CC BY
84
А.С. Донсков, А.В. Прохоров
Пермский государственный технический университет
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ, ФОРМИРУЮЩИХСЯ ПРИ ДРОБЕСТРУЙНОЙ ОБРАБОТКЕ
Предложена математическая модель остаточных напряжений, формирующихся в поверхностном слое заготовки в результате дробеструйной обработки. Проведенное сравнение расчетных и опытных данных показало их удовлетворительную сходимость.
Для увеличения усталостной прочности деталей машин широко используются методы поверхностного пластического деформирования (ППД), в том числе упрочнение дробеструйной обработкой. Это объясняется тем, что при упрочнении металла поверхностного слоя методами ППД в нем возникают значительные остаточные напряжения сжатия. Кроме того, как показано в работе [1], наличие остаточных напряжений сжатия частично нейтрализует вредное влияние на прочность металла начальных трещин усталости, замедляя, а в некоторых случаях приостанавливая их развитие. Вместе с тем в настоящее время применению дробеструйной обработки для упрочнения деталей машин, несмотря на предложенные в работах [2, 3 и др.] методы расчета остаточных напряжений, обычно предшествуют эксперименты на пробных образцах детали для определения режимов обработки дробью с целью создания необходимых остаточных напряжений.
В данной статье предложена математическая модель, описывающая формирование остаточных напряжений в зависимости от режима дробеструйной обработки.
Основу физической сущности математической модели составляет следующая особенность дробеструйной обработки, отмеченная в работе [3]. Несмотря на то что обработка поверхности заготовки осуществляется струей дроби, формирующиеся в поверхностном слое заготовки остаточные напряжения эквивалентны остаточным напряжениям, возникающим в результате удара отдельной дробинки. Следуя этому положению, заключим, что моделирование остаточных напряжений при дробеструйной обработке может быть осуществлено с помощью математической модели остаточных напряжений, возникающих в точках оси 2 (рис. 1), совпадающей с направлением удара отдельной дробинки шаровидной формы.
Рис. 1. Распределение деформации ё;2 по глубине пластически деформированного слоя
Остаточные напряжения а°., согласно теореме о разгрузке, определяются по формуле
^ =°5 , С1)
где ар - напряжения, возникающие при упругопластическом деформировании. В дальнейшем они называются полными напряжениями;
а. - напряжения, снимаемые при упругой разгрузке, далее они называются напряжениями разгрузки.
Полные напряжения в произвольной точке оси 2 могут быть вычислены по формулам [4]:
ар = - Р,
ар = = - Рт
тах 2 2
ар + 2
1 ар
(1+ Ц.) - - Р
(2)
(3)
Для точки 2 = 0, т.е. в центре поверхности контакта
ар = - Рт
ар = ар = - Рт
(1 + 2ц.) 2
(4)
(5)
2
а
р
где ар - радиус круговой области пластического отпечатка, образующегося на поверхности обрабатываемой заготовки при ударе отдельной дробинки;
ртах - максимальное давление в области контакта дробинки с поверхностью заготовки;
ц, - переменный параметр упругости (коэффициент Пуассона).
Пути нахождения величин ар, ртах и ц, аналогичен решению контактной задачи о скольжении штампа с неплоским основанием [5]. Применяя методологические подходы работы [5] для случая внедрения шара в упругопластическое полупространство, получим следующие соотношения между:
- полным (упругопластическим) внедрением 8р дробинки-шара и нормальной силой удара Р
8р =
Р (1 - ц) _1 в4Ё 1 -
ю
2/3 2
Иа
1 + ю
(6)
- радиусом ар области пластического отпечатка и силой Р
Р (1 -ц) Ё в 1 -ю
Иа
(7)
- радиусом кривизны Ёл лунки пластического отпечатка и радиусом Ё дробинки
ёр ;
ю
(8)
- величиной упругого 8е и полного 8р внедрения в обрабатываемую заготовку
8е =5р(1 -ю). (9)
В приведенных выражениях аа - параметр формы области контакта. Для круговой области аа = 0,72; ю - функция переменных параметров упругости ц, и в,:
ю = 1 -
(1 -ц) в, (1 -ц,) в
(10)
Согласно принятому в работе [5] методу переменных параметров упругости, процесс решения задачи о деформировании упругопластического тела представляет собой итерационный процесс, на каждом шаге которого тело рассматривается как идеально упругое, имеющее в исследуемых точках мо-
а
р
дули упругости и сдвига Е,, С, и коэффициент Пуассона ц,, определяемые по формулам:
£.=____________________________3Е_. с = С . ц_ = 1 -(1 -ЭД/У(1 + Ю , (11)
2(1 + ц)у +1 - 2ц у 2 + (1 - 2ц) / у(1 + ц)
где Е, С, ц - модули упругости, сдвига и коэффициент Пуассона до момента деформирования упругопластического тела; у - функция, вычисляемая по формуле
У = Е , (12)
где о,- - обобщенное напряжение, вычисляемое по экспериментальной зависимости о,- = ф(б,'), построенной по результатам на растяжение деформируемого материала;
е,- - обобщенная деформация в точке определения значений переменных параметров Е,, С,, и ц,. При определении параметров пластического отпечатка, образующегося на поверхности при ударе дробинки, такой точкой является 2 = 0. В ней
1 (1 - 2ц,) Р1/3
4л«2 (1 -ц, )2/3 С,1/3Я2
(13)
Пренебрегая упругой деформацией дроби, нормальную силу удара Р можно определить по формуле [6]
„ 0,024Я 2$6/5 у3/5
Р = —---------2Т5—, (14)
ГА-цТ
I Е У
где Я - радиус дроби, м;
и - скорость полета дроби, м/с; у - удельный вес материала дроби, кг/см3.
Вычисление переменного параметра ц, по глубине деформированного слоя обрабатываемой заготовки осуществляется по формулам (11), (12) с использованием зависимости [7]
/• V/ 8 у
где е2 - обобщенная деформация в рассматриваемой точки оси г;
ет - деформация, соответствующая пределу текучести от материала заготовки, от = Еет;
Ьз - глубина пластически деформированного слоя (см. рис. 1).
Ь(16)
При расчете напряжений разгрузки будем полагать, что эти напряжения эквивалентны напряжениям, возникающим при упругом внедрении дробинки-шара в лунку образованного пластического отпечатка радиусом кривизны Ял на величину
5„ =
-,2/3
Ре (1 -ц)
а5 , (17)
где Ре - сила упругого внедрения дробинки в пластический отпечаток;
Щ - радиус средней кривизны соприкасающихся поверхностей [8]:
Я . (18)
1 Ял - я
Учитывая зависимость (9), из уравнения (17) находим
С<251/2(1 -ю)3/2 Р =—1—^------------— (19)
е 3/2
а5 (1 - ц)
3 Р
Поскольку для упругого контакта ртах =---------^ , то из равенства макси-
2 па„
е
мального давления в области контакта при упругом и упругопластическом внедрении дробинки в поверхность заготовки имеем
2Р
ае =Л------------------------------------- . (20)
е \3 нв
Таким образом, приведенные зависимости (1)-(20) составляют математическую модель, позволяющую рассчитать остаточные напряжения, возникающие в поверхностном слое обрабатываемой заготовки на ее локальном участке удара отдельной дробинки общей струи дроби. Алгоритм расчета напряжений составляют следующие основные этапы.
1. Определяется по формуле (14) сила удара Р. Методом последовательных приближений по формулам (11)-(13) вычисляются с заданной точностью переменные параметры упругости в центре контакта (г = 0) дробинки с поверхностью заготовки.
2. Рассчитываются по зависимостям (10), (7), (16) функция переменных параметров упругости ю, радиус ар области пластического отпечатка и глубина пластически деформированного слоя И3.
3. Принимается, согласно результатам работ [2, 7], максимальное давление ^тах, равным твердости по Бринеллю (ртах = НВ, МПа), и по формулам (2)-(5) вычисляются полные напряжения в последовательных точках оси 2. При этом параметр ц, определяется с использованием зависимости (15).
4. Вычисляются напряжения упругой разгрузки по формулам (2)-(5), в которых величины ар, и ц, принимаются равными ае и ц.
5. По выражению (1) определяются остаточные напряжения.
Для проверки адекватности математической модели проведено сравнение результатов моделирования с опытными данными, приведенными в работах [6, 9-12].
На рис. 2 приведены эпюры остаточных напряжений, формирующихся при обдувке дробью пластин из стали 12Х2Н4А (НВ 513). Дробеструйная обработка производилась шариками из стали ШХ-15 диаметром 1,0 мм при скорости 56 м/с в течение 1 мин [11].
Оу, МПа -800 -400 0
40
120
200
2, ммк
Рис. 2. Эпюры остаточных напряжений после дробеструйной обработки стали 12Х2Н4А:------- экспериментальные данные [11]; - расчетные данные
Как видно из приведенных эпюр, характер изменения по глубине поверхностного слоя рассчитанных напряжений полностью согласуется с опыт-
ными данными. В частности, математическая модель отражает экспериментально установленное во многих работах возникновение при дробеструйной обработке сжимающих остаточных напряжений. При этом их максимум, как правило, находится на некоторой глубине пластически деформированного слоя обработанной детали.
В таблице представлены результаты количественной оценки расчетных и экспериментальных данных исследования остаточных напряжений для различных материалов и режимов дробеструйной обработки.
Расчетные (числитель) и экспериментальные (знаменатель) значения максимальных остаточных напряжений и глубины их залегания
Материал (твердость по Бринеллю) Диаметр дроби d, мм Скорость полета дроби V, м/с Максимальные остаточные напряжения <зу, МПа Глубина максимальных остаточных напряжений к, мкм
ВТ1-1 (НВ 321) [91 1,5 89 705/750 40/0
40ХНМА (НВ 360) [101 1,0 65 729/700 68,1/80
1,4 65 746/500 96,8/100
Сталь 40 (НВ 190) [101 1,0 65 380/500 46/100
1,4 65 413/500 63,2/150
12Х2Н4А (НВ 534) [11] 1,0 56 986/1000 50/65
13Х3НВМ2Ф-Ш (НВ 580) [11] 0,2 42 1250/1200 9.6/10
1,6 1,2 1008/1000 30/40
0,8 3 1170/1000 32/(20-40)
Р18 (НВ 317) [12] 2,5 10 661/850 28,8/0
Сталь 10 (НВ 143) [131 1,2 92 650/700 95,3/80
1,2 150 395/700 117/80
Сталь 5 (НВ 165) [1] 1,6 58 410/500 79/50
Сопоставительный анализ результатов опытного и вычислительного эксперимента позволяет заключить, что полученная математическая модель качественно и количественно удовлетворительно отражает процесс формирования остаточных напряжений, формирующихся при дробеструйной обработке. Относительная погрешность расчетных значений не превышает 20 %. Имеющаяся повышенная погрешность расчетных данных по глубине залегания максимальных остаточных напряжений обусловлена тем, что в разработанной математической модели не учитывается время обработки и, следовательно, многократность деформирования дробью локальных участков обрабатываемой поверхности. Вместе с тем данная модель позволяет выполнить
прогнозирование параметров режима дробеструйной обработки для получения требуемых остаточных напряжений, не прибегая к трудоемким экспериментальным исследованиям.
Список литературы
1. Школьник Л.М. О методе определения остаточных напряжений, вызванных дробеструйной обработкой // Заводская лаборатория. - 1942. - № 10. -С.1232-1239.
2. Харди С., Баронет С.Н., Тордион Д.В. Вдавливание жесткой сферы в упругопластическое полупространство // Механика. Периодический сборник переводов иностранных статей. - 1972. - № 2(132). - С. 126-136.
3. Смирнов В. А. Аналитическое определение остаточных напряжений и деформаций в процессе обработки деталей // Известия вузов. Машиностроение. - 1977. - № 1. - С. 150-154.
4. Расчеты на прочность в машиностроении / С.Д. Пономарев [и др.]. -Т. 2. - М.: Машгиз, 1958. - 974 с.
5. Донсков А. С. Исследование контактной зоны деформации при выглаживании инструментом произвольной формы // Совершенствование процессов абразивно-алмазной и упрочняющей технологии в машиностроении: сб. тр.; Перм. политехн. ин-т. - Пермь, 1983. - С. 69-78.
6. Пичко А.С. Выбор рациональных режимов при дробеструйной очистке металлических поверхностей // Прогрессивные методы отделочной обработки деталей машин. - М.: Машиностроение, 1967. - С. 194-204.
7. Дрозд М.С., Матлин М.М., Сидякин Ю.И. Инженерные расчеты упругопластической контактной деформации. - М.: Машиностроение, 1986. - 224 с.
8. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 940 с.
9. Дрозд М.С., Федоров А.В., Лебский С.Л. Исследование влияние начальной напряженности деталей из титановых сплавов на эпюру остаточных напряжений после ППД // Повышение точности деталей машин и приборов / Моск. дом науч.-техн. пропаганды им. Ф.Э. Дзержинского. - М., 1977. -С. 27-29.
10. Саверин М.М. Дробеструйный наклеп. Теоретические основы и практика применения. - М.: Машгиз, 1955. - 307 с.
11. Генкин М. Д., Рыжов М.А., Рыжов Н.М. Повышение надежности тяжело нагруженных зубчатых передач. - М.: Машиностроение, 1981. - 231 с.
12. Петросов В.В. Гидродробеструйное упрочнение деталей и инструмента. - М.: Машиностроение, 1977. - 165 с.
13. Саверин М.М. Применение дробеструйного наклепа для повышения конструкционной прочности и долговечности машиностроительных деталей // Вестник машиностроения. - 1951. - № 7. - С. 54-58.
Получено 28.04.2010
