CC BY
38
УДК 865.34.03.01
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МИКРОКЛИМАТА В ОБУВИ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ НА НЕЕ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР
© 2005 г. И.Д. Михайлова, Т.М. Осина, В. Т. Прохоров, А.Б. Михайлов
Создание комфортности обуви невозможно без объективной оценки показателей свойств пакетов материалов с целью эффективного их формирования путем отбора рационального сочетания верха, подкладки, стельки и подошвы [1].
Основными критериями комфортности обуви приняты: температура стопы, которая не должна быть ниже 27-33 °С, и температура внутриобувного пространства (должна быть не ниже 21-25 °С).
Таким образом, микроклимат внутри обуви является показателем ее комфортности, в том числе при воздействии на нее низких температур. Для человека не безразлично, какая часть тела охлаждается больше при сохранении суммарной теплоотдачи. Например, сильное охлаждение ног не может быть полностью компенсировано нагреванием другой части тела без нарушения чувства комфортности человека [2, 3].
Поэтому так важно разработать математическую модель для обоснования выбора пакета материалов с целью создания комфортности стопы с учетом величины и продолжительности воздействия на нее низких температур. Для ее апробации с помощью программы 3D Studio MAX 5 построили геометрический образ модели ботинка (рис. 1).
Рис. 1. Геометрический образ модели ботинка
Модель обуви построена с использованием базовых геометрических объектов: 1- подошва (составная пластина); 2 - голенище (вертикальный цилиндр); 3 -пяточно-перейменный участок (цилиндрический сегмент, развернутый под углом к продольной оси модели); 4 - пучковый участок (горизонтальный цилиндрический сегмент); 5 - носочная часть (сферический сегмент); 6 - пяточная часть (вертикальный цилиндрический сегмент).
Тепловые сопротивления верха и низа, обычно рассматриваемых как системы, состоящие из отдельных материалов, представляют собой сумму тепловых сопротивлений отдельных слоев и прослоек (наружные детали, подкладка, межподкладка, прослойки технологических клеев, воздуха и т.д.), а также сумму сопротивлений переходу тепла из одной среды в другую на границе, разделяющей отдельные слои.
Разработанная математическая модель предполагает рассчитать распределение температуры для пакета различных материалов, используемых для деталей низа и верха обуви. Так как при построении модели ботинка (рис. 1) были использованы геометрические объекты: пластина, полые цилиндры и шар, поэтому построенная обобщенная математическая модель теплообмена между стопой и окружающей средой распадается соответственно на три краевые задачи теплопроводности.
1. Подошва (многослойная пластина). Введем следующие обозначения: 5i - толщина /-го слоя; i
lj = £ 5 k - пределы изменения координаты xi i-го
k =1
слоя (li-1 < xi < li); t - время; 1 i - коэффициент теплопроводности i-го слоя; ai - коэффициент температуропроводности i-го слоя; 0 i (xi, t) - температура i-го слоя li-1 < xi < li; TC - температура окружающей среды; Tt (xi, t) = 0 i (xi, t) - TC - относительная температура i-го слоя li-1 < xi < li, i = 1, ..., n.
При построении математической модели мы рассмотрим низ обуви как n-слойную пластину, между слоями которой будем предполагать идеальный контакт.
Задача о распределении температуры на первом этапе сводится к решению системы:
дТ, , ч d T ixt, t)
—^(x,,t) = ai-i V ', i = 1,..,n. (1)
dtK " ' 1 Bxf
Начальное распределение температуры
Tt (xi ,0) = f (xi), i = 1,..,n (2)
(на первом этапе можно считать fi (xi) = const -
равной относительной температуре в помещении).
Граничные условия: относительная температура на внешней поверхности подошвы поддерживается равной 0, т.е. равной температуре окружающей среды:
Tn (ln, t) = 0. (3)
Внутренняя поверхность подошвы нагревается тепловым потоком стопы плотности q :
dT (0, t)
11 ^ ' + q = 0.
дх
(4)
Между слоями подошвы предполагается идеальный контакт, который выражается условиями сопряжения на стыках:
T-1 (-1, t ) = T (о, t),
(5)
Xм ((н,г) = 1 . (0,/), г = 2,...» . (6)
Решение задачи, подобно [1], будем искать в виде Ti (х.,г) = Я. (х.)+ (х.,г), г = 1,...,и, где функция
Я. (х.) является решением краевой задачи стационарной теплопроводности при соответствующих неоднородных условиях вида (3), (4) и условиях сопряжения (5), (6). Функция N. (х., г) является решением
нестационарной краевой задачи с однородными краевыми условиями и неоднородным начальным условием.
Итак, функция Яг (хг) должна быть решением системы:
d2 Rj
dx2
(Xj ) = 0, j = 1,..,
Aj =
q
( / n-1 ( 1 1 Л Л
Bj = q ^ +E lk -
1 n k=j 1 k 1 k+1
j = 1,... n - 1. (6)
Для нахождения функций N. (, г) решаем систему
dNj Э 2 N
j = 1,..., n .
дг ' дх2 Граничные условия на поверхностях:
дN 1 (0; г)
дх1
■ = 0, Nn (ln, t) = 0.
(7)
(8)
Условия сопряжения на стыках:
N.-1 ((.-1, г ) = N1 ((.-1, г),
! -1 (/ ,) . ((i-l, ^) . 2 и (9) 1 м ~дх— С(.-1, г ) =1.—дх—' . = "». (9)
Начальные условия N. (х. ,0) = / (х.)-Я. (х.), . = 1,...,и . (10)
Используя метод Фурье, решение задачи (7) - (9) ищем в виде:
^. (х.,г) = X (х. )ехр(-Ц2/), . = 1,..., и.
Подставляя эту функцию в (7), получим диффе-
2
ренциальное уравнение X' + — X. = 0, общее реше-
(
ние которого Xj = A j sin
lx j
(
Л
+ Ф j
. Следовательно,
Nj (xj, t) = Aj exp(-^2t)sin
lx j
+ Ф j
j = 1,..., n .
Удовлетворяя условиям сопряжения (9), будем иметь
с граничными условиями
Я» (/„ ) = 0, 11Я1/ (0) = ^ , Я.-! (/l-1 ) = Я. (/1_1), 1 м Ям (/.-1 ) = 1 ..Я/(/!-1), . = 2,..., и . Решением этой системы является
ЯДх.) = Лх + В., .= 1,...и .
Используя граничные условия, находим коэффициенты Л. и В.:
(
A j-1 sin
К-1
Л
+Ф
j-1
(
A
j-1
1 j-1 cos
'j-1
^j-1
= A j sin
Л
+ Фм
llj-1
Л
V«7
+Фj
'j-1
Aj
(
:1j COS
V«7 j V«7
ilj-1
Л
+Фj
j = 2,..., n.
(11)
Отсюда
tg
ll1
11
\
1 n-1
+Ф1
tg
ll1
+ Ф 2
(12)
tg
lln-1
+Ф
n-1
lln-1
+Ф
На границах
COS Ф1 = 0, sin
+ Фу
= 0.
(13)
Из системы (12), (13) определяем последовательность собственных чисел ц к > 0 и значений ф к , соответствующих этим числам. Используя первое равенство (9), получим:
Aj-1k = Mj-1kA 1k ,
j = 3,..., n .
где M 1k = 1,
1
П sin
r =1
Д klr
+ Ф rk
sin Ф rk * 0. (14)
П sin Ф rk
r=2
Таким образом, решение задачи (7)-(10):
n» &, t )=E 41кМгк exp (-д 21 )sin
k =1
f
Д kxi
+ Ф ik
i = 1,2,..., n.
Постоянные A 1k определяем, используя ортого нальность функций Xik (xi )= Mik sin отрезке [0, ln ]:
f A
Д kxi +Ф + Ф ik
n X ■ li , . , . \const, k = p E — f Xik (xi )Xip (xi )dxi = 1 ' F. i=a i i " 1 i i i 1 0, k * p
Из начальных условий имеем
М, (х,,0) = /, (х,)_Я, (х,) = £ .41кМ1к ал
f A
д kxi
i +Фш
k=1
4a
на [li-1,li ], получим:
~Mip f Ni (xi ,0)sin
4i ii-
Д pxi
4ai
A
+ Ф».
dxi =
X i
ii f
= E AMpM* — f sin k=1 a
"i h-
Д kxi
4a
i = 1,..., n.
+Ф*
ат
Д pxi
4a
+ф«
dxi
П X i
í
E~Mip f N(x»,0)sin
i=1 ai ii -1
= A1 pEMip ^ f sin2
i=1 ai ii-1
Д pxi
4ai
Д pxi
A
+ ф»
+ Ф i
dxi =
dxi.
Отсюда
41 p =
X
E —Mip f N(x»,0)sin
i=1 ai ii-1
Д p n i
-7=-
dxi
n X
(15)
E ^Mfp f i=1 ai i i-1
аш
Д pxi
4ai
+ф»
dxi
Таким образом, решение задачи первого этапа (1)-(5)
Т, (х,,г) = Агх, + Б, +
^ — / \ •-E A 1kMik exp (-д 21 )sin k=1
Д kxi
4^
+ф i
на
Умножим обе части на — Х/р (х,) и, интегрируя
Суммируя по / от 1 до п и используя ортогональность Х/к, находим:
в котором коэффициенты А,, Б,, М/к, АА 1к определяются по формулам (6), (14), (15). Для получения расчетов распределения температуры достаточно взять конечное число членов ряда. Возможности современной компьютерной техники позволяют произвести эти вычисления с высокой степенью точности.
2. Верх обуви и пяточная часть (многослойный цилиндр). Для деталей обуви, представляющих в модели многослойный цилиндр, краевая задача о распределении температуры /-го слоя ставится следующим образом:
^ = 1Ц г ^, К < г < Кг / = 1,2,..., п,
дг г дг I дг I
где Я, ч, Я, - внутренний и внешний радиусы /-го слоя; / = 1, 2,..., п, От стопы на внутреннюю поверхность обуви поступает тепловой поток плотности q :
А! дТГ1 (я о, г)+q = 0.
На внешней поверхности обуви происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона с коэффициентом теплообмена а:
А п дггт (Яп, г )+аТп (Яп, г ) = о.
Между слоями предполагается идеальный контакт:
т, ч (я,-_1, г ) = тг (Я/-1, г);
А / _, ^ (Я/_1, г ) = А / дт (Я/_l, г), / = 2^ п;
начальные условия Ti (г, 0) = ф, (г), / = 1,.., п.
Решая эту задачу методом Фурье, получим ряд
Ti (r, t) = Qi (r) +E Cik k=1
f f A J Д kr
J r
+ Ai,kY 0
f A A Д kr
v * /
х ехр(_ц 2 г),
где Qi (г) _ решение стационарной задачи, подобной задаче для функции Я, (х,) многослойной пластины, цк - собственные числа краевой задачи, J0,70 _ функции Бесселя первого и второго рода нулевого индекса, С/к, А/к _ коэффициенты.
3. Носочная часть (многослойный шаровой сегмент). Для шарового сегмента задача о распределении тепла ставится для системы уравнений
дТг (r,, t) = ^ 1 д 2(r,T, (r,, t))
(Л
dt
dr2
i = 1,...,n
при таких же краевых и начальных условиях, как и для цилиндра. Ее решение находится методом Фурье в виде функционального ряда:
( \
1 ~
т, (r,,t) = q, (r,) + — e w,k exp(-m 2kt)sm r, k=1
i = 1,...,n .
M kr,
+ Ф ,k
Таким образом, найдено решение задачи распределения тепла для всех деталей модели ботинка (рис. 1), представляющих собой многослойные пластину, цилиндрический и сферический сегменты. Зная тепло-физические характеристики материалов, составляющих обувной пакет, температурные условия окружающей среды и энергозатраты стопы, по полученным формулам можно рассчитать температуру в любой части обуви и в любой момент времени. В частно -сти, можно получить температуру поверхности стопы как функцию времени, которая является критерием температурной комфортности стопы при эксплуатации обуви в условиях низких температур.
Приведем пример расчета изменения температуры поверхности стопы от времени при воздействии на
обувь низких температур. Характеристики материалов, составляющих пакеты всех узлов рассматриваемой модели обуви, приведены в табл. 1.
Температура окружающей среды предполагается равной -15 °С и -5 °С, начальная температура обуви равна +22 °С. Плотность теплового потока стопы берется равной 64 Вт/м2, что примерно соответствует энергозатратам человека при ходьбе средней интенсивности [4]. Коэффициент теплоотдачи предполагается равным 7 Вт/(м2-°С). Результаты вычислений могут быть представлены как на графиках зависимости от времени нахождения обуви под воздействием низких температур и изменения температуры поверхности различных антропометрических участков стопы (рис. 2), так и характеристикой изменения температуры поверхности различных антропометрических участков стопы при воздействии на нее разных по значению низких температур (табл. 2).
Из табл. 2 видно, что наибольшая потеря тепла происходит в носочной части стопы. Даже при -5 °С стопа человека будет ощущать комфортность чуть более 1 ч. В этой связи при разработке ассортимента обуви для эксплуатации в климатических зонах с низкими температурами пакеты материалов необходимо формировать с учетом антропометрических участков стопы. Поэтому, чтобы продлить время комфортного состояния стопы в обуви, необходимо подбирать соответствующие материалы, формирующие пакет в носочную часть.
Таблица 1
Характеристика материалов, обеспечивающих защиту стопы от воздействия низких температур
Наименование материалов, входящих в пакет * Толщина материала, входящего в пакет, мм Коэффициент теплопроводности, Вт/(м2 °С), и наименование узлов обуви для анализа комфортности Коэффициент температуропроводности, м/ч, и наименование узлов обуви для анализа комфортности
Низ Пяточная часть Верх Носочная часть Низ Пяточная часть Верх Носочная часть
1 2,0 0,05 0,05 0,05 0,050 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002
2 10,0 - 0,04 0,04 0,040 - 0,0003 0,0003 0,0003
3 0,3 - 0,05 0,05 0,05 - 0,0005 0,0005 0,0005
4 1,2 - - - 0,038 - - - 0,00035
5 2,7 - 0,083 - - - 0,00014 - -
6 1,2 - 0,08 0,08 0,08 - 0,0002 0,0002 0,0002
7 10,0 0,04 - - - 0,0003 - - -
8 2,5 0,083 - - - 0,00014 - - -
9 8 0,125 - - - 0,00042 - - -
10 20 0,186 - - - 0,00065 - - -
Примечание.* Характеристика материалов: 1 - носок хлопчатобумажный (внутренняя обувь); 2 - подкладка из натурального меха; 3 - межподкладка из бязи; 4 - кожаный подносок; 5 - задник из картона; 6 - кожа для верха обуви; 7 - вкладная стелька из искусственного или натурального меха; 8 - картон (второй слой вкладной стельки); 9 - основная стелька и подложка (кожа); 10 - пористая резина.
Таким образом, созданная математическая модель позволяет обоснованно выбирать пакет материалов для всех базовых узлов обуви, чтобы обеспечить комфортность стопе при воздействии на обувь низких температур в заданном временном режиме и существенно сократить число стендовых испытаний в условиях, близких к реальным при проектировании нового теплозащитного варианта обуви.
35
О
30
25
о
Й Щ
и g
cs &
Н
20
15
10
\ 1'
\ 2' 3' 4' , i
---- -
-5 °С
Таблица 2
Характеристика комфортности стопы
Температура стопы, °С Время нахождения обуви под воздействием низких температур для различных антропометрических участков стопы, мин
-15°С -5°С
носочная тыльная пяточная ходовая носочная тыльная пяточная ходовая
25 19 19 23 54 25 30 34 72
20 34 40 47 89 64 - 158 158
17 51 74 78 125 - - - -
Кроме того, использование созданной математической модели оправдано еще и потому, что позволяет оценивать новые материалы для формирования пакетов любых видов и родов обуви, обеспечивая высокую достоверность результатов по комфортности стопы.
Литература
1 2 3 4 5 6
Время, ч
Рис. 2. Изменение температуры частей стопы: 1,1' - ходовой; 2, 2' - носочной; 3, 3' - пяточной; 4, 4' -тыльной стороны
1. Ченцова К.И. Стопа и рациональная обувь. М., 1974.
2. Маркосян А.А. Физиология. М., 1971.
3. ВоробьевВ.Р. Анатомия человека. Стопа. Харьков, 1932.
4. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности. М., 1982.
5. Кедров Л.В. Теплозащитные свойства обуви. М., 1979.
4
3
5
0
Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, г. Шахты 27 декабря 2004 г.
УДК 539.3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В СТЕНКАХ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО РЕЗЕРВУАРА ДЛЯ ТРАНСПОРТИРОВКИ СЖИЖЕННОГО ГАЗА В МЕСТАХ ДЕЙСТВИЯ ОПОР
© 2005 г. А.П. Николаев, Н.Г. Бандурин, А.П. Киселёв, А.А. Сизых
Изотермический резервуар для транспортировки сжиженного углекислого газа представляет собой теплоизолированную емкость из тонколистовой стали в виде цилиндрического сосуда с эллиптическими днищами, опирающегося на четыре опоры и нагруженного внутренним избыточным давлением, собственным весом и весом продукта. Силы взаимодействия между опорами и стенками сосуда осуществляются через подкладки, показанные на рисунке в виде прямоугольников. Толщина подкладки обычно принимается равной толщине стенок оболочки. Расчеты,
выполненные с использованием теории тонких оболочек [1], показали, что напряжения в области расположения опор значительно превышают номинальные значения. В настоящей работе напряженно-деформированное состояние стенок сосуда в этой области определяется методом конечных элементов с применением объемного конечного элемента высокой точности. Учитывается влияние круглой диафрагмы с отверстиями, привариваемой к стенкам внутри резервуара, предназначенной для гашения колебаний жидкости при транспортировке.
