МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОВЕДЕНИЯ ГИБКОГО БРУСА ПРИ ВНЕЦЕНТРЕННОМ РАСТЯЖЕНИИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

DOI 10.26731/1813-9108.2020.4(68X10-18

УДК 539.31.6

Математическая модель поведения гибкого бруса при внецентренном растяжении

М. А. Дудаев И, С. Л. Алесковский

Иркутский государственный университет путей сообщения, г. Иркутск, Российская Федерация И mishan_123@mail.ru

В статье рассматривается влияние прогибов бруса на величины нормальных напряжений и положение нейтральной оси при внецентренном растяжении стержня постоянной жесткости с прямолинейной осью. Методами сопротивления материалов получено математическое выражение кривой изогнутой оси бруса в двух главных плоскостях изгиба (инерции сечения), построенное на основании приближенного дифференциального уравнения упругой линии, и возможное к применению, которое можно применять в практических инженерных расчетах. Полученное выражение кривой изогнутой оси бруса используется для учета реального эксцентриситета приложения силы по отношению к линии центров тяжести поперечных сечений, изменяющегося измеряемого при увеличении или уменьшении приложенной нагрузки. Определены пределы применимости представленной математической модели и численно указаны ограничения предельных физических величин, при соблюдении которых математическая модель является адекватной. Физическая сторона задачи основана на линейном поведении материала, подчиняющемуся подчиняющегося закону Гука, поэтому в рамках статьи полагается, что максимальные напряжения в материале нагруженного бруса не превышают предел пропорциональности. На основании метода конечных элементов проведен численный эксперимент, учитывающий геометрическую нелинейность задачи, в ходе которого получены величины расхождений результатов расчета с аналитическим решением и приведены величины этих расхождений. Все результаты расчета представлены в виде диаграмм, построенных в относительных координатах (что подчеркивает качественную сторону задачи), изображающих показывающих изменение исследуемых величин по длине бруса при различных их гибкостях и разных уровнях среднего нормального напряжения.

Ключевые слова

сопротивление материалов, внецентренное растяжение, растяжение с изгибом, продольный изгиб, метод конечных элементов, нелинейный расчет, геометрическая нелинейность, гибкость

Для цитирования

Дудаев М. А. Математическая модель поведения гибкого бруса при внецентренном растяжении / М. А. Дудаев, С. Л. Алесковский // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2020. - № 4 (68). - С. 10-18. -DOI: 10.26731/1813-9108.2020.4(68) 10-18

Информация о статье

поступила в редакцию: 25.09.2020, поступила после рецензирования: 10.10.2020, принята к публикации: 19.10.2020

M. A. DudaevE, S. L. Aleskovskii

Irkutsk State Transport University, Irkutsk, the Russian Federation El mishan_123@mail.ru

Abstract

The article considers the influence of bar deflections on the values of normal stresses in the eccentric tension of a constant stiffness rod with a straight axis. A mathematical expression of the curve of the bending axis of the bar in the two main planes of bending (inertia of the section) is obtained using the methods of material resistance. This expression is based on the approximate differential equation of the elastic line and can be used in practical engineering calculations. The obtained expression of the curve of the bending axis of the bar is used to consider for the real eccentricity of the force application relative to the line of the centers of gravity of the cross sections, which changes with increasing or decreasing the applied load. Besides, the limits of applicability of the described mathematical model are defined and the restrictions of limiting physical quantities, by respecting the which the mathematical model retains its adequacy, are numerically indicated. The physical side of the problem is founded on the linear behavior of the material obeying Hooke's law so the article assumes that the maximum stresses in the material of the loaded bar do not exceed the limit of proportionality. Based on the finite element method, a numerical experiment is performed that takes into account the geometric nonlinearity of the problem. The values of discrepancies between the calculation results and the analytical solution are obtained and the values of these discrepancies are given during this experiment. All the calculation results are presented in the form of diagrams constructed in relative coordinates (which highlights the qualitative side of the problem), de-

Резюме

The mathematical model of the behavior of a flexible bar under eccentric tension

picting the change in the studied values along the length of the bar at different flexibilities and different levels of average normal stress.

Keywords

resistance of materials, eccentric tension, bending with tension, longitudinal bending, finite element method, nonlinear calculation, geometric nonlinearity, flexibility

For citation

Dudaev M. A., Aleskovskii S. L. Matematicheskaya model' povedeniya gibkogo brusa pri vnetsentrennom rastyazhenii [The mathematical model of the behavior of a flexible bar under eccentric tension]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern Technologies. System Analysis. Modeling], 2020, No. 4 (68), pp. 10-18. - DOI: 10.26731/1813-9108.2020.4(68).10-18

Article info

Received: 25.09.2020, Revised: 10.10.2020, Accepted: 19.10.2020

Введение

Классически в сопротивлении материалов в расчетах бруса при внецентренном растяжении он предполагается жестким на изгиб. По этой причине принимается допущение о том, что эксцентриситеты приложения растягивающей силы хр, ур (рис. 1) остаются неизменными в ходе нагружения и напряжения определяются по формуле:

( ' \

F

g =— A

1 J F AF 1 + +

(1)

где F - приложенная сила; A - площадь поперечного сечения; ц, ¿у - главные радиусы инерции поперечного сечения; х, у - координаты точки, в которой рассчитывается величина напряжения [1].

F

G = —

A

1 -

-y-

(2)

Основную трудность при этом представляет теоретический расчет величин прогибов u, v, который в классическом курсе сопротивления материалов обычно не рассматривается.

Математическая модель

Для определения указанных величин прогибов рассмотрим внецентренное растяжение бруса силой, изначально смещенной от центра тяжести поперечного сечения вдоль главной центральной оси у на расстояние уР. Прогиб определим на основании приближенного уравнения изогнутой оси бруса, известного из курса сопротивления материалов:

а2у.,1_Мх (/) р

(3)

Рис. 1. Внецентренное растяжение бруса Fig. 1. The eccentric tension of a bar

Однако в случае внецентренного растяжения гибких стержней прогибы u, v (вдоль осей x и y соответственно) становятся соизмеримыми с начальными эксцентриситетами, поэтому в формулу для расчета напряжений целесообразно ввести поправку:

( V

р Е1х

где р - радиус кривизны изогнутой оси бруса; E -модуль упругости 1-го рода материала; 1х - момент инерции поперечного сечения относительно главной центральной оси x [1].

Знак «минус» здесь выбран потому, что при положительном знаке в выбранной системе координат в изгибающем моменте изогнутая ось балки выпукла вверх (вдоль положительного направления оси у), следовательно, вторая производная должна быть отрицательной [2].

Изгибающий момент в поперечном сечении, расположенном на произвольном расстоянии г от начала координат, определяется выражением

Мх (2) = Р (Ур - у (7)) . (4)

Тогда, подставив в уравнение (3) выражение (4) и обозначив вторую производную прогиба у" , получим

v = -

v --

F (yF - v(z))

ET

-v = —

^F'

(5)

(6)

Е1Х Е1л

Полученная зависимость представляет собой однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянной правой частью.

Для его решения временно отбросим правую часть и решим полученное уравнение:

Р

у"--у = 0. (7)

ЕТ

Характеристическое уравнение имеет вид:

F-- о.

ET

k2--

Корни характеристического уравнения:

fEIX; k2x =~{

kix -

F ET

(8)

(9)

Решение дифференциального уравнения без правой части (7) найдем в виде [2]:

v - C1eklxZ В данном случае, получим

г C2ek2xz. принимая

(10)

kix - kx

k2x --k

Az

■C2e

kyz

(11)

V

F

1 1

--v H--yF

ET EI F

(14)

(15)

Определим постоянные С и С2. Для этого с учетом условий закрепления бруса (рис. 2) имеем следующие граничные условия:

при z = 0, V = 0] при z = 1, V = 0 где 1 - длина бруса.

v = Ce

Определим дополнительное частное решение для дифференциального уравнения (6) с учетом правой части. Для этого разделим выражение на силу F и устремим ее в бесконечность при неизменной жесткости EIX и неограниченной прочности. В пределе получим

' С lim

1 1

=--v +-yF = 0;

ET ET

V F ETx ETx У ETx ETx

V = yF. (12)

Таким образом, центры тяжести всех поперечных сечений будут стремиться занять положение на линии действия силы и в любой точке v ^ yF = const. В этом случае уравнение (6) также

остается справедливым, поскольку yF = 0 . Прибавим полученное частное решение к выражению (11). Получим

v = CekxZ + C2e-kxZ + yF. (13)

Проверим решение уравнения (6), в котором заменим F/ETx на k^ :

rr i 2 1 2

V " k2V = .

Производные прогибов:

V = CikxekxZ - C2kxe-kxZ;

v" = Ck2ekxz + C2k2e-kxz. (16)

Подстановка выражений (13) и (16) в уравнение (14) приводит его к следующему виду:

CikxekxZ + C2kxe-kxZ --kx (CikxekxZ+C2kxe-kxZ+yF ) = -k2yF;

0 = 0.

Таким образом, выражение (13) действительно является решением уравнения (6).

Заметим, что выражение (15) приближенно описывает углы поворота поперечных сечений при условии их малости.

Рис. 2. Расчетная схема бруса Fig. 2. The computational scheme of a bar

Подстановка граничных условий приводит к системе уравнений, линейных относительно постоянных C и C :

Ci + C2 + yF = 0 j

C1ekxl + C2e-kxl + yF = 0j . Решая систему относительно C и C , находим

Ci --yF

-kxl ^

-kv1

1

; C2- -yF -

1

-u

1

Тогда после упрощения выражение для прогибов примет вид

(

V - yF

- kx (1-

-Lz Л

1 --

-kv1

1

(17)

Проведя аналогичные рассуждения для изгиба относительно оси у, получим

(

u - xT

-ky (1-z

-kvz Л

1 —

(18)

где

ky -

F

ET,

Оценим математические пределы применимости выражений (17) и (18). При их выводе использовалось приближенное уравнение упругой линии (3), которое справедливо лишь при малых углах поворота поперечного сечения, таких что V ' = 9 « 9 и

9 << 1. Точное дифференциальное уравнение кривой имеет вид [2]:

1 P

(19)

(1 + у'2 )2

Определим, при какой максимальной величине у^ах знаменатель будет отличаться от единицы с погрешностью 5 %, допустимой в технических расчетах:

3

(1 + у^ах2)2 = 1,05 ;

у^ах = 0,1818.

Арктангенс полученного значения равен 0,1799 (рад), что отличается от у^ах на 1 %. Таким образом, представленная математическая модель остается справедливой, если максимальный угол поворота сечения не превышает 0,18 рад. При внецентренном растяжении в соответствии со схемой (см. рис. 2), наибольшие углы поворота сечений образуются на опорах. Для их определения воспользуемся выражением (15), которое после подстановки постоянных С и С2 сводится к виду

- кх (1-гЛ

0 « у' = Уркх

^e-kxz -e „-k„i

1

При подстановке z = l, получим

координаты

z = 0

0,

!±yFkx

- e-kxl ^

v e-kxl +1 v v

Заметим, что при увеличении длины стержня 1, числитель, записанный в скобках выражения (21) увеличивается, приближаясь к единице, а знаменатель - уменьшается, также приближаясь к единице, поэтому максимальный угол поворота сечения возрастает. В пределе получим

limemax =±YFkx •

Учитывая выражение (9) для kx , получим

lim 0max =

FyF

EL

(22)

(23)

Далее именно такое предельное значение угла будем понимать под максимальным (0тах). Таким

образом, описанная математическая модель остается справедливой, если выполняется условие

FyF ET

< 0,18.

(23)

Проверка математической модели численным экспериментом

Для проверки математической модели исследованы кривые прогибов стержней разной длины. При этом для удобства их сравнения формулы (17) и (18) приводятся к безразмерным единицам. Безразмерная координата определяется формулой

_ z z = — . 1

Безразмерные прогибы

_ V

u = -

(24)

(25)

Кроме того, для коэффициентов к х и ку проводятся следующие преобразования:

1 КпА 1 I— к I— ,„„

к =

-'eT

ET,

1 •

X

ky ,

(27)

где Gcp и 8ср - среднее напряжение и деформация

ср

(20)

или

(21)

соответственно при простом (осевом) растяжении; -х и - у - гибкости стержня [1] относительно осей

х и у соответственно.

Тогда формулы для определения прогибов в безразмерном виде принимают вид

-ХхлЯ(1-

-Ххл/sz

v = 1 --

e

-Xy^z

u = 1 --

-Xy>/ë

(28)

(29)

Физические пределы применимости рассмотренной математической модели оказываются такими же, как и для классического случая внецентренного растяжения короткого стержня, поскольку максимальные напряжения возникают вблизи концевых частей (у = 0, и = 0).

е у ' +1

Для теоретического исследования были определены параметры прогибов стальных стержней (Е = 210000 МПа) с квадратным сечением размером 10х10 мм(ц = 1у = 2,887 мм) и гибкостью

100, 200, 300 и 400 ед. Соответствующие расчетные длины составили 288,7 мм; 577,4 мм; 866,0 мм и 1154,7 мм соответственно. Для каждого стержня создавалось три ступени нагружения при среднем напряжении 100, 200 и 300 МПа. Эксцентриситет каждого стержня в одной главной плоскости ур принимался равным 10 мм (хр = 0).

Результаты аналитического расчета сравнивались с результатами численного эксперимента, основанного на методе конечных элементов (МКЭ). Конечноэлементный анализ проводился с использованием балочных конечных элементов Тимошенко [3] и нелинейного статического анализа [4].

Графики прогибов в безразмерных координатах показаны далее (рис. 3-6).

u

Рис. 3. Кривые прогибов при различных гибкостях стержня и разных уровнях среднего напряжения Fig. 3. Deflection curves for different rod flexibilities and different average stress levels

Анализ кривых показывает, что при одинаковом приращении напряжений в стержнях приращения перемещений изменяются нелинейно. В стержнях большой гибкости упругая ось стремится занять положение на линии действия силы, т. е. стремятся устранить начальный эксцентриситет. Существенное влияние прогиба на величину фактического эксцентриситета (более 40 %) проявляется даже при гибкости стержня 100 ед. Также расчетом установлено, что уже при гибкости стержня 30 ед. и при уровне среднего напряжения 100 МПа, прогиб может составлять более 5 % от начального эксцентриситета, что подчеркивает необходимость его учета.

Для оценки погрешности аналитического и численного расчета получены величины погрешностей, определенные по формуле

д _ v МКЭ v а

•100%,

(30)

где vМКз и vан - прогибы бруса, рассчитанные методом конечных элементов и аналитически соответственно.

Графики расхождения результатов расчета по длине стержня показаны (рис. 4).

Расхождение результатов аналитического и численного решения во всех случаях не превышает 5 %, что является достаточной точностью для технического расчета. Погрешность аналитического решения при этом вызвана использованием приближенного дифференциального уравнения упругой оси.

Таким образом, предложенная математическая модель достаточно точно аппроксимирует поведение гибкого бруса при внецентренном растяжении и может быть использована в практических расчетах.

Влияние прогибов на нормальные напряжения в поперечном сечении бруса

Исследование влияния прогиба бруса на уровень нормальных напряжений проведено на основании формулы (2).

В первую очередь исследуется положение нейтральной оси бруса, определяемое относительно центра тяжести поперечного сечения. При внецен-тренном растяжении положение центра тяжести определяется выражением

v

Рис. 4. Кривые погрешности аналитического и численного решения методом конечных элементов при различных гибкостях стержня и разных уровнях среднего напряжения Fig. 4. Error curves of the analytical and numerical solution of the finite element method for different rod flexibilities and different levels of average stress

s £

с >3

X

л -

Д

О

s

и -

S J-

0,3 0,25 0,2 ),15

Г o.i

;

0,05 О

14 12 10 8 6 4 2 0

V 1 = 100

\

/ ^ ^ / / % \ \N

// ч\

20 40 60 80 Относительная координата z. %

x = 300

/ / \\

------ ^VSj Nw и

20 40 60 SO

Относительная координата z, %

100

2

1,8

1-6

g 1.4 о

и 1.2

0

5 1

|0,8

£ 0.6 и

1 0,4 0,2

О

90 80 >,10 §60

0 50

I40

Рзо 1>

1 20 10

0

100

■100--а =200

X = 200

/ / / // r \ \

\\

--- \\

20 40 60 80 Относительная координата z, %

100

1 = 400

/ N

У/

20 40 60 80

Относительная координата z, %

100

Рис. 5. Кривые относительного положения нейтральной оси при различных гибкостях стержня

и разных уровнях среднего напряжения Fig. 5. Curves of the relative position of the neutral axis for different rod flexibilities and different levels of average stress

1 + (1 - V)^Fy + (1 - = 0. (31)

Хх !у

Приравнивая поочередно координаты x и у к нулю, найдем координаты точек пересечения нейтральной оси с осями системы координат у и x соответственно. Так, например, для стержней с размерами и схемой нагружения, исследованных МКЗ, при изгибе только в плоскости 2у кривые относительного смещения нейтральной оси от центра тяжести поперечного сечения, определенные по формуле

- у -IX

У = =Л Д 2 , (32)

ур (1 - V) у;

показаны на (рис. 5).

Анализ диаграмм показывает, что при малой гибкости стержня (X = 100) нейтральная ось на всем протяжении бруса располагается в пределах сечения, так как относительное положение нейтральной оси у < 1. Однако уже при гибкости стержня более X > 100 единиц нейтральная ось на части бруса располагается за пределами сечения (у < 1). При сравнительно больших гибкостях (X > 300) нейтральная

ось располагается за пределами сечения почти на всей протяженности бруса при среднем напряжении выше 200 МПа. Поэтому в таких брусьях преобладают нормальные напряжения одного знака, а именно, все волокна бруса являются растянутыми.

Для оценки распределения напряжений по длине бруса введем понятие относительного напряжения, т. е., напряжения, отнесенного к среднему значению, определяемого для случая центрального растяжения:

ст

с = -

(33)

ст

ср

Графики распределения максимальных (и минимальных) относительных напряжений в брусе, определенные в точках сечения, максимально удаленных от центра тяжести, представлены далее (рис. 6).

Анализ диаграмм показывает, что в брусе малой гибкости максимальные и минимальные напряжения существенно отличаются по абсолютной величине при всех уровнях среднего напряжения. С увеличением гибкости бруса уровни напряжений на части, расположенной вблизи середины его длины, стремятся к одной и той же величине - среднему

Рис. 6. Кривые относительных максимальных напряжений при различных гибкостях стержня и разных уровнях среднего напряжения Fig. 6. Relative maximum stress curves for different rod flexibilities and different average stress levels

ORIGINAL PAPER

Modern technologies. System analysis. Modeling 2020. No. 4 (68). pp. 10-18

напряжению стср, поскольку относительное напря- дения гибких брусьев при их внецентренном растя-

_ жении. На основании результатов работы можно

жение стремится к единице ст^1,0 . С дальнейшим сделать заключение о существенном отличии в по-

увеличением гибкости протяженность участка с ведении стержня малой и большой гибкости при

приблизительно одинаковым максимальным и ми- таком случае нагружения. Использование классиче-

нимальным напряжением возрастает. Однако при ской модели, известной из курса сопротивления ма-

любой гибкости в концевых участках стержня мак- териалов, применительно к гибким стержням может

симальные и минимальные напряжения существен- приводить к существенной погрешности в инженерно отличаются от среднего значения, что вызывает- ном анализе элементов конструкций. Уточненная ся влиянием существенного изгибающего момента, математическая модель, приведенная в статье, на

проявляющего здесь вследствие большого эксцен- сегодняшний день должна применяться наряду с

триситета приложения сил^1. использованием компьютерных технологий инженерного анализа, в том числе компьютерного моде-

Заключение

Представленная математическая модель позволяет проанализировать уточненную картину пове-

лирования.

Список литературы

1. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев : Наук. думка, 1988. 736 с.

2. Сопротивление материалов / Г.С. Писаренко, В.А. Агарев, А. Л. Квитка и др. Киев : Вища шк. Головное изд-во, 1986. 775 с.

3. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов : учеб. для вузов. М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 592 с.

4. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. М. : Наука, 1986. 560 с.

5. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. М. : Высшая школа, 1989. 622 с.

6. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. М. : Высшая школа, 2000. 560 с.

7. Сопротивление материалов : учебник / Г.Д. Межецкий, Г.Г. Загребин, Н.Н. Решетник и др. М. : Дашков и К, 2008. 416 с.

8. Степин П.А. Сопротивление материалов. М. : Высшая школа, 2012. 367 с.

9. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М. : АСТ; Астрель, 2006. 991 с.

10. Дудаев М.А. Матрица жесткости балки Тимошенко в конечноэлементном анализе динамического поведения роторных турбомашин // Вестник ИрГТУ. 2014. № 6. С. 59-65.

11. Дудаев М.А. Влияние на динамические параметры изделия внешнего непериодического силового воздействия // Транспортная инфраструктура Сибирского региона : материалы X Междунар. науч.-практ. конф. Иркутск, 2019. Т. 2. С. 826-830.

12. Зенкевич О.С. Метод конечных элементов в технике. М. : Мир, 1975. 542 с.

13. Bathe K.J. Finite Element Procedures. Upper Saddle River, New Jersey : Prentice hall, 1996. 1038 p.

14. Chen Z. Finite Element Methods and Their Applications. Berlin : Springer, 2005. 411 p.

15. Cook R.D. Finite Element Modeling for Stress Analysis. New York : John Willey & Sons, Inc., 1995. 321 p.

16. Crisfield M.A. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Wiley : Essentials, 1996. Vol. 1-2.

17. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method: The Basis. Oxford : Butterworth-Heinemann, 2000. Vol. 1-3.

References

1. Pisarenko G.S., Yakovlev A.P., Matveev V.V. Spravochnik po soprotivleniyu materialov [Reference book on the resistance of materials]. Kiev: Naukova dumka Publ., 1988. 736 p.

2. Pisarenko G.S., Agaev V.A., Kvitka A.L. et al. Soprotivlenie materialov [Resistance of materials]. In Pisarenko G.S., Acad. Member of the AS USSR (ed.) Kiev: Vishcha Shk., Main publ., 1986. 775 p.

3. Feodos'ev V.I. Soprotivlenie materialov: Ucheb. dlya vuzov. [Resistance of materials: a textbook for universities]. 10-th edition, revised and expanded. Moscow: N.E. Bauman MSTU Publ., 1999. 592 p.

4. Birger I.A., Mavlutov R.R. Soprotivlenie materialov [Resistance of materials]. Moscow: Nauka Publ., 1986. 560 p.

5. Darkov A.V., Shpiro G.S. Soprotivlenie materialov [Resistance of materials]. Moscow: Vysshaya shkola Publ., 1989. 622 p.

6. Aleksandrov A.V., Potapov V.D., Derzhavin B.P. Soprotivlenie materialov [Resistance of materials]. Moscow: Vysshaya shkola Publ., 2000. 560 p.

7. Mezhetskii G.D., Zagrebin G.G., Reshetnik N.N. et al. Soprotivlenie materialov: uchebnik [Resistance of materials: textbook for universities]. In Mezhetskii G.D., Zagrebin G.G. (gen. eds.) Moscow: Dashkov and KO Publ., 2008. 416 p.

8. Styopin P.A. Soprotivlenie materialov [Resistance of materials]. Moscow: Vysshaya shkola Publ., 2012. 367 p.

9. Vigodskii M.Y. Spravochnik po vysshei matematike [The handbook of higher mathematics]. Moscow: AST: Astrel Publ., 2006. 991 p.: il.

10. Dudaev M.A. Matritsa zhestkosti balki Timoshenko v konechnoelementnom analize dinamicheskogo povedeniya ro-tornykh turbomashin [Timoshenko bar stiffness matrix in finite element analysis of dynamic behavior of rotary turbomachines]. [Proceedings of Irkutsk State Technical University], 2014. No.6. Pp. 59-65.