Математическая модель ламинарного течения аномально-вязкой жидкости во вращающемся канале типа «Конфузор-диффузор» овального сечения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.5:621.694

Хайруллин М.Р. - аспирант

E-mail: marat. khairullin@gmail .com

Золотоносов Я.Д. - доктор технических наук, профессор

E-mail: [email protected]

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Адрес организации: 420043, Россия, г. Казань, ул. Зеленая, д. 1

Математическая модель ламинарного течения аномально-вязкой жидкости во вращающемся канале типа «конфузор-диффузор» овального сечения

Аннотация

В работе рассмотрены особенности реодинамики и теплообмена при течении аномально-вязкой жидкости во вращающемся канале «конфузор-диффузор» овального сечения. Исходя из конфигурации канала, была описана обобщенно-цилиндрическая система координат, в которой построена математическая модель сопряженной задачи теплообмена на базе полных уравнений движения, энергии, неразрывности и теплопроводности стенок канала с учетом начальных распределений скорости, давления, температуры на входе в канал и на выходе из него, и граничных условий на стенках канала.

Ключевые слова: реодинамика, сопряженная задача теплообмена, аномальновязкая жидкость, криволинейная система координат.

Рассмотрим математическую модель стационарного ламинарного течения аномально-вязкой жидкости во вращающемся криволинейном конфузорно-диффузорном канале овального сечения [1].

Рассматривается случай, когда перерабатываемая жидкость поступает во вращающуюся трубу длиной Lmp (Lmp ® ¥) из емкости большого размера (рис.).

Рис. Фрагмент системы «диффузор-конфузор» в декартовой системе координат: а) радиальное сечение б) осевое сечение

Граница осевого сечения канала (рис., а) изменяется в соответствии с законом, описываемым функцией Я (г) = Ь -, где (а1,Ь) - координаты центра окружности, по которой построен профиль твердой стенки канала, Я* - радиус

окружности, 1=1 - для диффузора, 1=2 - для конфузора [2].

Уравнение границы поперечного сечения трубы (рис., б) имеет вид [3]:

4+4=1, (1)

А2 В2

где А = А/2; В = В/2 ^К1 х2 + К2; К2 ф 0.

Предположим, что большая и малая ось в уравнении (1) изменяются по профилю радиального сечения канала, т.е.:

Тогда уравнение (1) будет являться уравнением поверхности канала «конфузор-диффузор» с овальным сечением.

Развитие течения степенной жидкости во вращающейся трубе овального сечения будем рассматривать в подвижной обобщенно-цилиндрической системе координат (г, ф, ъ), вращающейся с постоянной угловой скоростью ю, где нулевое значение радиальной координаты совпадает с осью трубы, координаты ъ - с входным сечением, а угловой координаты ф -с радиальным сечением трубы. Для этого воспользуемся преобразованием координат:

Введем в уравнения движения, энергии и теплопроводности стенок канала безразмерные переменные и параметры [2]:

где Ьуч - длина трубы; Я0 - входной радиус конфузора; <Зэ - эквивалентный диаметр трубы; 3 - толщина стенки канала; и0 - начальная скорость потока, um=Q/Sсеч - средняя скорость потока.

При этом формула преобразования координат запишется в виде:

Компоненты метрического тензора в криволинейной системе координат (г, ф, ъ), определяемые по формуле [5]:

(2)

X = (z) • г • 008ф,

- у = Ва' К‘(z) •а/ К ( (^ • г 008 Ф )2 + K 2 • г • 8“ Ф ,

(3)

z = z.

X = Я • Я; (7) • Г • 008 ф,

- у=Ва 'Я •Я (х) ^к ((7) • г 008 ф)2 + к2 • г •81п Ф’

(3’)

(5)

1 2 3 ~1 — ~2 ~3 —

где X = X, X = у, X = 7, X = г , X = Ф, X = 7, будут иметь вид:

V

/

&з = 8зі = ?2к,(г)'(г)' г 8 22 = (К • Кі (г) • г )2 •

823 = 8з2 = (К• г)2Яі(г) • Яі'(г) • сдаряіпр

„п„2 р + (К/А • 5Шр)2(2^1 ( • •(г) • г • со5р)2 + К, ^ Л

К (В • Ві (г) • Г • со8 р )2 + К 2

V У

„іп2 р . (В/А • с^ р )2 (К1 (К • К,(К) • Г )2 • р - 8Ш2 р ) + К ^ Л

к( • к (г) • г • со8 р )2 + к 2

К К • К(г) • г)2 (cos2 р - sin2 р)+ К2 )•

(В/А)2 Кк (я • Я,.(г) • Г • соз р)2 + К2 )2 -1 К1 (В • к (г) • г • соз р )2 + к 2

8зз =К('(г) • Г )2.

2 р + ((А • 8Ш р)2 (2К1 ( к,(гк Г ^ р)2 + К ^ Л

К1 (В к, (г) • г • соэ р )2 + к 2

V У

+12

Ассоциированный метрический тензор, определяется из соотношения:

8Л =

С*

8

где g ° det[gк \ О‘к = Ок‘ - есть алгебраическое дополнение ^ в определителе g .

Дифференциальные операторы в тензорно-индексном виде определяются следующими формулами [4, 5]:

(у и).. = и.. = эи-Уг*и,

' 1 '• . Ж. ^ . 1

2 т=1

Э8т, + Э*т. - Э* ,

Э_ Э_ Э_т

Эс-1

- символы Кристоффеля второго рода;

*гаЛи =

V*'1 Эи Є + ('^1 *,2 Эи

Е 8 Э_ 1 • е~1 + Е8 Э_ 2

,=1 ЭХ ,=1 ЭХ

1 1 / V1 1

Луи =

1

'ЕЕ *,з і4

У V 1 1

\

Є_2 +

• и1 ) , • и2 ) , • из)

эх1 "+ э_2 +' э_3

Аи(г•р• г) = 8аи(г•р• г) = •ХО_г а/Й Е8* эХк

д/|*| 1=1 ЭХ V к=1 Эх

[/V ]= и х V = -¡1=

Є_1 Є_1 Є_1

и1 и2 из

V К2 Кз

(7)

Уравнения движения, неразрывности, энергии и теплопроводности при течении аномально-вязкой жидкости в трубе с учетом переносной и кориолисовой сил инерции имеют вид [5, 6]:

ЭК + ( •У) = - УР *гаЛр + ю2_1е_1 - 2\а>V] + Ут; = 0; VУТ = а(АТ) + -— • А

Э/ / Р Х о с

к А”+1' Р с

АТС = 0, где т.. = к • А”-1 • А у - реологическое уравнение состояния среды,

А =

4 •ХАІ + 8-ЕА2.

1=1 і < .

интенсивность скоростей деформации, А = 1 (т + т )

У ^ У У '

(8)

компоненты тензора скоростей деформации, где =^--¿ЦкКк.

Эл; к=1

к=1

Условия однозначности системы (8) заданы начальным распределением скорости, давления, температуры на входе в канал и на выходе из него, и граничными условиями на стенках канала [2].

• Условия на входе в канал - = 0 :

о для скорости: Уг = 0; Уф = 0; У- = и0;

о для температуры жидкости т = Т0; о для температуры стенки Тс = Т0.

• Условия на выходе из канала - = Ь :

о для скорости: у_ = 0; УФ = 0; У- = и +1 (1 - г2);

г ф (п+1) v '

Эт

о для температуры жидкости — = 0;

Э-

Эт (9)

о для температуры стенки —^ = 0.

Э-

• Граничные условия при 0 < - < Ь :

о Условие на границе жидкости и внутренней стенки г = 1: для скорости: Уг = 0; Уф = 0; У- = 0;

^ А Эт . дтс

для температуры четвертого рода: т = тс; = Ас —^.

с Эг с Эг

о Условие на границе внешней стенки и жидкости третьего рода г = 1 + 6 :

Эт

для температуры Ас = аж (ж - тс),

Эг

где р0 - начальное давление; ю - угловая скорость вращения трубы; Уг, Уф, У- -

радиальная, окружная, осевая составляющие скорости; а - коэффициент

температуропроводности среды, Т - температура жидкости; Тс - температура стенки канала; с - удельная теплоемкость; с - плотность среды; к - характеристика консистентности среды; п - индекс течения.

Решение системы (8) будем искать в виде [7]:

уг = и0/(г, Ф, г); Уф = агО(г, ф, г); У- = и0£(г, ф, -);

.2 П/7Т

(10)

Р = РЩ, Р(г, ф, ¿) + р0; т = т0 • ?(г, ф, -); тс = т0 • в (г ,ф, -).

Рассмотрим слагаемое (У • У)У в системе уравнений (8):

(уУ • У)= (уУ)уе'еу • Укек = (VУ)уУ V(еу • ек)= (VУ),уУкеб. = (УУ)уУУе'' = (УУ • У)е1', (11)

Таким образом:

(УУ •У" ),=! (УУ)уу.

у=1

Используя формулу для компонент ковариантной производной в формуле (7) преобразуем (11) к виду [5]:

(у У У ),=Е

3 ( эу . Л . .

•У3е3. (12)

У=1

ЭУ--ГУ

Э~ ’ к

V /

Если выразить все через ковариантные компоненты вектора V ,

У:1 = XgnjVn , и тогда:

п=1

(vV.V ),=£

j=1

X.

(13)

Принимая малые деформации вектора ускорений дУ ¡д1 (дУ/дt ® 0), с учетом подстановки (10) и формулы (13) система (8) примет вид:

Уравнения движения:

3 Г /

X 1 я

к= \

/

3к

+ я

V

„1к д/ д~к

;1к Гк,

/+а

я2к

О к

/-Г1к Гі3к + язк Гк)/

/-Г1к Гі2к + я2к Гк)/ ) +

2к Г2) + (к2к Гі3к + язк Гі2к) ) -

V - ТТґ т

я

дР 1 яп

- я“ГО + *« ^ [ = Я--Х

1 дл/ я • АікА

і*-'"1) т))

Яе

к=1\ я

д~к

я2

XI 1к др / 1кт^2 . 2кт^ 1 Vі . 11

' я дХ* -^я Г2к + я Г2к Р + Я Т

V

гТ

/+тт

2к др 2к^ . 21 0 Ь-Г ,

° д~к-° 0+° -р+

3к д0 ( 2кт~*3 . 3кт^2 \у^ . 31 0 гл Я ( Іку-* 1т і { Іку-*3 . 3кт^ 1 \гл\ г

я д~к-( Г2к + я Г2к Р + Я ТР - ТТ ( Г2к/ + ( Г2к + Я Г2к )О)/ -

о

т

_я_

rN '

- Ая 3,^ 2 + ^ дР. 1 1 ^Аїї^ + 1 ( - )

ТТ д~ к| ТТ Яе Ъ. О д~к ^

(14)

гТ

/+тт

2к д-° / 2^3 . 3кт—'2 \ гл 1^ .

д~к-'я Г3к + я Г3к Р) +

10 - тт(Тг“Гко+ Г”Г3к + я3кГ>к)) -

- я “ ГО + я* 3 д~к ^я_.х

дР | Яп ^ 1 дУя| -А3кАп-1

Яе

д~к

Уравнение неразрывности:

я

дх1

Эх2

д\с3

= 0;

Уравнение энергии:

Еі 1к д0 Т2^^» д0 3к д0

I я /—г + — я о—г + я О—г 1* дхк яг дхк 5 дхк

1 1 хт д / о я,к дТ ^

Ре пх V я >'=1 Эх1 V Iя 1 X о к=1 дхк /

Т

+ —-Ап+1; Яе

к =1

+

+

к=1

1

Уравнение теплопроводности стенок канала:

1 V /М V *

,/Д£аг'(*'£М а~к

= 0,

(15)

с граничными условиями:

2 = 0: / = 0; О = 0; Б = 1; г = 1; 0 = 1;

2 = 1: f = 0; О = 0; Б = ц (п + ^ - г2); — = 0; — = 1;

7 (и +1) ! д2 дг

0 < 2 < 1:

Г = 1: f = 0; О = 0; Б = 0; г = 0; = Я д0;

дг дг

— д0

Г = 1 + 5 : — = -Ы(вж - вс),

дг

где:

Ао 1 = [2(Агг )2 + )2 + 2( 22 )2 + ( Гр )2 + ( гг )2 + (А?2 )2 ] ^;

ри02-Х” (Мэ

ке = —0—-— число Рейнольдса; N = —- - число закрутки; к и0

^ ипЯп _ ^ аЯ0

Ре = 00 - число Пекле; В' = —- - число Био; а Яс

Таким образом, разработана сопряженная задача теплообмена при течении аномально-вязкой жидкости типа Освальда-де-Виля во вращающемся канале «конфузор-диффузор» овального сечения. Описанная в работе криволинейная система координат является обобщением для известной цилиндрической системы координат. Несомненная ценность данной работы заключается в том, что построенная математическая модель является универсальной для каналов различной конфигурации. Соответствующая вариация коэффициентов: А=В, К^0, К2=1, и символов Кристоффеля позволяет получить известные уравнения движения, неразрывности, энергии и теплопроводности стенок канала для декартовой, цилиндрической и сферической систем координат.

Численная реализация полученной математической модели позволит определить поле скоростей, давления и температур при течении неньютоновских сред в каналах конфузорно-диффузорного типа и уточнить методику инженерного расчета теплообменного оборудования для нагрева сред с широкими реологическими свойствами.

Список обозначений

А - интенсивность скоростей деформации; а - коэффициент температуропроводности, м2; с - удельная теплоемкость, Дж/(кг-К); д - толщина стенки канала, м; к - характеристика консистентности среды, Па-с; Ьтр - общая длина канала типа «конфузор-диффузор», м; Ьк -длина элемента типа конфузор, м; Ьд -длина элемента типа диффузор, м; Я*, - радиус дуги окружности диффузора ('=1), конфузора ('=2), м; г0 Яо - наименьший и наибольший радиусы канала типа «конфузор-диффузор», м; ёэ -эквивалентный диаметр трубы, м; N - число закрутки; п - индекс течения; р -статистическое давление, Па; Ре - число Пекле; Яе - критерий Рейнольдса; Т -температура нагреваемой среды, К; Тс - температура стенки канала, К; Тж - температура жидкости, К; Уг=У1, УФ=У2,У2=У3 - радиальная, окружная, осевая составляющие скорости

течения, м/с; аж - коэффициент теплоотдачи жидкости, Вт/(м2-К); X - коэффициент теплопроводности среды, Вт/(м-К); Хс - коэффициент теплопроводности стенки, Вт/(м-К); с - плотность, кг/ м3; ю - угловая скорость вращения, с"1.

Список литературы

1. Багоутдинова А.Г., Золотоносов Я.Д., Мустакимова С.А., Хайруллин М.Р. Энергосберегающее теплообменное оборудование на базе теплообменных элементов типа «конфузор-диффузор» и пружинно-витых каналов. Тезисы доклада. Материалы Всероссийской научно"практической конференции, посвященной 30-летию НХТИ «Актуальные инженерные проблемы химических и нефтехимических производств и пути их решения». - Нижнекамск: НХТИ, 2012. - С. 81-83.

2. Хайруллин М.Р., Золотоносов Я.Д. Сопряженная задача теплообмена при течении степенной жидкости во вращающемся канале «конфузор-диффузор» овального сечения // Известия КГАСУ, 2012, № 1 (19). - С. 94-102.

3. Хайруллин М.Р., Золотоносов Я. Д. К вопросу течения аномально-вязкой среды во вращающемся овальном канале «конфузор-диффузор» // Тезисы докладов VII Международной молодежной научной конференции «Тинчуринские чтения». -Казань: КГЭУ, 2012. - С. 36-37.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.

- М.: Изд-во Наука, 1973. - 832 с.

5. Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидродинамики неньютоновских жидкостей. -М.: Мир, 1978. - 195 с.

6. Виноградов Г.В., Малкин А.Я. Реология полимеров. - М.: Изд-во Химия, 1977. - 440 с.

7. Золотоносов А.Я., Золотоносов Я.Д., Горская Т.Ю. Совершенствование теплообменных аппаратов типа «труба в трубе» с вращающейся поверхностью теплообмена «конфузор-диффузор» // Известия КГАСУ, 2012, № 2 (20). - С. 112-124.

Khairullin M.R. - post-graduate student

E-mail: [email protected]

Zolotonosov Ya.D. - doctor of technical sciences, professor

E-mail: [email protected]

Kazan State University of Architecture and Engineering

The organization address: 420043, Russia, Kazan, Zelenaya st., 1

Mathematical model of laminar flow of power-law fluid in the rotating «confusor-diffusor» channel with oval section

Resume

In this work we considered features of the reodynamics in the flow of abnormal-viscous fluid in the rotating «confusor-diffusor» channel with oval section of the apparatus of the type «pipe in pipe». Based on the configuration of the channel, associated curvilinear system of coordinates was described. In the generalized cylindrical system of coordinates on the basis of the complete equations of motion, continuity, energy and thermal conductivity of the channel walls mathematical model of conjugate heat transfer problem with the initial distributions of velocity, pressure, temperature at the channel entrance and exit, and the boundary conditions on the channel walls was built. Curvilinear Coordinate system described in the work is a generalization for the cylindrical coordinate system. Certainly the value of this work lies in the fact that the constructed mathematical model is universal for channels of various configurations. The corresponding variation of the coefficients: A=B, K1=0, K2=1, and parameters Lame allows you to get the well-known equations of motion, continuity, energy and thermal conductivity of the channel walls for the Cartesian, cylindrical and spherical coordinate systems.

The subsequent development of a mathematical model of conjugate heat transfer in rotating confusor-diffuser channels oval cross section and its numerical implementation will

determine the values of velocities and pressures in the flow part of the channel. Also it will be possible to outline the main directions in the development of engineering methods for calculating heat transfer equipment for the heating of non-Newtonian environment.

Keywords: reodynamics, conjugate heat transfer problem, abnormal-viscous fluid, channel with oval section, curvilinear coordinate system.

References

1. Bagoutdinova A.G., Zolotonosov J.D., Mustakimova S.A., Khairullin M.R. Energy-saving heat-exchange equipment on the basis of the heat-exchange elements of the type «confusor-diffusor» and spring-twisted channels. Abstract of the report. Materials of all-Russian scientific-practical conference, dedicated to the 30-th birthday NChTI «Actual engineering problems of chemical and petrochemical industries and ways of their solution». - Nizhnekamsk: NChTI, 2012. - P. 81-83.

2. Khairullin M.R., Zolotonosov J.D. Conjugate heat transfer problem in the flow of power-law fluid in the rotating «confusor-diffusor» channel with oval section // News of the KSUAE, 2012, № 1 (19). - P. 94-102.

3. Khairullin M.R., Zolotonosov J.D. To the question of abnormally-viscous environment flow in a rotating oval channel of type «confusor-diffusor» // Abstracts of the VII International youth scientific conference «Tinchurin’s reading». - Kazan: KSEU, 2012. -P. 36-37.

4. Loyzansky L.G. Fluid and gas mechanics. 6th edition. - M.: Publishers Nauka, 1987. -840 p.

5. Midlman C. The flow of polymers. - M.: Mir, 1971. - 259 p.

6. Vinogradov G.V., Malkin A.YA. Rheology of polymer. - M.: Publishers Himiya, 1977. -440 p.

7. Zolotonosov A.Ya., Zolotonosov J.D., Gorskaya T.Yu. Improvement of heat exchangers of type «pipe in pipe» with a rotating surface heat of type «confusor-diffusor» // News of the KSUAE, 2012, № 2 (20). - P. 112-124.