CC BY
32
УДК 66.095.26:66.021.4
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПОЛИМЕРНОМ МАТЕРИАЛЕ ПРИ ФАЗОВОМ ПЕРЕХОДЕ
Н.Ф. Майникова1, Н.П. Жуков2, И.В. Рогов2,
С.С. Никулин2, Д.Г. Бородавкин 2
Кафедры: «Теория машин, механизмов и детали машин» (1), «Гидравлика и теплотехника» (2), ГОУВПО «ТГТУ»
Представлена членом редколлегии профессором В. И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: неразрушающий контроль; температурное поле; теплофизические свойства; фазовый переход; численное моделирование.
Аннотация: Представлено моделирование теплопереноса в полимерном материале при фазовом переходе. Полученные результаты можно использовать для определения неразрушающим методом теплоты фазового перехода в полимерах и композиционных материалах на их основе.
Обозначения и аббревиатуры
а - температуропроводность, м2/с; д - тепловой поток, Вт/м2; г, х - координата, м;
Т - избыточная температура, К;
X - теплопроводность, Вт/(м-К);
т - время, с;
НК - неразрушающий контроль; ПМ - полимерный материал;
ТП - термоприемник;
ТФС - теплофизические свойства.
Среди теплофизических методов исследования ПМ важное место занимают методы НК. Известно, что отличительной особенностью полимеров и композиционных материалов на их основе является наличие в них многочисленных структурных переходов (в частности твердофазных), проявляющихся при изменении температуры. Для того чтобы учесть такой переход в модели метода НК теплофизических свойств ПМ, необходимо знать закон движения границы фазового
перехода (ФП).
Для НК ТФС полимеров часто используют измерительную схему, приведенную на рис. 1 [1]. Тепловое воздействие на исследуемое полимерное тело осуществляется с помощью нагревателя, выполненного в виде тонкого диска радиусом ^пл, встроенного в подложку измерительного зонда (ИЗ). Температурное распределение контролируется несколькими (не менее трех) ТП. При этом температура структурного перехода может быть определена по аномалиям ТФС полимера [1].
Ранее показано, что закон движения границы ФП в данной системе может быть описан следующими зависимостями, представленными в безразмерном виде [2, 4]:
z („ ) (Foп(1 -©п)2 + m1^)-(1 -©п)m
(Fo) = J--------———-------1-1————, к > 0, m > 0;
©п (o п(1 -©п )2 + mllR )
Сп (Fo) =
(Fo п(1 -©п )2 + m1 к ) к
©п (Fo п(1 -©п )2 + m1/x ) +(1 -©п )m
к > 0, m > 0 ;
(1)
(2)
Сп (Fo) = ■
Fo + m
©п Fos + m
к > 0, m > 0,
(З)
где © = ■
T
-L tn
©п =
T
qR
T
■L tr
Сп = -п; Fo= —r; Tmax =-7—; R- радиус сфериче-
R
R
ского нагревателя, эквивалентного плоскому (см. рис. 1); гп - координата границы ФП; Тп - температура ФП.
Коэффициенты к и т уравнений (1) - (3) зависят от теплоты фазового перехода Qп (в безразмерном виде: = Qпal(qR)), а также от температуры ФП (в без-
размерном виде - ©п).
Для того чтобы определить, насколько хорошо уравнения (1) - (3) описывают закон движения границы ФП, а также для установления связи параметров к и т с теплотой и температурой ФП, проведено имитационное моделирование теп-лопереноса в системе со сферическим нагревателем (эквивалентной измерительной схеме), представленной на рис. 1. Закон движения границы ФП определялся на основании решения соответствующей краевой задачи в интерактивной системе моделирования двумерных задач БЬСИТ (методом конечных элементов) [4]. Фазовый переход моделировался скачком теплоемкости. Значения параметров к и т уравнений (1) - (3) определялись методом наименьших квадратов по полученным в БЬСИТ данным с помощью пакета МЛТЬЛВ.
На рис. 2 представлены зависимости, соответствующие зависимостям Сп = / (Роп), полученным при = 5 и ©п = 0,7: 1 - по (1); 2 - по (2); 3 - по (3); точки - численное решение. Как видно из рис. 2 графики уравнений (1) - (3) практически совпадают с результатами численного моделирования.
В табл. 1, 2 приведены результаты исследования влияния температуры фазового перехода ©п и теплоты фазового перехода Оп на параметры к и т уравнений (1) - (3) соответственно. Там же приведены: ББЕ - остаточная сумма квадра-2
тов; Яд - коэффициент детерминации;
5 - среднеквадратическая ошибка.
Из рис. 2 и табл. 1, 2 видно, что функции (1) - (3) хорошо описывают закон движения границы фазового перехода (коэффициент детерминации близок к единице, а значения остаточной суммы квадратов и среднеквадратической ошибки близки к нулю). РИс. 2. Зависимости £п = / (^п)
Таблица 1
Значения коэффициентов т и к функций (1) - (3) и статистические оценки результатов регрессионного анализа при Оп = 5 и различных ©п
©и m к SSE 4 s
Функция (1)
0,65 1,2110 0,4442 2,90-Ю-05 0,9997 0,000966
0,70 1,1370 0,4341 1,60-10"°5 0,9997 0,000755
0,75 1,0370 0,3948 8,42-10-07 0,9999 0,000196
0,80 0,9985 0,4010 2,58-Ю-07 1 0,000131
0,85 0,9606 0,3954 1,09-Ю-07 0,9999 0,000095
0,90 0,8761 0,3304 8,09-Ю-08 0,9997 0,000086
Функция (2)
0,65 1,0880 0,5266 2,53-Ю-05 0,9998 0,000903
0,70 1,0440 0,5056 1,45-Ю-05 0,9997 0,000719
0,75 0,9691 0,4555 7,44-Ю-07 0,9999 0,000184
0,80 0,9834 0,4781 9,58-Ю-07 0,9999 0,000200
0,85 0,9257 0,4311 1,10-Ю-07 0,9999 0,000096
0,90 0,8589 0,3552 6,16-Ю-08 0,9998 0,000075
Функция (3)
0,65 5,919 0,8481 2,68-Ю-05 0,9998 0,000930
0,70 7,736 0,8651 4,64-10-06 0,9999 0,000407
0,75 10,72 0,8865 2,27-10-06 0,9998 0,000321
0,80 15,62 0,8906 1,72-Ю-06 0,9997 0,000339
0,85 27,27 0,9292 3,77-Ю-08 1 0,000056
0,90 55,01 0,9157 1,43-Ю-08 1 0,000036
Таблица 2
Значения коэффициентов т и к функций (1) - (3) и статистические оценки результатов регрессионного анализа при ©п = 0,65 и различных Оп
Ои m к SSE *Д s
1 2 3 4 5 6
Функция (1)
0 1,073 0,402 2,23-10-06 1 0,000386
1,25 1,112 0,416 3,80-rn-06 0,9999 0,000503
2,50 1,158 0,432 3,54-Ю-06 0,9999 0,000486
Продолжение табл. 2
1 2 3 4 5 6
3,75 1,199 0,444 8,58-Ю-06 0,9999 0,000756
5 1,211 0,444 2,90-Ю-05 0,9997 0,000966
Функция (2)
0 0,959 0,482 1,05-Ю-06 1 0,000264
1,25 0,994 0,497 2,56-Ю-06 1 0,000413
2,50 1,037 0,513 2,73-10-06 1 0,000426
3,75 1,075 0,526 7,44-Ю-06 0,9999 0,000704
5 1,088 0,526 2,53-Ю-05 0,9998 0,000903
Функция (3)
0 5,173 0,815 3,86-Ю-05 0,9994 0,001605
1,25 5,370 0,826 2,93-10-05 0,9996 0,001396
2,50 5,603 0,837 2,80-Ю-05 0,9996 0,001366
3,75 5,796 0,846 2,04-10-05 0,9997 0,001166
5 5,919 0,848 2,68-Ю-05 0,9998 0,000930
Результаты моделирования, представленные в данной работе, можно использовать для определения теплоты фазового перехода в полимерах и композиционных материалах на их основе неразрушающим методом. Для этого необходимо по экспериментальным данным определить параметры функций (1) - (3), а затем сопоставить с результатами имитационного моделирования, часть которых приведена в табл. 1 и 2.
Список литературы
1. Жуков, Н.П. Многомодельные методы и средства неразрушающего контроля теплофизических свойств твердых материалов и изделий / Н.П. Жуков, Н.Ф. Майникова. - М. : Машиностроение-1, 2004. - 288 с.
2. Определение закона движения границы фазового перехода в полимерном материале неразрушающим способом / Н.П. Жуков [и др.] // Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения : сб. тр. Х Междунар. конф. Приборостроение. - М., 2007. - С. 106-111.
3. К вопросу определения закона движения границы фазового перехода в полимерном материале неразрушающим способом / Н.П. Жуков [и др.] // Фундаментальные и прикладные исследования, инновационные технологии, профессиональное образование : сб. тр. XII науч. конф. ТГТУ / Тамб. гос. техн. ун-т. -Тамбов, 2007. - С. 93-97.
4. БЬСиТ: Моделирование двумерных полей методом конечных элементов. Версия 5.1. Руководство пользователя. - СПб. : Производственный кооператив ТОР, 2003. - 249 с.
Modeling of Heat Transfer in Polymer Material under Phase Transition
N.F. Mainikova1, N.P. Zhukov2, I.V. Rogov2, S.S. Nikulin2, D.G. Borodavkin2
Departments: “Theory of Machines, Mechanisms and Machine Parts” (1), “Hydraulics and Heat Engineering” (2), TSTU
Key words and phrases: nondestructive control; numerical modeling; phase transition; temperature field; thermo-physical properties.
Abstract: The paper presents modeling of heat transfer in polymer material under phase transition. The obtained results can be applied to determine the heat of phase transition in polymers and polymer-based composite materials using nondestructive method.
Modellierung der Warmetibertragung im Polymerstoff bei der Phasentibergang
Zusammenfassung: Es ist die Modellierung der Warmetibertragung im Polymerstoff bei der Phasentibergang dargelegt. Die erhaltenen Ergebnisse kann man ftir die Bestimmung der Warme der Phasentibergang in den Polymeren und Kompositstoffen von der nichtzerstorenden Methode benutzen.
Modelage du transfert de la chaleur dans les materiaux de polymere lors du passage de phase
Resume: Est presente le modelage du transfert de la chaleur dans les materiaux de polymere lors du passage de phase. Sont obtenus les resultats qui peuvent etre utilises pour la definition par la metode non-destructive de la chaleur du passage de phase dans les polymeres et dans les materiaux composites a la base des polymeres.
