Математическая модель метода определения закона движения границы фазового перехода в полимерном материале Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕТОДА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ГРАНИЦЫ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА В ПОЛИМЕРНОМ МАТЕРИАЛЕ

И.В. Рогов, Н.Ф. Майникова, А.С. Селянина, И.В. Ерохин

Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Россия

Разработка методов определения законов движения границ структурных переходов в полимерных материалах (ПМ) при неразрушающем теплофизическом контроле готовых изделий и образцов актуальна, так как аналитические методы решения краевых задач, относящихся к областям с

движущимися границами, существенно упрощаются, когда движение границы (например, границы раздела фаз при твердофазных переходах в кристаллических ПМ) известно.

Рассмотрим задачу о распространении тепла в сферическом пространстве (рис. 1).

Рис. 1. Тепловая схема системы с поверхностным сферическим нагревателем

Начальная температура тела из ПМ во всех точках одинакова и равна нулю. В момент времени т = 0 на сферической поверхности с координатами г = Я начинает действовать источник тепла с поверхностной мощностью д. При температуре Т = Тп полимер имеет твердофазный переход в кристаллической составляющей материала. Теплота фазового перехода (ФП) - Qп. Теплофизические свойства (ТФС) тела в результате ФП меняются незначительно. Необходимо найти распределение температуры внутри тела

в любой момент времени. До тех пор, пока температура в любой точке тела меньше Тп, задача будет описываться классическим уравнением теплопроводности в сферических координатах с граничными условиями второго рода на поверхности с координатами г = Я. Решение задачи известно [2].

Максимальная температура исследуемого тела будет у поверхности с координатами г = Я. Температурное поле на момент времени т0п , соответствующий началу ФП, определяется выражением (2).

Ті,

Т 5=

К2д

Яг

(

егіс

г-К ат . .

- ехр|-------1—- епс

1 К К2

^ 1 г -і? л[ат

----1 ~

у2 ^[ат Я

(1)

Т =

‘п Iі ~‘*Р ‘

1-ехР

ат.

Оп

К2

егіс

К

(2)

Выражения (1), (2) в безразмерной форме имеют вид:

®С.Р0>1 -ехрГ-НРоЗгй^

0П = 1 - ехр (о0п >с(^-

(3)

(4)

4. Развитие математических теорий и методов для компьютерных приложений

где © =

т1ттах; ©п = Ти!Ттах; ^ ^; ро=ат/я1; ттах = цЩх.

В момент образования новой фазы начальное распределение температуры определяется зависимостью

©о<\

\_

егіС

2л/р0

(5)

а распределение температуры в теле находится из задачи стефановского типа:

д ^^2^©1фср0;

8 01фСРо>—^—°—^--------^Ро>0,1<^<^п;

©2фСРО>

С

5_

э^г 8%

д ^2А02фСРо

Ро> О, <^<со;

5Ро ^

©2ФС,о>©оС С>і;

^©іФ<Ро>-1, Ро>0;

©2ф^,Ро>0, ро>°:

0,ф <; (о >о> 02ф С„ Со» 0„. Бо > 0;

|;©1ф Сп С0>^ - ^ ©2ф *п С0>^ = Оп ^ Сп «<0, Ро > 0 .

(6)

(7)

(8) (9)

(10)

(11)

(12)

Здесь: ^п=f(o^ - свободная граница, скрытая теплота фазового перехода в без-

которая не задана и подлежит определению размерном представлении.

вместе с безразмерными температурами ©1ф ^,Ро^ И ©2ф Ро в новой (индекс «1ф»)

~ 1 4 1 " ~ а

При условии, что поверхность с координатой г = Я достигает Тп при больших значе-

, ,, > , ^ „ (/' ниях Бо, начальное условие (8) в безразмер-

и старой (индекс «2ф») фазах; Оп = ()па/€И - „ ’ - ‘ ‘

' ной форме имеет вид

©2фС,0>

<г

1-<-©п

к-1>©пЗ + 1

(13)

Для определения закона движения границы ФП применены два варианта преобразований.

Вариант 1. Считаем, что закон движения границы ФП такой же, как закон движения изотермы с температурой Тп в случае отсутствия перехода. В результате получено выражение:

где Ро =Ро+

Сп-1

ро’

Решение уравнения (14) имеет вид:

1

1

1

^ПС°3=— -2®ил¥о* + л¥о*-24л¥о* ^ + 24л¥о*! +®ал¥о* +

♦V2 т, *

л2 ¥о*2 -2®пл2 Ро*2 + 4&пл2 Ро*3+®2л2 Ро*2-2©пж3/2 Ро*5^2 + +- Ю„л3/2 Ро*?/2 + 4л Ро*3 - 8я-Ро*2 + 4©2я-2 Ро*4 - 4©2;г2 Ро*3 +

4/г3/2Ро*5^2 1/ ^4&2л2¥о*+у[л¥о"

12 4

(15)

Выражение (15) имеет достаточно сложный вид для применения его на практике. Введем дополнительные упрощения. Предполагаем, что С„ - 1 < Ро .

Случай 1. Пренебрегаем в выражении

И -Сп-~. 2 2

(14) величинами Решение имеет вид:

Сп-1

^О*

сСо>^< е" - +' 1 + Д" . (16)

©п>/Р0Я:<-©пЗ + 1

Случай 2. Пренебрегаем в выражении

- Ст, - — • Решение ! 2

А/рол-<-©пЗ + 1

(14) величиной 1с„ . Решение имеет вид:

<Г„Со>

©па/роя-<-©пЗ + 1-®п+1

. (17)

По варианту 1 на основании выражений (16) и (17):

£пСо> к > 0, т > 0, ^пСо> к > 0, т > 0.

^ол С-0

-<-©пЗг

©П ^07Г<-©

(18)

^ОЛ-<

©п ^ОЯ-<-©Е

^+<-©п> (19)

Подбор варьируемых параметров к и т найденных функций осуществляется таким образом, чтобы удовлетворялось условие 3 при наилучшем приближении к данным, по-

лученным в результате численного решения задачи (6) - (12) с учетом эквивалентности радиусов реального круглого плоского и модельного сферического источников тепла.

Предложенный математический подход и полученные математические модели (18) - (19) позволили реализовать на практике метод неразрушающего определения законов движения границ твердофазных переходов в ряде полимерных материалов (политетрафторэтилене, коксонаполненном политетрафторэтилене, полиамидах) с помощью информационно-измерительной системы, детальное описание которой представлено в работах по данной теме [1; 3].

Литература

1. Жуков Н.П., Майникова Н.Ф., Никулин С.С. Метод неразрушающего теплофизического контроля структурных превращений в полимерных материалах // Научные труды IX Междунар. на-уч.-практ. конф. «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики, экономики и права». М., 2006. С. 67-71.

2. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М., 1964.

3. Многомодельные методы в микропроцессорных системах неразрушающего контроля теплофизических характеристик материалов / С.В. Мищенко, Ю.Л. Муромцев, Н.П. Жуков [и др.]. Тамбов, 2001.