CC BY
36
УДК 551.51+519.6 М.С. Юдин
ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МИКРОКЛИМАТА МЕСТНОСТИС НЕГЛАДКОЙ ОРОГРАФИЕЙ
M.S. Yudin
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS prospect Akademika Lavrentjeva, 6, Novosibirsk, 630090, Russia
MATHEMATICAL SIMULATION OF LOCAL CLIMATE FOR UNSMOOTH OROGRAPHY
A small-scale meteorological model is applied to simulating local climate and aerosol propagation in conditions of unsmooth orography. Aerosol propagation is calculated with meteorological fields produced by the model. A semi-Lagrangian method and a simple random walk model are discussed. As an example, aerosol distribution above a steep hill is simulated with temperature field calculated by the first method and aerosol cloud produced by the second one. Reasonable agreement between existing theories and calculation results for aerosol sedimentation is obtained.
Введение
Существует большое число практических и теоретических задач, касающихся переноса атмосферных аэрозолей над областью со сложной нерегулярной структурой. К таким задачам относятся, например, проблемы распространения примесей в условиях городских застроек, вопросы моделирования микроклимата, и т. д. Существующая сеть измерений обычно очень редка, и полученные таким образом данные не всегда представительны для местности со сложной структурой.
В этой связи полезным инструментом для получения недостающей информации являются математические модели атмосферных процессов [1]. Полученные по этим моделям метеорологические поля служат фоном для расчета адвекции и диффузии аэрозольных частиц.
В отличие от многих обычных методов расчета распределений метеорологических элементов в пространстве и времени, в настоящей работе обсуждаются два метода, в которых внимание уделяется поведению отдельных частиц аэрозолей. Одним из существующих подходов для расчета крупномасштабной адвекции является так называемый полу-лагранжев метод [2], [3]. Этот метод позволяет минимизировать вычислительные ошибки, и в этом смысле обладает преимуществом перед традиционным эйлеровым подходом. В разделе 2 приводится вариант этого метода для случая интерполяционных схем высокого порядка аппроксимации. В дальнейшем этот метод используется при расчете температурного поля в математической модели динамики атмосферы, кратко описанной в разделе 4.
Другим популярным методом расчета движения частиц является метод случайных блужданий, или лагранжевой диффузии [4]. Модели случайных блужданий частиц свободны от проблем вычислительных ошибок и устойчивости алгоритмов и обладают также рядом технических преимуществ. В разделе 3 приводится схема простой модели лагранжевой диффузии, которая в разделе 5 используется для моделирования распространения пассивного аэрозоля над крутым холмом. Уравнения модели для метеорологического фона приведены в разделе 4.
1. Полу-лагранжева адвекция аэрозоля
Рассматриваемый здесь метод расчета адвекции при переносе аэрозольных частиц состоит из двух этапов:
1. Определение точек вылета частиц, т.е. таких точек, откуда доставляется информация о распределении аэрозоля на следующий шаг по времени,
2. Интерполяция из ближайших узлов пространственной сетки на точки вылета частиц.
хв = X— , (1)
/(х,г+А0=/(хв,г). (2)
Здесь At - шаг по времени. Порядок интерполяции определяет точность метода. В настоящей работе будет использована схема третьего порядка по причинам, которые обсуждаются ниже. Эта схема строится следующим образом. Произвольная функция / в узле разностной сетки раскладывается в ряд с точностью до членов четвертого порядка. Свободные коэффициенты этого разложения определяются через значения функции в узлах сетки. Обозначим Я,=(хв - х{)/ Ах . Здесь Ах - шаг по пространству. Решив полученную систему линейных уравнений, окончательно получаем:
/(Н-Дг)=/Д1-Я/2-Я2+Я3 /2) +
+ /т(Л+Л2/2-А3/2) +
+ /(+2 (-Л/6-Л2 +ЛЭ /6) +
+ /1._1 (-Л/3+Л2 / 2 - Л3 / 6) . (3)
Эксперименты со схемами различного порядка позволили сделать следующие выводы:
1. Схемы первого порядка имеют большую численную диффузию.
2. Схемы второго порядка являются немонотонными, обладают мелкомасштабной волнообразной структурой.
3. В рассматриваемых схемах третьего порядка оба этих типа ошибок существенно подавляются.
4. Схемы более высокого порядка приводят к незначительному улучшению качества решения, при существенном росте вычислительной работы.
2. Модель случайных блужданий
Простая модель лагранжевой диффузии [4], была выбрана для проведения расчетов по переносу и диффузии аэрозолей. Эта модель привлекательна своей математической простотой и гибкостью.
В момент времени ї + Лї индивидуальные частицы аэрозоля имеют координаты:
Хі (І + Аі) = Хі(і) + ііі(і) А і, і =1,2. (4)
X, (і + Аі) = х3(і) (Щі) - /1 і. (5)
Здесь Хі - координата /-той частицы, (/, - полная скорость частицы, Аі -временной шаг, - скорость седиментации.
Скорость частицы Ц,- разбивается на две части: среднюю скорость и, которая получается из расчета метеорологической модели (см. следующий раздел) и турбулентную компоненту и. Эта компонента рассчитывается следующим образом:
и# + АО = (А0“ (0 + (1 -Яь (ДОТЧ V, _
(6)
і?іі(АО = ехр(-А^/т;),
здесь ¥- генератор случайных чисел для Гауссова распределения
Ои={2тхЕГ,
°и = (2 т2Е)1'2, (7)
°т = {2тъЕ)1'2.
Для трех видов стратификации
< 0.5АГ/100т (8)
д®
----< -0.5К/100т,
д2
д®
д2
мы используем следующие наборы коэффициентов: т1 = 0.4, 0.54, 0.54; т2 = 0.30, 0.30, 0.37; т3 = 0.30, 0.16,0.09.
Тц - К / си2. (9)
В отличие от [4], мы не имеем специального уравнения для расчета кинетической энергии турбулентности. Кинетическая энергия
турбулентности Е получается из соотношения:
К = 1у/сЕ~. (10)
Коэффициент диффузии К рассчитывается моделью термодинамики атмосферы.
Здесь с - эмпирическая константа, с = 0.2 [4].
3. Модель атмосферного фона
Для расчета метеорологических полей мы используем следующие уравнения атмосферной динамики:
сШ дР д(С13Р)
—■=а<г-у,)-т+к„ (її)
ох от/ 8
^+^_т ^ (12)
Л Оу дг/ 8
с11¥ 1 др ёр 01'2рв' ....
~+~^+~‘Аи+!!~—+к’ (13)
- = (14)
Л л
1 др ду й ^ 1 ^ я ^1/2
1 1 д О112 Рв
с^и + С^У + —-Ж = —(------------------------—)
С112 д(
С2 ду дг]
и = рв1'2и,У = рС1'2о,Р = рС112р!, (16)
где р\ в’ это отклонения от основного состояния давления /? и потенциальной температуры в , я - удельная влажность, С8 - скорость звуковой волны, ыё, - компоненты геострофического ветра,
представляющие синоптическую часть давления, /ь /2 - параметры Кориолиса, § - гравитационная постоянная.
Для произвольной функции ср
с1(р _ ё(р йи(р йу(р с1ънр
й?х (1у с1г (17)
Члены Яи, Яу, Я0), Яд, И, описывают процессы подсеточного масштаба. Коэффициенты турбулентного обмена вычисляются по следующим формулам:
I2[(0!)(1-К1)/2],/2 при Я, <1,
Кт= 0 при /<*,> 1.
Путь смешения в каждой точке сетки берется как ближайшее расстояние от препятствий по всем направлениям. Локальное число Ричардсона ^ используется в виде:
= (18)
' в I)
.D = Vг/ + ыV. (19)
Более подробное изложение этой модели можно найти, например, в [5],
[6].
4. Распространение аэрозоля над холмом
В этом разделе мы приведем результаты расчета по переносу аэрозоля над крутым холмом. В данном случае мы используем полу-лагранжев метод для расчета температурного поля в модели динамики атмосферы из раздела 4. Перенос аэрозоля осуществляется методом случайных блужданий из раздела
3.
Холм высотой 500 м расположен в центре области 10 км х 10 км. Высота области 5 км. Геострофический поток распространяется с запада, ыё = 5 м/сек, = 0. В качестве основного состояния берется стандартная атмосферная стратификация: (1 9/(12 = 3.5 К/км.
Абсорбирующий слой расположен на высоте 1 500 м. Расчетная сетка состоит из31х31х16 точек, с горизонтальным размером сетки Ах = Ау =
333 м, вертикальный размер сетки является переменным и растет с высотой. Размер холма увеличивается постепенно в течение первых 15 минут вычислений. Источник аэрозоля из примерно 5 000 частиц находится к востоку от холма, скорость оседания частиц бралась равной 2 см/сек.
Рис. 1 показывает концентрацию аэрозоля на поверхности через 20 минут физического времени (вид сверху). Аэрозольный поток заметно смещен в северо-восточном направлении, несмотря на то, что исходные параметры задачи обладают симметрией относительно восточно-западного направления. Такая картина распространения находится в согласии с существующими теоретическими представлениями, поскольку в данной ситуации метеорологические поля смещаются за счет сил Кориолиса [7].
Результаты тестовых расчетов позволяют сделать вывод, что сочетание полу-лагранжева метода с методом лагранжевой диффузии, может быть использовано для численного моделирования распространения аэрозолей над сложной местностью.
Работа выполняется по Программе фундаментальных исследований СО РАН и поддержана Программами фундаментальных исследований №16 Президиума РАН и №3 Отделения математических наук РАН, проектом РФФИ 07-05-00673 и контрактом Европейской Комиссии №
Рис. 1. Концентрация аэрозоля на поверхности
013427.
1. Пененко В.В. Модели и методы для задач охраны окружающей среды / В.В. Пененко, А.Е. Алоян / Н.: Наука, 1985. - 256 с.
2. Ritchie T. // Mon. Wea. Rev. V. 116. P. 766-791.
3. Крупчатников В.Н., Фоменко А.А. // Препринт ИВМ и МГ, 1997. - 20 с.
4. Gross G., Vogel H., and Wippermann F. // Atmos. Environ. V. 21. 1987. Р. 483-490.
5. Yudin M.S. // Bull. Nov. Comp. Center, Num. Model. In Atmosph. 1995. V. 2. P. 101-
107.
6. Юдин М.С., Вильдероттер К. // Оптика атмосферы и океана. 1998. Т. 11. № 10. С. 11-14.
7. Госсард Э.Э. Волны в атмосфере / Э.Э. Госсард, У.Х. Хук / М.: Мир. 1978. - 532
©М.С. Юдин, 2008
