Математическая модель прогнозирования финансового состояния предприятия Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 336 144

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ФИНАНСОВОГО

СОСТОЯНИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ

© 2011 г. Д.В. Суходоев, Ю.Н. Балахнев

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

kommercia@bk.ru

Посжупилб вр1дбкцию 26.04.2010

Описано построение линейной множественной регрессионной модели прогнозирования финансового состояния организации путем расчета будущей величины его чистых активов на основе реальных данных финансовой отчетности предприятия ООО «Управляющая компания «Спецстройгарант».

Клютвые словб: модель прогнозирования, предприятие, экономико-математическое моделирование, корреляционная матрица, мультиколлинеарность, автокорреляция, анализ.

Одна из наиболее сложных проблем современной экономики - предсказание финансового состояния предприятий, а особенно их неплатежеспособности. Среди различных способов решения этой задачи наиболее эффективным методом является математическое моделирование величины чистых активов предприятия. Причем в основе множественной линейной регрессионной модели должны присутствовать реальные статистические данные предприятия.

Основными задачами экономико-математического моделирования являются построение модели, определение ее параметров и применение для решения современных проблем. При этом точность и обоснованность анализа, прогнозирования и, соответственно, планирования и управления зависят от того, насколько в разработанных моделях отражены реальные процессы и связи между показателями развития экономических объектов, ограничения внешней среды, накладываемые на развитие системы объектов, достоверна информация, используемая при моделировании.

В работе рассматривались линейные по параметрам и по переменным множественные регрессионные модели:

у = Ь0 + Ь1х1 + Ь2 х2 +... + Ькхк + 8., (1)

где Ь0, Ь\, Ьк - неизвестные параметры модели, ег- - случайные ошибки модели.

В математической модели по данным баланса были рассчитаны 29 показателей, характеризующих финансовое состояние предприятия. С использованием показателей деятельности ор-

ганизации за 2009 год была построена модель для прогнозирования величины чистых активов на последующий, 2010 год, в которой зависимой переменной Y выступает величина чистых активов на 1.10.2010 г. (NET_ASSETS) как основной показатель платежеспособности организации.

В качестве независимых переменных Х],..., Хк выступают следующие финансовые показатели баланса организации, которые непосредственно вошли в итоговую модель: К2 - отношение нераспределенной прибыли к общим активам, К8 - отношение денежного потока к обязательствам, К13 - коэффициент соотношения собственных и заемных средств, К14 - рентабельность продаж, К17 - коэффициент наличия собственных средств, К24 - отношение оборотных активов к сумме обязательств, К26 - отношение чистой прибыли к совокупным активам. Отбор переменных, вошедших в итоговую модель, производился на основе метода пошаговой регрессии. Определив входящие в исходную базу данных переменные, вычислили описательные статистики по каждой из них (табл. 1).

Положительные значения коэффициента асимметрии показывают, что распределения имеют правостороннюю асимметрию по сравнению с нормальным распределением, то есть значения показателей, находящиеся справа от среднего значения ряда, имеют большую частоту. Положительные значения коэффициента эксцесса показывают, что распределения имеют более крутую вершину по сравнению с кривой нормального распределения. Далее была построена корреляционная матрица для рассматриваемых переменных (табл. 2).

Тбблицб 1

Статистические значения независимых переменных

К2 К8 К13 К14 К17 К24 К26 NET_ASSETS

Выборочное среднее 0.103 0.068 0.475 0.053 0.244 0.973 0.035 65497.670

Медиана 0.063 0.021 0.161 0.030 0.171 0.979 0.016 21944.000

Максимум 0.644 0.845 3.214 0.429 0.794 2.111 0.287 597558.000

Минимум 0.000 - 0.118 - 0.047 - 0.098 0.002 0.166 -0.042 -436.000

Стандартное отклонение 0.135 0.141 0.662 0.079 0.236 0.357 0.055 119408.000

Выборочная дисперсия 0.018 0.020 0.438 0.006 0.056 0.128 0.003 14258270464.000

Коэффициент асимметрии 2.349 3.450 1.872 2.298 0.768 0.228 2.129 2.794

Коэффициент эксцесса 9.280 17.485 6.609 10.671 2.245 4.509 9.030 10.900

Тбблицб 2

Матрица корреляции

К2 К8 К13 К14 К17 К24 К26 NET_ASSETS

К2 1.000 0.741 0.502 0.338 0.517 0.429 0.769 -0.082

К8 0.741 1.000 0.618 0.395 0.501 0.346 0.926 -0.087

К13 0.502 0.618 1.000 0.232 0.886 0.538 0.458 0.145

К14 0.338 0.395 0.232 1.000 0.221 -0.073 0.452 0.179

К17 0.517 0.501 0.886 0.221 1.000 0.404 0.414 0.401

К24 0.429 0.346 0.538 -0.073 0.404 1.000 0.329 -0.051

К26 0.769 0.926 0.458 0.452 0.414 0.329 1.000 -0.131

NET_ASSETS -0.082 -0.087 0.145 0.179 0.401 -0.051 -0.131 1.000

Анализ значимых коэффициентов корреляции факторов с зависимой переменной позволил сделать следующие выводы.

1. Существует выраженная прямая зависимость между величиной чистых активов и коэффициентом наличия собственных средств, между величиной чистых активов и коэффициентом соотношения собственных и заемных средств, между величиной чистых активов и рентабельностью продукции.

2. Наблюдается обратная зависимость между величиной чистых активов и отношением чистой прибыли к совокупным активам.

Анализ корреляционной матрицы показал, что между переменными К8 и К26 наблюдается сильная зависимость, поскольку коэффициент корреляции между ними равен 0,926. Обратная зависимость между отношением совокупных активов к совокупному долгу и рентабельностью деятельности предприятия может быть свидетельством наличия мультиколлинеарности. Ее наличие означает, что некоторые факторы всегда будут действовать однонаправленно. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой и нельзя оценить воздействие каждого фактора в отдельности.

Далее была проведена проверка наличия мультиколлинеарности двумя различными способами. Первый способ основан на применении метода вспомогательных регрессий, отражающих зависимость каждой из независимых переменных от остальных. В этих моделях интересуют только коэффициенты детерминации, выражающие силу этой зависимости: R2 (К2) =

0.67, R2 (К8) = 0.9, R2 (К13) = 0.88, R2 (К14) =

0.32, R2 (к17) = 0.85, R2 (К24) = 0.52, R2 (К26) = 0.89 (в скобках указаны зависимые переменные).

Поскольку ни один из коэффициентов детерминации не превосходит критическое значение 0.9, то мультиколлинеарности нет. Соответственно можно рассчитать значения показателя толерантности (TOL) и коэффициента «вздутия» дисперсии (У№): TOL1 = 1 - R12 =0.33, УШ1 = 1/(1 - R12) = 3.03; TOL2 = 1 - R22 =0.1, VIF2 = 1/(1 - И22) = 10; TOL3 = 1 - Ю2 = 0.12, VIF3 = 1/(1 - Ю2) = 8.33; TOL4 = 1 - R42 = 0.68, VIF4 = 1/(1 - R42) = 1.47; TOL5 = 1 - R52 = 0.15, VIF5 = 1/(1 - R52) = 6.67; TOL6 = 1 - R62= 0.48, VIF6 = 1/(1 - R62) = 2.08; TOL7 = 1 - R72 = 0.11, VIF7 = 1/(1 - R72) = 9.09.

Второй способ основан на проверке определителя матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.

Определитель этой матрицы равен A(R) = = 0.0019. Чем меньше корреляция между факторами, тем ближе значение определителя данной матрицы к единице. Чем выше корреляция между факторами, тем ближе значение определителя к нулю. И, соответственно, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии [1]. Оценка значимости мультиколлинеарности факторов может быть проведена путем проверки гипотезы о независимости переменных. Гипотеза Н0 представляет собой не что иное, как предположение об отсутствии мультиколлинеарности в модели. Конкурирующая гипотеза Н предполагает обратное. Установим уровень значимости а = 0.05. Уровень значимости - это максимально допустимое значение вероятности отклонения верной гипотезы Н0. Нулевая гипотеза принимается, если вычисленное значение статистического критерия не превышает его табличного значения при заданном уровне значимости:

Н0: A(R) = 1; Нь A(R) * 1. (2)

Квыч= [n-1-1/6(2m+5)lg A(R)] = 69.52.

Ктабл = Х:-а [ X2 (1/2n(n-1))] = 136.15 -квантиль распределения хи-квадрат найдена по статистическим таблицам [1], где а = 0.05, n -количество наблюдений, m - количество параметров модели, включая константу равную 8.

Поскольку Квыч < Ктабл, следовательно, гипотезу Н0 принимаем: мультиколлинеарность отсутствует на уровне значимости 0.05. Отбор наилучшей множественной линейной регрессионной модели проводился по нескольким критериям. Прежде всего модель должна быть значима по критерию Фишера на уровне значимости 0.05. Кроме того, должны быть значимы все коэффициенты искомой модели на том же уровне значимости. Сравнение качества построенных моделей производилось по двум характеристикам: величине скорректированного коэффициента детерминации (Adjusted R-squared), а также значению коэффициента корреляции между фактическим значением зависимой переменной (величины чистых активов) и прогнозным значением, полученным по модели.

Использование простого коэффициента детерминации в качестве критерия сравнения качества двух моделей связано с одной существенной проблемой: значение коэффициента детерминации возрастает при добавлении в модель еще одного регрессора. Поэтому был использован скорректированный коэффициент детерминации. Коррекция производилась с учетом числа регрессоров в модели. Использование

Adjusted R-squared позволило сравнить регрессии с разным количеством регрессоров. Формула для расчета обычного коэффициента детерминации выглядит следующим образом:

R2 = 1 -

RSS

TSS

(3)

где RSS - сумма квадратов остатков по модели, TSS - сумма квадратов отклонений значения зависимой переменной от среднего значения.

При расчете скорректированного коэффициента Adjusted R-squared формула корректируется следующим образом (5):

R2 adj = 1 -

RSS(n -1) TSS( n - k -1^

(4)

где п - количество наблюдений, к - количество факторов в модели. Его использование позволяет выбрать наилучшую линейную регрессионную модель, так как дает возможность сравнить регрессии с разным количеством переменных и корректно оценить качество модели. В результате проведенного анализа была построена модель прогнозирования величины чистых активов предприятия:

NET_ASSETS = - 83453.59302 -359873.7576гК2 + 929388.9235-К8 -297979.5072гК13 + +588912.984-К14 (5)

+895066.1809^К17 + 101184.9771-К24 -2376563.111-К26.

Данная модель является значимой среди всех возможных моделей, поскольку отвечает всем нижеописанным критериям.

1. Проверка значимости коэффициентов регрессии проводилась на основе критерия Стью-дента на уровне значимости 0.05. Поскольку все Prob.(t-statistic) < 0.05, то гипотезу о незначимо-сти коэффициентов регрессии отвергаем. Все коэффициенты регрессии значимы на уровне значимости 0.05 [2].

2. Модель в целом значима по критерию Фишера, поскольку Prob.(F-statistic) также меньше 0.05.

3. Скорректированный коэффициент детерминации в модели наибольший по сравнению с другими моделями.

4. Коэффициент корреляции прогнозного значения по модели и фактического значения вектора значений зависимой переменной также наибольший.

Наиболее содержательные и точные выводы относительно модели (5) по результатам наблюдений могут быть получены при следующих предположениях.

1. Значения Х1,..., Хп являются неслучайными величинами.

2. Математическое ожидание случайной ошибки в каждом наблюдении равно нулю, т.е.

М (е^ = 0, i = 1, п.

3. Дисперсия случайной ошибки постоянна для всех наблюдений, т.е, D (е) = м (е^) = о2, i =

= 1, п.

4. Случайные ошибки различных наблюдений статистически не связаны (некоррелирова-ны) между собой, т.е. М (е^) = 0 при i ф j.

5. Случайные ошибки имеют совместное нормальное распределение, в частности. При выполнении этих условий модель (5) называют классической линейной регрессионной моделью наблюдений. В регрессионном анализе часто вместо условия о неслучайности значений объясняющей переменной используется более слабое условие о независимости (некоррелированности) объясняющей переменной и случайной ошибки. Получаемые при этом условии МНК-оценки коэффициентов регрессии обладают теми же основными свойствами, что и оценки, полученные при использовании условия 1.

При работе с реальными статистическими данными важно проверить, действительно ли желаемые ограничения (условия, определяющие классическую парную линейную регрессионную модель) имеют место. После проведения этой проверки может также возникнуть вопрос, как поступить, если выяснится, что нарушение условий действительно имеет место. Для проверки выполнения стандартных предположений о линейной модели наблюдений помимо графических существует довольно много процедур, использующих статистические критерии проверки гипотез [3].

Проверка стационарности последовательности остатков проводилась с помощью сериального критерия Вальда - Вольфовитца. При п1 > 20 или п2 > 20 проверка стационарности осуществляется с помощью статистики, имеющей при отсутствии в записи знака модуля приблизительно стандартное нормальное распределение (6).

KS -

Z =

2 n1 n 2

- 0.5

2 п1п 2 (2 п1п 2 - п1 - п 2)

(п1 + п 2 )2 (п1 + п 2 - 1)

Гипотеза о стационарности остатков принимается, если выполняется неравенство

2выч < tl-a М0;1)]

где ^-аК(0;1) - двухсторонняя квантиль стандартного нормального распределения.

В нашем случае ^ = 22, п1 = 24, п2 = 37, уровень значимости - 0.05. Отсюда:

Квыч = -1.89; Ктабл = 1.96. Вычисленное значение критерия по модулю меньше табличного значения, тогда была при-

(6)

нята нулевая гипотеза: вектор остатков является случайной величиной.

Наиболее распространенным тестом на нормальность является тест Жарка - Бера. Статистика Жарка - Бера выражается формулой:

Квыч = JB = n Г + KU! 1 (7)

6 24

Здесь Sk - выборочный коэффициент асимметрии (sample skewness), Ku - выборочный коэффициент эксцесса (sample kurtosis), вычисляемые по значениям остатков. Если распределение ошибок модели действительно является нормальным, то значения выборочного коэффициента асимметрии выборочного коэффициента эксцесса близки к 0. При нарушении условия нормальности распределения ошибок значения статистики JB имеют тенденцию к возрастанию. Поэтому гипотеза нормальности ошибок отвергается, если значения этой статистики «слишком велики» (8):

JBвыч > х^ [х2 (2)]. (9)

В нашем случае n = 1, Sk = 2.13, Ku = 0.62, уровень значимости задан на уровне 0.05. Тогда Квыч = 3.89, Ктабл = 5.99. Квыч < Ктабл, следовательно, нулевую гипотезу следует принять, т.е. на уровне значимости 0.05 можно утверждать, что данные имеют нормальное распределение.

Одно из предположений регрессионного анализа состоит в независимости результатов различных наблюдений, а именно c [eiej ] = 0 при i Ф j. Если данное условие не выполняется, то говорят, что случайный член подвержен автокорреляции (autocorrelation, serial correlation). В этом случае коэффициенты регрессии, получаемые по МНК, оказываются неэффективными, хотя и несмещенными, а их стандартные ошибки рассчитываются некорректно (занижаются). Наиболее распространенным критерием проверки автокорреляции является критерий Дарбина - Уотсона.

Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка, т.е. H0: p = 0. Для проверки нулевой гипотезы используют статистику Дарбина-Уотсона:

I (ei- ei-i)2

DW = -----------

I e?

(9)

Проверка гипотезы осуществляется с помощью таблицы, содержащей критические значения критерия Дарбина - Уотсона du = du (а,к,п) и dL = dL (а,к,п), определяемые по значениям входных параметров а,к,п.

n1 + n 2

При проверке гипотезы Н0 : р = 0 против гипотезы Н+ : р > 0 гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка принимается, если выполняется неравенство

DWвыч > du (а, к,п); гипотеза отклоняется в пользу альтернативной, если будет:

DWвыч < dL (а, к,п).

При проверке гипотезы Н0 : р = 0 против гипотезы Н0 : р < 0 гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка принимается, если выполняется неравенство

DWвыч < 4 - du (а, к,п); гипотеза отклоняется в пользу альтернативной, если будет:

DWвыч > 4 - dL (а, к,п).

При проверке гипотезы Н0 : р = 0 против гипотезы Н1 : р Ф 0 гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка принимается, если выполняется неравенство

4 - (!,к,п ) > DWвыч > (!,к,п); гипотеза отклоняется в пользу альтернативной, если

DWвыч > 4 - dL ^а,к,п

или

DWвыч < dL ^ -а,к, п

В нашем случае: DWвыч =2.09, du =1.77. Поскольку 1.77 < DWвыч < 2.23, то на уровне значимости 0.05 гипотезу об отсутствии автокорреляции принимаем. Одной из предпосылок регрессионного анализа является предположение о постоянстве дисперсии случайной ошибки для всех наблюдений (свойство гомоскедастич-ности). Это значит, что для любых значений объясняющих переменных случайные ошибки имеют одинаковые дисперсии. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскеда-стичность (heteroscedasticity).

Анализ модели показал, что для нее выполняются все классические предположения, кроме предпосылки о нормальности распределения вектора остатков. Тем не менее это не сильно сказывается на эффективности оценок, полученных методом наименьших квадратов. Таким образом была получена модель прогнозирования величины чистых активов, построенная на основе реальных данных финансовой отчетности предприятия ООО «Управляющая компания «Спецстройгарант».

В Российской Федерации пока еще отсутствует статистика неплатежеспособности предприятий по причине молодости института банкротства в нашей стране, что затрудняет собственные разработки, основанные на реалиях нашей экономики и направленные на достоверное прогнозирование возможного банкротства предприятий. Существует также проблема достоверности информации о состоянии дел на конкретных предприятиях и трудности ее получения. Невозможность использования таких моделей, как модель Альтмана [4], Фулмера [5], Спрингейта [6] и других известных авторов, обусловливается прежде всего тем, что они были разработаны на основе данных финансовой отчетности иностранных государств, функционирующих в совершенно иных рыночных условиях. В данной ситуации перед нами было только два пути решения. Первый - это адаптация моделей к реалиям российской экономики и проведение дискриминантного анализа данных конкретного предприятия, второй - наиболее правильный, но более трудоемкий - создание новой модели.

Представляется возможным использование построенной модели совместно с пакетами анализа инвестиционных проектов, в результате чего становится можно рассчитывать и прогнозировать не только такие показатели, как NPV проекта, свободные денежные средства, нераспределенную прибыль, дисконтированный срок окупаемости, но и величину чистых активов (фактически финансовое состояние предприятия), что важно и во время и после реализации инвестиционного проекта, и, кроме того, влиять на конечный результат, изменяя график выборки денежных средств и/или график погашения основного долга.

Вычислив при помощи построенной модели прогнозную величину чистых активов на 1.10.2010 г. предприятия ООО «Управляющая компания «Спецстройгарант» и сравнив данные величины с фактическими, можно сделать вывод о том, что на качественном уровне построенная модель дала хорошее совпадение.

Для проверки качества построенной множественной линейной регрессионной модели необходимо произвести ее тестирование на выборочных данных, не использованных при построении модели. Наиболее целесообразным следует признать возможность проверки модели на более поздних данных. Для этого были использованы данные финансовой отчетности организации, а в качестве зависимой переменной было выбрано значение чистых активов предприятия.

В итоге был получен следующий результат: коэффициент корреляции между фактическим значением чистых активов и прогнозным по модели составил 0.721 (сильная зависимость). Это свидетельствует о высоком качестве построенной модели и ее потенциале прогнозирования.

В целом можно сделать вывод о том, что построенная модель оказалась весьма удачной, и ее применение не ограничивается только той выборкой данных, на которой она была построена. Модель обладает потенциалом прогнозирования величины чистых активов предприятия в будущем периоде на основе анализа его текущей финансовой отчетности.

Список литературы

1. Николаев Л.Н., Сорокин М.Ю. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 2009. 501 с.

2. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело, 2008. 476 с.

3. Остапенко В.В. Динамическое моделирование экономических объектов. Казань: Фэн, 2008. 369 с.

4. Altman Edward I. Financial Ratios, Discriminant Analysis and the Prediction of Corporate Bankruptcy // Journal of Finance (September 1968), p. 589609.

5. Fulmer John G. Jr., Moon James E., Gavin Thomas A., Erwin Michael J. A Bankruptcy Classification Model For Small Firms // Journal of Commercial Bank Lending (July 1984), p. 25-37.

6. Springate G. L.V. (1978) Predicting the Possibility of Failure in a Canadian Firm // Unpublished M.B.A. Research Project, Simon Fraser University, January. In: INSOLVENCY PREDICTION, E. Sands & Associates Inc.

MATHEMATICAL MODEL FOR FORECASTING THE FINANCIAL SITUATION

OF AN ENTERPRISE

D. V. Sukhodoyev, Yu.N. Balakhnev

We describe the construction of a linear multiple regression model for forecasting the financial situation of an organization by calculating the future value of its net assets based on actual financial statements of the company “Management Company “Spetsstroygarant” JSC.

Keywords: forecasting model, enterprise, economic-mathematical modelling, correlation matrix, multicollinearity, autocorrelation, analysis.