

■ (г, 10 \ г' (2 ж'и'3,12 'а)

г'(-2 ж'и'3,12 'а) \ г у >

+

I' (-2 ' ж ' и '6,24 ' а) г' (2 - ж - и ' 6,24 - а)

+ в + в +...

г' (2ж' и (^-1) 3,12 ' а ) г' (-2ж ' и М' 3,12 ' а )

В качестве примера на рис. 2 представлены результаты моделирования для решетки чувствительных элементов фовеальной области сетчатки размером 0,6мм по горизонтали и 0,4 по вертикали.

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 мрад-1

Рис. 2. ПЧПФ решетки при заданных размерах фовеальной области

Имея математическую модель фовеальной области сетчатки, можно представить для нее случай, когда часть элементов сетчатки не функционирует. Для этого достаточно произвести в формулах (3) и (5) несложные изменения с тем, чтобы ряд геометрической прогрессии прерывался на каком-то члене и возобновлялся через некоторый промежуток. Этот эксперимент может иметь конкретное прикладное медицинское значение для моделирования некоторых травматических последствий, приводящих к изменению структуры сетчатки (отслоение) или различных болезненных проявлений (катаракта). Для случая, когда центр решетки «лишен» некоторого массива элементов (удалено 40 % от их общего количества) ПЧПФ принимает вид, представленный на рис. 3.

В дальнейшем, при увеличении размера удаленного массива элементов максимум частотно-контрастной характеристики (ЧКХ) сдвигается в область более высоких частот, так как второй максимум в районе частоты 1 мрад-1 на рис. 3 становится выше первого, расположенного в районе нулевой частоты.

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0 “ 0,5 " 1,0 4,5 2,0 2,5 3,0 мра'д1

Рис. 3. ПЧПФ с исключением массива элементов

Следует отметить, что на факт смещения максимума ЧКХ для всего глаза из нулевой области в область более высоких частот указано рядом исследователей. В частности, М.А. Островская [4] отмечает существенный спад ЧКХ глаза в районе частот от 0 до 0,25 радиан. Н.Н. Красильников [5] объясняет снижение ЧКХ в области низких частот действием внутренних шумов на частотах, близких к нулевой. Исходя из результатов исследования представленной модели, можно предположить, что это снижение может быть вызвано наличием в центральной зоне сетчатки так называемого слепого пятна - места, откуда исходит пучок нервных волокон. Это слепое пятно не имеет рецепторов для восприятия света. Таким образом, происходит то самое исключение массива элементов из зоны решетки, близкой к центральной, которое, как уже было показано, вызывает повышение контраста на высоких частотах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хьюбел Д. Глаз, мозг, зрение / Д. Хьюбел. - М.: Мир, 1990. - 239 с.

2. Луизов А.В. Глаз и свет / А.В. Луизов. - Л.: Наука, 1983. - 275 с.

3. Криксунов Л.З. Справочник по основам инфракрасной техники / Л.З. Криксунов. - М.: Сов. Радио, 1978. - 400 с.

4. Островская М.А. Частотно-контрастная характеристика глаза / М.А. Островская // ОМП. - 1969. - № 2. - С. 45-54.

5. Красильников Н.Н. Применение принципов оптимального наблюдателя при моделировании зрительной системы человека / Н.Н. Красильников // Опт. журн. - 1999. -№ 3. - С. 17-23.

© А.Н. Поликанин, 2007