CC BY
50
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Том XVII 1986
УДК 532.57 : 533.6.071.08
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРИЕМНИКА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧИСЛА МАХА И НАПРАВЛЕНИЯ СКОРОСТИ ПОТОКА
И. Д. Вершинин, А. Н. Коваленко, С. А. Небурчилов
Изложен подход к построению алгоритма определения числа М и углов скоса пространственного потока по давлениям, измеренным на поверхности осесимметричного приемника. Подробно рассмотрен конический приемник, предназначенный для определения параметров потока при числах М — 1,5 -5- 4,0.
Известен пневмометрический метод определения числа М и направления скорости пространственного газового потока, основанный на зависимости давления на поверхности установленного в поток приемника от названных параметров. В частности, для измерений в сверхзвуковых потоках использовался конический приемник. Однако широкое применение пневмометрического метода затрудняется следующим обстоятельством. В пространственном потоке должны определяться три неизвестные величины — число М и углы скоса а, (3, которые можно отождествить с углами атаки и скольжения приемника. Связь названных величин с непосредственно измеряемыми значениями давления находится путем градуировки приемника, результаты которой представляются в виде сеток графиков. При обработке исходных данных вначале по графикам находятся приближенные значения искомых параметров, а затем найденные значения уточняются методом последовательных приближений [1]. В итоге расшифровка показаний оказывается весьма трудоемкой процедурой и исключается возможность определения параметров потока в реальном времени.
В работе [2] результаты градуировки конического приемника представлены в виде аппроксимирующих полиномов для использования при автоматизированной обработке данных. Однако полиномиальное представление (как правило, весьма громоздкое) оправдано лишь тогда, когда отсутствует априорная информация об исследуемом объекте. В тех же случаях, когда такая информация имеется в форме очевидных качественных зависимостей или результатов расчета, она должна быть использована для выбора вида соотношений, аппроксимирующих характеристики объекта.
В настоящей статье изложен подход, который может быть использован для построения математической модели осесимметричного многоточечного приемника давления. В качестве примера рассмотрен пятиточечный конический приемник, предназначенный для определения параметров пространственного сверхзвукового потока.
Схематическое изображение приемника приведено на рис. 1. Через V обозначена скорость, равная по величине и противоположная по направлению скорости набегающего потока. Для удобства изложения введены две системы декартовых прямоугольных координат: связанная система OXY и система координат, связанная с пространственным углом атаки, OXnY„Zn. В первой системе направление вектора V задано углами атаки а и скольжения Р, характеризующими соответственно скосы потока в вертикальной и горизонтальной плоскостях, а во второй — пространственным углом атаки ап и аэродинамическим углом крена <рп. Связь между этими углами в различных системах координат определена соотношениями
а = arctg (cos<рп tg ап), р = arcsin (sin <рп sin ап)- (')
Распределение давления по окружности, ограничивающей поперечное сечение осесимметричного приемника, может быть представлено отрезкам^ ряда Фурье:
р = я0 + сое (? — 9„) + а2 сое 2 (<р — <рп) 'р = а0 + сое <р + сх + Ь2 сое 2<р 4- ..
(2)/
(3>
где р — отношение давления на боковой поверхности приемника к давлению, воспринимаемому центральным отверстием.
Из сопоставления правых частей формул (2) и (3) следует, что
: «1 С08 !рп , С) = <3, 5111 ?п.
(4)
Коэффициенты а0 и а1 при заданных геометрических параметрах приемника зависят только от числа М и угла ап. Зависимости а0(М, ап) и а1 (М, ап) вместе с соотноше-
Рйс. 2
О,'Ч
0,3
0,2
0,1
2,0
3,0
М
ниями (1) и (4) представляют' собой математическую модель приемника, на основании которой может быть построен алгоритм определения величин М, а, р.
В рамках предложенного подхода результаты градуировки приемника представляются в виде формул, аппроксимирующих зависимости а0(М, ап) и а!(М, ап), а давления, воспринимаемые приемником в потоке с неизвестными параметрами, используются для определения первых трех коэффициентов разложения (3).
9— «Ученые записки» № б
117
Модель упрощается при умеренных значениях ап, поскольку в этом случае величины а0 и а 1 могут быть представлены в виде отрезков рядов по параметру ап с ко-
эффициентами, зависящими только от числа М. Дальнейшие упрощения достигаются при углах ап достаточно малых для того, чтобы можно было ограничиться рассмотрением второго приближения:
а0 = аоо + Ко а2п, (5)
а1 = Кхап. (6)
В этих условиях взамен соотношений (1) можно использовать приближенные равенства
<х = anCOS<pn, р ~ “п sin <рп. (7)
Изложенный выше подход был реализован для конического приемника с полу-углом раствора 20°, предназначенного для измерения параметров пространственного потока при 1,5<Мс4,0. Для определения вида подлежащих аппроксимации зависимостей использованы результаты численного расчета обтекания конуса невязким потоком. Для обеспечения простоты и быстродействия программы вычисления величин М, а, Р на выбор аппроксимирующих формул наложено следующее ограничение: вычисления должны сводиться к четырем арифметическим действиям, возведению в квадрат и извлечению квадратного корня.
Как следует из определения, величина а0о представляет собой отношение давления на боковой поверхности конуса к полному давлению за прямым скачком при ап = 0. Расчетные значения а0о при различных числах М показаны на рис. 2 кружками. Аппроксимация расчетной зависимости а00 (М) осуществлена с помощью формулы
а00 = 0,131 + 1.083 (М +- 0,283)—2. (8)
Анализ расчетных зависимостей а(ап) и ai(an) показал, что в рассмотренном диапазоне чисел М предположение о возможности использования формул второго приближения (5) и (6) выполняется при ап^15°. При построении математической модели конического приемника эти формулы записывались в виде
До = «оо 4" Ко af > (9)
at = Ki Яоо an- (10)
Полученные на основании расчетов зависимости Ко(аоо) и /Ci(a0o) аппроксимировались формулами:
К0 = 1.089 — 3,334%,, (11)
Ki = (1,275/Доо — 0,696)-10“2. (12)
В формуле (12) коэффициент Ki имеет размерность 1/град. Графики, соответствующие формулам (11) и (12), показаны на рис. 3 и 4 сплошными линиями.
Равенства (7) с учетом формул (4) и (6) принимают вид
К\ «00 ’ К\ аоа
Объединение формул (9) и (11) дает
(13)
воо= (во - 1 «089 л®)/(l — 3,334 в]) . (14)
Таким образом, при сравнительно небольших пространственных углах атаки совокупность формул (8), (10), (12) — (14) позволяет найти величины М, а и р, если известны первые три коэффициента разложения (3). В более общем случае, когда формулы второго приближения оказываются неприменимыми, для аппроксимации зависимостей а0(М, ап) и а4 (М, ап) необходимо использовать более сложные выражения.
При практической реализации пневмометрического метода определения параметров пространственного потока для вычисления коэффициентов разложения (3) используются отношения р; давлений, измеренных в п точках на боковой поверхности приемника, к давлению в точке центрального отверстия.
Обозначив через Ао, Ви С4 найденные по экспериментальным данным коэффициенты отрезков рядов Фурье (3) (в отличие от теоретических значений соответствующих
Рис. З
коэффициентов, обозначенных выше строчными буквами), известные формулы численного гармонического анализа запишем в виде
1 д~ =—2-л;
«•=і
9 п £ чгч — cos 2 (і — 1) л
п
i= 1
9 " = 7Ій5Ш і= 1 2 (і— 1)71
п
Очевидно, что точность экспериментального определения названных коэффициентов возрастает по мере увеличения числа п. В частном случае, когда п = 4, отверстия 1 и 3 расположены в вертикальной плоскости, а отверстия 2 и 4 — в горизонтальной (см. рис. 1), имеем
А)= (Pi + Pi + Рг + а). Bl = (pj — /?з)/2,
С] = {р2 а)/2-
Влияние числа п на погрешность экспериментального определения коэффициентов Фурье и, следовательно, параметров потока в конкретных условиях можно оценить, заменив в правых частях формул (15) величины р; их теоретическими выражениями. В частности, при п = 4
А0 = а0 + а4 cos 4 <р„ + ..., fij = bI + а3 cos 3 ,
Ci — Ci — а% sin 3 -г ... .
Отсюда следует, что в случае приемника с четырьмя боковыми отверстиями полученные выше приближенные формулы справедливы в условиях, когда амплитуда третьей гармоники азимутального распределения давления пренебрежимо мала.
На основании изложенного выше можно заключить, что с целью повышения точности определения коэффициентов Ао, В1, С1 и выявления влияния числа отверстий на погрешности определения параметров потока при градуировке приемника число точек измерения давления на боковой поверхности должно быть больше того числа, которое предполагается использовать в дальнейшем для определения неизвестных параметров потока. Практически это требование можно выполнить, если, например, приемник с четырьмя отверстиями вначале испытать с нулевым углом крена, а затем повернуть его вокруг оси на 45°. Тогда «эффективное» число п, которое может быть использовано для вычисления коэффициентов Фурье, составит 8.
Построенная выше математическая модель конического приемника является идеализированной, поскольку она основана на результатах расчета обтекания конуса без учета затупления, вязкости и влияния угла ап на давление, воспринимаемое центральным отверстием.
С целью проверки и уточнения полученных формул были изготовлены и испытаны в сверхзвуковой аэродинамической трубе два конических приемника с п = 4, изображенные на рис. 5. Испытания были проведены при двух значениях угла крена — 0 и 45°, т. е. число п, при котором определялись коэффициенты Фурье, составляло 8. Результаты испытаний представлены на рис. 2—4 в виде зависимостей v4oo(M),
■Ко(^4оо) Ki(Aoo).
Из рассмотрения рис. 2 следует, что формула (8) нуждается в уточнении. Методом наименьших квадратов по экспериментальным данным была получена уточненная формула
Д)о= 1,3(М+0,420)-2 + 0,123. (16)
На рис. 2 зависимость, соответствующая формуле (16), показана штриховой линией.
Сопоставление теоретических /(о(аоо) и экспериментальных зависимостей Ко (Л0о) (см. рис. 3) свидетельствует о том, что формула (11) адекватно описывает экспериментальные данные. Сравнительно большой разброс экспериментальных точек не приводит к заметным погрешностям определения величины Лоо, поскольку абсолютная величина члена KoAl не превышает 10% Лоо-
Из рассмотрения рис. 4 следует, что экспериментальные значения Ki систематически превышают расчетные. Аппроксимационная формула (12) была уточнена сле-
Приемник Ш/
дующим образом:1
= (1,394/Лоо — 0,915) -10—2. (17)
На рис. 4 формуле (17) соответствует штриховая линия.
На основании изложенного можно заключить, что предложенный в настоящей работе подход позволяет построить несложный алгоритм определения параметров потока в темпе эксперимента с помощью достаточно простого вычислительного устройства. Этот подход может быть также использован при построении математических моделей приемников по экспериментальным данным в тех случаях, когда их обтекание не поддается расчету существующими методами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Петунин А. Н. Методика и техника измерений параметров газового потока. — М.: Машиностроение, 1972.
2. Бродецкий М. Д., Ольховиков Г. П., Шевченко Д. М., Шпак С. И. Методика измерения местных скосов трехмерного сверхзвукового потока. — В кн.: III Всесоюзная школа по методам агрофизического исследования. — ИТПМ СО АН СССР, Новосибирск, 1982.
Рукопись поступила 12/У11 1985 г.
