CC BY
02. Amidi A., Amidi Sh. Convolutional neural networks cheatsheet [Electronic Source] // Shervine Amidi webpage, Stanford University. - URL: https://stanford.edu/~shervine/teaching/cs-230/cheatsheet-convolutional-neural-networks (date of access: 23.11.2023).
3. Souto C., Pirk R. Vibro-acoustic low frequency analysis of the VLS equipment bay using finite elements // Proceedings of the 13 th International Congress on Sound and Vibration 2006 (ICSV 13), 2-6 July 2006, Vienna, Austria. - Vol. 1. - Red Hook, NY: Curran Associates, Inc., 2013. - Pp. 5874-5882. - ISBN: 978-1-62748-150-2.
4. Tan M., Le Q.V. EfficientNet: rethinking model scaling for convolutional neural networks [Electronic Source] // International Conference on Machine Learning, 2019 (ICML 2019). - DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.1905.11946. - URL: https://arxiv.org/abs/1905.11946 (date of access: 23.11.2023).
5. Нестеров Е.Т., Трещиков В.Н., Камынин В.А., Наний О.Е. Когерентный рефлектометр с полупроводниковым источником излучения // T-Comm - Телекоммуникации и Транспорт. - 2010. - Спецвыпуск. - С. 36-39. - URL: https://cyberleninka.ru/article/n/kogerentnyy-reflektometr-s-poluprovodnikovym-istochnikom-izlucheniya (дата обращения: 23.11.2023).
6. Skripachev V.O., Guida M.V., Guida N.V., Zhukov A.O. The study of convolutional neural networks for detecting objects in aerospace images // International Journal of Open Information Technologies. - 2022. - Vol. 10 (7). - Pp. 54-64.
7. Zapletnicov I., Chubin A., Gidkov Yu. Vibroacustics' characteristics of technological equipment transformation in exploitation conditions // Proceedings of ICSV12 Congress, 2005.
УДК 330.1
doi:10.18720/SPBPU/2/id24-194
Завьялова Елизавета Вячеславовна 1,
студент-бакалавр; Ефремов Артём Александрович 2,
доцент, канд. физ.-мат. наук, доцент
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КВАДРОКОПТЕРА НА БАЗЕ
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
1 2 Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский политехнический
университет Петра Великого; 1 zavyalova.ev@edu.spbstu.ru, 2 Artem.Efremov@spbstu.ru
Аннотация. В работе исследуется математическая модель квадрокоптера на базе уравнения Лагранжа. Показан процесс ее построения. Используется библиотека SymPy для Python для автоматизации вычислений.
Ключевые слова: математическая модель, квадрокоптер, уравнение Лагранжа.
Elizaveta V. Zavyalova \ Student (Bachelor);
Artem A. Efremov 2,
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor
A MATHEMATICAL MODEL OF A QUADROCOPTER BASED ON THE LAGRANGE EQUATION
1 2 Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, St. Petersburg, Russia;
1 zavyalova.ev@edu.spbstu.ru, 2 Artem.Efremov@spbstu.ru
Abstract. The paper investigates a mathematical model of a quadrocopter based on the Lagrange equation. The process of its construction is shown. The SymPy library for Python is used to automate calculations.
Keywords, mathematical model, quadrocopter, Lagrange equation.
Введение
Среди всевозможных инструментов для построения и моделирования различных сложных явлений и процессов основным является теория дифференциальных уравнений. В настоящее время исследования отдельных классов дифференциальных уравнений и их решений получили широкое распространение.
Основной задачей данной работы будем считать построение математической модели динамического объекта (квадрокоптера) на основе уравнения Лагранжа для дальнейшего исследования.
1 Описание модели и основные положения
В качестве динамического объекта — квадрокоптер (рис. 1). Исследуемую модель квадрокоптера будем рассматривать как плоское тело, состоящее из абсолютно жесткой рамы и 4 пропеллеров, одинаковых по размеру и массе. Вся конструкция имеем идеальную симметрическую форму. Для простоты расчетов предположим, что пропеллерами являются диски, закрепленные на концах рамы в точках Ci, C2, C3, Ca. Каждый пропеллер имеет радиус r, массу mt и массу двигателя me. Центр масс рассматриваемого объекта находится в центре конструкции в точке O.
Положение квадрокоптера в пространстве описывается тремя углами Эйлера, на которые квадрокоптер отклоняется относительно неподвижной системы, поворота вокруг оси подвижной системы и тремя координатами центра масс в неподвижной системе, жестко связанной с квадрокоптером.
Рис. 1. Схематичное изображение квадрокоптера
Положение квадрокоптера в пространстве описывается тремя координатами центра масс и тремя углами поворота вокруг осей подвижной системы координат:
$ = (x, y, z)T ,ц = (<р,в,у)т. (1)
С целью автоматизации символьных вычислений в работе используется библиотека SymPy для Python. Так, символьные переменные и константы создаются при помощи функции symbols или класса Symbol, а функции времени (или другой переменной) можно задать как объект класса Function. Для создания вектора обобщенных координат необходимо создать объект класса Matrix, передав список созданных ранее переменных в конструктор (рис. 2). Продифференцировав результат по времени с помощью метода diff, получим вектор обобщённых скоростей.
Вектор координат q(t):
Рис. 2. Вид вектора координат на Python
Рассмотрим механическую систему, имеющую 5* степеней свободы, на которую наложены стационарные, идеальные, голономные связи. В этом случае положение системы определяется 5 обобщенными координатами д2, ..., д. и вектором обобщенных скоростей.
Квадрокоптер имеет симметричную структуру с четырьмя двигателями, расположенными на лучах по осям ОъХъ и ОъУъ на расстоянии I от центра масс. Матрица инерции имеет следующий вид:
I, =
1Х 0 0 0 1у 0 0 0 Г
(2)
где 1х, /у, /z — моменты инерции при вращении вдоль соответствующих осей, /х = /у.
Инерции определяется выражением
1х = 1у =1 т£ + 2те12,
(3)
где тс — масса центра квадрокоптера, 1с — радиус центра шара, которым описывается центр квадрокоптера, те — масса двигателя.
Также необходимо учитывать инерцию винта /Г: 1Г = 1 трЯ2, где тр
— масса несущего винта, а Я — его радиус.
Общая масса считается как сумма всех элементов:
т = тс +4те + 4тр.
(4)
Выражения для сил по соответствующим осям и углам вращения. Вместе силы четырех роторов создают тягу ъ в направлении оси OъZъ. Крутящий момент т состоит из моментов Тф, та и в направлении, соответствующему углу поворота системы отсчета квадрокоптера.
Т2 = щ+с2+ю3+ю4.
т =
т
ф
т» =
т„.
_ V _
¡к(с2 -с4) ¡к(с3 -с1) аг(с1 -с2 + с3 -с4)
(5)
(6)
где к — подъемный коэффициент, аг — постоянная вращательного движения.
Кроме того, в модели квадрокоптера требуется учитывать суммарную скорость юя, которая рассчитывается следующим образом:
сок=ю1-ю2+юъ-юА. (7)
Для упрощения работы математическая модель строится с учетом следующих ограничений:
1) раму квадрокоптера считаем абсолютно жесткой;
2) все детали квадрокоптера одинаковые по плотности и массе;
3) квадрокоптер представляет собой идеальную симметричную конструкцию.
Принимая во внимание вышеизложенную теорию построения моделей, можно сделать вывод, что данная модель при создании требует некоторого числа допущений. Для того чтобы избежать этого и описать модель более точно, можно воспользоваться уравнением Лагранжа, рассматривая модель, как систему дифференциальных уравнений движения в обобщенных координатах [2].
Основные положения:
1. Подъемная сила каждого диска-винта создает силу тяги мг-, направленную вдоль оси у, приложенную в точке О.
2. При будущем вычислении кинетического момента пропеллера будем считать, что тензор инерции (это объект, который говорит нам, как угловая скорость преобразуется в кинетическую энергию или момент импульса) имеет такой же вид, что и у однородного диска, который назовем несущим винтом.
3. Векторы угловых скоростей винтов, расположенных в точках Сг-для нечетного /, сонаправлены вектору оси у, остальные — направлены противоположно. Суммарная скорость ш рассчитывается по формуле (7).
4. Заданы три вращающих момента, приложенных непосредственно к корпусу, через которые осуществляется управление ориентацией объекта в пространстве.
5. Будем считать, что воздух оказывает сопротивление только на лопасти несущих винтов, поскольку линейная скорость квадрокоптера существенно меньше скорости вращения винтов.
2. Преобразование к функции Лагранжа
Уравнения Лагранжа второго рода или уравнения движения в обобщенных координатах, можно получить из общего уравнения динамики или из принципа стационарного действия Гамильтона [1].
Уравнение Лагранжа имеет вид:
d_
dt
ГдЬЛ
ydqjj
31 =0. (8)
dq
Уравнения Лагранжа второго рода также можно записать как разность между кинетической энергией Т и потенциальной энергией V системы:
L(t, 4j ,д,) = T(t, qj9qj) - V(t, (9)
Рассмотрим механическую систему, имеющую s степеней свободы, на которую наложены стационарные, идеальные, голономные связи. В этом случае положение системы определяется s обобщенными координатами qi, q2, ..., qs. Кинетическая энергия такой системы является функцией обобщенных координат q\, qi, ..., qs, обобщенных скоростей qx,q1,...,qs и времени
T = T(qvq2,...,qs,qvq2,...,qs,t). (10)
Для полученной системы можно записать s уравнений, которые называются уравнениями Лагранжа второго рода или дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах:
d
dt
А у
■f = = (П)
где Qj — обобщенная сила:
в = -Щ и = 1'2'-'к)- (12)
Кинетическая энергия поступательного движения квадрокоптера задается по формуле (3):
т =Шр А (13)
±1гап 2 /' Кинетическая энергия вращения корпуса:
Тша=1 (По, 10 ). (14)
Рис. 3. Расчет кинетических энергий на Python
Полная функция Лагранжа имеет вид:
L(q, q) = Ttrun + ТгоЮ -Mg.
(15)
3. Запись обобщенных сил
Винты создают силу поступательного движения, приложенную к корпусу исследуемого объекта. Суммарную силу тяги можно записать формулой:
' и (СОБрвт^СОБу + БШрБШу) ^ и(БШрБШ0 СОБу — СОБрБту) , (16)
и СОБрСОБу/ ,
F = URz =
где U = (ui+u2+u3+u4) = + d>2+d>3 + d>4).
Далее выражаем три вращательных момента:
ir Л (
Г1 Г
2 Г,
v 3
1к (и2 — и4)
1к(щ — щ) , (17)
к (щ — и + и — и )
ч У
где I — расстояние от центра модели до центра диска, образованного движением винта, к — подъемный коэффициент.
Тогда обобщенные силы можно записать следующим образом:
Т =
т 1 Г11
тв = W - Г2
т,„ Г3 J
w
sin w (щ - щ )lk + cos w (щ - щ + щ - щ) cos в cos в
cosy^ - щ) lk+siny^ - щ + щ - щ) (щ -щ)lk+igO^in^^^ -щ)+cosy^ -щ + щ -щ))
Обобщенные силы:
JtJ(-Ü|+Kjj) sin (p(r))
(Ü|-IIz-HI3-h4)hk МО)
sin2 W)>™ (<?(f))+COS2 {^(0) OB (Ú(í)) sin1 (y(r)) cus (ВД)-кж1 (ИО) OOS (fltfj)
kl{— a t ) eos ( ^(r)) (u i — и 2 +и.î -u ¡ ) s in (y (í)) sin: МО)+соя2 sin: (^(f))+COS2 (p(í))
W(-K,-Hii) sin (*r(í)) sin (0(0) + ^ ^ - и4) + sia 0*0) cos (р(0)
sin2 (ч/{1)) cus (Ú(í))+cus2 (vf(í)) cus (íJ(í>)
sin2 (y(í)) CUB (fl(í}J+cas2 (y(rj) cus (¡N>)) .
Рис. 4. Расчет обобщенных сил на Python
Запишем формулы аэродинамической силы ut и момента Mt для одного винта:
u
_phcaVr2 .
4
Щ,
м Phcar*c« à)1 IV1 i g / •
(19)
(20)
4. Результат вычислений
Подставим все вышеперечисленные формулы в итоговую и найдем L{q,q).
L{q, q) = Tuxm + ТгоЮ -Mg =
= 2 Vox + ^ex) (¥2 + Ф2 sin2 0 - 2фу/ sin в + в2 cos2 у/ + +ф2 COS2 в sin2 у/+2фв cos у/ sin у/ COS 6> j+^ (/0г + +4ICz) |в2 sin2 у/ + ф2 cos2 в cos2 у/ - 2фв cos у/ sin у/ COS в j +
+llCv(é2+é22+éi+él)-ICz{él-é2 + ó), -
-Ü)4 )(ф cos в cos у/ - в sin у/).
(21)
Рис. 5. Расчет L(q,q) на Python
Исходя из построенной модели, получаем уравнения Лагранжа:
(22)
phcciViT2
Mx =-—-(о)г + d> 2+ ¿>з + <bA)(cos<psindcosip -f sinq? sirup),
phcaVtr2
My — -—-+ d>2 + со з + d>A)(sin(psinecos\p — cosqtsinip),
phcaViT2
Mz =-—-(b\ + ¿>2 + ¿>з -f (b^cosdcosip — Mg,
ф{Оох + 4 lCx)sin29 + (I0x + 4ICx)cos29sin2ip + {I0z + 4 lCz)cos29cos2\p} +
+9 со sip sinip (/0x + 4 ICx - I0z - 4 lCz) - (l0x + 4 JCx)ipsinQ + +<p0sm20cos2^(/o.l + 4/Cx — l0z — 41 Cz) + <pipsin2\pcos2e(I0x + 41 Cx — -l0z - 4iCz) + 62sin6cosipsinip(I0z + 4ICz - lox-^cx) + +ipecos9 (—2(I0x + 4/Cx)sm2 ip - (I0z + 4ICz)cos2ip) = -/^(¿¿'i - (¿'2 +
+¿>3 — ¿>4) CO s6 CO sip + IczC^l ~ <¿>2 + <i>3 ~ ¿>4)^ SUl6cOSlp — l/iCOsSsitti/i) +
phcaViT2 sinip phcar4cacosip
+ c ^ " ^--8—^в'+ ^ - ^ +
(f>cos6sinipcosip (I0x + 4ICx- I0z - 4ICz) + 6((I0x + + (l0z +
-\-4ICz)sin2ip) + <pipcos6(2(I0x -f 4ICx)cos2ip — (I0z + 4ICz)cos2ip) -f
-\-<p2sinecos8 cos2ip(I0z + 41 Cz — Iox~4ICx) + 6i/ism20 (I0z + 4/Сг — —
~4ICx) = /C2£i?li/J (¿>1 — tit2 + Ш'з — 6>A) + fi/j ( oL> х — ¿>2 + ¿>3 —
phcaVtr2 phcar*ca
—oj4}(ip — <psind) + cosip---/( ¿>3 — ¿>x) — sirup---(— щ +
4 8
+¿>1 -a>i+ ¿>|),
-Q0x + 4ICx)cpsin9 + (I0x + 4lCx)ip + (p6cose((I0z + 4ICz)cos2ip - 2(I0x +
+4ICx)cos2ip) -f <p2cos26sinipcosip(I0z + 4/Сг — I0x~^cx) + +02si7i^cosi/i(/O;e + 41 Cx - I0z - 4ICz) = /^(¿>1 -012 + ¿>3 - ¿>4) ■
p/ical^r2
■ (—ф CO sd sinip — в CO sip) H--—-/( ti>2 — ¿>4) -f
phcaViT2 рксаг^са
+tg9{---Isinip ( ¿>з — ¿j) + cosip---(—ail + ^г — ^з + ^l))-
4 1 8
Заключение
Таким образом, в данной статье выведена система уравнений для управления динамическим объектом (квадрокоптером) на базе уравнений Лагранжа. Для упрощения вычислений использовалась библиотека символьных вычислений SymPy на языке Python. Это облегчает дальнейшее ее использование и вычисление управлений.
Список литературы
1. Беленький И.М. Введение в аналитическую механику. - М.: Высш. школа, 1964. - 324 с.
2. Павловский В.Е., Савицкий А.В. Модель квадрокоптера и нейросетевой алгоритм управления // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2017. - № 77. - 20 с.
3. Шестаков К.С. Информационные модели квадрокоптера: выпускная квалификационная работа бакалавра по направлению подготовки 09.04.02 - Информационные системы и технологии [Электронный ресурс] // Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого. - СПб., 2018. - DOI: 10.18720/SPBPU/2/v18-6477. - URL: http://elib.spbstu.ru/dl/2/rev/v18-6477-o.pdf; http://elib.spbstu.ru/dl/2/rev/v18-6477-r.pdf (дата обращения: 10.12.2023).
УДК 62.5
doi:10.18720/SPBPU/2/id24-195
Лю Цзини,
аспирант
ДВУХЗОННОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ СКОРОСТИ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО НАПРЯЖЕНИЮ
Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина),
3572457768@qq.com
Аннотация. Для двигателей постоянного тока, вентильных двигателей и асинхронных двигателей рассматривается проблема минимизации энергопотребления при заданной скорости. Путем анализа математической модели двигателя с двухзонным регулированием скорости были найдены способы получения минимального энергопотребления для первой зоны и второй зоны. Проведен сравнительный анализ двухзонного регулирования скорости с обратной связью по скорости и по напряжению. Результаты моделирования работы регулятора при различных скоростях и нагрузках получены с использованием MATLAB/Simulink и проиллюстрированы графически.
Ключевые слова: двухзонное регулирование скорости, векторное управление двигателями, двигатель постоянного тока, вентильный двигатель, асинхронный двигатель, управление ослаблением поля, максимальное соотношение крутящего момента и тока.
Liu JingYi,
Postgraduate (PhD) Student
DUAL ZONE SPEED CONTROL WITH VOLTAGE FEEDBACK
St. Petersburg Electrotechnical University "LETI", St. Petersburg, Russia,
3572457768@qq.com
Abstract. For DC motors, brushless motors and induction motors, the problem of minimizing energy consumption at a given speed is considered. By analyzing the mathematical model of an engine with two-zone speed control, methods were found to obtain minimum energy consumption for the first zone and the second zone. A comparative analysis of two-zone speed control with speed and voltage feedback was carried out.
