Сопряженная задача теплообмена при течении степенной жидкости во вращающемся канале «Конфузор-диффузор» овального сечения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.5:621.694

Хайруллин М.Р. - аспирант

E-mail: marat.khairullin@gma.il .com

Золотоносов Я.Д. - доктор технических наук, профессор

E-mail: zolotonosov@mail.ru

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Адрес организации: 420043, Россия, г. Казань, ул. Зеленая, д. 1

Сопряженная задача теплообмена при течении степенной жидкости во вращающемся канале «конфузор-диффузор» овального сечения

Аннотация

В работе рассмотрены особенности реодинамики и теплообмена при течении аномально-вязкой жидкости во вращающемся канале «конфузор-диффузор» овального сечения аппарата типа «труба в трубе». Построена математическая модель сопряженной задачи теплообмена на базе полных уравнений движения, энергии, неразрывности и теплопроводности стенок канала с учетом начальных распределений скорости, давления, температуры на входе в канал и на выходе из него, и граничных условий на стенках канала.

Ключевые слова: реодинамика, сопряженная задача теплообмена, аномальновязкая жидкость, канал овального сечения.

Вопросам исследования течения вязкой жидкости (ньютоновских сред) жидкости во вращающихся круглых каналах посвящено значительное число работ [1]. Однако в настоящее время в литературе отсутствуют работы, касающиеся исследования процесса течения аномальновязкой жидкости во вращающихся вокруг своей оси каналах типа «конфузор-диффузор» овального сечения, позволяющих обеспечивать интенсивные процессы теплообмена.

в ода

Рис. 1. Аппарат для проведения процесса теплообмена:

1 - вращающийся канал; 2 - неподвижный канал; 3 - межтрубное пространство; 4 - патрубки;

5 - подшипники; 6 - электродвигатель

В качестве модельной среды нами рассмотрены водные растворы карбоксиметилцеллюлозы (КМЦ), кривые течения которых хорошо описываются в широком диапазоне изменения температур «степенным» законом Освальда-де-Вилла ф=кгп, реологические константы и теплофизические характеристики которых представлены в таблице 1 [2, 3].

Структура потока при течении аномально-вязкой среды в круглой трубе, вращающейся вокруг своей оси, имеет ряд специфических особенностей. После входа среды во вращающуюся трубу стенки сообщают закрутку только периферийным частицам среды. Но в связи с высокой консистенцией вращательное движение быстро распространяется на частицы, расположенные ближе к оси. И на незначительном удалении от входа весь поток вращается вместе с трубой по закону твердого тела. В этом случае циркуляция жидкости в

поперечном сечении круглой трубы «подавляется», а процесс теплообмена от стенки к жидкости и далее в ядро потока осуществляется в основном теплопроводностью.

Таблица 1

Реологические константы и теплофизические характеристики раствора КМЦ

Концентрация №-КМЦ, % масс. Т, К п к, Па-с Ср,Дж/кг-К л,Вт/м-К а^107,м2/с

293 4,66 4,42 4082,13 0,461 1,115

313 0,510 2,63 4090,08 0,511 1,242

333 5,54 1,77 4081,76 0,522 1,276

353 0,601 1,19 4111,44 0,415 1,017

293 0,344 3,244 3916,33 0,456 1,086

313 0,364 2,829 3935,59 0,493 1,180

333 0,384 2,379 3945,22 0,474 1,149

353 0,404 1,423 3969,51 0,336 0,820

293 0,335 8,316 3840,27 0,486 1,134

313 0,354 5,374 3858,55 0,527 1,232

333 0,374 5,291 3874,05 0,515 1,209

353 0,394 5,009 3900,84 0,378 0,892

293 0,325 38,367 3775,24 0,496 1,134

313 0,344 26,971 3784,87 0,531 1,232

15 333 0,364 17,118 3792,82 0,539 1,209

353 0,384 14,854 3814,59 0,380 0,892

293 0,213 96,352 3709,09 0,505 1,085

313 0,231 46,719 3722,07 0,544 1,175

25 333 0,268 40,81 3735,46 0,522 1,134

353 0,287 27,226 3776,49 0,368 0,800

В связи с этим для интенсификации процесса теплообмена в канале нами предложено проточную часть конфузорно-диффузорной трубы выполнить в форме овала (рис. 2) [4], что при вращении создает градиент центробежного давления на осях овала, поддерживая вихревую структуру течения и интенсифицируя теплообмен.

А-А

V

У

Рис. 2. Радиальное сечение трубы:

1 - вращающийся канал; 2 - неподвижный канал; 3 - межтрубное пространство

Для сравнения рассмотрим геометрические размеры труб овального сечения (рис. 2), представленные в таблице 2 [3]:

Функцию, определяющую овальный профиль сечения трубы, с большой осью А, малой осью В, можно представить в виде геометрического места точек 4 дуг окружностей с центрами в точках (0; А-В/2), (0; В/2-А), (хВ; 0), (-хВ; 0) и радиусами А, А, А/2-хВ, А/2-хВ соответственно:

±(л/а -х2 -(А -В/2)), |х < хсопр

±^(А/2 - ХВ )2 -(х + ХВ )2 > х £ -хсопр (1)

±^( А12 - хВ )2 -( х - хВ )2 > х ^ хсопр

где хсопр (хсопр>0) - точка сопряжения кривых уА и уВ; хВ (хВ>0) - абсцисса центра дуги окружности ув.

Таблица 2

Размеры труб и справочные величины

Размеры, мм [5] Расчетные коэффициенты уравнения (2), мм Площадь сечения, см2

А В К1 К2 Справочные значения Расчетные значения

6 3 2.1060 0.9813 0,1453 0,1454

8 4 1.1846 0.9813 0,2583 0,2585

10 5 0.7582 0.9813 0,4035 0,4040

12 4 -0.6638 0.9966 0,3540 0,3532

6 0.5265 0.9813 0,5811 0,5817

14 7 0.3868 0.9813 0,7909 0,7918

15 5 -0.4248 0.9966 0.5532 0.5519

18 6 -0.2950 0.9966 0.7965 0.7947

8 0.1474 0.9798 1.1412 1.1418

9 0.2340 0.9813 1.3074 1.3088

Неизвестные хсопр и хВ находим, как решения системы уравнений:

Уа (хсопр ) = Ув (хсопр ),

(Уа )'х|х =(Ув )'х|х ,

лсопр лсопр

где Уа =л/ А2 - х2-(( - В/2), Ув =д/(А/ 2 - хв )2 -(х - хв )2.

Кпр (х) =<

Выведем математическое выражения для уравнения овала, как уравнение эллипса, с корректирующим коэффициентом в виде многочлена К]Х+К2, где К1 и К2 -коэффициенты, характеризующие сжатие и вытягивание овала:

Ерсс(х) = ±(К,х2 + К2)7(£/2)2 - (В/Л)2 х2 . (2)

Ввиду симметричности формы овала (рис. 2), достаточно рассмотреть отрезок [0;Л/2] для нахождения неизвестных коэффициентов К1 и К2. Зададим сетку разбиения отрезка [0; Л/2] с шагом И=Л/(2(п-1)):

Л(г -1)

х =--------, (3)

г 2(п -1)

где п - число точек разбиения отрезка.

Последовательно подставляя точки (х; Fспр(xi)) в уравнение (2), получим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов К1 и К2:

Кспр ( х1).

К х2 + к2 =-

КЛ2 + К2

Кх1 + к2 =

0(х1) ’

Кспр (X ) .

а(х) ’

Кспр (хп )

(4)

С(Х)

где 0(х) = у1 (В/2)2 + (В/Л)2 х2.

При п=2 коэффициенты определятся единственным образом. При п>2 система (4) становится переопределенной, и ее решение находится методом наименьших квадратов.

Используя справочные значения из таблицы 2, в общем каноническом виде уравнение осевого сечения трубы (рис. 3) можно записать следующим образом:

х!+= 1

л2 в2 ’

(5)

где Л=Л/2; Б=Б/2 • (К1х2 + К2); К2 Ф 0.

В частном случае, при К1=0 и К2=1, уравнение (5) становится уравнением эллипса с большой осью А и малой - В.

Рис. 3. Графики функций: 1 - Ррас(х), 2 - Рспр(х)

Из данных таблицы 2 и рис. 3 следует, что расчетные значения, полученные из уравнения (2), имеют максимальный процент отклонения от справочных значений менее 2 %, а уравнение (5) является математическим описанием овала с допустимой погрешностью менее 2 %.

Развитие течения степенной жидкости во вращающейся трубе овального сечения будем рассматривать в цилиндрической системе координат (г, ц, г), где нулевое значение радиальной координаты совпадает с осью трубы, координаты г - с входным сечением, а угловой координаты ц - с радиальным сечением трубы. Тогда уравнения движения, неразрывности и теплопроводности для течения аномально-вязкой жидкости в трубе запишутся в виде [6-9].

Рис. 4. Фрагмент системы диффузор-конфузор в цилиндрической системе координат

дУ дУ У2

V ^ + У ^-р Г дг 2 дг Г

1 др к

------І-+ —

р дг р

Гд 2У д 2У 1 дУ V

г_ +________________г_ +_________г_______г_

дг2 дг2 г дг г2

дг дг

дУ дУ

д г дг

дАп

д г

У дР+У У - УР=-± Ар+к

г дг 2 дг г рг др р

дг2 дг2

дг

К у Ї <Р_ дАп - , ау; дАп-1"

д г / д дг дг

У дУ,+У дУ, - УІ =-1 Ар+к

г д г 2 дг г р дг р

д 2Уг + д 2У2 +1 дУг_

г дг

дг2 д г2

дУ дАи

дг дг

дУ дУ

д г дг

дАп

дг

дУ У дУ п

—^ + ^~ +—^ = 0; дг г дг

т. дТ дТ

У -------+ У -------= а

г дг г дг

Ґд 2Т д 2Т 1 дТ

дг2 дг2

д

д 2Тс д 2Т 1 дТ,

дг2 дг2

--*■ = 0; г дг

(6)

Условия однозначности системы (6) заданы начальным распределением скорости, давления, температуры на входе в канал и на выходе из него, и граничными условиями на стенках канала.

• Условия на входе в канал z=0:

для скорости: Vr=0; Уц, =0; Vz= u0; для температуры жидкости Т= Т0; для температуры стенки Тс= Т0;

• Условия на выходе из канала z=Lmp:

т/ пт/ п т/ (3n + 1)п £2 2ч £ r cosj r sin j

для скорости: Vr = 0; Vj = 0; Vz = u--— (1 - X - h ), где X=—=—, h =—=—,

(n +1) A B

дТ

B = B2 (K1(r cosj)2 + K2), A = A2, um = —; для температуры жидкости ^ = 0;

S

Сеч

эгс 0

для температуры стенки —- = 0.

Эz

• Граничные условия при 0<z<Lmp:

—Условие на границе жидкости и внутренней стенки Dt (r, j, z) = 1:

Для скорости: Vr = 0; V9 = (Or; Vz = 0;

Д . ЭТ . dT

Для температуры четвертого рода: T = Tc; л — = лс-----------

Эг Эг

—Условие на границе внешней стенки и жидкости третьего рода D (r, j, z) = 1 (A := A + 28; B := B + 28; i = 1,2):

эг-

где Dt (r, j, z): =

2

r cos j

К -дгГ = aж (Тж - Тс ) ,

r sin j

2

= 1 — уравнение боковой

Ri (z) B/A • R (z) ((/2 cos2 j + K2)

■ V ________

поверхности трубы (рис. 2), Rt (z) = -^R,2 - (z - at)2 + bt, R* - радиус дуги окружности, (,b) - координаты центра дуги окружности, по которой построен профиль твердой стенки канала, i = 1 - для диффузора, i = 2 - для конфузора; и0 - начальная скорость; р0 - начальное давление; щ - угловая скорость вращения трубы; Vr, Уц, Vz - радиальная, окружная, осевая составляющие скорости; а - коэффициент температуропроводности среды, Т - температура жидкости; Тс - температура стенки канала; с - удельная теплоемкость; ТВ - температура горячей воды; с - плотность среды; k - характеристика консистентности среды; n - индекс течения, А - интенсивность скоростей деформации:

A =

% v vdr У

л2

+ 2

vr у

+ 2

% vdzz

+

dvj — j dr r

2

+

ґдг V

q,

dz

v У

+

dvz dvr

dr dz

2

1/2

(7)

Решение системы (6) будем искать в виде:

v = uJ (jz); j = w rG (r,j>z); V= = u0H (r,j,z);

p = r u2 P (r, j, z) + Po; t = T • T (r, j, z); 0 = To • Tc (r,j, z);

(8)

Введем в уравнения движения, энергии и теплопроводности стенок канала безразмерные переменные и параметры:

тр

r = r/ • R = ^0

r /Roo; R /L.

тр

% — um % A % B

R = vR ; u =—; ^5 = —; IB = —;

R0 uo

R0

Ro

(9)

где Ьтр- длина трубы; Я0 - входной радиус конфузора; dэ - эквивалентный диаметр

трубы.

Тогда краевая задача для безразмерных составляющих скорости, давления, температуры среды и стенок канала примет вид:

ґ д/ П ттд/

/ -Г- + ЯН-г- -

Эг Эг

'ы_Л2 Я

V /

о2 + N е/= -ЭР+ЯП

Я Эю Эг Яе

(

А

Э/ + Я2 д/ + 1 / - /

Эг2 Эг2 г Эг г2

+2

Э/ЭА^ + ЭА0Г (ЭН + ЯЭ/4

Эг Эг

Эг Эг Эг

/ ( 20 + 'Э°

Эг / _

ЭАГ1 ЭО _^ЭАпи-1 ЭО

_ 1 Я ЭР Яп

+ гЯН ^ = ------------------+ —

Эг г N Эю Яе

А0

^ЭО _Э2О _гЭ2О4 3+ г^ + г^^^Т

Эг Эг Эг

Эг Эг

- + гЯ

Эг Эг

Э/ / ъЭН п

— + — + Я---------= 0;

Эг

Эг

/^ + ЯН^ = — Эг Эг Ре

2

2

э 2т і э*_

Эг2 г Эг Эг2

V /

ЯТАп+1.

Яе 0 ’

_2 + Я2^2- + =^ = 0,

Эг Эг г Эг

(10)

с граничными условиями:

г = 0: / = 0; О = 0; Н = 1; г = 1; в = 1;

г = 1: / = 0; О = 0; Н = й ^(3П+))(1 - Г - Г),

- -(п +1)

р- г 008ю _ г 8ІП ю Эг . Эв л

где ^ ,ч =-^-; ^ = °; =1;

V? В Эг Эг

0 < г < 1:

^п- , -ч 1 г Л ^ 1 ^ Л Л ,Эг . Эв

• А(Я0гюА*рг)=1: / =0; О=1; Н =0;г = в; ¿эн =лс тт;

Эг Эг

в

• Д (Я г, ю, г) = 1 (А = А + 25; В = В + 25; і = 1,2): — = -Ві(вг

вс ),

(11)

где

АП-1 =

э/

уЭгу

2

+ 2

/

г

+ 2

ҐдН V ( шэо

УЭг у

+

Я Эг

2

+

эн -Э/

—+Я — Эг Эг

2

( п-1)/

рм02 пЗпэ юdэ

ке = —0—— - число Рейнольдса; N =--------- - число закрутки;

ре = й0 Я0 а

число Пекле; Ві

. = аЯ^

к

число Био.

Заключение

Разработана сопряженная задача теплообмена при течении аномально-вязкой жидкости типа Освальда-де-Виля во вращающемся канале «конфузор-диффузор» овального сечения.

Численная реализация полученной математической модели позволит определить поле скоростей, давления и температур при течении неньютоновских сред в каналах конфузорно-диффузорного типа и уточнить методику инженерного расчета теплообменного оборудования для нагрева сред с широкими реологическими свойствами.

Список обозначений

A - интенсивность скоростей деформации; а - коэффициент температуропроводности, м2; с - удельная теплоемкость, Дж/(кг-К); д - толщина стенки канала, м; к - характеристика консистентности среды, Па-с; Lmp - общая длина канала типа «конфузор-диффузор», м; LK - длина элемента типа конфузор, м; Ld - длина элемента типа диффузор, м; R*i - радиус дуги окружности диффузора (i=l), конфузора (i=2), м; r0, R0 - наименьший и наибольший радиусы канала типа «конфузор-диффузор», м; d - эквивалентный диаметр трубы, м; N - число закрутки; n - индекс течения; p -статистическое давление, Па; Pe - число Пекле; Re - критерий Рейнольдса; T -температура нагреваемой среды, К; Тс - температура стенки канала, К; Тж - температура жидкости, К; Vr? Уц Vz - радиальная, окружная, осевая составляющие скорости течения, м/с; бж - коэффициент теплоотдачи жидкости, Вт/(м2-К); л - коэффициент теплопроводности среды, Вт/(м-К); лс - коэффициент теплопроводности стенки, Вт/(м-К); с - плотность, кг/ м ; щ - угловая скорость вращения, с- .

Список литературы

1. Щукин В.К. Теплообмен и гидродинамика внутренних потоков в полях массовых сил. - М.: Машиностроение, 1970. - 240 с.

2. Бахаева Т.Н., Золотоносов А.Я. Экспериментальные исследования температуропроводности водных растворов карбоксиметилцеллюлозы // Известия вузов. Проблемы энергетики, 2008, № 3-4. - С. 131-133.

3. Бахаева Т.Н., Золотоносов Я. Д., Золотоносов А.Я. Экспериментальные исследования реологических свойств карбоксиметилцеллюлозы методом ротационной вискозиметрии // Известия вузов. Проблемы энергетики, 2006, № 7-8. - С.111-114.

4. Золотоносов А.Я. Патент на полезную модель РФ №90887 МПК F28D 7/00; 11/04 Аппарат для проведения процесса теплообмена №2009138855/22; заявл. 20.10.09; опубл. 10.03.10. Бюл. № 7.

5. Явнилович Е.А. Трубы стальные, чугунные и баллоны. - М.: Металлургия, 1966. - 371 с.

6. Золотоносов Я.Д. // Известия вузов. Химия и химическая технология, 2002, т. 45, вып. 5. - С. 3-16.

7. Шульман З.П., Зальцгендлер Э. А., Глеб В.К. Сопряженная задача конвективного теплопереноса в рекуперативных теплообменниках с неньютоновским теплоносителем // Сборник «Теплообмен», 1978. - С. 464-475.

8. Мидлман С. Течение полимеров. - М.: Мир, 1971. - 259 с.

9. Смольский Б.М., Шульман З.П., Гориславич В.М. Реодинамика и теплообмен нелинейно вязкопластичных материалов. - Минск: Наука и техника, 1972.

Khairullin M.R. - post-graduate student

E-mail: marat.khairullin@gmail.com

Zolotonosov Ya.D. - doctor of technical sciences, professor

E-mail: zolotonosov@mail. ru

Kazan State University of Architecture and Engineering

The organization address: 420043, Russia, Kazan, Zelenaia st.,1

Conjugate heat transfer problem in the flow of power-law fluid in the rotating «confuser-diffuser» channel with oval section Resume

In this work we considered features of the reodynamics in the flow of abnormal-viscous fluid in the rotating «confuser-diffuser» channel with oval section of the apparatus of the type

«pipe in pipe». On the basis of the complete equations of motion, continuity, energy and thermal conductivity of the channel walls was built mathematical model of conjugate heat transfer problem with the initial distributions of velocity, pressure, temperature at the channel entrance and exit, and the boundary conditions on the channel walls. The subsequent development of a mathematical model of conjugate heat transfer in rotating confuser-diffuser channels oval cross section and its numerical implementation will determine the values of velocities and pressures in the flow part of the channel. Also it will be possible to outline the main directions in the development of engineering methods for calculating heat transfer equipment for the heating of non-Newtonian environment.

Keywords: reodynamics, conjugate heat transfer problem, abnormal-viscous fluid, channel with oval section.

References

1. Shchukin. Heat transfer and hydrodynamics of internal flows in the field of mass forces. -M: Mechanical Engineering, 1970. - 240 p.

2. Bahaeva T.N., Zolotonosov A.Ya. Experimental studies of thermal diffusivity of aqueous solutions of carboxymethyl cellulose // News of high schools. Problems of energy, 2008, № 3-4. - P. 131-133.

3. Bahaeva T.N., Zolotonosov Ya.D., Zolotonosov A.Ya. Experimental studies of the rheological properties of carboxymethyl cellulose by rotational viscometry // News of high schools. Problems of energy, 2006. № 7-8. - P. 111-114.

4. Zolotonosov A.Ya. Patent for useful model RF №90887 MPK F28D 7/00; 11/04 Apparatus for leading heat transfer process №2009138855/22; declar.20.10.09; publish. 10.03.10. Bul. № 7.

5. Yavnilovich E. Steel pipes, iron and cylinders. - M.: Metallurgy, 1966. - 371 p.

6. Zolotonosov Ya.D. // News of high schools. Chemistry and chemical technology, 2002, v. 45, iss. 5. - P. 3-16.

7. Shulman Z.P., Zaltsgendler E.A., Gleb V.K. The conjugate problem of convective heat transfer in a recuperative heat exchangers with Newtonian heat-transfer agent // Collection of heat transfer, 1978. - P. 464-475.

8. Midlman C. The flow of polymers. - M.: Mir, 1971. - 259 p.

9. Smolsky B.M., Shulman Z.P., Gorislavich V.M. Reodynamics and heat transfer of nonlinear viscoplastic materials. - Minsk: Science and technology, 1972.